Re: Qualche quiz
 

:ok: Era questo che volevo capire.. ;)

L'angolo delle diagonali di un quadrilatero di assegnati lati e' indipendente dalle diagonali, quando, detti a,b,c,d i lati, a^2-b^2=d^2-c^2
e l'angolo e' perciò 90°

Cioè un quadrilatero ha le diagonali perpendicolari se le somme dei quadrati costruiti sulle coppie di lati opposti sono uguali.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:D E' una presa in giro? :D

Re: Qualche quiz
 

Assolutamente.
Avevo bisogno di una formuletta per calcolare le diagonali (senza spenderci tempo a trovarmela da solo) ed è la prima che ho trovato in rete...

Re: Qualche quiz
 

Potremmo anche dire che se il prodotto delle due diagonali è due volte l'area del quadrilatero convesso, esse sono perpendicolari

Re: Qualche quiz
 

Certamente.
Ma a che serve?
Se conosci i lati ma non conosci alcun angolo non sai nemmeno come è fatto il tuo quadrilatero (tanto meno conosci la lunghezza delle diagonali o l'area).

Sai qualcosa sulla forma (ma non tutto) se hai qualche informazione in più (sempre sui lati).
Quello che abbiamo trovato ora è ... quello che ho detto:
«Le diagonali sono ortogonali se e solo se la somma dei quadrati [delle lunghezze] dei lati opposti è la stessa»
-----------
Un'altra cosa ... che avevamo trovato tempo fa (e che forse ricordo male, ma certamente se la ricorderà Nino280) era qualcosa che riguardava i quadrilateri che ammettettono un cerchio inscritto. Mi par di ricordare che anche qui, sgangherando il quadrilatero, se ammetteva un cerchio inscritto con una forma, lo ammetteva sempre.
E la condizione era – se non mi sbaglio – che fosse la stessa la somma dei lati opposti (o, ciò che è lo stesso, la differenza di lati consecutivi. Per esempio, il quadrilatero di lati
[a, b, c, d] = [5, 6, 9, 8]
ammette il cerchio inscritto indipendentemente dall'articolazione che gli si dà.
...
Ci ho pensato, ora sono sicuro
«Un quadrilatero convesso ammette il cerchio inscritto se e solo se la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due (pure opposti»

–––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

E come non serve :mmh:
Se conosco i lati, so che è convesso ed è inscrittibile in un cerchio --> l'area è nota e la so calcolare.
Se conosco l'ordine dei lati [informazione passata nel problema di aspesi] --> conosco anche le lunghezze delle diagonali.

Quello che tu affermi qui:

pressupone di sapere esattamente le stesse informazioni [ovvero la sequenza dei lati] che servono per dire:



:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok: Consideriamo il quadrilatero [ 14, 11, 5, 10 ] che degenera in un triangolo.
In questo caso abbiamo un triangolo di lati 14, 11, (5+10)
Si nota che 5 e 10 sono le proiezioni ortogonali di 11 e 14 sul lato del triangolo lungo 10+5 = 15

In queste condizioni, le diagonali del quadrilatero convesso sono perpendicolari.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

No. E sono perplesso davanti a questa tua affermazione! :o
Convesso, nel caso del quadrilatero, significa che ogni angolo interno è minore di un angolo piatto.
Ci sono infiniti quadrilateri con gli stessi lati e nello stesso ordine (di area sempre diversa).

Hai letto almeno l'inizio del mio prolisso primo intervento # 1361?
Là ho subito osservato che il quadrilatero è articolato [a differenza del triangolo). Puoi cioè cambiargli la forma (fino a farlo diventare un triangolo) mantenendo costantye sia la lunghezza di ciascun lato sia l'ordine dei lati), «sgangherandolo» appunto!

Sgangherandolo (cioè avvicinando o allontanando due vertici opposti) varia l'area.
E' massima quando il quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari (e allora ammette il cerchio circoscritto). E' minima quando diventa un triangolo.
-----
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Si è corretto, ho dimenticato un pezzo: "inscrittibili in un cerchio".
Non so se sia colpa dell'iphone, dell'età che avanza o di entrambi.

In sostanza, come dici tu, il quadrilatero può essere sgangherato a piacere lasciando invariati i lati ma cambiando angoli e diagonali.

Io ho considerato, tra gli infiniti, quello inscrittibile in un cerchio così da semplificare l'area in radice((p-lato1)(p-lato2)(p-lato3)(p-lato4)).

Per la cronaca il tuo lungo intervento l'ho letto; sempre su iphone, ma l'ho fatto.

Ho aggiunto una condizione, barando :cool:

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma questo ... è un altro paio di maniche!
Allora, infatti, sai anche che due angoli opposti sono supplementari, e quindi con coseni opposti (caso da me già contemplato sempre in quel prolisso intervento # 1361)
Allora puoi calcolare il coseno di ciascun angolo e quindi le diagonali e quindi l'area (con Erone) e quindi l'inclinazione di una diagonale sull'atra.
Se leggi tutto il mio prolisso intervento #1361 ci trovi anche come fare.

Ripeto qua qualcosa:
Ipotesi:
Quadrilatero di lati noti (nell'ordine) [a, b, c, d] inscrivibile in un cerchio.
Con Carnot, la diagonale m che divide il quadrilatero nei triangoli [a, b, m] e [c, d, m] si trova così come segue:
m^2 = a^2 + b^2 – 2ab·cos(phi) = c^2 + d^2 – 2cd·cos(π – phi) = c^2 + d^2 + 2cd·cos(phi) ––>
––> cos(phi) = [(a^2 + b^2) – (c^2 + d^2)] /(2ab + 2cd);
m^2 = a^2 + b^2 –2ab· [(a^2 + b^2) – (c^2 + d^2)] /(2ab + 2cd) = [ab(c^2 + d^2) + cd(a^2 + b^2)]/(ab + cd).
Analogamente per l'altra diagonale n che divide il quadrilatero nei triangoli [b, c, n] e [d, a, n]
n^2 = [bc(d^2 + a^2) + da(b^2 + c^2)]/(bc + da).
Ora si può trovare l'area S del quadrilatero come somma delle aree dei triangoli [a, b m] e [c, d, m] oppure come somma delle aree dei triangoli [b, c, n] e [d, a, n] (calcolabili con Erone).
Infine, sia 'alfa' l'inclinazione tra le diagonali. L'area del quadrilatero è anche
S = m·n·sin(alfa)/2
da cui
sin(alfa) = 2·S/(m·n)-

Morale: se conosci i lati nel giusto ordine e sai (in più) che il quadrilatero è inscrivibile in un cerchio (e allora non è "sgangherabile"!) sai tutto: angoli, area, diagonali, mutua inclinazione delle diagonali.

Ma il problema di aspesi era: Quale condizione devono soddisfare le lunghezze dei lati affinché le diagonali siano perpendicolari?
In tale questione l'area non c'entra; e non deve entrarci dal momento che non dipende solo dalle lunghezze dei lati ma anche dalle ampiezze degli angoli (di cui bisogna conoscerne almeno una – direttamente o indirettamete come è il caso del quadrilatero inscivibile in un cerchio – ).

–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Hai ragione, assolutamente.
Visto che però non sapevo che farmene di questo termine abcd[cos(β + δ)/2]^2 ho barato cambiando il tipo di quiz ;)

Re: Qualche quiz
 

Prima ho parlato anche dei quadrilateri che ammettono il cercchio inscritto.
Mi viene allora in mente un quiz che mi pare di aver già posto, ma non sono sicuro se era proprio questo (e non ricordo quanto tempo fa).

Quanto deve essere lunga l'altezza H di un trapezio isoscele di base maggiore B e base minore b affinché esso ammetta il cerchio inscritto?
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Si ne abbiamo già parlato:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...ad.php?t=41590
Ciao
Intendevo i quadrilateri circonscrivibili.
Vedi anche:
http://img833.imageshack.us/img833/6227/teoremauno.png

Re: Qualche quiz
 

Radice quadrata di Bxb
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:
–––
Ma perché non hai scritto semplicemente H = √(B·b) ?
–––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Semplicemente perchè non ho il tasto di radice sulla tastiera.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

aspesi facci un quiz in ricordo dei "vecchi" tempi :fis:

Re: Qualche quiz
 

Sto guardando il giro d'Italia che passa dalle mie parti.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

@Aspesi
Alle 14.30 era davanti alla ditta dove lavoro io... :)

Re: Qualche quiz
 

Poi in 2 ore e mezzo hanno fatto 100 chilometri...;)

Re: Qualche quiz
 

@Aspesi...
Non saprei... Lavoro a Val Della Torre. Esattamente tu dove lo stavi guardando?? :)

Re: Qualche quiz
 

Dalla salita di Andrate e Ivrea.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Riprendo il quiz di aspesi sulle diagonali di un quadrilatero convesso di cui si conoscono le lunghezze dei lati (e nient'altro).Il quiz è stato discusso esaurientemente. Tuttavia mi pare che non sia male riassumere e condensare.
Lo faccio mettendo l'immagine PNG di una pagina in cui si dimostra un teorema ad hoc (cioè: che viene a fagiolo per questo quiz).
Noto questo teorema, la risposta "motivata" a questo quiz di aspesi è la seguente:
Richiamo
«Se la somma dei quadrati di due lati opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, allora le diagonali sono perpendicolari (indipendentemente da quanto sono ampi gliangoli interni del quuadrilatero)».
Risposta
«Siccome 10^2 + 11^2 = 221 = 14^2 + 5^2 , l'angolo formato dalle diagonali è retto».

––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Il teorema del 'post' di sopra #1387, cioè: si dimostra molto meglio [di quanto fatto nel paper 'postato' là] se si usa un pizzico di trigonometria (e precisamente il teorema di Carnot).

Siano, in ordine ciclico, [a, b, c, d] le lunghezze dei lati del quadrilatero.
Siano m ed n le lunghezze delle sue due diagonali.
Sia φ l'inclinazione di una diagonale sull'altra.

Si può allora facilmente ricavare il coseno di φ trovando:
cos(φ) = [(b^2 + d^2) – (a^2 + c^2)]/(2·mn).

Sicché:
• Se φ è un angolo retto [e allora cos(φ) = 0], deve essere (b^2 + d^2) = (a^2 + c^2);
• Se (b^2 + d^2) = (a^2 + c^2), allora deve essere cos(φ) = 0, ossia φ = <angolo retto>.

=================================

Sperando che si capisca questa figura: ricavo ora pedissequamente quell'espressione di cos(φ) ... partendo da capo :)
---------------------------------
In generale le diagonali d'un quadrilatero convesso si intersecano scomponendo l'angolo giro attorno al punto di intersezione in due coppie di angoli "opposti al vertice" ed individuando due coppie di segmenti allineati che, sommati, dànno le diagonali stesse.
Insomma: il quadrilatero di lati (nell'ordine) [a, b, c, d] viene scomposto in quattro triangoli del tipo (elencandone i lati in senso antiorario e con i simboli della figura di sopra):
[a, x, u]; [b, u, y]; [c, y, v]; [d, v, x].
Indico con m la lunghezza della diagonale che separa le coppie di lati consecutivi (a, b) e (c, d); e con n l'altra diagonale [che separa le coppie di lati consecutivi (b, c) e (d, a)].
Con riferimento alla figura ho dunque:
m = x + y; n = u + v. (*)

Sia φ l'ampiezza dell'angolo che nel triangolo di lati [a, x, u] è opposto al lato di lunghezza a.
Allora φ è anche l'ampiezza dell'angolo "opposto al vertice" del precedente, quello che nel triangolo di lati [c, y, v] è opposto al lato di lunghezza c.
Gli altri due angoli ["oppostri al vertice" e rispettivamente opposti ai lati b e d] sono supplementari di φ, e quindi con coseno opposto del coseno di φ.

Con Carnot posso scrivere:
a^2 = (x^2 + u^2) – 2xu·cos(φ);
c^2 = (y^2 + v^2) – 2yv·cos(φ); [e sommando membro a membro]:
-----------------------------------
(a^2 + c^2) = (x^2 + y^2 + u^2 + v^2) – 2(xu + yv)·cos(φ) (**)

b^2 = (u^2 + y^2) + 2yu·cos(φ);
d^2 = (v^2 + x^2) + 2xv·cos(φ); [e sommando membro a membro]:
-----------------------------------
(b^2 + d^2) = (x^2 + y^2 + u^2 + v^2) + 2(xv + yu)·cos(φ) (***)

Sottraggo membro a membro la (**) alla (***) e trovo:
(b^2 + d^2) – (a^2 + c^2) =2(xv + yu + xu + yv)·cos(φ);
e siccome, tenendo conto delle (*), xv + yu + xu + yv = (x+y)·(u + v) = m·n, anche:
(b^2 + d^2) – (a^2 + c^2) =2·mn·cos(φ).
E in definitiva:
cos(φ) = [(b^2 + d^2) – (a^2 + c^2)]/(2·mn).
-----------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Solita verifica al cad di quello che si sta dicendo:
invece di 10;14;11;5 prendo 100;140;110;50 ( perchè non lo so ma comunque in mm che mi piacciono di più)
mi viene voglia di costruire un quadrilatero nell'ordine 100;50;110;140 girando in senso orario e ho anche voglia di costruirlo (ed anche qui non so per quale motivo) in modo che il lato di 50 sia parallelo al lato di 140, ma no so come fare.Dopo sforzi tremendi un'idea mi balena:
traccio una retta lunga 90 e dalla sue estremità sinistra un arco di cerchio r=100 mentre dalla estremità destra un arco r= 110
Detti archi si incontrano in un punto V vertice di un triangolo 100;110;90, poi traslo il lato 110 parallelamente di 50 sulla retta iniziale che era di 90 ed ottengo il mio quadrilatero 100;50;110;140.
Forte, mi piace:D
Mi sono perso, cosa devo verificare ancora? A si, se le diagonali di detto quadrilatero sono perpendicolari.
Un minuto solo, le traccio, misuro, perdincibacco!! 90° perfetti:hello:

Re: Qualche quiz
 

Insomma: vuoi disegnare un trapezio con
• base minore 50 mm
• base maggiore 114 mm
• un lato obliquo 100 mm
• l'altro lato obliquo 110 mm. :mmh:
A parte che è un po' dura, per una retta, essere lunga (solo) 90 mm :D, cosa vuol dire «traslo il lato 110 parallelamente di 50 sulla retta iniziale che era di 90»?
... (mumble, mumble) ...
Ci sono!
Aggiungi al tuo triangolo di base 90 mm un parallelogramma della stessa altezza, di base 50 mm e con un lato coincidente con quello lungo 110 mm.
[Potevi però sprecarti e dirci in anticipo che quel 90 veniva da 140 – 50.
Piace anche a me.
Effettivamente è un bel modo per costruire il tuo trapezio
E ci mancherebbe anche che non fosse così! :mad:
--------
Ciao ciao

P.S.
Se proietti ortogonalmente la base minore sulla maggiore, un estremo della proiezione dista un tot (diciamo x) dall'estremo più vicino della base maggiore, e l'altro estremo della proiezione dista un altro tot (diciamo y) dall'altro estremo della base maggiore. Quanto valgono queste distanze x ed y?
E quanto vale l'altezza h del trapezio?

Faccio queste domande perché io, per disegnare il treapezio, mi sarei trovato questi valori (con un conticino abbastanza facile)...
Dopo di che, disegnare il trapezio è ancora più facile, specie con un programma di grafica che, tra l'altro, di un segmento qualsiasi mi dia le componenti orizzontale e verticale.
Riconosco, però, che il tuo metodo è ... molto più brillante (e a me non sarebbe mai venuto in mente).

Quanto al conticino che avrei fatto io... lo faccio!
100^2 – x^2 = h^2 = 110^2 – y^2 –––> y^2 – x^2 = 110^2 – 100^2 = 2100;
x + y = 140 – 50 = 90; y – x = (y^2 – x^2)/(x + y) = 2100/90 = 70/3;
(y + x = 90) & (y – x = 70/3) –––> (x = 100/3) & (y = 170/3);
h = √[100^2 – (100/3)^2] = [200 √(2)]/3 ≈ 94,28;
Controllo:
h = √[110^2 – (170/3)^2] = [√(9·110^2 – 170^2)]/3 = [√(108900 – 28900)]/3 = [√(80000)]/3 = [200√(2)]/3.
-------
A ri-ciao

Re: Qualche quiz
 

Ok, Ok.
I conti li avevo fatti anche io ieri sera e ho trovato gli stessi tuoi valori, solo mi sono dimenticato di scrivere l'altezza, che ho trovato con due metodi; h = 94,28090416 con Erone (altezza del triangolo che è poi anche altezza del trapezio). Con Cad altezza = 94,280
Ciao
Si vabbè so che è molto difficile tracciare rette lunghe 90 magari è molto più facile tracciare semirette:D
Meglio ancora tracciare segmenti.

Re: Qualche quiz
 

http://i.imgur.com/ipdv5af.png




Quante altre frazioni formate da numeri di due cifre godono della suddetta "proprietà"?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

(10y+x)/(10x+t)=y/t

da cui t=10xy/(9y+x) e t deve essere intero.

Per cui le triplette sono:
x, y, t

1 1 1
6 1 4
9 1 5
2 2 2
6 2 5
3 3 3
4 4 4
9 4 8
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9

Re: Qualche quiz
 

:ok:

Però, le soluzioni che hai ottenuto vengono dalla forza bruta... ;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Meno bruta che se provassi tutte le triplette :)

Re: Qualche quiz
 

OK...
Ma si può arrivare al risultato con qualche ragionamento...
Aspettiamo Erasmus ;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Riduzione della forza bruta ulteriore :)

x/y intero --> si trovano in 2 secondi senza Excel:
x.y
1 1
2 1
2 2
3 1
3 3
4 1
4 2
4 4
5 1
5 5
6 1
6 2
6 3
6 6
7 1
7 7
8 1
8 2
8 4
8 8
9 1
9 3
9 9

t=10xy/(9y+x) intero

Ne ho solo da provare 23 invece di 100 ;)

Re: Qualche quiz
 

Eventualmente posso anche fare:
x/y intero and
10x/t intero

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Su un NG di matematica ho trovato un problemino di geometria che (ovviamente!:D) non so risolvere. :o

Esistono infiniti triangoli rettangoli di cui siano assegnate la somma x dei cateti e la somma y di ipotenusa e relativa altezza (e fin qui è chiaro).
Al variare del triangolo, varia il rapporto x/y (certo!).
Si chiede l'estremo superiore* e quello inferiore** (il massimo e il minimo) di x/y.:mmh:

*che a occhio è 1
** che dovrebbe essere poco più di 0,94

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Vediamo se ho capito :mmh: [disegno in allegato a questo link: http://postimg.org/image/pchorbanh/].

[-] x=c1+c2=i∙cosα+i∙sinα
[-] y=i+h=i∙cosα∙sinα+1
con 0<α<π/2

x/y=f(α)=g(α)/h(α)=(cosα+sinα)/(0.5∙sin2∙α+1)

df(α)/α=[g'(α)∙h(α)-g(α)∙h'(α)]/h(α)^2

g'(α)=-sinα+cosα
h'(α)=cos2∙α
h(α)^2=1/4(sin2∙α)^2+1+sin2∙α

Tralascio i passaggi ed ottengo:

df(α)/α=[sinα∙(cosα)^2-cosα∙(sinα)^2]/[1/4(sin2∙α)^2+1+sin2∙α]
con 0<α<π/2

Il denominatore è sempre diverso da 0 mentre il numeratore è uguale a 0 se α=π/4 che è il punto di minimo.
Il massimo è invece quando α tende a 0.

Vediamo che dice Erasmus :hello:

Edit: ho messo tende a 0 perchè secondo me α non può arrivare a 0 altrimenti non ho più un triangolo

Re: Qualche quiz
 

Quindi:

[-] minimo --> 0,942809042
[-] massimo --> 1

Re: Qualche quiz
 

Questo, l'ho capito... :ok:
...il resto, è un atto di fiducia... (per la mia ignoranza:o)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

È un semplice studio di funzione, niente di che. Credo roba da quarta o quinta Liceo se non erro ;)

Re: Qualche quiz
 

PS: non so se sia perfettamente corretto nella forma [aspettiamo Erasmus] è passato molto tempo dall'ultimo :)