Re: Qualche quiz
 

Avevo scritto delle soluzioni sbagliate e le ho cancellate.

Io mi immagino questo triangolo con il vertice dei cateti che coincide con il punto (0,0) degli assi cartesiani.

Considero il cateto sull'asse delle ordinate che chiamerò A di lunghezza fissa e pari a 100, faccio poi variare il cateto B sull'asse delle ascisse da 0 a 1000000.

Al variare di B variano di conseguenza l'ipotenusa C e la sua altezza h.

C è facilmente calcolabile, ma quanto vale h?

L'ipotenusa del triangolo giace sulla retta:

y= - b/a * x + b

mentre la perpendicolare a questa retta passante per l'origine degli assi cartesiani dovrebbe essere:

y= a/b * x

per cui risolvendo il sistema delle due rette dovrei trovare le coordinate del punto di intersezione e applicando il teorema di Pitagora dovrei trovare il valore dell'altezza h.

y= - b/a * x + b
y= a/b * x


a/b * x = - b/a * x + b

a/b * x + b/a * x = b

(a/b + b/a) * x = b

x = b / (a/b + b/a)
y= a/b * b / (a/b + b/a)

h= sqrt ( (b / (a/b + b/a))^2 + ( a/b * b / (a/b + b/a))^2)


Quando A=B ottengo il minimo= 0,942809041582063 (la stessa soluzione di rob77)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Però l'hai fatto con la forza bruta :D o sbaglio?

Re: Qualche quiz
 

<%

Dim a, b as double

Dim h, c, risultato as double

Dim minimo, massimo as double

Dim minimoB, massimoB as double

minimo=1000000

a= 100

for b=1 to 1000000

c = sqrt(a^2 + b^2)

h= sqrt ( (b / (a/b + b/a))^2 + ( a/b * b / (a/b + b/a))^2)

Risultato= (a+b) / (c+h)

if risultato < minimo then minimo= risultato : minimoB = b
if risultato > massimo then massimo= risultato : massimoB = b
next

response.write("minimo= " & minimo &"<br>")
response.write("massimo= " & massimo &"<br>")
response.write("minimoB= " & minimoB &"<br>")
response.write("massimoB= " & massimoB &"<br>")
response.write("a= " & a &"<br>")

%>

:D

Re: Qualche quiz
 

Questo era abbastanza facile farlo senza forza bruta con qualche minima base di Analisi :)

Re: Qualche quiz
 

Io ero arrivato ai risultati con questo ragionamento:

Massimo : si ha quando il triangolo ha il cateto più lungo quasi uguale all'ipotenusa e l'altro cateto e l'altezza relativa all'ipotenusa che tendono a zero.
Ovviamente, il rapporto: somma cateti/(ipotenusa + sua altezza) = 1

Minimo : si ha quando il triangolo ha i due cateti della stessa lunghezza (es. = 1) ed è quindi la metà di un quadrato.
Ovviamente, somma_cateti = 2
Somma_ipotenusa + sua altezza = RADQ(2) + 1/2*RADQ(2) = 3/2*RADQ(2)
e quindi il rapporto chiesto è = 2/(3/2*RADQ(2)) = 2/3*RADQ(2)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Cìhiaro un corno!
Ho faticato a capire. Infatti a casa mia, "assegnare" la somma dei cateti e la somma dell'ipotenusa e della altezza ad essa relativa significa che queste due somme sono costanti.
Per esempio, prendo la prima somma di valore 7 e la seconda di valore 7,4
Resto allora ... sorpreso che mi si dia per pacifico che ci sono infiniti triangoli rettangoli per i quali la somma dei cateti è 7 e la somma dell'ipotenusa e dell'altezza ad essa relativa è 7,4. E resto esterrefatto nel leggere che mi si chiedono massimo e minimo di 7/7,4 = 35/37 :eek:

Ma siccome sono intelligente :rolleyes: alla fine ci arrivo!
E allora traduco il problemino così: ;)
«Al variare della forma di un triangolo rtettangolo varia il rapporto tra la somma dei cateti e la somma dell''ipotenusa e dell'altezza ad essa relativa. Quanto valgono il massimo ed il minimo di questo rapporto?»

Vedo che Rob77 ha già risolto il problemino. T
Ma forse non è male (anche se un po' "barboso") spiegare il percorso logico.

Discussione.
La forma del triangolo rettangolo dipende dai suoi due angoli acuti; ed essendo questi complementari, in definitiva da uno di essi.
a) Al tendere a zero di uno dei due angoli acuti, un cateto tende a zero, l'altezza relativa all'ipotenusa tende pure a zero e l'altro cateto tende alla stessa lunghezza dell'ipotenusa. Pertanto, al tendere a zero di un angolo acuto il rapporto in questione tende a 1.
b) Se il triangolo rettangolo è anche isoscele, detta c la lunghezza di un cateto, l'ipotenusa vale √(2)·c e l'altezza ad essa relativa vale c/√(2).
In tal caso il rapporto in questione vale 2c/[√(2)·c + c/√(2)] = 2√(2)/3 ≈ 0,94280904158207
c) Detta phi l'ampiezza di uno dei 2 angoli acuti del triangolo rettangolo, il rapporto in questione è funzione di phi e precisamente:
F(phi) = [cos(phi) + sin(phi)]/[1 + cos(phi)·sin(phi)].
Questa funzione, nell'intervallo 0 < phi ≤ π/4,
• al tendere di phi a 0 tende al massimo valore assoluto che vale 1;
• ha un minimo relativo che vale √(8/9) = [2√(2)]/3 in phi = π/4.
-----------
Ciao ciao.

Re: Qualche quiz
 

Bene, tutti daccordo. Passiamo al prossimo ;)

Re: Qualche quiz
 

Giusto. Perché non lo 'posti' tu?
Ah, intendivi dire: «Dai, aspesi, postane un altro!».
Ma ... aspesi è inesauribile?:mmh:
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i poliedri convessi regolari sono solo i 5 "solidi platonici":
1 Tetraedro;
2 Esaedro (o cubo);
3 Ottaedro:
4 Dodecaedro:
5 Icosaedro.

In ciascuno di essi:
a) Le facce sono poligoni regolari uguali;
b) In ogni vertice concorrono spigoli in ugual numero;
c) Gli angoloidi sono tutti uguali;
d) Gli angoli diedri sono tutti uguali.
NB: Nessuna delle 4 proprietà a), b), c) e d) è indipendente dalle altre 3.

Quesiti
I) Spiegare nella maniera più terra-terra possibile (per esempio a bambini di 3ª media) perché non ci possono essere più di 5 solidi regolari e che poligono è una faccia di ciascuno di essi.
II) Descrivere il poliedro convesso a minor numero di facce che verifica la proprietà a) ma nessuna delle altre 3.
III) Per ognuno dei 5 solidi platonici calcolare il coseno dell'angolo diedro.

---------
P.S. @ aspesi
Forse te l'ho già chiesto e l'ho già dimenticato.
Che vuol dire NG?
-------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Un paio d'ore e ve ne posto uno.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Newsgroup
sono i parenti poveri dei forum :D
da cui tendono ad essere soppiantati perché non ammettono la pubblicità (e quindi non fanno guadagnare!)
http://it.wikipedia.org/wiki/Newsgroup

Re: Qualche quiz
 

https://it.wikipedia.org/wiki/Solido_platonico

Se ti accontenti di poliedri aventi poligoni regolari come facce potrebbe essere il pentaedro es. una piramide con base un quadrilatero o un prisma triangolare.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Vietato copiare! :mad:Andiamo maluccio, ragazzo mio. :mad:
Rileggi più attentamente ... e torna poi a leggere la proprietà a).
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma io non ho copiato. Ho solo messo il link...:fis:

Sei tu che devi rileggere (attentamente non serve...)
Ho scritto:
Se ti accontenti di poliedri aventi poligoni regolari come facce...
proprio per avvisare che non tenevo conto "della proprietà a" (infatti, non ho detto "facce di poligoni uguali" :D)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

A proposito di facce, sai come dicono a Milano?
«Ma che faccia di tolla! :mad: »
---------
Perché butti in vacca questo quiz, aspesi? :mmh:

Prendi due tetraedri regolari uguali e fa' coincidere una faccia di uno con una faccia dell'altro.
Ottieni un esaedro con tutte le 6 facce uguali (triangoli equilateri), con 5 vertici e 9 spigoli.
In ciascuno di tre vertici concorrono 4 spigoli, in ciascuno degli altri due ne concorrono 3.
Perciò la proprietà a) – facce uguali a poiligono regolare – è rispettata.
La proprietà b) no (in qualche vertice concorrono 4 spigoli, in qualche altro 3).
La proprietà c) nemmeno (qualche angoloide è doppio di qualche altro).
E nemmeno la proprietà d) (anche qualche angolo diedro è il doppio di qualche altro).
------------
Potresti fare qualcosa di simile con 5 tetraedri uguali, incollandone 4 sulle 4 facce del quinto.
Otterresti un dodecaedro con tutte le 12 facce triangolari uguali, 8 vertici e 18 spigoli.
Ma ... sarà convesso questo dodecaedro? :mmh:
Vediamo!
Quattro suoi angoli diedri hanno ampiezza tripla di quella dell'angolo diedro del tetraedro regolare.
Il coseno dell'angolo diedro del tetraedro regolare vale 1/3.
Siccome se k = cos(x) allora cos(3x) = 4·k^3 – 3·k, il coseno di qualche diedro di questo dodecaedro a facce triangoloari vale
4·(1/3)^3 – 3·(1/3) = – 23/27.
Pertanto: –23/27 < 0 –––> Angolo diedro maggiore di π –––> poliedro non convesso.
----
:hello:
P.S.
Un quiz nel quiz come aiutino a risolvere l'ultima domanda (del quiz):
Come si fa a valutare in fretta il coseno di un angolo diedro nei casi
"dodecaedro platonico" e "icosaedro platonico"?

Bye, bye!

Re: Qualche quiz
 

Vediamo se questo quiz richiama l'attenzione di competenti in circuiti elettrici (con componenti passivi), come ANDREAtom, Ivan86, f16006a, Luciano Monti, ...

Nell'immagine di sopra sono rappresentati due bipoli A-B ciascuno costituito dagli stessi 4 componenti:
• Due resistori di uguale resistenza R;
• Un condensatore di capacità C;
• Un induttore di induttanza L.
In Fig. 1 il parallelo di un resistore col condensatore è in serie al parallelo dell'altro resistore con l'induttore.
In Fig. 2, invece, la serie di un resistore con il condensatore è in parallelo alla serie dell'altro resistore con l'induttore.
Pertanto i due bipoli non sono, in generale, equivalenti.
a) A quale condizione devono sottostare la resistenza R, la capacita C e l'induttanza L affinché i bipoli A-B di Fig.1 e Fig. 2 siano equivalenti?
b) Qualora i due bipoli [di Fig. ! e Fig. 2] fossero equivalenti, a quale bipolo a minimo numero di componenti equivarrebbero?
----
:hello:

Re: Qualche quiz
 

[R(R+sL)+sRL(sCR+1)]/[(sCR+1)(R+sL)] <-- impedenza equivalente bipolo 1)
(R+sL)(sRC+1)/[sC(2R+sL)+1] <-- impedenza equivalente bipolo 2)

uguagliandole (e se non ho errato i conti):

C^2R^4-2LCR^2+L^2=0

Se C≠0:

R^4-2(L/C)R^2+(L/C)^2=(R^2-(L/C))^2=0
Quindi:

R^2=L/C => R=√(L/C) [suppongo che R=-√(L/C) non abbia senso, sbaglio? :mmh:]

Mi fermo che non ho più tempo.

Roberto

Re: Qualche quiz
 

:ok:

[NB: Se il bipolo è passivo non può essere R < 0. Verrebbe violato il principio di conservazione dell'energia.
Per esempio, con un resistore a resistenza negativa ... si potrebbe ricaricare una batteria elettrica scarica gratis :) ]

Trovi le risposte ad entrambe le domande se scrivi l'impedenza Z per il bipolo di Fig. 1 e l'ammettenza Y per quello di Fig. 2.
[NB. Ai miei tempi, cioè prima della definitiva americanizzazione, le Laplace-trasformate si davano nella variabile (complessa) p, la stessa usata proprio da monsieur Laplace!]
Se dunque vale la (*), i bipoli di Fig.1 e Fig. 2 equivalgono entrambi ad un solo resistore di resistenza R.
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

esattamente quello che ho fatto con s=jw ;)

Re: Qualche quiz
 

Tagliando una camera d'aria di bicicletta su un percorso ad elica con passo costante p di circa 1 cm si può ricavare una fettuccia elastica larga p ≈ (circa) 1 cm e mooolto lunga! ;)

Ho fatto penzolare verticalmente un elastico di gomma lungo qualche metro (e a sezione costante); ed ho scoperto che a causa del suo stesso peso si è un po' allungato. :)
Avevo fatto con la biro due segni sull'elastico; uno nel punto A – "a" come "alto" – distante (ad elastico orizzontale, rettilineo e rilassato) un metro dall'estremo B – "b" come "basso"! –; l'altro nel punto P distante tre metri (dallo stesso estremo B).
Poi, quando l'elastico penzolava verticalmente con l'estremo B come estremo inferiore, ho misurato che il metro più in basso dell'elastico (cioè AB) si è allungato di 4 millimetri.

Di quanto si è allungato il tratto PB che, ad elastico rilassato, era lungo tre metri?
--------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

La situazione a riposo è questa: http://postimg.org/image/r57wteha5/ ?

Re: Qualche quiz
 

Sì, a riposo orizzontale. E la situazione ... a riposo verticale?
---------
P.S.
Perdonami una pignoleria erasmiana. :o Le regole per scrivere le unità di misura SI dicono di lasciare uno spazio tra il numero ed il simbolo della retativa unità di misura.
Cioè (per esempio): «3 m; 1 m », non «3m, 1m ». :)
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Hai ragione ma l'ho fatto con uno stagista a colloquio di fianco che, al 99%, si stava chiedendo cacchio stessi disegnando...poi lo correggo :D

Re: Qualche quiz
 

http://postimg.org/image/3si6n4zpt/

?

Re: Qualche quiz
 

Non ne ho idea... :o
Immagino che non vi sia proporzionalità con la lunghezza; penso che l'allungamento sia massimo all'inizio e poi progressivamente minore verso l'estremità bassa. :confused:

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ragionamento qualitativamente giusto (però ... su qualcosa che è evidente).
Quantitativamente 'sto quiz è molto meno difficile del tuo ultimo sulle probabilità.
Là, per essere esatti, occorreva andare nel discreto (come ha fatto Rob77) e non nel continiuo. Qui, al contrario, occorre andare nel continuo.
Ma ci si può arrivare anche partendo dal discreto (pensando di suddividere l'elastico in N tratti di uguale lunghezza e passando poi al limite per N tendente all'infinito); d'altra parte è proprio prendendo N molto grande che si calcolano numericamente gli integrali ... alla Mizarino.

Aspetto per vedere se arriva qualcun altro, magari Miza stesso.

Se non arriva nessuno, spiegherò io come si risolve questo quiz (che, ripeto, è ben più facile dei tuoi).

––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Occhio che io sto aspettando una tua risposta...

Re: Qualche quiz
 

Non è per caso che l'allungamento dell'elastico in 3 metri è stato di 36 mm?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:

Infatti l'allungamento creesce con legge quadratica.
Detta x la distanza (ad elastico rilassato) dall'estremo che poi diventa il punto più basso,
la lunghezza a riposo verticale cresce con una legge del tipo
y(x) = x + k·x^2
(dove k è costante se siamo con elasticità lineare).

Sapendo y(L) per una certa lunghezza (rilassata) L, posso calcolare k.
Nel nostro caso sappiamo che y(1) = 1,004 m e quindi
1,004 = 1 + k·1^2 => k = 0,004 => y(x) – x = 0,004·x^2
Allungamento: y(3 m) – 3 m = 0,004·3^2 m = 0, 036 m = 36 mm.

Re: Qualche quiz
 

In effetti, quella che ho dato ad aspesi, cioè [detta L la lunghezza ad elastico orizzontale rilassato espressa in metri]
<lunghezza in verticale> = L·(1 + 0,004·L)
l'ho data senza spiegare.

Si suppone che, orizzontalmente, l'elastico di data lunghezza abbia un allungamento proporzionale alla trazione (pure orizzontale).
In tale ipotesi, un elastico di lunghezza doppia avrebbe, a parità di trazione, un allungamento doppio.
Quindi l'allungamento dell'elastico orizzontale è proporzionale sia alla trazione che alla sua lunghezza.

Immaginiamo di suddividere l'elastico in n trattini così corti che sia trascurabile l'allungamento di ciascuno dovuto al proprio peso.
Se P è il peso totale, quello di un trattino è P/n = pL/n, dove p è il "peso specifico lineare", cioè il peso dell'unità di lunghezza.
Il peso che tira subito dopo l'r-esimo tratto è Pr =(n–r)·P/n = (pL/n)· (n–r).
L'allungamento dell'r-esimo trattino sarà dunque del tipo
∆r = k·∆r·Pr = k·(L/n)·(n–r)P/n = [(k·pL·L)/(n^2)]·(n–r) = [(k·p·L^2)/(n^2)]·(n–r).
dove k è una costante (sconosciuta).
Sommando tutti gli allungamenti ∆r per r da 1 ad n abbiamo l'allungamento totale ∆(L), cioè:
∆(L) = [(k·P·L)/(n^2)]·[(n–1) + (n–2) + (n–r) + ... 2 + 1 + 0] =
= [(k·p·L^2)/(n^2)]·[n(n–1)/2] = [(kp)/2]·L^2)·(1–1/n).

L'ipotesi che un trattino sia tanto piccolo da essere trascurabile l'allungamento dovuto al proprio peso equivale a far tendere n all'infinito, per cui 1 – 1/n diventa 1.
Dunque
∆L = (kp/2)·L^2.
Detta allora Lv la lunghezza dell'elastico in verticale, risulta:
Lv = L + (kp/2)·L^2
------------
Tornando al quiz con quei suoi dati, per L = 1 m abbiamo:
∆(1 m) = (kp/2)·(1^2 m^2) = 0,004 m
per cui
kp/2 = 0,004/m
e in definitiva
∆(3 m) = (0,004/m)·(9 m^2) = 0,036 m = 36 mm.
<lunghezza dell'elastico verticale allungato per il suo stesso peso>= 3 m + 36 mm = 3,036 m.
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Tu l'hai fatta lunga...:D

Io avevo semplicemente considerato l'allungamento come fosse l'area di un triangolo, in cui il capo inferiore dell'elastico è il vertice (valore allungamento = 0).
Se per la lunghezza (h) di 1 m, l'area (allungamento) è 4, allora la base del triangolo vale 8.
E, per la similitudine e proporzionalità, se la lunghezza (h1) è di 3 m, la base relativa sarà 24, cui corrisponde un'area (allungamento) pari a 24*3/2 = 36

:hello:

Re: Qualche quiz
 

O.K. Vorrà dire che quando mi incontrerai, per punizione mi darai una martellata in testa. ;)
=================
In verità, ponendo
• δ la densità lineare
• g l'accelerazione
• k una opportuna costante elastica
• ∆(x) l'allungamento del tratto lungo x
io (per me) avevo fatto:[Il tuo triangolo è un'interpretazione geometrica di questo integralino.]

Ma siccome avevo detto che ci si può arrivare anche partendo dal discreto, dividendo cioè la lunghezza in n trattini e passando al limite per n ––> ∞, ... così ho fatto.

L'ho fatta lunga?
In effetti ho allungato [diluito?] un precedente testo essenziale [concentrato?].
Quando si spiega, l'eccessiva concisione rischia di andare a scapito della comprensione del lettore/uditore.
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Quante volte nell'arco di 12 ore in un classico orologio a tre lancette accade che DUE delle lancette puntino in direzioni opposte?
Si supponga che il movimento delle lancette sia continuo, non a scatti.

(Ho una mia soluzione, non so se è esatta)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Lancetta minuti e lancetta secondi
La lancetta dei secondi ha una velocità angolare (ωs) pari a 6 gradi al secondo.
La lancetta dei minuti ha una velocità angolare (ωm) pari a 6/60 gradi al secondo.

Θs(t)=ωs∙t
Θm(t)=ωm∙t

La lancetta dei secondi e dei minuti assumono la stessa posizione ogni:
t=360∙k/(ωs-ωm) (con k=0, 1, ...)
Ovvero ogni 61.01694915s.

A partire da ogni ritorno nella stessa posizione delle due lancette fino a quello successivo sono opposte una volta solo:

Θs(t)=180+Θm(t) da cui ricavo che
180=(ωs-ωm)∙t => t=30.50847s

Di intervalli di 61,01694915s in 12 ore ce ne sono 708.
Saranno opposte, quindi, 708 volte in 12 ore.

Stesso ragionamento per le altre combinazioni [ora devo uscire, riprendo dopo].

Ciao

Re: Qualche quiz
 

Uffa!
Il quiz con due lancette (ore e minuti) è vecchio come il cucco!
Mi pare un appesantimento inutile metterci anche la lancetta dei secondi.
La quale, per altro, non è meccanicamente agganciata alle altre due. E' sì "sincrona", ma con fase (di solito) arbitraria.
[Solo gli orologi a display hanno la numerazione dei secondi che parte da zero allo scoccare di ogni minuto. In quelli a lancette, anche se "digitali" nel funzionamento, se si vuole una cosa analoga occorre aggiustare a mano a posizione delle lancette, col rischio che poi cadano dai rispettivi perni durante il normale funzionamanto].
------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Embè?!
Mi pare ti si addica.... :D

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ripetendo il ragionamento, sono opposte a due a due come il numero dei post attuale di questo thread - 2 ;)

Re: Qualche quiz
 

:ok:Penso però che occorra togliere i casi in cui le tre frecce sono sovrapposte...:mmh:

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Io ho calcolato solo gli opposti a due a due

Re: Qualche quiz
 

Sbagliato, non tutte e 3 sovrapposte, due sovrapposte e l'altra a 180 gradi.
(Però, non sono certo di questa cosa, è solo una mia riflessione)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma io me ne son fregato della terza, appunto.
Ho calcolando considerando a due a due le lancette e mi viene 1438.

I calcoli son qui (ho esplicitato solo secondi-minuti): http://www.trekportal.it/coelestis/s...postcount=1437

:hello: