Re: Qualche quiz
 

:ok: Dici che è finalmente chiaro, per Erasmus? :D

Cerchiamo di fare la conta a mano.
Chiamando A, B, C, ... una qualsiasi delle 10 cifre e con casi favorevoli il numero di numeri che sono rappresentati da almeno 3 cifre consecutive uguali:
- con 3 cifre si avrà:
AAA cioè 9 casi favorevoli (non essendo possibile avere lo zero all'inizio del numero) sui 900 possibili
- con 4 cifre potremo avere:
AAAB = 9*10 = 90 casi favorevoli +
BAAA = 9*9 = 81, e quindi in totale 171 casi favorevoli sui 9000 possibili
- con 5 cifre:
AAABC = 9*10*10 = 900 +
BAAAC = 9*10*9 = 810 +
BCAAA = 9*9*10 = 810, totale = 2520 casi favorevoli sui 90000 possibili.

Contando in questo modo, le cose si complicano mano a mano che aumentano le cifre dei numeri da esaminare

Però, si può fare questo ragionamento.
Immaginiamo di conoscere già i numeri con 3 cifre uguali consecutive formati da (n+2) cifre e di passare a calcolare quelli formati da (n+3); esempio, se n=1, dai numeri con 3 cifre, ai numeri con 4 cifre.

Affinché si abbia consecutività minima = 3 della stessa cifra, il numero F(n+3) , che indica i numeri di 4 cifre che ne hanno almeno 3 consecutive, sarà dato dalla somma:
- di tutti i numeri troncati a (n+2) che già avevano 3 cifre uguali consecutive, cioè:
F(n+2) * 10
-di tutti i numeri troncati a (n+2) che hanno due consecutività finali e l'ultima cifra uguale alle due precedenti consecutive, cioè 9*(9*10^(n-1)).
Per evitare conteggi ripetuti, a questa espressione fra parentesi va sottratto F(n)

In conclusione, F (1) = 0; F(2) = 0; F(3) = 9; e per n > 0
F(n+3) = F(n+2) + 9*(9*10^(n-1) - F(n))

Questi sono i risultati:
n .......... F(n)
1 ........... 0
2 ........... 0
3 ........... 9
4 ...........171
5 ...........2.520
6 ..........33.219
7 ..........411.651
8 ........ 4.903.830
9 ....... 56.839.329
10 ......645.688.431
11 .....7.222.749.840
12 ....79.815.944.439
..........


:hello:

Re: Qualche quiz
 

Per completare sulla consecutività delle cifre presenti nei vari numeri.

I numeri interi N che non presentano nessuna consecutività (cioè ogni cifra è diversa dalla precedente e dalla successiva), posto n = numero delle cifre di cui è composto il numero sono N = 9^n.

I numeri N che hanno "esattamente due cifre uguali consecutive (anche ripetute più volte) sono:
n .......... N
1 ........... 0
2 ........... 9
3 .......... 162
4 ...........2.268
5 ..........28.431
6 .........335.340
7 .... ....3.805.380
8 ....... 42.049.449
9 ....... 455.740.182
10 ......4.867.527.168

I numeri N che hanno "esattamente tre cifre uguali consecutive (anche ripetute più volte) sono:
n .......... N
1 ........... 0
2 ........... 0
3 ........... 9
4 ...........162
5 ..........2.349
6 .........30.699
7 .... ....378.432
8 ....... 4.492.179
9 ....... 51.935.499
10 ......588.849.102

La precedente sequenza, traslata verticalmente di una decade per volta, è valida per tutte le consecutività successive.
Ad esempio, i numeri di 6 cifre con consecutività 3 (che sono 30.699) sono esattamente in uguale quantità dei numeri di 7 cifre con consecutività 4, dei numeri di 8 cifre di consecutività 5, ecc...

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questo semplice problemino susciterà forse l'interesse anche del mio omonimo ... :)

Un pescatore sta risalendo la corrente di un fiume su una barchetta, ove c'è una bottiglia di grappa piena a metà.
Nell'urto con un bassofondo, la bottiglia cade nel fiume, ma il pescatore si accorge della sua mancanza solo 20 minuti esatti dopo.
Subito, inverte la rotta e ridiscende la corrente, finché riesce a recuperare la sua bottiglia 1 km a valle da dove era caduta.

Supponendo che il pescatore abbia sempre remato con ritmo costante, e che la bottiglia galleggi trascinata alla velocità dell'acqua, si chiede qual è il valore della velocità dell'acqua del fiume.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Scusa, aspesi: se si può ritenere uniforme il moto dell'acqua (la "corrente"), mi pare che non sia la velocità della corrente che si possa venir a conoscere, bensì quella della barca rispetto all'acqua.
-------------------------
Una volta, mentre ero in bici, ho perso un guanto (uscitomi da una tasca). Ma non me ne sono accorto subito.
[I guanti li avevo portati con me per indossarli solo nel caso avessi avuto troppo freddo alle mani].
Me ne sono accorto quando ho deciso di indossare i guanti perché le mani si raffreddavano sempre più.
Sono allora tornato indietro a cercarle il guanto perduto per strada e, fortunatamente, l'ho trovato.
Se avessi mantenuto la stessa velocità sia in andata che in ritorno (alla ricerca del guanto) ed avessi misurato il tempo impiegato nel tornare indietro avrei potuto sapere con che velocità viaggiavo (rispetto alla strada).

:hello:

Re: Qualche quiz
 

La velocità della barca, considerato che il pescatore rema, è la somma (o la differenza, se la direzione è contraria) con quella dell'acqua. Non è richiesta (non si può determinare dai dati e, come puoi facilmente arguire, è indifferente qualunque sia)
Probabilmente non ho afferrato quello che dici, ma il quiz chiede semplicemente di calcolare la velocità dell'acqua (moto uniforme)



Nel tuo esempio, la strada sta (ovviamente :D) ferma.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Se in 40 minuti fa 1 km in un'ora fa 1,5 km ma mi sembra troppo facile, e temo che sotto ci sia un trucco.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Forse, se spieghi meglio il ragionamento che hai fatto...

:hello:

Re: Qualche quiz
 

In salita perde esattamente quello che guadagna in discesa che corrisponde allo spazio che compie la bottiglia. O no.:hello:

Re: Qualche quiz
 

Più o meno. Ma non è chiarissimo.
Forse, Erasmus potrà spiegarlo meglio.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Appunto.
Ferma ... rispetto a sé stessa!
In moto rispetto a qualsiasi altro oggetto che si muove rispetto alla strada.
Come l'acqua della corrente in caso di moto uniforme rispetto alla terra ferma.
Certo: la velocità del ciclista rispetto alla strada è la stessa della strada rispetto al ciclista.

Cambiamo, se vuoi, paragone.
Ti cade un oggetto mentre cammini su un tapis roulant. Te ne accorgi non subito e torni in dietro a riprenderlo quando t'accorgi di non averlo più. Se conti i passi (che sai per esperienza quanto sono lunghi) e guardi due volte il cronometro (dell'orologio che senz'altro hai con te) puoi sapere a che velocità cammini.
Non certo quella del tapis roulant rispetto alla terra ferma.

Quello che chiede il quiz l'avevo ben capito! ;)
Ma nel quiz non c'è alcun elemento cui riferirsi tranne "barca-pescatore", "corrente" e "bottiglia" (cui ho fatto rispettivamente corrispondere, nella prima mia risposta, "bicicletta-ciclista", "strada" e "guanto").

Ciao ciao
:hello:

Re: Qualche quiz
 

[Dimenticavo... Perciò aggiungo ora]
Tutt'altra storia se i supporti del tapis roulant sono equispaziati di un metro e invece di contare i passi conti i supporti. :D
----------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Sì, che lo puoi sapere!!!;)
(E la risposta giusta è quella di Nino280)

Infatti:
Cammini "contro" il verso del tapis roulant, vieni urtato da un altro passeggero che procede nel giusto senso e ti cade un oggetto. Guardi l'orologio, ma non ti accorgi della perdita dell'oggetto e continui a camminare.
-Dopo un certo tempo (che sai!) ti accorgi che è caduto quell'oggetto
-Sai anche lo spazio che devi percorrere per raggiungere l'oggetto "dal luogo ove ti era caduto" (non da dove ti trovi quando te ne accorgi) e che ha proseguito alla velocità del tapis roulant

Quello che non sai è la velocità tua sul tapis roulant (quella che il pescatore imprime alla barca), ma è indifferente!!!!

....B............C............A
---|----------|----------|-------->verso della corrente

L'oggetto cade quando la barca è in B. Supponiamo che il pescatore e il fiume vadano alla stessa velocità (e direzione opposta) v e -v.
Dopo 20', il pescatore si trova ancora in B, mentre la bottiglia sarà stata trascinata in C.
A questo punto, il pescatore inverte, e con velocità doppia 2v, raggiunge la bottiglia in A (distanza BA = 1 km)
Chiaramente, la distanza BA sarà uguale a 2BC = 2CA; quindi il tempo totale trascorso dalla caduta dell'oggetto sarà di 40' e la velocità della corrente è 1/40*60 = 1,5 km/h

Il ragionamento vale per qualsiasi velocità relativa tenuta dalla barca nella corrente e dalla corrente stessa.

Si può sostituire il fiume con un treno e la barca con un passeggero che cammina sul treno; per tornare a prendere la bottiglia caduta (mentre il treno passava ad una stazione senza fermarsi), il passeggero ci mette lo stesso tempo t impiegato ad allontanarsene e nel frattempo la stazione si sarà allontanata di un chilometro (s);
quindi, il treno avanza alla velocità di s/2t.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

@ Nino II
Ma è ovvio se il km è la distanza tra il punto P del fondale nell'istante in cui è caduta la bottiglia ed il punto Q del fondale più a valle nell'istante in cui il pescatore recupera la bottiglia!
[Andando alla stessa velocità rispetto alla corrente, se erano passati 20 minuti dalla caduta della bottiglia a quando se n'è accorto ed inverte la rotta, passano altri 20 minuti tra questo istante e quello del ripescaggio della bottiglia. Ergo la corrente fa un km in 40 minuti, ossia 3 km in 2 ore, va cioè a 3/2 = 1,5 km/ora.]

Ma il quiz non precisa affatto che il km è da considerare tra punti FISSI con la terra ferma!
Ecco qua:
« ... riesce a recuperare la sua bottiglia 1 km a valle da dove era caduta»
Domanda: dove rispetto a cosa?
Implicitamente tu pensi rispetto alle terra ferma. Ma io che leggo ho tutto il diritto di pensare rispetto al pescatore!
Insomma: la mia obiezione tendeva solo a farti notare che il quiz è almeno ambiguo, non facendo alcuna menzione del riferimento rispetto al quale erano da considerare il punto P in cui era caduta la bottiglia ed il punto Q in cui la bottiglia viene ripescata.
Vedi che volutamente ho messo per ultimo, con un 'post' apposito, il richiamo (nel caso del tapis roulant) ad elementi fermi rispetto alla terra.
--------------------
Assumiamo valida la relatività galileiana, vero? [Non quella "speciale" di Einstein :D]

a) La distanza tra pescatore e bottiglia rispetto ad un riferimento solidale con la corrente o ad un altro solidale con la terra ferma è la stessa.
b) Diverse invece sono la posizione della bottiglia rispetto al pescatore (che è la distanza detta prima) e la posizione della bottiglia rispetto ad un punto FISSO della terra ferma.

Proviamo a fregarcene della terra ferma.
1) Il pescatore sente una scossa alla barca e guarda l'orologio: sono le ore X.
2) Dopo un po' gli vien voglia di bere un sorsetto di grappa ma, porco mondo, la bottiglia non c'è più. Intuisce d'averla perduta quando ha avvertito la scossa. Guarda l'orologio, son passati 20 minuti dalle ore X. Inverte la rotta e va alla stessa velocità rispetto all'acqua (ma in verso opposto).
3) Trova la bottiglia dopo 1 km di retro-voga. Un km ovviamente da dove ha iniziato la retro-voga. E ancora ovviamente sono passati altri 20 minuti.
3) Quindi ha vogato alla velocità di 1 km ogni 20 minuti, alias a 3 km/ora.

Come fai a dire che questa interpretazione è sbagliata se non precisi rispetto a cosa si considera quel "dove" ?

Ciao ciao
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Erasmus, certe volte proprio non ti capisco!:o

"1 km a valle da dove era caduta" ha per me un significato chiarissimo ed univoco.
Il riferimento è la posizione della barca in corrispondenza al punto di caduta della bottiglia nell'acqua.
Come si evince facilmente dallo schizzetto del mio messaggio precedente.

E' tutt'altra cosa (arbitraria e sbagliata :rolleyes:) interpretarlo: "1 km dal punto in cui si trova il pescatore dopo 20 minuti di voga"

Ciao e auguri
:hello:

Re: Qualche quiz
 

@ aspesi.
Grazie. Ciao!
Ieri sera avevo replicato. Ma adesso non vedo la mia risposta.
Probabilmente, dopo aver controllato se andava bene facendo l'anteprima, ancora una volta devo aver chiuso senza inviare.
Ti ricordavo che nell'ultima mia risposta esordivo con (pressapoco): «E' ovvio se il riferimento è qualcosa di solidale alla terra ferma!». Ripetevo che il modo con cui avevo risposto stava ad obiettarti che quel riferimento tu lo davi per implicito, ma nel quiz non ce n'era traccia. Ti facevo notare che volutamente avevo usato la finzione letteraria di aggiungere quel 'post' che diceva (pressapoco, con riferimento all'esempio del tapis roulant) :«Tuut'altra storia se al posto di contare i passi conto i supporti del tapis roulant». Facevo un altro esempio: il trovarsi in alto mare, non più visibile la costa né il fondale marino, nel bel mezzo della "Corrente del Golfo" (quella che parte dal Golfo del Messico, traversa l'atlantico e si infila nella Manica). Se ci sono più barche, è naturale riferirsi alla propria, vedere le altre a certe distanze e, se cade qualcosa in mare, pensare a "dove" (= in che punto) era mai caduto quel qualcosa.
Ti dicevo anche che io mi sento spontaneamente "relativista", per cui per me fa lo stesso, persino nella navigazione di un fiume, riferire il moto alle sponde o alla nave. Idem su un treno. [A proposito di questo ti osservavo che, nel tuo esempio del treno, nomini espressamente le stazioni ferroviarie di transito, mentre nel quiz non c'era alcun riferimento alla terra ferma].
Concludevo dicendo (pressapoco): «Dai: è inutile continuare a parlarne!».
E ti salutavo dandoti il
BUON NATALE!

Ciao.
A rieggerci dopo Natale.
-------------------------
BUON NATALE
a chiunque passa di qua!

Adeste, fideles, laeti triumphantes,
venite, venite in Bethleem.
Natum videte regem angelorum.
. . . . . Venite adoremus, venite adoremus,
. . . . . . . . venite adoremus dominum.

En grege relicto, umiles ad cunas
Vocati pastores adproperant.
Et nos ovanti gradu festinemus.
. . . . . Venite adoremus, venite adoremus,
. . . . . . . . venite adoremus dominum.

Aeterni parentis, spendorem aeternum
Velatum sub carne videbimus:
Deum infantem pannis involatum!
. . . . . Venite adoremus, venite adoremus,
. . . . . . . . venite adoremus dominum.

=> Adeste Fideles, (Concierto de Navidad -YouTube)
:hello:

Re: Qualche quiz
 

:D
Ma certo, interpretarlo come dice Erasmus è sbagliato perché in quel modo la domanda non avrebbe avuto senso, non si sarebbe potuto risolvere il quiz!

Come si fa infatti a domandare la velocità della corrente se poi le uniche posizioni che vengono fornite sono rispetto all'acqua?

Come se uno facesse un quiz tipo "Un passeggero di un treno in corsa passeggia avanti e indietro a 2 km/h rispetto al suo scompartimento. A quanto va il treno?":D

Re: Qualche quiz
 

1) APPUNTO! Infatti avevo detto (pressapoco): «Mi pare che non si possa sapere la velocità della corrente»
2) APPUNTO! La corrente ha una certa velocità rispetto alla terra ferma. Quindi occorre che sia ben chiaro che il riferimento è solidale con la terra ferma. Ma in un quiz, perché una cosa sia ben chiara, occorre (e basta) che sia detta esplicitamente (anche se nel comune dialogo spesso si sottace ciò che è implicito).
2) APPUNTO! Hai colto il senso della mia obiezione, stra-precisato fino alla noia (ma non l'ha reso esattamente, perché il tuo esempio è una forzatura paradossale).

Aleph: BUON NATALE pure a te!
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Buon Natale anche a te e a tutti.

Nino

Re: Qualche quiz
 

Sono un masochista per Natale mi sono regalato un libro che spiega le probalità e statistica. Per ora sono alle prime pagine e devo dire che la confusione mi è aumentata a dismisura perchè per ora non capisco perchè si cerca di spiegare il calcolo delle probabilità con l'insiemistica. Boh.
Non è vero non l'ho comprato. E' della biblio.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Abbiamo a disposizione 200 bastoncini aventi lunghezza 1, 2, 3, 4, ..., 199, 200 rispettivamente.
Quanti sono i triangoli (differenti e ovviamente tutti scaleni) che si possono formare scegliendo tre bastoncini come lati?

E per N bastoncini?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Sono le combinazioni di N oggetti a 3 posti.
N*(N-1)*(N-2)/(3*2)
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma qui dobbiamo fare dei triangoli... in cui il bastoncino maggiore non può essere più lungo della somma degli altri due...:mmh:

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Una volta m'era scappata l'espressione:
«Che godùria vedere l'Illustrissimo che incappa in un errore!»
Ma non penserete mica che io goda del fatto che lui (pure) sbaglia, eh?
[E per giunta a Natale, quando ci vogliamo tutti un bene da matti?!]
No, no: io godo del fatto di aver detto giusto io!
Dicevo infatti giusto quando dicevo che l'Illustrissimo è (quasi) infallibile! :rolleyes:
--------------------
Nino II: in ogni triangolo la somma di due lati è minore del terzo. La tua obiezione («il bastoncino maggiore non può essere più lungo della somma degli altri due») è giusta ma insufficiente (per esempio a programmare il conteggio scartando le terne che non van bene).
-----------
Dico la mia.
La domanda è:
«Quanti triangoli scaleni ci sono con i lati lunghi come tre numeri inclusi nell'insieme degli interi da 1 ad N>3?»
Risposta:
Detto S il numero richiesto:
N = 4 ––> S = 1 [ (2, 3, 4) ];
N = 5 ––> S = 3 [ (2, 3, 4); (2, 4, 5); (3, 4, 5) ]
N = 6 ––> S = 7 [ (2, 3, 4); (2, 4, 5); (2, 5, 6); (3, 4, 5); (3, 4, 6); (3, 5, 6); (4, 5, 6) ]
N = 7 ––> S=13 [ (2, 3, 4); (2, 4, 5); (2, 5, 6); (2, 6, 7); (3, 4, 5); (3, 4, 6); (3, 5, 6);
. . . . . . . . . . . . . .(3, 5, 7); (3, 6, 7); (4, 5, 6); (4, 5, 7); (4, 6, 7); (5, 6, 7) ]
In generale (ossia per N maggiore di 3) ... ve lo dico in Pascal. Ovviamente S è una funzione univoca di N.
Quanto vale effettivamente ?
Ci penserò domani. :fis:
:hello:

Re: Qualche quiz
 

La Soluzione: 651750 #

La Formula:



if n/2 = int(n/2) then
num=1
for x= (n/2)-1 to 1 step - 1
totale=totale + (x * num)
num=num + 4
next
end if


if n/2 <> int(n/2) then
num=3
for x= ((n-1)/2)-1 to 1 step - 1
totale=totale + (x * num)
num=num + 4
next
end if

#


Ed il link:

http://www.astrionline.it/coelum2/aspesi.aspx?N=11


Sostituire 11 con il valore di N desiderato.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Certo... hai ragione... ma mia moglie mi aveva chiamato per il panettone...:)
Avrei voluto aggiungere anche che... il bastoncino lungo 1 è del tutto inutile, in quanto non può essere utilizzato per fare nessun triangolo (spesso, il piccolo è inutile e discriminato, e il grand è ciula... :D)

OK per il tuo algoritmo, ma da te mi aspetto di meglio

:hello:

Re: Qualche quiz
 

OK :ok:
Ma della tua "formula" e dell'impostazione del programma non ho capito un tubo...:o

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Per evitare che alcuni triangoli siano ripetuti più volte, dobbiamo assumere che:

a < b < c

Inoltre c < (a + b) per formare un triangolo.

Ho considerato per prima cose le coppie (a,b) che sono (n^2 - n)/2, e poi ho visto quante volte potevo aggiungere a queste coppie il terzo lato c, che rispettasse le condizioni poste(essere maggiore di b, e minore di (a+b).

I numeri riportati in questa pagina, indicano il numero di c validi per ciascuna coppia (a, b).

Questi numeri hanno un andamento particolare, da cui ho ricavato l'algoritmo per calcolare il numero di triangoli possibili.

L'algoritmo è leggermente diverso per N pari ed N dispari.

In questo esempio, dove N=10, nella riga centrale la n.5 il primo valore è 4.
Quindi se N è pari, il valore centrale è sempre (n/2)-1.

A partire da questo valore centrale si osserva che ci sono dei semi-quadrati concentrici, che hanno tutti lo stesso valore di c, che decresce di una unità da quadrato a quadrato.

Ogni semi-quadrato ha 4 elementi in più del semi-quadrato che contiene...





if n/2 = int(n/2) then '''''''' Ossia se N è pari

num=1 '''''''''' Il quadrato centrale contiene un solo numero
for x= (n/2)-1 to 1 step - 1 '''''partendo dal valore centrale, e diminuendolo di una unità alla volta, sino ad arrivare ad 1.
totale=totale + (x * num) ''''' moltiplico il valore per il numero degli elementi e lo aggiungo al totale
num=num + 4 '''''' aumento il quadrato di quattro unità, per il prossimo conteggio
next

end if



if n/2 <> int(n/2) then '''''''' Ossia se N è dispari

num=3 '''''''''' Il quadrato centrale contiene tre elementi
for x= ((n-1)/2)-1 to 1 step - 1 '''''partendo dal valore centrale, e diminuendolo di una unità alla volta, sino ad arrivare ad 1.
totale=totale + (x * num) ''''' moltiplico il valore per il numero degli elementi e lo aggiungo al totale
num=num + 4 '''''' aumento il quadrato di quattro unità, per il prossimo conteggio
next

end if

Re: Qualche quiz
 

Adesso mi è chiaro. ;)
E' un altro modo di risoluzione rispetto ai due che avevo pensato io (che però non hanno bisogno di un programma, ma solo di una formula finale...)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Si può affrontare il quiz così:

Consideriamo il lato maggiore A (che non può essere minore di 4 e il cui massimo è N)

.... A ....N-triangoli-possibili ..... lunghezza lati
... ---- ...... ------------- ...........------------------------------
.... 3 ............... 0
.... 4 ............... 1 ............... (4-3-2)
.... 5 ............... 2 ............... (5-4-2; 5-4-3)
.... 6 ............... 4 ............... (6-5-2; 6-5-3; 6-5-4: 6-4-3)
.... 7 ............... 6 ............... (7-6-2; 7-6-3; 7-6-4; 7-6-5: 7-5-3; 7-5-4)
.... 8 ............... 9 ............... (8-7-2; 8-7-3; 8-7-4; 8-7-5; 8-7-6; 8-6-3; 8-6-4; 8-6-5; 8-5-4)
.................................................. .......................................

La sequenza può essere scritta:
.... A ....... 4 ........ 5 ........ 6 ......... 7 ......... 8 ........ 9 ......... 10 ......... 11 .......
.... n ....... 1 ........ 2 ........ 3 ......... 4 ......... 5 ........ 6 .......... 7 ........... 8 .......
...seq. ..... 0 ........ 1 ........ 2 ......... 4 ......... 6 ........ 9 .......... 12 ......... 16 ......

che è descritta con il riferimento A002620 nell'enciclopedia delle sequenze, da cui si può vedere anche come determinare un elemento n:
a(n) = a(n-1) + int(n/2)
o anche:
a(n) = (2*n^2 - 1 + (-1)^n)/8

Se si sommano i termini della sequenza (partendo dal primo) si ottiene quest'altra sequenza (A002623):
.... n ....... 1 ........ 2 ........ 3 ......... 4 ......... 5 ........ 6 .......... 7 ........... 8 .......
.... S .... .. 1 ........ 3 ........ 7 ........ 13 ....... 22 .......34 ..........50 ......... 70 .......
che rappresenta il numero di triangoli che possono essere fatti disponendo di N sbarrette lunghe 1, 2, 3, 4, ..., N
con N=n+3

La formula per determinare gli elementi della sequenza A002623, cioè il numero di triangoli che si possono formare disponendo di N bastoncini, è la seguente:
S_tr = int((2*(N-2)^3 + 3*(N-2)^2 - 2*(N-2)) / 24 )

Per N=200, S_tr= 651.750

Ma c'è un modo più semplice per risolvere il quiz

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Vedo che hai anche tu, il manuale delle giovani marmotte, come il tuo omonimo. :D

Re: Qualche quiz
 

???????
Ahhhh..... ;)
Ma non è un manuale, è semplicemente il sito dell'enciclopedia delle sequenze dei numeri interi:
https://oeis.org/
http://oeis.org/A002620
http://oeis.org/A002623

C'è veramente di tutto, basta consultarlo e non c'è assolutamente bisogno di saper tirare fuori le formule necessarie...;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ieri avevo pensato:
1) Se non ci fosse da rispettare la disuguaglianza triangolare, la formula sarebbe quella delle combinazioni di N elementi a 3 a 3 cioè:
C(N, 3) = N·(N–1)·(N–2)/3! = (N^3)/6 –(N^2)/2 + N/3
ossia polinomiale di 3° grado.
2) Se la formula fosse ancora polinomiale (anche se si devono scartare certe combinazioni perché non rispettano la disuguaglianza triangolare) sarebbe ancora di 3° grado.
3) Detta S(N) la successione, risulta: S(0) = S(1) = S(2) = S(3) =0; S(4) = 1; ...
Poi, per N > 4, succede sempre S(N+1) > S(N) perché con N+1 elementi si trovano tutte le terne di S(N) più qualcun'altra di sicuro, almeno (N–1, N, N+1).
4) Se S(N) fosse polinomiale di 3° grado, cioè del tipo:
A·N^3 + B·N^2 + C·N + D
si potrebbero calcolare le costanti A, B, C e D sapendo S(N) per N = 0, 1, 2, 3.
Ma si troverebbe A=B=C=D=0 [cioè S(N) = 0 ovunque] perché S(N) si annulla in quei 4 punti consecutivi N = 0, 1, 2 e 3 mentre un polinomio di 3° grado si annulla al massimo in 3 punti.
Quindi S(N) non può essere polinomiale ...

Già ieri, ragionando un pochino, mi pareva che S(N) non potesse essere polinomiale per il semplice fatto che l'aggiunta di altre terne ad S(N) per avere S(N+1) mi pareva che dipendesse anche dall'essere N pari o dispari ...

Ho deciso così di ... soprassedere!
-----------------------------------
Prima ho contato un'altra volta S(5), S(6) ed S(7) trovando che avevo sbagliato il conteggio!
Mi sono permesso di andare a correggere elencando le 3 terne S(5), le 7 terne S(6) e le 13 terne S(7).
-----------------------------------
Riprendo i miei ragionamenti.

5) Una successione polinomiale di grado k–1 è un caso particolare di sequenza linearmente dipendente di ordine k: quello in cui il polinomio caratteristico di grado k si riduce a
P(x) = (x –1)^k.

[Di queste sequenze ho già parlato almeno altre due volte. Una per esporre la teoria generale, un'altra a proposito della sequenza di Fibonacci che è linearmente dipendente di ordine 2].

Se la successione fosse polinomiale di 3° grado, sarebbe linearmente dipendente di ordine 4 (dipendendo da 4 costanti – i coefficienti dei 4 termini).

E se S(N) fosse ... quasi polinomiale, ossia un polinomio corretto dall'aggiunta di qualcosa che dipende dall'essere N pari o dispari? :mmh:

Nell'ipotesi che S(N) fosse linearmente dipendente, l'ordine dovrebbe però essere maggiore di 4 perché se fosse 4, annullandosi S(N) in 4 punti consecutivi, non potrebbe essere S(N) ≠ 0 altrove.

D'altra parte, se S(N) fosse linearmente dipendente di ordine 4, ogni termine sarebbe combinazione lineare dei tre precedenti i cui indici o sono due pari ed uno dispari, o sono due dispari ed uno pari.

Se invece S(N) fosse linearmente dipendente di ordine 5, un termine sarebbe combinazione lineare dei quattro termini precedenti i cui indici sono sempre 2 pari e due dispari.

Proviamo dunque a verificare se S(N) è linearmente dipendente di ordine 5.
Anzi: proviamo a vedere se basterebbe cambiare il polinomio caratteristico da
(x – 1)^4 [che sarebbe quello d'una successione polinomiale di 3° grado)
in quest'altro
(x + 1)·(x – 1) ^4
che porterebbe alla somma di un polinomio di 3° gardo con un addendo del tipo
K·(–1)^N.
Infatti un fattore del tipo (x – p), con lo zero semplice x = p, introduce nella sequenza un addendo del tipo K·p^N. Quindi, se p = –1, un addendo che cambia segno a seconda che N è pari o dispari.

Se dunque il polinomio caratteristico fosse
P(x) = (x + 1)·(x – 1)^4
la successione S(N) dovrebbe essere del tipo

S(N) = A·N^3 + B·N^2 + C·N + D + K·(–1)^N

Le costanti A, B, C, D e K si potrebbero calcolare dalla conoscenza di S(N) per 0 ≤ N ≤ 4.
L'ipotesi potrebbe essere verificata dalla conoscenza di S(5), S(6), S(7) ...

Proviamo!
S(0) = 0 ––> D+K = 0 <––> K = – D;
S(1) = 0 ––> A + B + C + D – K = A + B + C + 2·D = 0;
S(2) = 0 ––> 8·A + 4·B + 2· C + (D+K) = 8·A + 4·B + 2·C = 0 <––> 4·A + 2·B + C = 0;
S(3) = 0 ––>27·A + 9·B + 3·C + 2D = 0 ––> 26·A + 8·B + 2·C = 0 ––> 13·A + 4·B + C = 0 ;
S(4) = 1 ––>64·A + 16·B + 4·C + (D+K) = 1 ––> 64·A + 16·B + 4·C =1 ––> 16·A + 4·B + C =1/4;
Dalle ultime due righe si ricava, sottraendo membro a membro, 3·A = 1/4 <––> A = 1/12.
Quindi, con la precedente riga:
9·A + 2·B = 0 ––> B = – (9/2)·A = –(9/2)·(1/12 <––> B = – 3/8;
4·A + 2·B + C = 0 ––> C = – 4·A – 2·B = –4/12 + 2·3/8 <––> C = 5/12;
A + B + C + 2·D = 0 ––> D = – (A + B + C)/2 = –(1/12 – 3/8 + 5/12) <––> D = – 1/16;
K = –D = 1/16 <––> K = 1/16.

Allora sarebbe, (mettendo le frazioni a denominatore comune):

S(N) =[4·N^3 – 18·N^2 + 20·N – 3 + 3·(–1)^N]/48.

Non mi resta che ... sperare che S(5), S(6) ed S(7) vengano giusti!

S(5) = (4·125 – 18·25 + 20·5 –3 –3)/48 = 3 ( O.K. )
S(6) = (4·216– 18·36 + 20·6 )/48 = 7 ( O.K. )
S(7) = (4·7^3 – 18·7^2 + 20·7 –3 –3)/48 = 13 ( O.K. )

Urraah!
Mi sento allora sicuro che la formula sia giusta.

La ripeto:

S(N) = (1/12)· N^3 – (3/8)·N^2 + (6/12)·N – (1/16)·[1 – (–1)^N]

------
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Perfetto!!!!:ok:

Non so dimostrarlo, ma la tua formula porta allo stesso identico risultato di quella che ho postato io:

S(N) = int((2*(N-2)^3 + 3*(N-2)^2 - 2*(N-2)) / 24 )

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Proviamo ad affrontare il problema con un altro ragionamento.

Cioè, a contare i triangoli che si possono fare con il lato maggiore A=200
Il lato intermedio B deve essere compreso fra 199 e 101.
Il lato minore C può variare nel seguente modo:

.. A ............. B ............... C ..............N. triangoli
200 ...........199 ........ 198....2 .............. 197
200 ...........198 ........ 197....3 .............. 195
200 ...........197 ........ 196....4 .............. 193
...........................
200 ...........102 .........101...99 ................ 3
200 ...........101 ........ 100..100 ............... 1

Si vede subito che i casi possibili sono la somma dei numeri dispari da 1 a 197 (cioè da 1 a N-3)

Esaminiamo ora quando il lato maggiore vale A=199. La tabella diventa:

.. A ............. B ............... C ..............N. triangoli
199 ...........198 ........ 197....2 .............. 196
199 ...........197 ........ 196....3 .............. 194
199 ...........196 ........ 195....4 .............. 192
...........................
199 ...........102 .........101...98 ................ 4
199 ...........101 ........ 100...99 ............... 2

Cioè, partendo dal lato maggiore N-1 con lunghezza dispari, i casi possibili sono la somma dei numeri pari tra 2 e 196.

Se si uniscono i due casi con A=200 e A=199, si ottiene la somma:
1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 196 + 197 = 197*198/2

Analogamente si può procedere per A=198 e A=197; si trova = 195*196/2
Per A= 196 e A=195; si trova = 193*194/2
Ecc...
Per A=6 e A= 5; si trova = 3*4/2
e infine per A=4 (1 caso) e A=3 (nessun caso); si trova 1*2/2

A questo punto, non resta che fare il totale:
(1*2 + 3*4 + 5*6 + ..... + 195*196 + 197*198) / 2 = 651.750

Il procedimento è applicabile per qualsiasi N pari. La sommatoria va continuata fino ad avere come ultimo termine (N-3)*(N-2)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Certo!
Mi pare che questo esame non sia altro che ... l'andar a vedere nel dettaglio cosa fa l'algoritmo generale [che poi è quello che avevo postato' scrivendolo in Pascal].
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Vorrei fare i complimenti ad Astromauh! :ok:
Non solo ha trovato un algoritmo per il calcolo automatico (molto semplice .... benché incomprensibile per chi non ha dimestichezza dell'orrendo linguaggio di programmazione che lui usa, [al contrario del Pascal il cui "like english" lo capisce chiunque conosca quattro ache di inglese]), ma ha rilevato che quel che fa l'algoritmo dipende anche dal fatto che N sia pari o dispari.
E' questa l'osservazione fondamentale per arrivare alla formula giusta per via "euristica" (come poi ho fatto io).

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Infine ... un'osservazione che troverete senz'altro pedante!
La formula del numero S(N) di triangoli scaleni con lati lunghi (in certa unità di misura) come tre numeri interi non maggiori di un certo intero N, funziona anche per N negativo!

Dunque S(N) non è una successione, bensì una sequenza.

