Re: Qualche quiz
 

Abbiamo detto che il pentagono salta fuori troncando gli angoloidi dell'icosaedro e che in un vertice di icosaedro arrivano 5 spigoli, ossia 5 angoli, ciascuno di 60°-
Ossia: da ogni angoloide si asporta una piramide a base pentagonale con 5 facce laterali fatte a triangolo equilatero.
L'angolo diedro tra due esagoni del "pallone" è dunque l'angolo diedero tra due facce laterali di questa piramide: e l'angolo diedro tra esagono e pentagono è il supplementare dell'angolo tra una faccia laterale della piramide e la base della piramide.

Cerchiamo il primo angolo diedro (avendo bene in testa la piramide a base pentagonale con le facce laterali a triangolo equilatero).
Se facciamo 1 il lato della base (che è lungo come lo spigolo latrerale), la diagonale del pentagono vale
d = 2·1·cos(36°) = [√(5) + 1]/2
e l'altezza delle facce
h = 1·cos(60°) = √(3)/2.
Il piano per due vertici non consecutivi della base e perpendicolare ad uno spigolo larterale taglia la piramide in un triangolo isoscele che ha la base lunga d e i lati lunghi h.
Posso allora trovare l'angolo diedro col teorema di Carnot
cos(alfa) = (2·h^2 – d^2)/(2h^2) = {3/2 – [3 + √(5)]/2}//3/2 = –√(5)/3
L'angolo (in radianti) è allora
arcos[–√(5)/3] = π – arcos[√(5)/3] = (π – 0,72972765622697) = 2,4118649973628
In gradi abbiamo
alfa = (180/π)·2,4118649973628 = 138,18968510422
ossia
138 gradi + (60·0,18968510422) primi = 138° 11,381106253285' =
= 138° 11' + (60·0,381106253285) secondi = 138° 11' 22,866'' ...

Hai voluto mettere l'angolo in gradi, primi e secondi ...
Ma allora era meglio approssimato il valore 138° 11' 23'' :p

Cerchiamo l'altro angolo diedro, quello tra un pentagono e un esagono adiacente.
Il supplementare di questo angolo – diciamolo "beta" – è l'angolo tra l'apotema della base della piramide e l'altezza di una faccia laterale.
L'apotema del pentagono di lato 1 è
a = (1/2)·tan(54°) =√{[5 + 2√(5)]/20}
cos(beta) = a/h =√{[5 + 2√(5)]/20}/[√(3)/2] = √[1+2/√(5)]/√(3)
beta = arcos{√[1+2/√(5)]/√(3)} = 0,65235817978437 rad;
π – beta =2,4892345138054 rad ≈ 142° 37' 21,47469''...

------------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Urca!! Come sei pignolo:mad:
E allora faccio il pignolo anche io, dove dici: h = 1·cos(60°) = √(3)/2
non è vero.
La mia fresatrice ha un difetto, non approssima per difetto:D

P.S. Ieri sera non avevo nulla da fare e sono andato a farmi una cultura, tutto sul pallone da calcio. Facendo zapping, ho incontrato "il cubo camuso" che è? Pensavo fosse un marsupiale in via di estinzione della Tanzania ed invece:
(Animazione

Poi andando avanti ho notato anche un'altra strana creatura, l'icosaedro troncato "ammorbidito" ; che ho pensato fosse un nuovo prodotto per lavatrici, ora vado a rcercarlo,
eccolo:


Icosaedro troncato ammorbidito 2 volte

Come si evince dalla figura l'ammorbidente è doppio:D
http://www.mathcurve.com/polyedres/i..._tronque.shtml

Re: Qualche quiz
 

Mi è venuta poi la voglia di costruire (la forza dell'abitudine) volevo dire disegnare un icosaedro troncato in 3d cioè nello spazio.
L'ho già fatto e per ora non ho voglia di postare l'immagine. Posso descrivere i passaggi ed in definitiva anche i risultati.
Parto da un icosaedro troncato di lato 10
dalle formule:
sfera (passante per i punti medi dei lati) : ; sfera circoscritta : .
trovo che la sfera che passa per i punti medi dei lati ha diametro = 48,541
e la sfera circoscritta ha Diam = 49,560
disegno un esagono in cui i due punti medi di due lati opposti giacciono su un cerchio massimo vale a dire sul diam 48,541
disegno poi un secondo esagono adiacente ma con angolo di 138,1897 ° il pentagono a chiudere la cella viene da se ed ad una verifica interrogando il disegno mi da 142,623° come da calcoli di Erasmus.
Buono , ottimo.
Risulta ancora interrogando il disegno che oltre alla sfera inscritta che lambisce i punti medi dei lati ci sono altre due sfere inscritte e sono una che tocca i centri degli esagoni di raggio = 22,673 e l'altra che tocca i centri dei pentagoni di raggio = 23,274
Ma che fatica, facevo prima a postare il disegno.:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Stanotte sono poi andato a dormire senza trarre le conclusioni del disegno in 3d del pallone.
Risulta che i raggi dei centri dei pentagoni è maggiore di quello dei centri degli esagoni, e, precisamente di 0,601 (mm se l'unità è questa)
E allora il pallone deve avere 12 gibbosità in corrispondenza dei pentagoni. Io ho in realtà disegnato un palloncino di circa 50 mm di diametro (5 cm) e se un pallone regolamentare ha il lato dell'esagono non so di preciso mettiamo 40-50 mm allora tale lato è 4-5 volte il mio lato di 10 mm e di conseguenza quel 0,6 x 5 diventa 3 mm di gibbosità che comincia a diventare rilevante. Se faccio rimbalzare un pallone e batte sul pentagono dovrebbe in teoria rimbalzare storto.
Bisognerebbe suggerire a Pirlo che quando batte le punizioni cerchi di colpire il pentagono, così avendo il pallone strani effetti dovrebbe risultare + difficile la parata del portiere:D
Ho il vago sospetto che per evitare questo inconveniente nel pallone da calcio gli esagoni non sono esagoni e i pentagoni non sono pentagoni.
Così ad intuito credo che i lati dell'esagono siano leggermente concavi e di conseguenza i pentagoni convessi col pentagono che cerca di mangiare terreno all'esagono.
Se sono fortunato vado a cercare in rete questa cosa per vedere se dico giusto.
Ciao
http://www.tecnologiaericerca.com/20...a-gripngroove/

Guardando con attenzione il filmato la tassellatura o meglio dire la tappezzeria il disegno non deve confondere perchè il telaio l'ossatura è sempre il vecchio buon icosaedro troncato.:hello:

Re: Qualche quiz
 

@ Nino I
Metti le unità di misura dopo i numeri di grandezze, se no si confondono con valori di grandezze adimensionali.
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Giusto: se a è la lunghezza di uno spigolo, il raggio della sfera circoscritta (cioè ... del pallone gonfiato :D) è proprio
R = a·√[(58 + 18√(5)]/4 = (1/2)·(a·√[29 + 9√(5)]/2).

Dopo ti spiego come si fa a trovare questo numero.

Con questo numero, trovare la risposta al quiz è ora facile.
A pallone gonfiato, quella lunghezza a è la distanza (euclidea, non geodetica sulla sfera, ma ... come il tunnel Gelmini) tra due vertici prossimi, cioè una corda del cerchio massimo che passa per due vertici prossimi.
[A pallone gonfiato, i punti medi degli spigoli stanno pure sulla stessa sfera: gli spigoli diventano archi di cerchio massimo].
[NB: Un cerchio massimo per due vertici prossimi passa per altri due vertici prossimi e per i punti medi di quattro altri archi].
Congiungendo due vertici prossimi (diciamoli A e B) con il centro della sfera – diciamolo C – otteniamo un angolo al centro φ =ACB corrispontente all'arco AB.

Il quiz chiedeva di quanti gradi fosse questo angolo

Ma perché, adesso che hai trovato (in rete, mica "ricavato" da solo!) il rapporto tra tra il raggio e la corda a = AB non rispondi al quiz? :mmh:

E' facile!
Il raggio della sfera (pallone gonfiato) è R = √[58+18√(5)]/4}·a.
Alla corda di lunghezza a corrisponde l'angolo al centro φ tale che
sin(φ/2) = (a/2)/R = a/D.
Quindi avremo
φ = 2· arcsin[(a/D) = 2·arcsin{2/[58 +18√(5)]} ≈ 0,4063378792 ... rad =
= (180/π)·0,4063378792 gradi ≈ 23.281446 ... gradi =
≈ 23° 16' 53,2''

Una valutazione a spanne di questo angolo si può fare osservando che il cerchio massimo per due vertici percorre 2 di questi archi, l'altezza h di 4 pentagoni e la mediana m di 4 esagoni. Confondendo ciascuno di questi archi con segmenti e ricordando che
• l'altezza del pentagono è h = a/2)·tan(72°)] e
• la mediana m dell'esagono (lunga come la diagonale corta) è m = a·√(3)
abbiamo (circa)
<circonferenza> ≈ 2a + 4·h + 4·m = [2 + 2·tan(2π/5) +4√(3)]·a ≈ a ·15,08357 ...
φ/360 ≈ 1/15,08 ––> φ ≈ 360/15,08 ≈ 23,87°

Il valore ... "spannometrico" è per eccesso.
L'errore è dovuto al fatto che mentre lo spigolo ha gli estremi sulla sfera circoscritta (e quindi una lunghezza con un certo difetto rispetto all'arco), la mediana dell'esagono ha entrambi gli estremi interni alla sfera e l'altezza del pentagono ne ha uno interno alla sfera. Quindi il difetto di h e di m rispetto ai corrispondenti archi è maggiore di quello dello spigolo a. Sicché si divide la lunghezza dell'arco corrispondente allo spigolo per per una lunghezza un po' minore della giusta circoferenza, dando luogo ad un errore per eccesso (di circa 0,59° gradi, ossia circa 35').

Come si fa a trovare quel numero esatto R/a = √[58 + 18√(5)]/4 ?
[Ossia: D/a = √{[29 +9√/5)]/2}

Occorre sapere un minimo di trigonometria sferica.
L'angolo solido che dal centro proietta un triangolo sferico è il rapporto tra l'area del triangolo sferico ed il quadrato del raggio. Coincide con l'area se si prende il raggio R uguale a 1.

L'angolo solido dell'intero spazio è 4π steradianti (perché l'area della superdicie sferica è 4πR^2).
Diciamo Ω l'angolo solido di un triedro che, dal centro della sfera, proietta un triangolo sferico.
Gli angoli diedri del triedro che proietta un triangolo sono gli angoli α, β e γ del triangolo sferico.
Facciamo corrispondere a questi gli angoli φ, χ e ψ delle facce rispettivamente opposte agli spigoli cgche bocano la sfera nei vertici del triangolo sferico (da non confondere col triangolo piano con gli stessi vertici.

Si dimostra (molto facilmente ma non brevemente) che:
• (Teorema dell'angolo solido)
« La somma degli angoli d'un triangolo sferico suoera un angolo piatto del valore pari all'angolo solido che lo proietta»:
1) α + β + γ = π + Ω
• (Teoremi del coseno).
«Gli angoli diedri e gli angoli delle fecce sono correlati da queste formule
2) cos(α) = [cos(φ) – cos(χ)·cos(ψ)]/[sin(χ)·sin(ψ)] (dove la faccia in cui ci sta φ è quella opposta allo spigolo in cui le altre due facce formano l'angolo diedro α)».
Analogamente:
cos(β) = [cos(χ) – cos(ψ)·cos(φ)]/[sin(ψ)·sin(φ)
cos(γ) = [cos(ψ) – cos(φ)·cos(χ)]/[sin(φ)·sin(χ)
3) cos(φ) = [cos(α) + cos(γ)·cos(β )]/[sin(γ)·sin(β )]
(e analogamente per χ e ψ facendo ruotare le variabili).

