Re: Qualche quiz
 

Il "cuore" mi dice che tu NON HAI IPOTIZZATO bensì GIA' SAPEVI!
Se non è così, giusto è il mio eccepire in quanto la tua verifica va bene per i quadrati ma da essa non si può sapere se il richiesto rapporto è ancora quello in caso di rapporto diverso da 1 tra due lati consecutivi del rettangolo. Insomma: Hai fatto una ipotesi ma non hai affatto verificato che è giusta!
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

I tre cerchi di cui parli SONO i cerchi "exscritti". I testi di matematica di solito li chiamano "exinscritti" ... suppongo per sola comodità di pronumcia (dato che dal punto di vista etimologico exinscritto è una orrenda contraddizione. [Infatti "in" vuol dire "dentro" ed "ex" vuol dire "fuori"!]
–––––––––––-
In un triangolo ABC è convenzione indicare lati ed angoli come segue:
a = BC; b = CA; c = AB.
α = CAB; β = ABC; γ = BCA.

Come il centro del cerchio inscritto è l'intersezione delle bisettreici degli angoli interni, così ciascuno dei centri dei cerchi exscritti è l'intersezione delle bisettrici dei due angoli esterni che hanno in comune il lato al quale è tangente il cerchio exscritto di cui è il centro.
Allora si riconosce facilmente che, per esempio: [V. figura più sotto]
• detto I l'incentro di ABC e detto Ra il raggio del cerchio exsceritto tangente al lato opposto ad A di lunghezza BC = a, risulta:
PI^2 = [Ra/cos(β/2)]^2 + [r/sin(β/2)]^2 = [Ra/cos(γ/2)]^2 + [r/sin(γ/2)]^2.

Ricordo che: [code]
• Per un angolo di ampiezza x qualunque
cos(x/2) = √{[1 + cos(x)]/2}; sin(x/2) = √{[1 – cos(x)]/2};
• Nel triangolo ABC di lati rispettivamente opposti ad A, B e C lunghi a, b e c[code]
cos(α) = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc);
cos(β) = (c^2 + a^2 – b^2)/(2ca);
cos(γ) = (a^2 + b^2 – c^2)/(2ab);
r = <area di ABC>/<semiperimetro di ABC> =√[(–a+b+c)(a–b+c)(a+b–c)/(a+b+c)]/2./code]
–––––––––––
Lascio ad altri l'applicare quanto ho qui esposto per calcolare i raggi dei cerchi exscritti al triangolo di lati lunghi 187, 340, 389.
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Grazie, ma quello che chiedevo è solo la semplicissima relazione fra raggio inscritto e raggio exinscritto per un determinato triangolo rettangolo (di cui si conoscono i lati).

Ad es. triangolo rettangolo, cateti a=5, b=12, c=13
raggio cerchio inscritto = (5 + 12 - 13)/2 = 2
raggio cerchio exinscritto tangente al cateto a = 3
raggio cerchio exinscritto tangente al cateto b = 10
raggio cerchio exinscritto tangente all'ipotenusa c = 15

E per il triangolo 189, 340, 389?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ok, ora lo vado a fare.
Questo Quiz mi era proprio sfuggito.
Perchè l'hai inserito nel mezzo di una discussione fra te ed Erasmus in cui vi rimpallate la palla di quale era la soluzione migliore fra due soluzioni di un quiz che forse era quella del triangolo con i lati 9 40 41 con dentro il cerchio da 4
Io avevo letto solo la prima riga non capendo che alla fine c'era un Quiz.
Comunque prima di andare a disegnare il quiz voglio dire due paroline sugli ex-inscritti.
Di questo "Teorema" qui nei Rudi ne abbiamo già parlato come minimo altre 4 volte delle quali 4 almeno tre iniziate da me, compreso la prima edizione.
IL teorema degli ex-inscritti io l'ho ben presente per il fatto che esso è (nel mio vecchissimo libro di geometria delle serali) lo spartiacque fra geometria piana e la geometria solida essendo l'ultimo capitolo di quella piana.
Vado un pò a memoria, ma proprio diciamo a spanne prima di iniziare. La relazione?
Be mi pare di ricordare che la bisettrice dell'angolo opposto ai due considerati, pasa per il centro dell' Ex-Inscritto.
Anche io ho un super intuito, non proprio come il tuo che è diventato ormai proverbiale, diciamo quasi come il tuo.
E il mio intuito mi dice che il triangolo da te menzionato, cioè il 189 340 389 sia un rettangolo. :D:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Ecco fatto.
Come si vede e come avevo intuito il triangolo 189 340 369 è rettangolo.
Poi avevo anche intuito che le bisettrici di questo triangolo passano per i centri degli ex-inscritti, e per distinguerle le ho marcate in verde e tratteggiate.
In rosso poi ho inspessito i cateti per distinguerli dal resto di rette semirette e perpendicolari vari del nuovo triangolo che si viene a creare congiungendo i centri dei tre ex-inscritti.
Ho nascosto l' 80 % della costruzione perchè il tutto era diventato un vero marasma.
Le bisettrici del triangolo iniziale sono normali ai cateti del triangolo rosso.
E poi tanto altro ancora.
Ciao
Ora ho visto meglio quello che chiedi. Chiedi il raggio degli ex-inscritti?
Devo solo andare a misurarli.
I raggi sono : 119 ; 270 ; 459
Ciao
P.S.
Trovo strano che l'Ex-inscritto di quello a destra poggi sul cateto del nostro triangolo, è la prima volta che mi capita. non vorrei aver fatto qualche errore di sbaglio ed è molto facile che questo possa accadere, perchè ripeto per la seconda volta , ad un certo punto avevo una trentina di rette che si incrociavano le une con le altre.
:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:
E' perfetto!

Raggio inscritto = 70

Raggi exinscritti =119; 270 e 459

Valgono sempre le relazioni:

p * r_i = (p - a) * r_ex_a
p * r_i = (p - b) * r_ex_b
p * r_i = (p - c) * r_ex_c

dove p è il semiperimetro del triangolo
r_i è il raggio del cerchio inscritto
a, b, c sono i 3 lati del triangolo
r_ex_è il raggio dei cerchi exinscritti (a, b, c)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Li hai voluti fare tu, mica ti ho obbligato... :D

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Oh perbacco bacchissimo!! :mad:
La relazione, se il triangolo non è rettangolo, non è affatto "semplice"!
La relazione che chiedi l'ho appunto esposta!

Ti ho ricordato che, se x è un angolo quaòlunque, hai
[cos(x/2)]^2 = [1 + cos(x)]/2; [sin(x/2)]^2 = [1 – cos(x)]/2.

E ti ho mestratro anche come si ricavano i coseni degli angoii interni in funzione dei lati.
Espressamente:
coa(alfa) = [b^2 + c^2 – a^2](2bc);
coa(beta) = [c^2 + a^2 – b^2](2ca);
coa(gamma) = [a^2 + b^2 – b^2](2ab).


In generale, metti le espressioni di cos(α), cos(β) e cos(γ) dentro alle espressioni conteneti i coseni degli angoli α, β e γ.
Le espressioni dei raggi exscritti in funzione dei lati sono facili ma non brevi per un triangolo qualunque.
Non conviene darle esplicitamente! Conviene proprio darle mediatamente come ho fatto nel preecedente messaggio.
La cosa si semplifica enormemente nel caso di triangoli rettangoli!
Infatti allora, detti a e b i cateti e c l'ipotenusa, risulta:
cos(α) = b/c; cos(β) = a/c; cos(γ) = 0..

Le espressioni generali sono però:
Ra = r·√{([1+ cos(β)]·[1+ cos(γ)])/([1– cos(β)]·[1– cos(γ)])}:
Rb = r·√{([1+ cos(γ)]·[1+ cos(α)])/([1– cos(γ)]·[1– cos(α)])};
Rc = r·√{([1+ cos(α)]·[1+ cos(β)])/([1– cos(α]·[1– cos(β)])}
dove, posta S l'area del triangolo e posto p il suo semiperimetro, è:
r = S/p = √[(–a+b+c)(a–b+c)(a+b–c)/(a+b+c)]/2;
cos(α) = (b^2 + c^2– a^2)/(2bc);
cos(β) = (c^2 + a^2–b^2)/(2ab);
cos(γ) = (a^2 + b^2– c^2)/(2ab).

Nel caso di triangoli rettangoli queste espressioni si semplificano enormemente essendo allora
r = (a+b – c)/2;
cos(α) = 0;
cos(β) = a/c;
cos(γ) = b/c.
per cui
{[1+ cos(β)]·[1 + cos(γ)]}/{[1– cos(β)]·[1 – cos(γ)]} = [(c+a)(c+b)]/[(c–a)c–b)];
{[1+ cos(γ)]·[1 + cos(α)]}/{[1– cos(β)]·[1 – cos(α)]} = (c+b)]/c–b);
{[1+ cos(α)]·[1 + cos(β)]}/{[1– cos(α)]·[1 – cos(β)]} = (c+a)/(c–a).

Nel caso di
(a, b, c) = (189,340, 389)
si ha dunque:
r = (159 + 340 –389)/2 = (529 – 389)/2 = 140/2= 70;
√{[(c+a)(c+b)]/[(c–a)c–b)]} = √{[(389+189)(389 + 340)]/[(389–189)(389 – 340)]} = 459/70;
√[(c+b)]/c–b)] =√[(389 + 340)/(389 – 340)] = √(729/49) = 27/7;
√[(c+a)]/c–a)] =√[(389 + 189)/(389 – 189)] = √(578/200) = 17/10.

Pertanto, i raggi dei cerchi exscritti al triangolo di lati (am b, c) = (189, 340, 389) rispettivanèmentetangenrti ai lati a, b e c somo:
Ra = 70·459/70= 459 = 17·27;
Rb = 70·27/7 = 270 = 27·10:
Rc = 70·17/10 = 119 =7·17.


Sei contento ora ... che m'hai fatto fare questo mare di conticini ? :mad:
–––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Porco mondo!
Per correggere un errore di battitura senza che si vedesse che avevo modificato, visto che nessuno era ancora intervenuto, ho cancellato il messaggio per inserirlo poi corretto!
Ma ...come dice spesso Miza, la legge di Murphy colpisce sempre quando meno te l'aspetti!
Proprio appena ho cancellato hai inserito tu, aspesi!. E avevi fatto in tempo a ciitarmi.
Sono rimasto di stucco!
Ho perfino indugiato a reinserire il messaggio che avevo cancellato.
Ma non potevo lasciare la tua citazione ... come se avesse prima parlato un fantasma che non lascia poi traccia!
Ho allora inserito lo stesso il mio messaggio.
Sicché adesso risulta che tu mi hai citato ... nel futuro!
Vedi quanto forte è il tuo "intuito" ?
Sei rtiuascito ad "intuire" come avrei terminato il mio [allora] prossimo messaggio! :eek: :D
––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Porco mondo BIS!
Ho scoperto, senza non poca sorpresa, che anche se il triangolo non è rettangolo, le mie GIUSTE espressioni non affatto sempliccissime ... si possono semplificare riducebndole alle stesse semplicissime :lipssealed: espressioni del caso del triangolo rettangolo che si aspettava aspesi.
:spaf: :o
Occorre una pazienza quasi certosina, ma alla fine è proorio così!
Per esempio:Procedendo analogamente anche per le altre GIUSTE espressioni, esse siriducono alle semplicissime espressioni attese da aspesi.
Ma dove diavolo èandato a pescarle?
E c'è orse una dimostrazione più semplice di questa mia ... paziente riduzione delle espressioni quasi palesi cheoffre la già presentata seguente espressiva figura?
Ovviamente PBI e PCI somo emtrambi angoli retti.
––––––-
Ciao ciao

P.S.
Però:
"Esterno" è detto per eufemia, Originalmente sarebbe "externo".
(Ed infatti gli inglesi, derivando nel '600 parole neolatine da un italiano volutamente latinizzato, non dicono "esternal" bensì "external").
• interno da latino INtra = dentro. Esterno dal latino EXtra = fuori.
• Le bisettrici deggli angoli INterni si incontrano nell'INcentro
• Le Le bisettrici degli angoli Esterni si incontrano nell'IExcentro.

Ma ... non vi dà fastidio l'intrinseca contraddizione di ex-in-centro?
Come fa un "incentro" a stare FUORI dal triangolo?
E come può il centro di un cerchio che sta tutto fuori del triangolo chiamarsi exINcentro?
Chi ha inventato questa parola era senz'altro un ignorante in ambito linguistico.

A ri-ciao!

Re: Qualche quiz
 

Da nessuna parte,
Mi sono semplicemente accorto di questo fatto facendo degli schizzi e misurando questi raggi di diversi triangoli. Con una certa sorpresa (e non essendo in grado di fare la tua dimostrazione) ho notato che quelle semplici relazioni erano valide per tutti i casi che ho esaminato.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Preso raggio cerchio = 10
Angolo in cui costruire la normale nonche' tangente al punto e al segmento che ho chiamato di lato "O" in Verde, da 30°, ma tutti i valori che scivolano su quel quarto di circonferenza vanno bene.
E risulta che il perimetro è 44
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Concordo con nino280 il perimetro è 44, però credo che bisogna specificare
che il perimetro si può calcolare per il triangolo che ha la sua altezza sulla
bisettrice dell'angolo al vertice, che evidentemente è uguale anche a
quei triangoli che hanno l'altezza diversa.

r= 4
OA= 22,3606797749979
alfa= 10,304846468766°
AM= 18,3606797749979
x= 18,661694586364
red= 6,67661082727196
P= 44

Non mi va di spiegare passo passo questi calcoli,
magari metto il codice.
Anch'io ho assegnato a r un valore arbitrario.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Il perimetro è il doppio del segmento tangente (22).
Infatti, il lato del triangolo con il punto P è uguale al tratto sopra (che va in B) + il tratto sotto (che va in C).
Per astromauh: non c'è bisogno di nessun calcolo

:hello:

Re: Qualche quiz
 

OK

Però bisognava saperlo o vederlo che la somma dei segmenti eccedenti i due lati del triangolo verde era uguale al terzo lato.

Io ho calcolato il perimetro di quando il punto P si trova sulla bisettrice dell'angolo alfa, ed ho capito che rimane uguale anche quando P si trova in posizioni diverse.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ho sbagliato a scrivere il Testo lì sotto in Rosso.
E' radice di 210,25 da come si evince dall' Equazione della circonferenza scritta di sopra.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:

x^2 + 10,5^2 = R^2
(x+1/2)^2 + 10^2 = R^2

x^2 + 110,25 = x^2 + 1/4 +x + 100
x = 110,25 - 100 - 0,25 = 10

R^2 = 10^2 + 10,5^2 = 210,25
R = 14,5

:hello:

Re: Qualche quiz
 

[/url]

Trovare la formula mediante la quale, conoscendo le aree che nel disegno sono denominate alfa, beta e gamma, si può determinare l'area del triangolo.

Es. alfa = 36 ; beta = 16; gamma = 27
Quanto misura l'area del triangolo ABC?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questo è il Quiz precedente.
Mi ero stufato di vederlo gironzolare nel mio computer. :D:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:
Quindi, in generale ...
(Erasmus, la formula! :D)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ultimo Quiz
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:


Essendo i due angoli FDH e EDA uguali e DA = DF = raggio, si ha che DC = FG

Chiamo DC=FG = x
BC = y
CG = z

Si hanno le 3 equazioni:
x + z = 5 + y --------> z = 5 + y - x ....... 1)
x * (x+z) / 2 - x * y / 2 = 15 ----------> x^2 + xz - xy = 30 ....... 2)
y : x = x : (x + z) -----------> x^2 = xy + yz ........ 3)

Sostituendo z della 1) nella 2):
x^2 + 5x + xy - x^2 - xy = 30
da cui:
5x = 30
DC = FG = x = 6


Risolvendo le altre equazioni del sistema:
y^2 + 5y - 36 = 0 ------------> y = 4
z = 3

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Dati i valori dei 3 lati di un triangolo qualsiasi, calcolare la somma algebrica delle distanze* del centro della circonferenza circoscritta da ciascuno dei 3 lati del triangolo.

* I valori delle distanze sono da ritenere positivi (con il segno +) se i segmenti distanza dal centro del cerchio sono interni o intersecano i lati del triangolo e con il segno - se sono tutti esterni al triangolo.

Es. di prova, costruire come si crede triangoli di lati:
13, 14, 15 ---------> verificare che la somma richiesta è 12,125
11, 13, 20 ---------> verificare che la somma richiesta è 13,833333333
26, 28, 30 ---------> verificare che la somma richiesta è 24,25
ecc...ecc...

Ovviamente io non ho fatto le figure precedenti, ma ho trovato la soluzione con un calcolo.
Scoprendo tale formuletta, si verificherà che con lati di 39, 41, 50 la somma delle distanze è pari a XY,625
(X? Y?) ;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Questo è solo una anteprima.
Serve solo per vedere se ho capito cosa bisogna fare.
E se è giusto vuol dire che sono sulla buona strada.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

E questo è per triangolo 39 41 50
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok: Giusto.

Prova a fare la somma dei raggi del cerchio inscritto + cerchio circoscritto :)

:hello:

Un'altra cosa interessante che puoi verificare è disegnare un poligono (ad es. un ottagono), anche irregolare purché sia inscrivibile in un cerchio.
A questo punto tiri (n-3), cioè 5 diagonali (da vertici anche diversi), in modo da ottenere (n-2) cioè 6 triangoli.
Ebbene, la somma dei raggi dei cerchi inscritti in questi triangoli è costante indipendentemente da quale vertice siano state tracciate le diagonali.

Re: Qualche quiz
 

Visto questo ultimo Quiz dell'ottagono con i cerchi inscritti.
Per me non c'è niente di difficile a farlo.
C'è solo un problema che è un problema di "estrema pazienza"
Nel senso che bisogna trovare gli incentri di 6 triangoli.
E' una cosa di ordinaria amministrazione con Geo.
Diciamo che per trovare un incentro con Geo io ci impiego circa 5 minuti. (senza calcoli come al solito e non c'era bisogno di ribadirlo)
Ma sono 6 e quindi fa mezzora circa.
Ma bisogna farlo 2 volte per un'altra configurazione e fa 1 ora.
Se già mi dici che la somma dei raggi è costante nei due casi ', io mi fido :D:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Però è una cosa sorprendente.
Per diminuire il tempo dei disegni, puoi lavorare su due pentagoni (in cui i triangoli sono solo 3).
--------

Ma hai provato a verificare che la somma dei raggi dei 2 cerchi (inscritto e circoscritto) è = alla somma delle distanze del centro della circonferenza circoscritta da ciascuno dei 3 lati del triangolo? (quiz 6192)?

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Si ho provato ora.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

picture hosting

ABCD è un quadrato e le due semi-circonferenze sono fra loro tangenti. Sapendo che GB vale 3, determinare il valore di x

:hello:

Re: Qualche quiz
 

X= 4 :)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Il quiz l'ho risolto ieri sera e già non ricordo più come ho fatto, ma ho degli appunti sul cellulare.

Per prima cosa mi sono accertato che il raggio del semicerchio piccolo era effettivamente 1/3 del lato del quadrato così come sembrava.

Pongo il Lato del quadrato uguale a 6

L= 6
3^2 + (6-r)^2 = (3+r)^2
36 -12r = 6r
18r= 36
r= 2

Giusto, il raggio del semicerchio piccolo è 1/3 del lato del quadrato.

R= 1/2; r= 1/3;

(1/3)^2 + 1^2 = 1 + 1/9= 10/9 = sqrt(10)/3

y= x
y= -3x + 1
x= -3x + 1
4x = 1
x= 1/4
y= 1/4

D= 1/16 + 1/16 = 2/16 = sqrt(2)/4

L* sqrt(2)/4 = 3
L= 3*4/sqrt(2)

L= 12/sqrt(2)

Alcuni passaggi non li ho scritti in modo corretto, ma mi premeva arrivare
subito a trovare il lato del quadrato.

x= L * sqrt(2)/3

x= 4

Credo che si possa generalizzare per cui

L= n*4/sqrt(2)

x = n * 4/sqrt(2) * sqrt(2)/3

x= (4/3)*n

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:

Mi ha fatto tribolare :mad:

(R+r)^2 = R^2 + (2R-r)^2
R^2 + r^2 + 2Rr = R^2 + 4R^2 + r^2 - 4Rr
4R^2 = 6Rr
r = (2/3)*R

CE = RADQ((2R)^2 + R^2) = R*RADQ(5)
CF = RADQ((2R)^2 + (2/3R)^2) = 2/3*RADQ(10)*R

Similitudine EFC e FGB:
CE : CF = GB : FB -----> FB = r
FB = 2*RADQ(10)/3*R * 3 / (RADQ(5)*R) = 2*RADQ(2)

Similitudine DEH e FGB:
DE : DH = BG : FB
(3/2)*2*RADQ(2) : x = 3 : 2*RADQ(2)
x = (8*3/2) / 3 = 4

:hello:

Re: Qualche quiz
 

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Facile

Quanto misura EF?



:hello:

Re: Qualche quiz
 

I dati non [mi] sono molto chiari!
Facciamo che sia AC = CD = DB = 5.
Allora :
• AB = 5√(5);
• L'area di ABC è 25 e quindi l'area di BDF è 5;
• Allora EC (che è uguale all'altezza di BDF rispetto a DB) vale 2;
• Pertanto AE = 3 e quindi EF (dovendo essere doppio di AE) vale 6.
Risposta: EF = 6.
–––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:

:hello: