Re: Qualche quiz
 

Sarebbe come dire che l'area totale è 100, - 24 - 26 -- 36 = 14 ma non vedo nessuna logica nei due ragionamenti.

Re: Qualche quiz
 

:mmh: Non mi pare possibile...:eek:
Eppure l'autore è competente e attendibile



:hello:

Sì che è possibile! Però non è facile!

Ho trovato un metodo piuttosto facile.
Area_ABCD=(9/2)*RADQ(7)

Re: Qualche quiz
 

Non faccio vedere tutto il triangolo perchè è troppo altoe va un pò fuori campo.
Comunque mostro la parte cruciale del Quiz.
Triangolo come si vede di base 10 e lati 33,333333
Pwerbacco.Mi è sfuggita l'area.
Vado a rimettere il disegno giusto

Re: Qualche quiz
 

Eccolo con Area
Ciao
Dopo di che per oggi basta, perchè di notte da un pò di tempo faccio dei sogni onirici.
Sogno triangoli con lati curvi. :D:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

I segmenti oltre ad essere uguali dovrebbero valere 4.

Comunque direi che è in gran parte risolto, perché hai mostrato che i segmenti
possono essere uguali sebbene non siano simmetrici,
e questa è la cosa controintuitiva, che rendeva il quiz inaccettabile.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

A me, invece, pare abbastanza facile.
Tracciamo un segmento uguale a BD ma simmetrico si BD rispetto alla verticale, ossia con un estremo in C e l'altro – che chiameremo F – su AB (tra A e B) distante 1 da B (come D dista 1 da C). Sia H il punto medio di EF. Allora H dista 1/2 da E e da F; e dista 3/2 da B.
Si noti che CH è perpendicolare ad AB. La lunghezza di CH è allora
CH = √(EC^2 – HE^2) = √(4^2 – 0,5^2) = √(63)/2.
Con ciò si può trovare la lunghezza di BC che viene:
BC = √[(3/2)^2 + 63/4]= √(72/4) = 3√(2).
Se prendiamo un punto G su AB tra E ed A e distante 3/2 da H (ossia distante 3 da B), il triangolo BCG viene isoscele su BG e simile a BCA.
In questo triangolo risulta:
<lato obliquo>/<base> = BC/BG = [3√(2)]/3 = √(2).
Allora anche nel triangolo simile ABC avremo:
<lato obliquo>/<base> = AB/BC= √(2)
e quindi
AB = √(2)·BC = √(2)·[3√/2)] = 6.
Il tiangolo ABC visto sulla base [IAB[/i] ha altezza HC = √(63)/2.
Sicché l'area di ABC vale:
<Area di ABC> = AB·HC)/2 = [6·√(63/4)]/2 = (9/2)√(7) ≈ 11,905880899790658[/b].
––––––-
:hello:

Re: Qualche quiz
 

:ok:
L'avevo risolto allo stesso modo.

Pongo il punto K sul lato AB in modo che KC sia perpendicolare a AB.
Questo punto K è distante 0,5 da E (come sarebbe distante 0,5 da D se fosse tracciato sul lato AC).
KC = RADQ(CE^2 + EK^2) = RADQ(4^2-0,5^2) = (3/2)*RADQ(7)

Calcolo ora la base BC:
B C = RADQ(KB^2 + KC^2) = RADQ((3/2)^2 + (3/2*RADQ(7)^2) = 3*RADQ(2)

Traccio ora l'altezza AH
I triangoli KCB e BAH sono simili, per cui:
KC : KB = AH : BH

AH = 3/2*RADQ(7)*3/2 / (3/2*RADQ(2)) = (3/2)*RADQ(14)

Area ABC = AH * BC / 2 = (3/2*RADQ(14) *3*RADQ(2))/2 = (9/2)*RADQ(7)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Chiaramente mi era sfuggito il dato da 4
Mi sarebbe bastato aggiungere un pallino e fare poi le cose per bene.
Ma ero al quarto quiz della giornata, e certe sviste sono anche giustificate.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Olimpiadi della matematica

Giochi di Archimede 2022 (biennio liceo)
La prova è costituita da 16 problemi (che metterò un po' per volta, alcuni sono molto facili).
Ogni domanda è seguita da 5 risposte. Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono sbagliate.

10) Quante sono le terne di numeri naturali tra loro distinti (a, b, c) tali che il numero a sia un divisore di b, il numero b sia un divisore di c ed il numero c sia un divisore di 12?
- 6
- 7
- 8
- 10
- 9

11) Quanti sono i numeri naturali di 3 cifre dove almeno una delle cifre è uguale a 4?
- 252
- 196
- 180
- 225
- 216

12) Laura dipinge di blu l'intera superficie di un cubo di legno, poi lo taglia suddividendolo in 6^3 = 216 cubetti uguali. Mescolando i cubetti ed estraendone uno a caso, qual è la probabilità che Laura ne trovi uno che abbia esattamente una faccia dipinta di blu?
- 9/24
- 32/81
- 1/2
- 1/3
- 4/9

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Per c = 12:
b = 6; a = 1, 2, 3, 4
b = 4; a = 1, 2, 3
b = 3; a = 1, 2
b = 2; a = 1,
Fin qua 10 terne.
Per c = 6:
b = 4; a = 1, 2, 3
b = 3; a = 1, 2
b = 2; a = 1
Altre 6 terne.
Per c = 4:
b = 3; a = 1, 2
b = 2; a = 1
Altre tre terne.
Per c = 3:
b = 2; a = 1.
Altra e ultma terna.
In tutto 10 + 6 + 3 + 1 = 20 terne. [Somma dei numeri triangolari da 1 a 10]
Non vedo il 20 tra le cinque proposte di risposta! E' forse atteso il 10? :mmh:
Però:
4, 6, 12 – 3, 6, 12 – 2, 5, 12 – 1, 6, 12 | 3, 4, 12 – 2, 4, 12 – 1, 4, 12 | 2, 3, 12 – 1, 3, 12 | 1, 2, 12
3, 4, 6 – 2, 4, 6 – 1, 4, 6 | 2, 3, 6 – 1, 3, 6 | 1, 2, 6
2, 3, 4 – 1, 3, 4 | 1, 2, 4
1, 2 , 3
mi paiono 20 terne distinte di nuneri naturali distinti divisori di 12.

Se tolgo le terne con un divisore 1 mi restano
4, 6, 12 – 3, 6, 12 – 2, 5, 12 | 3, 4, 12 – 2, 4, 12 | 2, 3, 12
3, 4, 6 – 2, 4, 6 | 2, 3, 6
2, 3, 4;
me ne restano cioè proprio 10.

Forse che 1 non è pure un naturale divisore? :mmh:
Non si dice più che un numero primo è un intero positivo divisibile solo per 1 e per sé stesso?I numeri di 3 cifre spn 1000 [da 0 a 999] – 100 [da 0 a 99) = 900
Li penso 9 centinaia che, modulo 100, vengono uguali, [tutte di 100 naturali da 0 a 99],
8 di queste hanno 9 +1 numeri con un solo 4 (e 8·10 = 80); e un centinaio ne ha 100 – 10 = 90.
I numeri di 3 cifre con un solo 4 sono 170.
Inumeri di 3 cifrecon due 4 sono: uno solo in 8 centinaia e 9 in un solo cebtibaio, 19 in tutto.
Uno solo è il numero con trre 4, I numeri di tre cifre con almeno un 4 sono 190.

Di nuovo non vedo il mio risultato tra le proposte di risposta!
Qulcuno mi dica dve avrei sbagliato!Le facce di cubetti con almeno una faccia colorata sono 6^3 – 4^3 = 152 = 8·19.
Di queste solo 6·4^2 = 96 = 24·4 hanno una sola faccia colorata [i cuberri sono 24·9]
La risposta è dunque (24·4)/(24·9) = 4/9.
–––
:hello.

Re: Qualche quiz
 

Non ammesso alla terza liceo :D

Ancora, bocciato! :D

Finalmente una risposta giusta!;)

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Sicuro?
Non è, per caso, che sarebbe da togliere dai compositori dei problemi quelli che sbagliano nel proporre le risposte?
Nell'esercizio 10) ... giurerei di non avere sbagliato! :mad:
Qui ... non sono sicuro d0'aver fatto giusto.
Dimmi tu, di preciso, dove ho sbagluato
Io dico «Almeno 2»
E anche: Fuinalmente un quiz dove con le proposte di risposta certamente OK.
––––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Premesso che ho trovato solo il testo delle domande, non ci sono le risposte giuste e anch'io potrei benissimo essere bocciato, non ho fatto il liceo scientifico...:D

10) Quante sono le terne di numeri naturali tra loro distinti (a, b, c) tali che il numero a sia un divisore di b, il numero b sia un divisore di c ed il numero c sia un divisore di 12?


Io credo siano queste 10 (la stessa tua risposta, che hai dato però dopo aver eliminato 1 come divisore):
1 2 4; 1 2 6; 1 2 12; 1 3 6; 1 3 12; 1 4 12; 1 6 12; 2 4 12; 2 6 12; 3 6 12

11) Quanti sono i numeri naturali di 3 cifre dove almeno una delle cifre è uguale a 4?

Io ho fatto il calcolo di tutti i numeri di 3 cifre (che sono 900) meno quelli che NON contengono il 4 (che sono 8*9*9 = 648). Quindi la risposta è 252.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Risolvere l'equazione

[(12x - 5)/3] = (19x + 16)/10

Con [a] si indica il massimo intero minore di a.

-----
Si può fare la risoluzione grafica.
Disegnando ad es. in rosso la funzione (parte intera) di y=[(12x - 5)/3] e in blu la funzione y=(19x + 16)/10
Risolvere l'equazione significa trovare l'intersezione tra i grafici (cioè le coordinate del punto in cui si incontrano i grafici).

:hello:

Re: Qualche quiz
 

E' questo che volevi?

Ciao

Re: Qualche quiz
 

Quasi giusto. :ok:
Però dovevi limitare il grafico alla parte intera di [(12x - 5)/3]
In pratica, se poni (19x + 16)/10 = 5 ottieni x=34/19 che è la soluzione del quiz

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Ma io i grafici un pochino li so fare.
Un pò meno so fare quelli "limitati"
Ciao

Re: Qualche quiz
 

E' questo il grafico limitato?
Potrebbe essere il grafico in verde.
In effetti come dici tu questo grafico interseca l'ascissa a X = 1.789473684 che sarebbero poi i 34/19
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Espandi nella zona di interesse, se no non si capisce nulla.

Il grafico (intero) è solo y=(19x + 16)/10
L'altro va limitato all'intervallo di x per i valori interi di y. Così si vede che l'intersezione di (19x + 16)/10 si verifica solo per il tratto orizzontale di y=5 (e x vale 34/19)

Non si capisce molto, ma questa è la soluzione
image sharing

:hello:

Re: Qualche quiz
 

In figura è indicato il numero di arance degli ultimi 5 strati di 2 piramidi regolari, formate con arance aventi lo stesso raggio : una con base quadrata ed una triangolare.

Sapendo che le due piramidi hanno la stessa altezza e che per costruire quella con base quadrata, è stato necessario utilizzare 2925 arance in più rispetto a quelle usate per la piramide triangolare, calcolare il numero di arance utilizzate per realizzare ciascuna delle 2 piramidi.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Con 16 file trovo 6936 arance per la piramidale quadrata e 3876 per la piramidale triangolare,
Ma se faccio la differenza mi viene 3060 e non 2925
Che ne so dove sta l'inghippo?
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Giusti i tre numeri 6936, 3876 e differenza 3060.
Ma per fare quelle sommatorie invece di sommare i 16 addendi ti conviene fare come spiego qui sotto.
Pertanto:Facendo analogamente per la seconda sommatoria si ottiene: La differenza tra le due sommatorie è dunque:
6936 – 3876 = 3060.
–––––
:hello:

Re: Qualche quiz
 

x nino280 e Erasmus

Non sto a guardare quello che avete fatto, ma rispetto a quanto dice e chiede il quiz è certamente sbagliato.
La differenza tra le arance della piramide quadrata e di quella triangolare (pari altezza) è esattamente di 2925 arance e i ripiani sono di più di 16.

:hello:

Ho visto il vostro errore: quelle sono già le formule risolutive delle somme degli strati, non bisogna fare la sommatoria (che dovrebbe essere fatta di n^2 e di n*(n+1)/2

Re: Qualche quiz
 

A mio avviso qui si pecca di faciloneria o pressapochismo, sia da parte dei proponenti il quiz che da parte dei solutori che potrei essere io, ed anche da parte dei mediatori quali potrebbe essere Aspesi.
Dico: parlare di piramidi a base quadrate, beninteso sono dette piramidali se sono fatte ad esempio di cataste di sfere tutte uguali tipo le cataste delle palle di cannone e di piramidali triangolari o anche tetraedriche, che hanno altezza uguale, per me non ha nessun senso.
Faccio un esempio:
prendiamo il caso più semplice, quello a due soli strati, con questo intendo due sole file in altezza. Per la quadrata abbiamo 5 sfere delle quali 4 alla base ed una sopra ed in mezzo.
Quella di sopra "affonda" nelle quattro e potrei avere un calibro di profondità o un truschino (perdonatemi sono termini di officina meccanica) e misurare l'altezza.
Diciamo altezza X
Premetto, senza attrezzatura dei meccanici è sempre possibile fare un calcolo di ciò, sia grafico vedi per esempio con GeoGebra oppure un calcolo matematico di tale altezza.
Ora facciamo l'altro esempio, quello della piramidale triangolare.
Abbiamo 4 sfere in tutto delle quali 3 alla base ed 1 in mezzo, come prima tangente alle sfere di base e misuro l'altezza diciamo Y
Ma in questo caso la sfera di sopra non "affonda" dello stesso valore di prima.
E quindi tirando le somme, come si fa a parlare di piramidi delle stessa altezza?
Anche se le arance non sono sfere perfette, ma si usa far finta che lo siano.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Qui ci ho messo come si vede la cella di una piramidale triangolare, la più piccola.
Avevo detto nel messaggio precedente di calcolare la sua altezza.
Ho trovato come si vede un 36,32993
L'ho misurata ben 2 volte, una dal punto massimo della sfera che sta sopra fino al piano di appoggio delle altre 3 e poi per sicurezza, facendo un piano parallelo al piano di appoggio passante sempre il punto massimo della sfera verde.
Le distanze sono è evidente uguali.
Con più calma e più voglia farò anche il caso delle 4 sfere + 1, tanto per vedere la differenza delle altezze.
Non precludo la possibilità di chi voglia farlo matematicamente, che dovrebbe essere abbastanza facile visto che bisogna sommare 3 valori cioè 10 + 10 + l'altezza di un tetraedro di lato o spigolo da 20.
Ciao
Avevo dimenticato di dire che le sfere hanno raggio 10, ma si intuiva visto che l'interasse fra due sfere è 20 e sarebbe lo spigolo di quel tetraedro che congiunge i 4 centri delle sfere.
:hello:

Re: Qualche quiz
 

OK, nel caso di 2 strati (per la base triangolare), l'altezza totale (ammettendo siano sfere incomprimibili) è
= (1+(n-1)*RADQ(6)/3)*2r -----------> 36,32993162 se r=10

e complessivamente nel caso del quiz precedente viene h = 428,2482905 cm

Ma quello che chiedeva il quiz era di calcolare il numero di arance utilizzate per realizzare ciascuna delle 2 piramidi (ammettendo che siano incomprimibili), se si considera lo stesso numero di strati di arance (nei due casi di base quadrata e triangolare) e sapendo che nel caso della piramide a base quadrata sono state usate 2925 arance in più rispetto alla piramide a base triangolare.

:hello:

Salvo errore, nel caso di 2 strati (per la base quadrata), l'altezza totale (ammettendo siano sfere incomprimibili) è
= ((n*RADQ(2) + 2 - RADQ(2)) -----------> 34,14213562 se r=10

e complessivamente nel caso del quiz precedente viene h = 373,5533906 cm

Re: Qualche quiz
 

Non capisco per quale motivo allungare i conti di 4 o 5 volte diciamo pure a dismisura quando data la formula di una delle due piramidali e messa sotto forma di "sommatoria" ho la risposta a portata di un clic o di un Enter. :mmh:
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Io non capisco invece perché non capite che avete sbagliato tutti e due.

Le formule che hai usato sono giuste, ma non bisogna fare la sommatoria, il risultato delle due formule è già la sommatoria dei vari strati n (quadrati e triangolari), di cui la differenza è 2925.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non so nemmeno di quale quiz parli!
Io ho solo risposto all'intervento di nino280 – quello che ho anche citato – in cui c'erano due sommatorie per dire che quelle si potevano calcolare convenientemente mediante le somme delle potenze dei naturali da 1 ad un certo massimo perché di queste si conoscono le formule che permettono si evitare il lungo procedimento della somma dei singoli addendi. Adesso vedo che quelle sommatorie, intese come numero di sfere nelle piramidi di sfere a base triangolare e quadrata sono sbagliate nel senso che il loro ternine corrente è esso stesso una omma. Infatti
• [n(n+1)(2n+1)]/6 è la somma deri quuadrati degli interi da 1 a n,
• [n(n+1)(n+2)]/6 è la somma deri dei numeri triangolari dal primo (che è 1) all'n–esimo che è n(n+1)/2.
––––––––––-
Ora che ho visto il quiz, capisco che non bisgna estendere le somme da 1 a 16 bensì a diversi estremi superiori uguagliando le altezze delle due piramidi di sfere.
La sfera sopra tre sfere tangenti (con i centri vertici di un triangolo equilatero) è un tantino più alta della sfera sopra quattro sfere tangenti (con i centri vertici di un quadrato).
–––––

Re: Qualche quiz
 

Male, molto male :(

https://www.trekportal.it/coelestis/...postcount=6035

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Dovrebbe succedere quando le piramidi hanno 77 strati..

Re: Qualche quiz
 

Ciao aleph, gli strati sono molti di meno, sono 26.

n(n+1)(2n+1)/6 - n(n+1)(n+2)/6 = 2925

n(n+1)/6*(2n+1-n-2) = 2925

n(n+1)(n-1) = 6*2925

n^3 - n -17550 = 0

Che ha come unica soluzione reale n = 26

Da cui:
il numero delle arance è 6201 e 3276 rispettivamente per la piramide a base quadrata e a base triangolare.

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Non ho idea di quello che hai scritto.
La differenza fra una piramidale quadrata ed una triangolare di 26 strati è di 20475 arance e non di 2925
2925 per conto mio è un numero fasullo.
Le differenze fra piramidali sono numeri univoci, e non puoi inventartele.
Io quando avevo inviato la prima risposta avevo trovato il numero più vicino possibile alla differenza di 2925 che era il 3060 con 16 strati, te lo ricordi?
Poi quella sera persi circa 2 ore di tempo a cercare tutte le differenze possibili fra ste due piramidali, anche con strati differenti fra una piramide e l'altra.
Sono partito da (mi pare) una decina di strati e via via li aumentavo.
Ebbene il 2925 non è mai comparso.
Poi mi sono fermato a circa 22 o 23 strati (ora non ricordo più bene) non sono arrivato al tuo 26 perchè era inutile proseguire perchè la differenza diventava abissale come vedi e ripeto siamo arrivati per 26 a più di ventimila di differenza.
Ci avrei giurato che tu mettevi a destra della tua equazione sto 2925.
Non puoi mettere un numero qualsiasi come secondo membro lì a destra, perchè quel valore deve essere giusto, non un numero qualsiasi, magari anche inventato.
Ciao
Fra la mia differenza e la tua c'è la bellezza di 17000 o 18000 arance.
Se le sarà fottute il fruttivendolo :D:D
Ciao
Però ripensandoci vedo ora che tu hai trovato un 17550 che è proprio la differenza fra 20475 e 2925
Allora probabilmente io o tu facciamo confusione fra strati (in altezza) e " n " che dovrebbe essere il lato di base delle piramidi.
:hello:

Re: Qualche quiz
 

Perché non leggi quello che ho scritto più volte nei messaggi precedenti?

Il tuo errore è di fare la sommatoria di due formule che rappresentano già la sommatoria del numero delle arance (per piramidi a base triangolare e quadrata)

Cazzo, è facile!

Prova a fare il calcolo per 2 strati (n=2)i:
le arance sono 1+4 per la base quadrata = 5
e 1 + 3 = 4 per la base triangolare

Questi numeri vengono fuori facendo:
n*(n+1)*(2n+1)/6 = 2*3*5/6 = 5
n*(n+1)*(n+2)/6 = 2*3*4/6 = 4

Invece facendo le tue sommatorie viene rispettivamente 6 e 5 che è sbagliato!
Prova anche per altri n

:hello:

Ti verrebbe giusto con le sommatorie se tu facessi (come mi pare ti aveva suggerito Erasmus)
sommatoria per n da 1 a 26 di n^2 meno sommatoria per n da 1 a 26 di n*(n+1)/2

Re: Qualche quiz
 

Non lo so ci devo provare.
Comunque scusami, ero convinto che con quella formula risolvevo.
E ancora adesso non ho ben chiaro come mai mi aumenta il numero.
Ripeto poi provo a mettere la differenza di due sommatorie comi mi hai suggerito alla fine del tuo messaggio.
Ciao

Re: Qualche quiz
 

Io invece di fare l’equazione tra la differenza delle due sommatorie e il valore 2925 ho cercato di trovare un pattern diretto delle differenze tra le due piramidi mentre crescono dal primo livello via via a scendere.
Avevo notato che il primo livello la differenza era 0 (un’arancia ciascuna), il secondo livello la differenza era 1, il terzo 3, il quarto 6, il quinto 10, e avevo quindi pensato ad una progressione triangolare, quindi n(n+1)/2.
Da li bastava vedere per quale n veniva 2925..
Ma sembra che non sia così..

Re: Qualche quiz
 

Il ragionamento è corretto, però la sequenza è 0, 1, 4, 10, ...
https://oeis.org/search?q=0%2C1%2C4%...ian&go= cerca
Infatti ogni strato va sommato ai precedenti:
1, 4, 9, 16, ... diventa 1, 5, 14, 30, ...
e 1, 3, 6, 10, ... diventa 1, 4, 10, 20, ...
Quindi la differenza è 0, 1, 4, 10, ...

Come puoi vedere, il 26esimo termine è 2925

:hello:

Re: Qualche quiz
 

Se l'ipotenusa di questo triangolo rettangolo è 2023, qual è la lunghezza dei due cateti (interi)?

Re: Qualche quiz
 

I miei pallini, non mi deludono e abbandonano mai, neanche con numeri grandi. :D:D
Ciao

Re: Qualche quiz
 

:ok:
:hello:

Si può considerare che 2023 = 7*17^2

Quindi la terna pitagorica che ha ipotenusa 2023 è un multiplo di
(x*119, y*119, 17*119)
e precisamente:
(8, 15, 17) * 119