NB.
Si dica "successione" una funzione y(h) di variabile [intera] "naturale" (h = 0, 1, 2, 3, ...).
Si dica "sequenza" una funzione s(k) di variabile "intera" (anche negativa: k = ... –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...).
Le successioni incominciano [e non terminano]: y(0), y(1), y(2), y(3), ...
Le sequenze non incominciano [e non terminano]: ... s(–3), s(–2), s(–1), s(0), s(1), s(2), s(3), ...

Naturalmente osservare che S(N) è una sequenza (definita cioè anche per N negativo) ha senso solo astraendo dal fatto che l'algoritmo che "costruisce" la funzione S(N) nasce in ambito geometrico.

In geometria le lunghezze dei lati sono valori assoluti.
E non ha senso un numero negativo di oggetti di un certo tipo!

Ma la sequenza S(N), considerata algebricamente, è solo un caso tra quelle che soddisfano la condizione:
«Per ogni n intero: s(n+5) – 3·s(n+4) + 2·s(n+3) + 2·s(n+2) – 3·s(n+1) + s(n) =0 » (*)
che permette, noti 5 termini consecutivi, di proseguire la sequenza per indice crescente:
«Per ogni n intero: s(n+5) = 3·s(n+4) – 2·s(n+3) – 2·s(n+2) + 3·s(n+1) – s(n) »
ma anche per indice decrescente:
«Per ogni n intero: s(n) = 3·s(n+1) – 2·s(n+2) – 2·s(n+3) + 3·s(n+4) – s(n+5) ».
La condizione (*) è espressa dal polinomio caratteristico
P(x) = (x+1)(x –1)^4 = x^5 – 3·x^4 + 2·x^3 + 2·x^2 – 3·x + 1. (**)

Provate a verificare che la condizione (*) è soddisfatta dalla sequenza S(N):
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:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ti ringrazio per i complimenti, ma mi sembrano piuttosto immeritati.

Non capisco come si faccia a passare dall'algoritmo alla formula.

Come hai fatto a capire che la formula poteva essere rappresentata con un polinomio di terzo grado? Quali sono le condizioni che permettono di trasformare una procedura ricorsiva in una formula?

Ad esempio nel caso dei fattoriali, se voglio calcolare 5! devo moltiplicare 1 · 2 · 3 · 4 · 5 con una procedura ricorsiva e non mi pare che esista una formula risolutrice.

In questo caso invece si riesce a trovare una formula perchè ci sono delle quantità che crescono ed altre che decrescono?

:confused:

Re: Qualche quiz
 

No, astromauh. Sai che non sono molto facile a fare complimenti!
Anzi: è più facile che invece di complimenti io faccia critiche! [Aspesi ne sa qualcosa :D]
Beh: non sempre si può. E certamente io non sono a conoscenza di tutte le volte che si può e di tutte le volte che non si può!
Ma se per caso la sequenza è "linearmente dipendente" e di ordine noto, allora si può (ed io lo so fare ;) )

Come ho fatto l'ho spiegato.
L'inizio del percorso penso che sia chiaro anche a te.
Il prosieguo ... probabilmente no perché richiede la conoscenza di specifiche nozioni (che non sono in sé difficili ... ma se non le conosci mica puoi adoperarle!).
[Inizio: Se non ci fossero le limitazioni date dalla disuguaglianza triangolare, basterebbe prendere le combinazioni a tre a tre degli N elementi a disposizione, (come ... distrattamente ha detto l'Illustrissimo). Queste sono N·(N–1)·(N–2)/3!.
E questa formula è un polinomio di 3° grado (ma non quello che c'è nella formula finale)].
Come ho poi proseguito?
Ho già detto che la formula l'ho trovata per via "euristica". Significa che ho fatto un'ipotesi e poi ho verificato che era quella giousta.

Naturalmente l'ipotesi non è la presa a casaccio!

Io, in passato, mi sono dedicato a ricavarmi (amatorialmente, ma abbastanza impegnativamente) la teoria delle "sequenze linearmente dipendenti" ... ma non so neanche se questa dicitura è quella condivisa dai matematici perché la teoria in questione l'ho sviluppata senza consultare niente in assoluto (ragionando però in analogia a quella delle equazioni differenziali lineari sulla quale invece mi sono fatto "un mazzo tanto" nel biennio di ingegneria. [Ai miei tempi a Padova i corsi di analisi, di geometria e meccanica razionale erano gli stessi per allievi di Ingegneria, di Matematica e di Fisica].

Una volta ho esposto per sommi capi, qui in Rudi Mathematici, la teoria delle sequenze linearmente dipendenti.
Ovviamente l'ho fatto ... pensando di essere abbastanza originale perché (almeno ai miei tempi) non si insegnava né al liceo né all'università (tant'è che, come ho detto, me la son sviluppata da solo). Ieri ho cercato dove, ma non l'ho trovato,

Supponi di avere una successione {y(n)}, dove n è l'indice ed y(n) è il volore tel termine di indice n.
Supponi che, presi k+1 termini in fila (non importa a che punto della successione) esistano k+1 costanti A0, A1, A2, ..., Ak tali che succeda:
A0·y(n) + A1·y(n+1)+A2·y(n+2)+ ... +Ak·y(n+k) = 0
Allora quella successione è "linearmente dipendente di ordine k".
Beh: ho detto "successione": ma una volta che so che è "linearmente dipendente" posso chiamarla "sequenza" perché se conosco k termini in fila (in un punto qualsiasi) posso trovare il prossimo successivo e anche il più vicino precedente: quindi posso, ricorrentemente, prolungare a destra o a sinistra la lunghezza della successione a piacere!

Una volta che so che una sequenza è linearmente dipendente sono in grado di conoscere la formula che, dato n, mi dà il valore di y(n).
Questa formula è di un preciso tipo generale (dipendente dall'ordine k e dalle k+1 costanti) nel quale rientrano anche i polinomi.

Si può vedere, per esempio, che un polinomio di 2° grado, diciamo y(n) = A·n^2 + B·n + C, al variare di n rappresenta una sequenza linearmente dipendente di ordine 3 che verifica la condizione:

Per ogni n intero y(n+3) – 3·y(n+2) + 3·y(n+1) – y(n) = 0.
ossia: il suo polinomio caratteristico è (x – 1)^3.
Infatti:Allora, siccome un polinomio di 3° grado si annulla al massimo in tre punti mentre S(N) si annulla in quattro punti consecutivi, S(N) non può essere banalmente un polinomio di 3° grado!
Ma mi resta il sospetto che sia tuttavia linearmente dipendente.
Provando a ragionare mi pare anche che se N è pari le cose siano un po' diverse da quando N è dispari. Per esempio, se prendo N = 6, e il lato maggiore ancora uguale a 6, gli altri due lati che dànno per somma 6+1 = 7 sono le coppie (2, 5) e (3, 4). Ma se prendo N = 7, le coppie che mi danno per somma 7+1 = 8 sono (2, 6), (3, 5) ... e mi resta inutilizzato il 4. Mentre se N è pari le coppie che mi dànno N+1 esauriscono tutti i numeri tra 2 ed N –1, se N è dispari le analoghe coppie non usano il numero centrale tra 2 ed N.

Allora mi viene da fare l'ipotesi che la formula non sia esattamente la stessa per N pari o dispari e quindi vado a verificare il caso più semplice di modifica a partire da quello polinomiale di 3° grado. Se per questo il polinomio caratteristico sarebbe (x–1)^4, faccio l'ipotesi che il polinomio caratteristico sia non (x–1)^5 – che mi darebbe una soluzione polinomiale di 4° grado, bensì
P(x) = (x+1)·(x–1)^4.
Sapendo quanto fa S(N) per N = 0, 1, 2, 3 e 4,
[cioè S(0) =S(1) = S(2) = S(3) = 0; S(4) = 1]
mi trovo la formula che però non sono ancora sicuro se è quella giusta.

Vedi che al post precedcente avevo scritto: «Non mi resta che ... sperare che vada bene anche per N = 5, 6, 7, ... ».
Naturalmente se va bene per alcuni successivi indici, va senz'altro bene sempre.

Insomma: ho immaginato che:
• siccome S(N) sarebbe polinomiale di 3° grado senza la restrizione della disuguaglianza triangolare,
• siccome una S(N) polinomiale sarebbe pur sempre una sequenza linearmente dipendente,
• siccome per N dispari non si combinano alla stessa maniera che per N pari i lati più corti,

S(N) possa essere ancora linearmente dipendente e quasi polinomiale: fatta cioè da polinomio (che è lo stesso per N pari o dispari) più un termine che cambia segno tra quando N è pari e quando è invece dispari

La formula sarebbe dipesa da 5 costanti. Le ho determinate conoscendo S(N) nei primi 5 posti.
Ho provato la formula per N = 5, 6 e 7 e ho visto che andava bene.

Siccome aspesi difficilmente posta roba sbagliata, ho controllato la formula di aspesi: coincideva con la mia!
Quando il risultato è intero è perché N è pari. Quando è dispari, l'arrotondamento per difetto equivale a detrarre qualcosa di intero al numeratore

Sono stato lungo, ma spero di essere stato chiaro :D

Ciao ciao

Re: Qualche quiz
 

Eh..eh.., stando molto attenti... ;)

Abbiamo un cerchio.
Qual è il massimo numero di regioni (R) che si ottengono congiungendo con segmenti dritti tutti gli n punti posti sulla sua circonferenza?

n = 1 ; R = 1
n = 2 ; R = 2
n = 3 ; R = 4
n = 4 ; R = 8
n = 5 ; R = 16

Uno sarebbe portato a dedurre che il numero delle regioni che si formano con n punti distinti sia come i termini della successione:
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , ...
cioè:
a(n) = 2^(n-1)

Ma, come ben sai, non è così... ;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Dimentichi che io sono un ingegnere, non un matematico... [beh: diciamo che almeno lo sono stato in passato :o].

Veramente in questo particolare caso ... non lo so. Anzi: non lo sapevo e adesso lo so perché me lo dici tu e di te mi fido!

Giusto dire che ... non è detto che sia così in generale!
Proprio io ho scritto una volta, qui in Rudi Mathematici, che è intrinsecamente aberrante l'abituale quesito di certi test di IQ in cui bisogna proseguire una "serie" dati alcuni suoi termini in fila ...

Ma nel tuo quiz precedente (da me risolto – scusa se insisto – per via "euristica") le cose stavano in una particolarissima situazione.
• la legge di formazione della "serie" era ben definita dal punto di vista costruttivo: era quello che è detto proprio "funzione" nella teoria generale della programmazione (in soldoni la "serie" era programmabile). [Dimenticavo: sono stato anche studente di "scienze dell'informazione" ed ho sostenuto l'esame di "metodi" :rolleyes:]
• sapevo che c'era da trovare una "formula" (quella che, propriamente, si chiama "definizione intensiva" della "serie", in contrapposizione alla "definizione per ricorrenza" che consiste nel conoscere alcuni termini in fila e sapere come da essi ricavare il prossimo (successivo e/o precedente). La "formula" da trovare, in fondo non poteva essere che una funzione analitica. Se una funzione analitica dipende da k parametri indipendenti, la trovi conoscendone il valore in k punti distinti (o comunque da k condizioni indipendenti). Se funziona per k +1 termini distinti funziona per tutti!
• Avevo buone speranze che la "formula" da trovare, una volta che fosse astratta dall'ambito geometrico, fosse la definizione intensiva di una "sequenza linearmente dipendente".
• La formula tu la sapevi; anzi la sapevi tu che io ho imparato a conoscere.
Certo: sarebbe potuta dipendere da più di 5 parametri indipendenti. Ma non da moltissimi di più, in quanto "formula" da trovare su proposta di Nino II ;). Verificarla per altri 3 punti successivi ai 5 che mi permettevano di scriverla, ragionando sempre da ingegnere, mi è parso un sufficiente margine di sicurezza. :)

Ciao ciao

Re: Qualche quiz
 

Con tre coppie di punti in opposizione sul cerchio

n = 6 ; R = 30

Si sa, le opposizioni portano male. :D