Re: Qualche quiz
 

Non si capiva?:D

Non so trovare questa funzione continua h(x), però: :D
h(1,5) circa 0,59
h(2,5) circa 1,29
h(3,5) circa 1,68
h(4,5) circa 1,95
........
h(40,5) circa 4,265
h(50,5) circa 4,49
h(60,5) circa 4,67
h(70,5) circa 4,825
h(80,5) circa 4,96
h(90,5) circa 5,08
h(100,5) circa 5,183
.....

:hello:

Re: Qualche quiz
 

No. Si era propensi a capire che il quiz letto sul libro di 50 anni fa fosse quello lincato da Luciano, cioè il mio.
A te pare diversamente? Rileggiti! :mad:L'altra ipotesi l'ho fatta solo ... per eccesso di stima nei tuoi riguardi...
Bravo! Circa ... va bene. Ma da dove viene questo numero? :mmh:
[Gli altri si ottengono facilmente da questo con la solita regola (ricorrente):
h(x+1) = 1/x + h(x).
Per esempio, se fosse esatto h(3/2) = 0,59, sarebbe h(5/2)=h(1 + 3/2) = 2/3 + 0,59.
E come fa a venirti, invece, circa 1,29?
-------------
Ma non sono i valori di questi numeri ad essere matematicamente interessanti, bensì la loro espressione ..."analitica", (per usare una parola cara a Luciano).

Ti sbrodolo qualcosa che ha a che fare con l'argomento in questione.
Considera la somma S(t, x, n) [di n termini, per k da 0 a n-1 compresi] definita come segue:

S(t, x, n) = (t^x)/x + [t^(x+1)]/(x+1) + [t^(x+2)]/(x+2) + ...+ [t^(x+n-1)]/(x+n-1); (x > 0).

Per t = 0 la somma è nulla per quasiasi n: S(0, x, n) = 0.
Per t = 1 diventa:
S(1, x, n) = 1/x + 1/(x+1) + 1/(x + 2) + ... + 1/(x+n–1)
In particolare, per x = 1, abbiamo:
S(1, 1, n) – S(0, 1, n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = H(n)
e per x positivo qualsiasi
S(1, x, n) – S(0, x, n) = 1/x + 1/(x+1) + 1/(x + 2) + ... + 1/(x+n–1).

Non ti viene in mente niente?
Non ti viene da pensare ad una integrazione da 0 a 1 di qualcosa?

Proviamo a derivare S(t, x, n) rispetto a t. Otteniamo:In particolare:
S' (t, 1, n) = 1 + t + t^2 + ... + t^(n – 1) = (1 – t^n)/(1 – t)

Rudi Mathematici. 'ndo' state?
Non ho spiegato chiaro un bel niente.
Ma ho detto anche troppo per andar ad immaginare che cavolo di funzione sarà h(x).
Vi ho detto, in sostanza, che è un integrale da 0 a 1 "in dt" di una funzione di t parametrica in x; e anche, pressapoco, cosa ci sarà da integrare.
NB: Tante funzioni sono definite come integrale definito parametrico; per esempio la famosa funzione "Gamma" [quella che, per argomento z = n+1 (con n naturale) vale n!] ---
Ciao a tutti

Re: Qualche quiz
 

Ho calcolato H(1), H(2), H(3), ...., H(n)
e stimato l'equazione della curva scegliendo quella che meglio approssima questi valori e minimizza l'errore (equazione di tipo logaritmico ed anche un polinomio di sesto grado).
Poi, usando l'equazione ho valutato h(1,5) ecc...

(Lo so che è un modo barbaro e semplicistico :fis:)
:hello:

Re: Qualche quiz
 

In un certo paese circolano solo 2 valori "x" e "y" della moneta in corso.
Si può notare che, in funzione al valore delle due monete, non tutti i prezzi possono essere pagati direttamente, cioe' senza prendere resto.
Se, ad es. x=2 e y=5, non sara' possibile pagare prezzi di 1 e 3. Tutti gli altri si', difatti dal primo momento che 5 e 6 sono pagabili, bastera' aggiungere monete da 2 per pagare qualsiasi cifra.

Se definiamo con "k" il numero dei prezzi NON pagabili escludendo il resto, in questo caso k è uguale a 2.


Mi e' stato riferito che nel suddetto paese k = 2(x+y).
Quali sono i possibili valori delle 2 monete ?


:hello:

Re: Qualche quiz
 

:mmh:
-------------------
A me, invece, è stato detto che in un altro paese risulta k = x+y.
Quanto valgono x ed y in questo paese? ;)
Elenca gli (x+y) prezzi non pagabili. :fis:
-------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Io lo so. E tu? :mmh:
Ti posso anticipare che, nel tuo paese, esistono solo due possibili coppie di valori (escludendo logicamente le soluzioni negative)

:hello:

Prezzi non pagabili
Prima coppia: 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 9 - 11 - 13 - 16 - 18 - 23
Seconda coppia: 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 7 - 9 - 10 - 13 - 14 - 17 - 18 - 21 - 25 - 29

Re: Qualche quiz
 

Bravo! (Ovviamente io avevo pensato solo [x, y] = [5, 7]).
Ma perché nel mio paese? :mmh:
Un paese con due soli tagli valutari ed una barca di prezzi impossibili mi pare peggio del mio ... anche se nel mio è stato ministro del tesoro perfino quell'idolo di Tremonti ...
---------
La soluzione del quiz come proposto non la so ... e non ho voglia di cercarla.
Ma gli altri 'ndo' stanno? :mmh:
----
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Io sto qui ma vi ho persi qualche messaggio fa...

:hello:,
Luciano

Re: Qualche quiz
 

Va' a nanna che è tardi ;)
(sempreché il tuo attuale fuso orario sia ancora il mio)

Ciao

Re: Qualche quiz
 

Che è il meglio fico del bigoncio...;)


Ho trovato una formula semplicissima (che mette in relazione k con i due valori x e y), ma non alla sua dimostrazione.
Se non si conosce questa formula, penso che il quiz sia piuttosto complicato da risolvere, anche con la forza bruta.
Astromauh o Luciano potrebbero confermarlo o smentirlo...

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Per ora con carta e penna sono arrivato a due conclusioni ovvie: posto x<y, k>x-1 e inoltre una volta trovati x prezzi pagabili consecutivi, lo saranno anche tutti gli altri.

Ora che so dove fermare la ricerca, faccio riposare un po' i neuroni (non sono abituati!) e vado a scrivere un bel programmino (lo faccio senza pensare, quindi non affatico i neuroni)...

:hello:,
Luciano

Re: Qualche quiz
 

Primo aggiornamento: ho scritto il programmino seguente:

Codice:

---

    Dim n As Integer
    Dim x As Integer
    Dim y As Integer
    Dim k As Integer
   
    Dim a As Integer
    Dim b As Integer
   
    Dim bStop As Boolean
   
    x = 5
    y = 7
   
    For n = 1 To 100
        Debug.Print "n= " & n & vbTab;
       
        bStop = False
        For a = 0 To 100
            For b = 0 To 100
                If n = a * x + b * y Then
                    Debug.Print "a= " & a & vbTab & " b= " & b
                    bStop = True
                    Exit For
                End If
            Next
            If bStop Then
                Exit For
            End If
        Next
       
        If Not bStop Then
            k = k + 1
            Debug.Print "Non pagabile: " & k
        End If
    Next

---

che non risolve ancora la verifica a forza bruta chiesta da Nino ma ovviamente è propedeutico ad essa. L'output:

mi fa pensare che per essere brutto, è proprio brutto, per essere orrendo, è proprio orrendo, pero' almeno funziona bene. Ora preparo la nuova "release" con un paio di cicli esterni e una ritoccatina "all'estetica", perche' anche l'occhio vuole la sua parte... :D

Ciao,
Luciano

PS Erasmus tu sei piu' esperto di me con il campo "CODE": perche' dopo il "/CODE" mi restano cosi' tante righe "bianche"???

Re: Qualche quiz
 

Stranamente ...:) sono riuscito a capire come funziona e cosa fa il tuo programmino... (in queste cose non solo solo ignorante, ma anche duro di comprendonio, a ragionare come le macchine...:()

Però, mi pare occorra inserire all'inizio i due valori x e y e quindi non trova i due numeri tali che i casi non pagabili siano 2*(x+y) . A meno di spazzolarli tutti.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Infatti ho ben detto:

cioe' che, come hai ben inteso, verifica solo quanti prezzi non sono pagabili con 2 tagli da x e y assegnati. Ho anche detto che avrei preparato

che servono appunto per spazzolare con forza bruta tutte le possibili combinazioni.

:hello:,
Luciano

Re: Qualche quiz
 

* Mi sono accorto di aver detto una sciocchezza. Forse si ferma dopo aver trovato la prima soluzione, senza verificare se possano esistere altri x e y validi.

-----
Ho visto adesso il chiarimento di Luciano ;)

Re: Qualche quiz
 

Nino, mi risulta che ci siano 4 soluzioni al "tuo" problema k=2(x+y), ti tornano?

6/29
7/17
8/13
9/11

Ora, va bene che la potenza di calcolo è gratis, ma gli sprechi davvero non mi piacciono! Provo ad applicare qualche trucchetto... nel frattempo, se le mie soluzioni sono giuste, potresti approfondire la teoria che c'e' dietro questo quiz!

Ciao,
Luciano

Re: Qualche quiz
 

NB. Qui sotto, per ingannare il server che sta attento ai tag del linguaggio Vsb, al posto delle parentesi quadre userò la barra verticale |.

Mi pare che ci sia sempre un "a capo" forzato
a) subito prima del tag |code| (cioè prima di iniziare il testo in "codice")
b) all'inizio del testo in "codice" (quindi sunito dopo il tag |code|)
c) dentro ed in calce al testo in "codice" (quindi subito prima del tag di chiusura del testo in "codice")
d) subito dopo il tag |/code|.
Im tutto 4 "a capo" in più di quelli che digiti tu!

Possiamo controllare. Basta che fai finta di rispondere a questo messaggio cliccando sul bottone "QUOTA" e ti soffermi a leggere come io ho scritto quel che si vede.
[Precisamente, a parte mettere poi la parentesi quadra al posto della barra verticale |, scriverò quello che adesso leggi tra virgolette «»:

«Scrivo senza andare a capo.|code|Continuo a scrivere senza andare a capo.|/code|Ho scritto e sto scrivendo senza andare a capo.»]


Scrivo senza andare a capo.Ho scritto e sto scrivendo senza andare a capo.

Clicca "QUOTA" e controlla come ho scritto nei paraggi di "Codice"
------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok::ok: Perfetto!
Aspetto l'approfondimento...:)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

No l'approfondimento lo aspettavo io da te!!! Comunque sono andato un po' avanti. Con il primo programmino, l'incompreso :D, ho fatto un po' di simulazioni per cercare di ricostruire la funzione k.

Premessa: affinche' il problema abbia un senso, una taglia deve essere pari, e l'altra non deve essere multipla della prima. Posto sempre x<y, ho simulato un po' di casi con x=2 e y variabile e x=3 e y variabile.

Per x=2, k=(y-1)/2
Per x=3, k=y-1

Inoltre, per x=2 l'ultimo prezzo non pagabile vale y-2 (forse y-x?). Per x=3, l'ultimo prezzo non pagabile vale 2k-1. Ora vado avanti per capire se x=2 e' rappresentativo del caso x pari e x=3 e' rappresentativo del caso x dispari.

Ciao,
Luciano

Re: Qualche quiz
 

Perché? :mmh:Le due taglie devono essere una pari e una dispari oppure tutte e due dispari.

Se poni k=1, le soluzioni sono 2 (5, 7 e 4, 11)
Con k=2 le soluzioni sono le 4 che hai trovato
Con k=3 le soluzioni sono 5 (8, 55 - 9, 31 - 10, 23 - 11, 19 - 13, 15)
Con k=4 le soluzioni sono 5 (10, 89 - 11, 49 - 13, 29 - 14, 25 - 17)
Con k=5 le soluzioni sono 7 (12, 131 - 13, 71 - 14, 51 - 15, 41 - 16, 35 - 17, 31 - 19, 26)

Salvo errori
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Riflettero' su quanto ho detto e su quanto hai detto. Nel frattempo, altro passo avanti:

k=0.5(x-1)(y-1)

Ciao,
Luciano

Re: Qualche quiz
 

Hai ragione, non possono essere tutti e due pari perche' altrimenti non avrei modo di pagare prezzi dispari, mentre non e' necessario che siano tutti e due dispari per pagare prezzi pari. Il fatto che non fossero uno multiplo dell'altro se ci pensi avrebbe senso, anche se a pensarci bene non e' una regola molto rispettata nei "tagli" standard.

Ad ogni modo il programmino funzionava ancora "a forza brutta", per cui il risultato che ti ho proposto e' ancora valido: dati due tagli x e y, il numero di prezzi non pagabili direttamente è:

k=0.5(x-1)(y-1)

mentre il massimo prezzo non pagabile vale:

p=2k-1

Il tuo problema equivale quindi a trovare x e y interi tali che:

0.5(x-1)(y-1)=2(x+y)

mentre quello di Erasmus equivale a:

0.5(x-1)(y-1)=x+y

:hello:,
Luciano

Re: Qualche quiz
 

!!!!!!!!!!! :ok:
Infatti, la formula di cui parlavo nei precedenti messaggi, è proprio questa!!!

Il numero dei prezzi non pagabili k è:
K = [(x-1)(y-1)]/2

Siccome K = n*(x + y)
con n = 1, 2, 3, ...

si ha:
x = [(2n + 1)*y - 1] / [y - (2n + 1)]

facilmente ricavabile per tentativi (x e y), visto che x e y sono valori interi.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Oh bene, sono contento! Come ho scritto, io ho ricostruito la funzione k partendo da una cinquantina di casi simulati con x e y "a caso/naso", trovando prima la dipendenza da y e poi quella da x. Tu come hai fatto, hai fatto piu' o meno come me o hai trovato la formuletta in giro, o l'hai ricavata con "carta e penna"? Mi piacerebbe sapere da dove arriva! Dai Erasmus, qualche post fa hai snobbato questo quiz ma se prometti di impegnarti a rispondere a questo ultimo punto aperto io prometto di impegnarmi su uno dei tuoi quiz... ma "taralo" bene, mi raccomando!

:hello:,
Luciano

Re: Qualche quiz
 

Purtroppo non sono capace di trovare la dimostrazione con carta e penna.
Ho fatto come te, esaminando i casi più semplici.

Erasmus, se vuole, potrebbe senz'altro chiarirci meglio le idee.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Erasmus.... si sente la tua mancanza....
Non sarà mica che Grillo ti ha ... smacchiato? :D

Anche per me è quasi ora di fare altro: penso che questo quiz sarà l'ultimo, almeno per un po' ;)

-------------

Ho sei carte, 3 Q (regine) e 3 K (re).
Ne distribuisco una ciascuno a cinque giocatori disposti in circolo, l'ultima me la metto in tasca.
Ogni giocatore può vedere, oltre alla sua, le carte dei suoi due vicini (e sente le risposte di tutti).
Lo scopo è quello di capire, con certezza, qual è la carta non distribuita.

Comincia A, che dice di non essere in grado di rispondere.
Poi, in senso orario, tocca a B, C, D: stessa sorte.
Finalmente E, che ha una donna in mano, dà la soluzione giusta.

1) Che carta ho in tasca e qual è la distribuzione delle altre 5 carte?

2) In generale, se doveste puntare ad indovinare chi dei 5 ha più chances di indovinare la carta esclusa, su chi scommettereste?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non so che cosa intendi dire, tanto meno che sta a significare "smacchiato".
----------
Risolvere quiz richiede tempo e, soprattutto, disposizione d'animo (oltre a sufficiente intelligenza e specifiche conoscenze).
Non sempre tutte queste cose si hanno insieme.
O prima o poi, ciò che è assemblato (che è "organico") si scombussala (si disorganizza) ... e te salüdi!
Aggiungi che l'uomo è un animale socievole: da solo morirebbe; e quindi mediamente contribuisce pure alla sopravvivenza dei suoi "soci".

Bye bye.
[Fin che si può, mai dare un addio definitivo! ;) ]
--------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

http://www.iltempo.it/politica/2013/...uaro-1.1109897

:D
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Considerando che l'ultimo ha una donna in mano, i primi quattro:

(A) posso distribuirli in C(4, 1)=4 modi se le carte distribuite sono 3K e 2D
(B) possi distribuirli in C(4, 2)=6 modi se le carte distribuite sono 3D e 2K

(A)
KKKDD
DKKKD
KDKKD
KKDKD

(B)
DDKKD
KDDKD
KKDDD
DKDKD
KDKDD
DKKDD (ok)

Come direbbero gli anglosassoni, analizzare tutti i casi è piuttosto time consuming per cui non l'ho fatto.
Ho provato a farlo solamente con quella indicata con (ok) e mi sembra che possa andare: l'ultimo sicuramente sa la distribuzione mentre quelli prima di lui no.

Ciao

Re: Qualche quiz
 

A e D vedono che E ha una donna in mano, ma gli altri no.
I casi da esaminare (in generale) sono 10+10

A me pare che si perda spesso tempo per molte cose più futili...

Comunque, con la smazzata DKKDD che hai indicato con oK indovinerebbe prima il giocatore D e quindi non va bene.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Forse te sei presa per questa riflessione:
A me pare che si perda spesso tempo per molte cose più futili...
che certamente non era rivolta a te (che sei uno dei pochi che partecipa attivamente qui :)).


Mi spiace, non avevo alcuna intenzione di comportarmi in modo sgradevole, sarà il mio carattere...

A proposito dell'indicazione (il giocatore E ha una donna in mano), l'economicità è fondamentale per la bontà di un quiz, quindi è stata data affinché la soluzione possa essere unica.

E infine... il gioco, meglio se intelligente, serve proprio per ridurre lo stress... ;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma no scusa tu. È che, uno, avevo interpretato quell'affermazione come rivolta a me e, due, avevo per caso riletto pochi minuti prima il tuo reply sul quiz del tris dove dicevi che mi ero complicato la vita.

Comunque è corretto, nella mia soluzione il giocatore numero 4 riesce (o meglio potrebbe riuscirebbe :) ) ad indovinare prima del 5.

Con calma le guardo tutte e 10. Confermi son 10 solamente (mettendo la donna al quinto giocatore) ?

Ciao!

Re: Qualche quiz
 

:ok:

Sì certo, 10 (e le reciproche se non ci fosse l'informazione relativa al giocatore E; a prescindere dalla quale si potrebbe rispondere al punto 2)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ho sei carte, 3 Q (regine) e 3 K (re).
Ne distribuisco una ciascuno a cinque giocatori disposti in circolo, l'ultima me la metto in tasca.
Ogni giocatore può vedere, oltre alla sua, le carte dei suoi due vicini (e sente le risposte di tutti).
Lo scopo è quello di capire, con certezza, qual è la carta non distribuita.

Comincia A, che dice di non essere in grado di rispondere.
Poi, in senso orario, tocca a B, C, D: stessa sorte.
Finalmente E, che ha una donna in mano, dà la soluzione giusta.

1) Che carta ho in tasca e qual è la distribuzione delle altre 5 carte?

------------

Le uniche smazzate possibili in cui indovina A sono (2 casi):
QQKKQ | K
KKQQK | Q
per ovvi motivi: vede 3 Q oppure 3 K.

B indovina (2 casi):
KKKQQ | Q
QQQKK | K
(Il fatto che A non abbia risposto non gli da' nessuna informazione che lo avvantaggi.)

Per le persone successive bisogna fare un ragionamento ... :D

C indovina (6 casi):
QKKKQ | Q
KQQQK | K
QQKKK | Q
KKQQQ | K
KQKKQ | Q
QKQQK | K

D indovina (4 casi):
KQKQQ | K
QKQKK | Q
QKKQQ | K
KQQKK | Q

E indovina solo nei due casi
KKQKQ | Q
QQKQK | K

Avendo E una Q in mano, dà la soluzione (che è quella in grassetto)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Le lunghezze dei lati di un quadrilatero convesso sono nell'ordine 10, 14, 11 e 5 cm.
Si chiede: che angolo formano le sue diagonali?

:hello:

(So che l'angolo è retto, ma c'è un modo semplice per spiegare il perché? :mmh:)

Re: Qualche quiz
 

Figura in allegato: http://postimg.org/image/a8s792qjh/
L'area del quadrilatero (supponendolo inscrittibile in una circonferenza) è A=√[(p-AD)∙(p-CD)∙(p-BC)∙(p-AB)] dove p è il semiperimetro pari a 20cm.
A=90cm^2

Calcoliamo le diagonali:
- Teorema di Tolomeo: AC∙BD=180cm^2
- Teorema di Legendre: AC/BD=0.955882

Da cui:
- BD=√180/0.955882=13.72252cm
- AC=13.11712cm

Prendi ora una delle due diagonali (AC, per esempio).
Questa divide il quadrilatero in due triangoli t1 e t2 la cui area è:

At1=(AC∙h1)/2
At2=(AC∙h2)/2

At1+At2=(AC/2)∙(h1+h2)=90

Da cui: h1+h2=13.72252cm che caso vuole è proprio la lunghezza di BD [cioè l'altra diagonale].
Quindi essendo che:
- h1 è perpendicolare ad AC
- h2 è perpendicolare ad AC
- h1+h2=BC

concludo che BC sia perpendicolare ad AC, cioè h1 ed h2 siano parte del segmento BC.

Re: Qualche quiz
 

:mmh:
Strano quiz.
... (mumble, mumble) ...
Forse ci sono.
Scusami se parto da lontano.

a) Siano, (nell'ordine), a, b, c e d i lati d'un quadrilatero convesso e siano m ed n le diagonali.
Occhio: un quadrilatero di cui si sanno tutti i lati ma nessun angolo è ... articolato !
Si può sgangherare (cambiando gli angoli) senza cambiare le lunghezze dei suoi lati.
Sgangherandolo, cambiano le lunghezze delle diagonali. E di solito anche l'angolo di inclinazione di una sull'altra.

[NB. Se ti fidi, puoi saltare questo paragrafo b) di verifica su un esempio e andare al prossimo paragrafo c)].

b) Per esempio, siano i lati (nell'ordine): a = 25; b = 39; c = 52; d = 60.
Se b e c sono ortogonali una diagonale è m = √(b^2 + c^2) = √(39^2 + 52^2) = 65.
Siccome √(a^2 + d^2 ) = √(25^2 + 60^2) = 65 = √(b^2 + c^2) = m, anche a e d sono ortogonali.
Allora gli altri due angoli sono supplementari (i.e. coseni opposti) e, detto "phi" l'angolo tra c e d, si ha (Carnot)
n^2 = c^2 + d^2 – 2cd·cos(phi) = a^2 + b^2 + 2ab·cos(phi) –––>
––> cos(phi) = [c^2 + d^2 – (a^2 + b^2)]/[2(ab + cd)] = 33/65
Questo permette di calcolare l'altra diagonale
n^2 = c^2 + d^2 – 2cd·cos(phi = 52^2+60^2 – 2·52·60·33/65 = 56;
Per controllo
n^2 = a^2 + b^2 + 2ab·cos(phi = 25^2+39^2 + 2·25·39·33/65 = 56.
L'area del quadrilatero è (sfruttando l'ortoganalità tra b e c e tra a e d)
S = (39·52 + 25·60)/2 = 1764
Detto "psi" l'angolo tra le diagonali, l'area è anche [m·n·sin(psi)]/2 e perciò:
sin(psi) = 2·1764/(65·56) = 63/65; cos(psi) = ±16/65 ≈ ±0,2461
Possiamo però sgangherare il quadrilatero fino a ridurlo un triangolo di lati [c, d, (a+b)] = [52, 60, 64],
La diagonale n si allunga in a+b = 64. L'altra diagonale m si accorcia, e il suo limite si può calcolare con Carnot dopo aver calcolato il coseno dell'angolo – diciamolo "beta" – tra c e (a+b) [oppure tra (a+b) e d].
cos(beta) = [52^2 + 64^2 – 60^2]/(2·52·64) = 25/52;
m^2 = 39^2 + 52^2 – 2·39·52·25/52 = 2275 = 5·√(7·13).
L'inclinazione (limite) tra m ed n è data allora da
cos(psi) = (m^2 + b^2 – c^2)/(2·m·c) = (2275 + 39^2 – 52^2)/[2·39·√(2275)] ≈ 0,2935 ≠ 16/65 ≈ 0,2461.

c) Se le diagonali sono ortogonali, allora restano ortogonali anche sgangherando a piacere il quadrilatero!
Infatti...
Sia m la diagonale rispetto alla quale i lati (a, b) sono in un semipiano e i lati (c, d) nell'altro.
Sia n l'altra diagonale [rispetto alla quale i lati (b, c) sono in un semipiano e i lati (d, a) nell'altro].
Le diagonali si intersecano e sia
m = x+y; n = u + v
Siccome sono ortogonali avremo anche
a^2 – x^2 = b^2 – y^2 = u^2;
d^2 – x^2 = c^2 – y=2 = v^2.
E quindi (sottraendo membro a membro)
a^2 – d^2 = b^2 – c^2 = u^2 – v^2 (*)
Analogamente:
a^2 – u^2 = c^2 – v^2 = x^2;
b=2 – u^2 = d^2 – v^2 = y^2;
e sottraendo membro a membro:
a^2 – b^2 = c^2 – d^2 = x^2 – y^2. (**)

Si noti che la 1ª di (**) si può ricavare dalla 1ª di (*).

Insomma:
Le condizioni per cui le diagonali di (a, b, c, d) sono perpendicolari e, pur sgangherando il quadrilatero, restano perpendicolari, sono
a^2 – b^2 = c^2 – d^2, oppure (fa lo stesso)
b^2 – c^2 = a^2 – d^2

Detto senza tante formule:
«La differenza tra i quadrati di due lati consecutivi è uguale alla differenza dei quadrati degli altri due (che sono pure consecitivi!)»

La cosa si può dire molto meglio così:
« Condizione necessaria perché le diagonali di un quadrilatero convesso siano ortogonali è che la somma dei quadrati di due lati opposti sia uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati (che sono pure opposti!)»

Occorrerebbe dimostrare che la condizione è anche sufficiente.
La cosa è molto facile ma non breve da dire.
Per convincersene, però, basta pensare di sgangherare il quadrilatero fino a farlo diventare un triangolo.
Allora due lati consecutivi diventano un lato del triangolo e limite di una diagonale.
In questa situazione abbiamo dunque (per esempio):
a = x; b = y; d^2 – c^2 = a^2 – b^2.
Ma siccome a = x e b = y, possiamo pensare che
d^2 – c^2 = x^2 – y^2
e quindi
d^2 – x^2 = c^2 – y^2 = h^2
dove h è l'altezza del triangolo rispetto al lato lungo a + b = x + y (e quindi anche il limite dell'altra diagonale, rimasta perpendicolare al limite della diagonale che è il lato rispetto al quale h è ora l'altezza).

Mi accorgo di essermi espresso non molto chiaramente.
Spero che supplirai col tuo formidabile intuito.

Certamente ho fatto centro:
«Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero convesso abbia le diagomnali perpendicolari è che la somma dei quadrati di due lati opposti sia uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati (pure opposti)»

Vediamo se il tuo quadrilatero (articolato) [a, b, c, d] = [10, 14, 11, 5] rispetta questa condizione:
a^2 + c^2 = 10^2 + 11^2 = 100 + 121 = 221;
b^2 + d^2 = 14^2 + 5^2 = 196 + 25 = 221.
O. K. :ok:

Allora le diagonali sono perpendicolari.
–––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Mi sa che hai perso un pezzo del messaggio :)

Re: Qualche quiz
 

:ok:

(Non conosco però il teorema di Legendre... :o)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

neanche io :D