Ragioniamo prima sull'icosaedro.
Ha 20 facce triangolari e quindi è scomponibile in 20 triedri con angoli diedri uguali ed angoli alle facce uguali.
Per ciascuno di questi 20 triedri uguali l'angolo solido vale Ω = 4π/20 = π/5.
[D'altra parte, nel vertice arrivano 5 angoli; e quelli sferici sono nel piano tangente, quindi ciascuno è 2π/5]
Diciamo α l'angolo diedro e φ l'angolo di una faccia al centro della sfera circoscritta.
Dal Teorema dell'angolo solido 1) abbiamo
3α = π + Ω = π + π/5 = 6π/5 ––> α = 2π/5 = 72° ––> cos(α) = [√(5) – 1]/4
Dal 2° Teorema dei coseno 3) abbiamo
cos(φ) = [cos(α) + cos(α)·cos(α )]/[sin(α)·sin(α ) = cos(α)[1 + cos(α)]/[1 – (cos(α))^2] = cos(α)]/[1 – (cos(α)] =
= (√5 – 1)/[4 – √(5) + 1] = (√5 – 1)/[5 – √(5)] = 1/√(5)
sin(φ/2) = √{[1 – cos(φ)]/2} = ... = √{[5 – √(5)]/10}
Detta 3a la lunghezza d'uno spigolo, la distala d del vertice dal centro C dell'icosaedro viene
d = (3a/2)/sin(φ/2) = (3a/2)·√(10)/√[5 – √(5)] = (3a)·√[10 + 2√(5)]/4 (*)
Diciamo V il vertice dell'icosaedro che è vertice di un triangolo, A il vertice del "pallone" che dista a da V e H il centro del lato che dista a/2 da A.
Il raggio R che cerchiamo è la distanza di A da C, ossia AC.
Con Pitagora abbiamo CH^2 = d^2 – (3a/2)^2 e quindi
R^2 = CH^2 + (a/2)^2 = d^2 – (3a/2)^2 +(a/2)^2 = d^2 – 2·a^2.
Inserendo qui il valore di d trovato in (*) si ha:
R^2 /a^2= 9·[10 + 2√(5)] – 32]/16 = [58 + 18√(5)]/16 = [29 + 9√(5)]/8 ––> 2·R = D = {29 +9·√(5)]/2}·a
:hello:
Come Dovevasi Dimostrare!

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Re: Qualche quiz
 

Rispondo al quiz:
l'angolo è 111,381°
Questo per un pallone in cui il lato del pentagono - esagono è 10
Capisco che se il pallone ha diametro infinito tale angolo tende a 120°
Solo adesso invece capisco la domanda del quiz, tu intendevi l'angolo al centro della sfera dei cerchi massimi e trovo anche io essere 23,28162403° mentre io con quel 111,381° ho trovato l'angolo di questi cerchi sulla sfera.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

In verità avevo frainteso perchè come tu sai ho una piccola insaponatura di CAD ed i caddisti usano mi pare parlare di angoli fra piani invece di angoli fra archi come tu chiedevi. Ed infatti per disegnare l'icosaedro troncato ho fatto largo uso di piani.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Piccole, piccolissime considerazioni.
Per un punto su una sfera passano infiniti cerchi massimi.
Per due punti su una sfera passa uno ed uno solo cerchio massimo.
Certamente queste cose le avrà già dette Riemann o era Lobaceskj o era Peano, non mi ricordo più, certamente non era Euclide.
Detto ciò il quesito assumeva questa forma.
Abbiamo un pallone da calcio, attraverso un lato di un suo pentagono o di un suo esagono che poi è in definitiva la stessa cosa ci passa un solo cerchio massimo e diciamo pure che per due vertici dell' icosaedro troncato passa sempre un solo cerchio massimo. Normali (a 90°) a questo cerchio massimo ci passano altri due cerchi massimi (che io chiamavo anche piani ed è la stessa cosa) passanti per i due vertici; trovare l'angolo fra questi due ultimi cerchi massimi o piani.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Scusate se mi intrometto con un totale o.t., ma mi piacerebbe avere un dirimente parere di Erasmus (che saluto :)) sulla questione che si sta sviluppando con code polemiche qui prima che sia troppo tardi....Nella sezione astrofisica e cosmologia stiamo perdendo pezzi per via di faide interne

Si tratta di segni di radici quadrate algebriche o aritmetiche...Non ci ho capito un granche'.

Re: Qualche quiz
 

:mmh:
[Potevi far uso di un messaggio privato, no?. Ma ormai ... tanto vale che ti risponda qui, anch'io off topic]
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a) Che c'entro io?
Ho visto adesso ... . E ho anche visto che qualcuno mi tira in ballo; e che ora la discussione è chiusa.
Tutti possono sbagliare, è vero. E' però questione di probabilità! :D
Per quanto ne sappia io ... vi consiglio, di avere fiducia in Ganondolf ;).
b)In matematica astratta i numeri in una certa questione appartengono ad un prefissato insieme-sostegno (insiene di un preciso tipo, nel quale non sempre hanno senso operazioni che hanno senso in un insieme-sostegno di un altro tipo).
Per esempio,
i) se vogliamo restare nell'insieme No dei numeri naturali maggiori di zero, (quelli che si usano per "contare", cioè 1, 2, 3, 4, ...) l'operazione "differenza" non è una "operazione interna" nel senso che la differenza a – b si può fare solo se è a > b, (ossia: se non è a > b non esiste in No il numero a – b);
ii) nello stesso insieme No [dei numeri naturali maggiori di zero], l'operazione "rapporto" non è una "operazione interna" nel senso che il rapporto m/n si può fare solo se m è un multiplo di n, (ossia: se non c'è in No un q tale che m = q·n , non esiste in No il numero m/n);
iii) se vogliamo restare nel campo dei numeri reali, (quelli che si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta), la radice quadrata non è una operazione interna nel senso che, dato r appartenente ad R, la radice quadrata √(r) si può fare solo se è r ≥ 0.

E' proprio per poter fare la differenza tra numeri qualsiasi di No che si sono inventati i numeri negativi (e si è espressamente accettato l'uso del simbolo 0 a complemento dei naturali N che allora sono 0, 1, 2, 3, ...). In pratica, si è "allargato" l'insieme degli interi da No a Z. Quindi N è incluso in Z (e non viceversa).
Z = ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

Ed è proprio per poter fare la radice quadrata di un reale r qualsiasi (anche se fosse negativo) che si sono inventati i numeri "immaginari" (quelli il cui quadrato è negativo).

Un insieme di numeri nel quale valgano le seguenti proprietà
a) si possono fare somme e prodotti di due suoi elementi qualsiasi.
b) dato ad arbitrio un suo elemeto x, esite un unico suo elemento y (detto "opposto di x") tale che x + y = 0
c) dato ad arbitrio un suo elemeto x con la sola condizione che sia diverso da 0, esite un unico suo elemento y (detto "reciproco di x") tale che sia x·y = 1
si chiama "corpo numerico".
I corpi numerici sono allora due. Il corpo dei numeri reali R ed il corpo dei numeri complessi C.
Ma un problema può richiedere che un numero appartenga ad un "sottinsieme" di un "corpo numerico". Per esempio, se ho un problema in cui l'incognita è una temperatura, so a priori che questa non potrà essere minore di una certa temperatura minima assoluta (per esempio 0 K per la temperatura termodinamica del SI (scala Kelvin) e –273,15 °C per quella centigrada (scala Celsius).
Se dunque, in matematica astratta (= "tirata fuori dalla realtà") trovo certe soluzioni, devo scartare quelle che, eventualmente, non appartengono all'insieme "dominio" di tutti i possibili numeri nel problema in questione. Per esempio: se in un problema termico avessi una temperatura incognita e trattando matematicamente il problema mi risultassero come sue soluzioni T1 = 15 K e T2 = –1 K, devo ovviamente rifiutare T2 = –1 K < 0 K.

Riassumendo: Prima si risolve un problema algebricamente, poi si accettano solo le soluzioni che appartengono all'insieme di definizione delle variabili.
Per esempio: le lunghezze dei segmenti sono valori "assoluti" (= "che prescindono dall'orientamento del segmento", per cui sul segmento di estremi A e B percorri la stessa lunghezza andando da A a B o da B ad A). Ciò equivale ad escludere dal corpo dei numeri reali i numeri negativi, e quindi far coincidere i numeri reali assoluti con il sottinsieme dei numeri reali costituito dai reali positivi e dallo zero.
Perciò, il problema:
«Qual è la lunghezza del lato del quadrato di area 9 m^2?»
è risolto da
x^2 = 9 ––> x = +3 oppure x = –3 ––> <lunghezza del lato> = |x| m = 3 m.
Siccome fa lo stesso prendere i reali assoluti o i reali positivi e lo zero, si accetta (ma si sconsiglia!) di scrivere che la soluzione [che è unica!] è x = +3 [anziché x = 3, valore "assoluto" sia di +3 che di –3, ossia: |+3| = |–3| = 3].

Et de hoc satis, quaso!

Rientriamo in tema! ;)

Re: Qualche quiz
 

Rientriamo in tema.
Erasmus ormai mi conosce bene, e sa che sono un "ricercatore" ricercatore di rete. Rete? Pallone? Di che cosa stavamo parlando, a si di pallone. Io avevo sospettato che i pentagoni dei palloni non fossero pentagoni regolari, e avevo promesso di andare a "cercare" in rete un pallone sviluppato per cofermare. Mi sono arreso perchè non ho trovato nulla:mad: Però ora ne sono certo non ne ho bisogno. Molti anni fa, ricordo, di aver trovato per strada un pallone sgonfio anzi era stracciatissimo, lo presi e ne staccai un pentagono. Sono certo! Il pentagono aveva i lati convessi. Non giurerei però sull'esagono.:hello:

Re: Qualche quiz
 

Erasmus sa che io so che lui sa che io le formule le copio dalla rete.
E per far questo non ci vuole molta scienza, basta cliccare sulla formula e questa ti dice il sito da cui l'ho presa, ultimamente ho postato una formula in cui c'era una radice di 29 più qualcosaltro poi diviso 2 non mi ricordo ( e ti pare che se l'avessi fatta io già dopo due giorni la dimenticavo?) Ma dai Erasmus, non manchi mai di rinfacciarmelo. Quante volte ti ho detto il mestiere che facevo e che non sono un lontano parente di Eulero:D
Comunque io di te so che ti piacciono i problemi difficili e + sono difficili e + ti piacciono.
Allora ti propongo un problema sporco. Sporco perchè il pentagono che ho recuperato con i lati convessi era sporco. Qual'è il raggio del lato del pentagono sporco convesso dell' icosaedro troncato, insomma del pallone?
Faccio notare e mi pare d'averlo già detto che per due esagoni adiacenti ci passa un cerchio massimo no per il lato del pentagono.
Ciao
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Ti faccio notare che "Qual'è" è sbagliato! :D
Ma quante volte te lo devo dire ... a te che ricordi a memoria tutte le discussioni di Rudi mathematici degli ultimi 4 anni ? (Almeno 4 anni; prima io non c'ero!) :mad:
-----------------

Scherzi a parte, il tuo problema non è poi tanto sporco e difficile.
Ma prima bisogna capire cosa intendi per "raggio".
Se intendi il raggio del cerchio inscritto o di quello circoscritto.
E, soprattutto, se dicendo "cerchio, raggio" si continua a pensare il cerchio come figura piana o se (andando nello spazio bidimensionale non-euclideo che è la superficie di una sfera) con cerchio non si intenda invece una calotta e con "suo raggio", non si intenda l'arco di cerchio massimo con un estremo nel centro della calotta e l'altro sul suo bordo.

Comunque ... adesso non ho più tempo.
La risposta te la darà di certo uno dei nuovi arrivati! :eek:

---------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ci noto una certa forma di sarcasmo.... nei confronti delle meteore (qui giunte :p:rolleyes:)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ti faccio notare che "Qual'è" è sbagliato! Da Erasmus
E' soltanto una licenza poetica:D Se il Carducci poteva dire il zappatore perchè io non posso togliere una e?
Pensa ai giovani che messaggiano togliendo tutte le vocali. Per dire perchè dicono xchè per dire sei (verbo) dicono 6 non so come fanno per dire aiuola dicono l (solo elle) sai cosa vuol dire sqqdr? è soqquadro.
Ma gia noi meridionali da sempre nel nostro parlare stretto usiamo eliminare le vocali. Non indovinerai mai cosa vuol dire al mio paese
nzdchsc si va te lo dico, vuol dire che pioviggina.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Era Giacomo Leopardi (Il sabato del villaggio)

La donzelletta vien dalla campagna
in sul calar del sole,
col suo fascio dell'erba; e reca in mano
un mazzolin di rose e viole,
onde, siccome suole, ornare ella si appresta
dimani, al dí di festa, il petto e il crine.
Siede con le vicine
su la scala a filar la vecchierella,
incontro là dove si perde il giorno;
e novellando vien del suo buon tempo,
quando ai dí della festa ella si ornava,
ed ancor sana e snella
solea danzar la sera intra di quei
ch'ebbe compagni nell'età piú bella.
Già tutta l'aria imbruna,
torna azzurro il sereno, e tornan l'ombre
giú da' colli e da' tetti,
al biancheggiar della recente luna.
Or la squilla dà segno
della festa che viene;
ed a quel suon diresti
che il cor si riconforta.
I fanciulli gridando
su la piazzuola in frotta,
e qua e là saltando,
fanno un lieto romore;
e intanto riede alla sua parca mensa,
fischiando, il zappatore,
e seco pensa al dí del suo riposo.

Poi quando intorno è spenta ogni altra face,
e tutto l'altro tace,
odi il martel picchiare, odi la sega
del legnaiuol, che veglia
nella chiusa bottega alla lucerna,
e s'affretta, e s'adopra
di fornir l'opra anzi al chiarir dell'alba.

Questo di sette è il più gradito giorno,
pien di speme e di gioia:
diman tristezza e noia
recheran l'ore, ed al travaglio usato
ciascuno in suo pensier farà ritorno.

Garzoncello scherzoso,
cotesta età fiorita
è come un giorno d'allegrezza pieno,
giorno chiaro, sereno,
che precorre alla festa di tua vita.
Godi, fanciullo mio; stato soave,
stagion lieta è cotesta.
Altro dirti non vo'; ma la tua festa
ch'anco tardi a venir non ti sia grave.

Re: Qualche quiz
 

Dalla stringa infinita formata ripetendo le cifre significative nel loro ordine 12345678912345678912345.....
si possono separare infiniti numeri tali che ciascuno contenga una cifra in piu' del precedente.

Il primo e' formato da 1 cifra, il secondo da 2...ecc.
In pratica si ha:
1
23
456
7891
23456
789123
4567891
23456789... ecc

Ora consideriamo la sequenza formata dalle prime cifre di questi numeri
(1,2,4,7,2,7,4,2....)

Qual è l'ennesimo termine di questa sequenza?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

No aspesi: l'idea che le cifre siano «tutte significative tranne lo zero» non è un'idea giusta.
L'essere una cifra significativa o no non dipende dall'essere diversa da zero, ma dalla sua posizione nel numero (rappresentato in cifre) a seconda del contesto (cioè a seconda del significato di quel numero).

Quanto al quiz ... c'entrano ancora le «congruenze modulo ...».
Ma adesso devo scappare ...
––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ecco perché questo forum è frequentato da quattro gatti:



:D

Re: Qualche quiz
 

Bah, sarà... Ma a me pare che i soli calcoli che provocano dolore siano quelli ai reni!... :D

Re: Qualche quiz
 

Dove sono gli altri due? (oltre al tuo e a quello di Mizarino, che probabilmente è lo stesso :D, di animali vedo solo il mio cane...:))

:hello:

Re: Qualche quiz
 

@ aspesi
Questo quiz è troppo facile!
Successione "prima cifra" (periodica di periodo 9): |1 2 4 7 2 7 4 2 1 |1 2 4 7 2 7 4 2 1 |1 2 4 7 2 7 4 2 1 | ...
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ho visto. Vi si parla di diarrea.
Non è proprio il mio caso. Anzi: è dal 2005 che soffro di "stipsi"! Ed ogni anno è sempre peggio. Specie da quando frequento questo forum. :o

Ma forse hai ragione. Nell'articolo si dice che la diarrea, dovuta all'ansia indotta dal dover affrontare calcoli matematici, non è provocata dai calcoli stessi ma ... dalla loro attesa . Evidentemente ... attesa di qualcosa che non si vorrebbe proprio!
Ordunque, se non vuoi rischiare di fartela sotto, sostituisci l'ansia per l calcoli da fare con la speranza di poterti occupare di loro!

Insomma: invece di vedere la matematica come il consueto "pons asinorum", vedila come qualcosa di profondamente umanistico, istruttivo, anche divertente.
L'allievo costretto (dall'insegnante di "educazione atistica") a cimentarsi con un disegno ... artistico può anche soffrire l'attesa (specie se, per esperienza, sa che probabilmente il suo lavoro verrà giudicato "insufficiente").
Ma un pittore, magari molto naïf e persino assolutamente ignorante della pittura altrui, quando è occupato in altre incombenze, può "godere" nell'attesa di potersi dedicare – espletate quelle – alla sua pittura!
=====================
Ma veniamo all'ultimo quiz proposto da aspesi.
Occhio: quel che dirò è pressoché evidente, quindi non richiede grandi spiegaziini.
Ma mi pare interessante ... didatticamente. :)

La "stringa" periodica con cui il nostro esordisce, cioè
12345678912345678912345...
può essere vista come la successione degli interi positivi
1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9. 10, 11, 12, 13, ...
ridotti però "modulo 9" (ossia: resti delle "divisioni per 9" degli interi positivi), con la variante di mettere 9 al posto di 0 quando il numero è un multiplo esatto di 9 (ossia: con la variante di indicare lo ZERO col simbolo '9' invece che col simbolo '0').
Allora, i numeri N(n) fatti come dice aspesi possono essere intesi come ... 'spezzoni' s(n) della successione degli interi positivi:
1, 2, 3, 4, 5, 6. 7. 8, 9, 10, 11, 12, ...
sempre però modulo 9:
s(1) = [1] ––> N(1) = 1 = ]1] mod 9
s(2) = [2, 3] ––> N(2) = 23 = [2, 3] mod 9
s(3) = [4, 5, 6] ––> N(3) = 456 =[4, 5, 6] mod 9
s(4) = [7, 8, 9, 10] ––> N(4) = 7891 = [7, 8, 9, 10] mod 9
s(5) = [11, 12, 13, 14, 15] ––> N(5) = 23456 = [11, 12, 13, 14, 15] mod 9
s(6) = [16, 17, 18, 19, 20, 21] ––> N(6) = 789123 = [16, 17, 18, 19, 20, 21] mod 9
s(7) = [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] ––> N(7) = 4567891 = [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] mod 9
...
E' immediato constatare che
• Ogni aspesiano "spezzone" s(n) della successine degli interi positivi consta di n numeri interi ... in fila.
• Ogni "spezzone" s(n) termina con il numero triangolare
t(n)= n(n+1)/2
• Ogni spezzone inizia col numero a(n) che rispetta la legge di ricorrenza
a(1) = 1; a(n+1) = a(n) + n.
Ossia: i numeri aspesiani N(n) – fatti come dice aspesi – iniziano con la cifra data, per ricorrenza, da:
c(1) = 1;
c(n+1) = [c(n) + n] mod 9 (mettendo però '9' al posto di '0').

Sia l'ultima che la prima cifra sono casi particolari delle sequenze linearmente dipendenti (di ordine 3) che verificano la legge di ricorrenza lineare con polinomio caratteristico (x – 1)^3; ossia:
(x–1)^3 = x^3 – 3·x^2 + 3·x – 1 ––> Per qualsiasi n intero S(n+3) – 3·S(n+2) + 3·S(n+1) –S(n) = 0.
[Naturalmente modulo 9 e con '9' al posto di '0']

Espressamente, ... come segue.
Prima cifra c(n):
c(1) = 1; c(2) = 2; c(3) = 4.
Per ogni n intero maggiore di 1:
c(n + 3) = [3·c(n + 2) – 3·c(n +1) + c(n)] mod 9 (mettendo però '9' al posto di '0').

Ultima cifra u(n):
u(1) =1; u(2) = 3; u(3) = 6.
Per ogni n intero maggiore di 1:
u(n + 3) = [3·u(n + 2) – 3·u(n +1) + u(n)] mod 9 (mettendo però '9' al posto di '0').

Abbiamo già visto che
u(n) = n(n+1)/2 mod 9 (sempre mettendo '9' al posto di '0').

Analogamente avremo
c(n) = [A·n^2 + B·n + C] mod 9 (sempre mettendo '9' al posto di '0')
con A, B e C costanti tali che
A + B + C =1
4A + 2B + C = 2
9A + 3B + C = 4
cioè; A = 1/2; B = –1/2; C = 1.

Dunque:
c(n) = [(n–1)·n/2 + 1] mod 9 (sempre mettendo '9' al posto di '0').

In effetti, è evidente – per come sono costruiti i numeri aspesiani N(n) – che
c(n) = u(n–1) +1 se u(n) è minore di 9, altrimenti c(n) = 1
ossia che, se con t(n) indichiamo il numero tringolare n(n+1)/2 allora
t(n–1) = (n – 1)·n/2
e quindi
c(n) = [t(n–1) + 1] mod 9 = [(n–1)·n/2 + 1] mod 9.

E' anche evidente che la successione c(n) è periodoca di periodo 9, ossia:

c(n) = c(n+9)= c(n + 18) = c(n + 27) = ...
Per ogni k naturale e per ogni n intero compreso tra 1 e 9 inclusi c(n) = c(n + 9·k) (*)

In effetti, ogni numero aspesiano N(n) consta di n cifre e quindi per ogni k intero positivo N(9k) ha un numero di cifre che è multiplo di nove, ... da cui la (*).

Si trova subito (sperimentalmente) che la successione "prima cifra" c(n) è:
1 2 4 7 2 7 4 2 1 |1 2 4 7 2 7 4 2 1 |1 2 4 7 2 7 4 2 1 | ...

Simpatico il fatto che sia anche simmetrica rispetto al centro del periodo (n = 5 + k·9). ;)

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:hello:

Re: Qualche quiz
 

Sarà mica per questo che non ha risposto nessun altro? :D

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Solo per dire che anche questa successione periodica è riportata nell'enciclopedia delle sequenze di numeri interi, A133292 ,
http://oeis.org/A133292

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Circa 4 anni fa si parlava dei poligoni (teoricamente) costruibili con riga e compasso.
Il problema teorico è ricondotto a quest'altro.
«Quali sono gli angoli la determinazione del coseno dei quali "è un problema algebrico di secondo grado"?»

Ma che cos'è un "problema algebrico di secondo grado"?
E' un problema risolubile con una o più equazioni o con uno o più sistemi di equazioni in cui, comunque, qualche equazione è di 2° grado ma non di grado più alto e gli eventuali sistemi di equazione sono al massimo di 2° grado.

La ricerca del coseno di (2·π)/17 è riconducibile ad una cascata di sistemi di due equazioni tutti del tipo
x+y = s
xy = p

Anche la ricerca de cos(2π/257) è un problema di 2° grado.
[Ma occorrono ben 38 sistemi di 2° grado e una manciata di equazioni e/o sistemi di 1° grado]

Domande:
a) La costruzione del poligono regolare di 9 lati "con riga e compasso" è (teoricamente) possibile?
b) E quella dei poligoni di 11, 15, 19, 23, lati?
c) Di che grado è il problema di determinare il coseno di un angolo pari ad un n-esimo di angolo giro nei seguenti casi?
n = 11
n = 15
n = 19
n = 23

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:hello:

Re: Qualche quiz
 

Mi ricordo di quella discussione. Mi ricordo anche che io andai a cercare la costruzione con riga e compasso dell'eptadecagono, e mi pare che ce ne fosse una divertente credo che fosse di Gauss.
Ora non ho tempo di cercare quell'immagine animata, ma ugualmente ne ho trovata un'altra che non saprei dire se è la stessa costruzione di allora.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Domande:
a) La costruzione del poligono regolare di 9 lati "con riga e compasso" è (teoricamente) possibile?
b) E quella dei poligoni di 11, 15, 19, 23, lati?
c) Di che grado è il problema di determinare il coseno di un angolo pari ad un n-esimo di angolo giro nei seguenti casi?
n = 11
n = 15
n = 19
n = 23

Da Erasmus in blu.
Ecco la soluzione per il pentadecagono (15):



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Se vuoi, posto anche la costruzione del 257 gono?
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Le costruzioni dei poligoni regolari di 17, 15 e 257 lati che hai 'postato' sono bellissime! :ok:

Però ... hai implicitamente risposto solo ad un pezzo dell'ultima domanda del quiz dicendo:
Ossia: dal fatto che il poligono regolare di 15 lati (alias pentadecagono) sia costruibile con riga e compasso si deduce che la determinazione del coseno di un angolo pari ad 1/15 di angolo giro è un problema algebrico di 2° grado.
O meglio: dire che «l'eptadecagono è costruibile con riga e compasso» equivale a dire che «la determinazione del coseno dell'angolo pari ad 1/15 di angolo giro è un problema algebrico di 2° grado»

Resta da sapere se sono algebrici e, se lo sono, di che grado sono, i problemi di determinare il coseno di un angolo pari a (rispettivamente):
1/9
1/11
1/19
1/23
di un angolo giro.
=================

Torniamo al "pentadecagono".
Supponiamo ... di non aver ancora visto la sua costruzione con riga e compasso.

Dalla costruzione del pentagono e del triangolo si trova subito quella del pentadecagono!

Disegniamo sulla stessa circonferenza di vertici del triangolo e del pentagono regolari; e supponiamo che pentagono e triangolo abbiano un vertice comune.
Precisamente, andando in ordine ciclico in senso antiorario, i vertici del triangolo siano A, B e C e quelli del pentagono siano A, D, E, F e G.
Sia O il centro.
=> Clicca qui per vedere la figura
Consideriamo ora le distanze angolari tra B ed E e tra F e C.
Tra B ed E: ––> 2·72° – 120° = 144 – 120° = 24°
Tra F e C: —–> 2·120° – 3·72° = 240° – 216° = 24°
Siccome 15·24° = 360°, i segmenti BE ed FC sono lati del pentadecagono.
Ancora: la distanza angolare tra D e B è 120° – 72° = 48° = 2·24°; e tra due vertici consecutivi del pentagono è 72° = 3·24°.
Allora: punta il compasso in E e aprilo con apertura EB.
Con tale apertura, puntando successivamente in tutti i vertici A, D, E, F e G del pentagono e segnando dove l'arco del compasso interseca la circonferenza, trovi tutti gli altri vertici del pentadecagono.
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:hello:

Re: Qualche quiz
 

Qui:
http://www.flickr.com/photos/aldoaldoz/4322194271/
dovrebbe esserci quello che chiedi.
I poligoni con 9 11 19 23 .... lati con riga e compasso possono essere disegnati solo in maniera approssimata (considerato il rispettivo valore dell'angolo al centro)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ho guardato ...
a) Quel che chiedo ... lo chiedo non per venirlo a sapere! Lo so già.
Lo chiedo per sapere se anche voi lo sapete :D!
b) Ma perché non provi a rispondere alle domande?
[Certamente le risposte in rete ci sono. Ma .. con un minimo di riflessione si può far a meno di cercare in rete. Oppure cercare per imparare invece che trovare le risposte ... "a scatola chiusa"]
c) In queste pagine c'è molto poco di questo argomento.
Nell'articoletto apposito è anche lasciato intendere che il fattore primo massimo del numero di lati del poligono costruibile con riga e compasso è 17. Il che è falso.
d) Si può vedere anche il problema in forma di ... combinazioni (da studiare al computer per numeri troppo grandi). In questa forma il problema dovrebbe piacere ad aspesi. ;)
Una volta o l'altra vi mostro quel che ho fatto in proposito per i 257 lati.

=============
Note le formula di duplicazione del coseno, cioè
cos(2φ) = 2·[cos(φ)]^2 – 1
è lapalissiano che il trovare cos(2φ) una volta che sia noto cos(φ) è un problema algebrico di 2° grado.
Allora è un problema algebrico di 2° grado anche il trovare cos(φ/2^n) con n qualsiasi: basta ripetere la bisezione n volte.
[Occorre risolvere non un sistema di equazioni di 2° grado, ma una "cascata" di n equazioni di 2° grado, ciascuna successiva indipendente dalla precedente.]

Sia x = cos(φ). Allora cos(2φ) = 2·[cos(φ)]^2 – 1 = 2·x^2 – 1.
Succede che cos(nφ) è un polinomio in x di grado n – diciamolo Pn(x) – ottenibile facilmente per ricorrenza come segue.
[Polinomi di Cebiscef, (=Tschebyscheff in tedesco)]

cos(nφ + φ) = cos(nφ)·cos(φ) – sin(nφ)·sin(φ);
cos(nφ – φ) = cos(nφ)·cos(φ) + sin(nφ)·sin(φ); [Sommando membro a membro·]
———————————————————————
cos(nφ + φ) + cos(nφ – φ) = 2·cos(nφ)·cos(φ) ––> cos(nφ + φ) = 2·cos(φ)·cos(nφ) – cos(nφ – φ)
e in definitiva
Po(x) = 1; P1(x)= x;
Per ogni n > 0: Pn+1(x)= 2x·Pn(x) – Pn–1(x).

Pertanto, siccome cos(2π) = 1, posto x = cos(φ), la determinazione del coseno di 2π/n è senz'altro un problema algebrico; e il suo grado è al massimo n, dovendo essere comunque:
Pn(x) = 1.

Gauß ha dimostrato che il problema di determinare cos(2π/n) è algebrico di 2° grado se e solo se ogni fattore dispari di n è semplice ed è un "numero primo di Fermat", ossia del tipo:
n = 1 + 2^(2^k) (**)
Abbiamo:
1 + 2^(2^0) = 3;
1 + 2^(2^1) = 5;
1 + 2^(2^2) = 17;
1 + 2^(2^3) = 257; [numero primo]
1 + 2^(2^4) = 1 + 2^16 = 65537; [numero primo]
1 + 2^(2^5) = 1 + 2^32 = 42942967297 = 641·6700417; [numero NON primo!]

[Fermat aveva asserito che i numeri di questo tipo – diciamoli F(k) = 1 + 2^(2^k) – sono tutti primi. Ma fu smentito un secolo dopo da Eulero che appunto trovò che F(5) è divisibile per 641. Con l'avvento del computer si sono cercati altri numeri primi di Fermat: ma non ne sono stati trovati! C'è dunque ora la congettura che i "numeri primi di Fermat" siano solo 5, da F(0) = 3 a F(4) = 65537.]

(**) Precisamente, Gauß ha dimostrato che il problema di trovare il coseno di 2π/n è algebrico di 2° grado se e solo se fattori primi dispari di n sono semplici e del tipo
f = 2^(2m) + 1
Allora deve essere 2m = 2^k perché se 2m contenesse un fattore dispari 2h+1 sarebbe del tipo
2m = q·(2h + 1)
e allora non sarebbe primo 2^(2m) + 1 perché sarebbe
2^(2m) + 1 = (2^q)^(2h + 1) + 1, cioè divisibile per 2^q + 1.

Venendo ai casi n = 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23:
9 = 3·3. Il problema non è di 2° grado perché 3 non è un fattore semplice.
E' di terzo grado perché, posto φ = 2π/9, x = cos(φ) e y = cos(3φ), risulta
– 2 = P3(x) = 4x^3 – 3x = P1(y) = y]
P9(x)/P3(x) = P3(y)/P1(y) =4y^2 – 3 ––>
–2 = 4·(4·x^3 – 3x)^2 – 3 ––> 4·(x^2)·(4·x^2 – 3)^2 – 1 = 0 –—> 64·x^6 – 96·x^4 +36·x^2 –1 =0
[Equazione di 3° grado nell'incognita z = x^2.]

Ho scritto un "paper" di una pagina per verificare che il trovare il coseno di (2π/15) è un problema algebrico di 2° grado.
Si trova alla fine:
cos(2π/15) = cos(24°) = √{9-√(5) + √[30 + 6√(5)]}/4.
=>Guarda la figura!

Ed ecco il "paper":
=> Leggi la spiegazione!

Se n è un numero primo (dispari) ma non non del tipo 1 + 2^(2^k) i,,,,,,,,,,,,,,,,,,,l problema è algebrico di grado n.
[tale dunque per n = 7, 11, 13, 19, 23]-
Se invece n (dispari) non è primo ma prodotto di due dispari p e q distinti, n = p·q, (per esempio n = 21 = 3·7) il problema è algebrico di grado pari al minimo grado che si incontrerebbe nei problemi relativi ai singoli fattori p e q.
Questo si capisce pensando di costruire sulla stessa circonferenza un poligono di p lati ed un altro di q lati: si trovano vertici successivi di uno distanti da un vertice dell'altro 2π/(pq) [o un multiplo pari di 2π/(pq)] .
E si capisce anche perché p e q devono essere distinti: se no non ci sono vertici successivi di uno distinti dai vertici dell'altro, e per fare 2π/(q^2) occorre per forza fare la q-esima parte di 2π/q.
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:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ovvio;)

Forse, perché ci sono cose che interessano e piace studiare e approfondire.
Altre, meno.
Almeno, per me...


:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questo è un problema abbastanza conosciuto (ago di Buffon):
http://it.wikipedia.org/wiki/Ago_di_Buffon

Uno spillo di lunghezza a è lanciato su un piano su cui giacciono rette parallele distanti b l'una dall'altra. Assumendo che a<b, qual è la probabilità che lo spillo intersechi qualche retta?

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Buffon%27s_%28short%29_needle_problem.gif

Quindi, anche in questo modo, ripetendo il lancio dello spillo un numero sufficientemente elevato di volte, di può calcolare il valore di pi greco.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=22306&page=3
Ne parlammo già in questa discussione. # 27
Un esperimento
Ciao

Re: Qualche quiz
 

a) C A U T I O N ! ! !
Sospetto che la pagina cui manda il tuo link sia ... inquinata!
Tre volte l'ho aperta e per tre volte m'è andato in "tilt" Safari. :mad:
Ogni volta ho dovuto eseguire l'uscita forzata dal browser di Internet.

b) La storia dell'ago di Buffon ... ogni tanto salta fuori dappertutto.
Per esempio, il consueto "fuorviante" Nino I, spericolato Internet-nauta che sa trovare l'ago nonn solo nel pagliaio (dove Buffon l'ha perduto) ma nell'oceano di Internet, ne ha parlato QUA (naturalnente in un thread in cui si discuteva di tutt'altro)
––––––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Porco mondo!
Ecco cosa succede ad iniziare un intervento, sospenderlo a tempo indeterminato ed inviarlo dopo qualche ora! :mad:
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«Ne parlammo», dici.
Io invece ho detto: «Nino I ne ha parlato»
Vedo dunque che usi anche tu il plurale maiestatis :D
............
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Un esperimento

Se clicchi su "esperimento" lo fai girare per circa 10 minuti oppure per circa 12-13 mila lanci dell'ago, ti accorgi che il contatore ragginge 3,14
bhe, così sono io, dopo 12-13 mila post magari ne azzecco uno, cioè voglio dire che per caso ha a che fare con l'argomento in questione:D:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Carino l'esperimento! :ok:
Dovrei farne uno io simulando la pioggia su un tombino ... :)

Re: Qualche quiz
 

Si mi ricordo della pioggia. Era stato Piotr, e diceva:
prendiamo un cartoncino quadrato, disegnamo un cerchio inscritto, lo mettiamo sotto la pioggia, andiamo dopo un po a contare le gocce e dividiamo (non l'aveva specificato ma io temo fra il numero delle gocce nel cerchio e quelle esterne, si dovrebbe ottenere 3,14)
Qui da me piove!
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Anche qui piove e sto andando a letto.
Però a occhio mi pare che pi greco si debba ottenere moltiplicando per 4 il numero delle gocce interne al cerchio e dividendo per il numero di gocce totali del quadrato circoscritto.
:hello: