Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

7) Un quadrato unitario è suddiviso in quattro rettangoli tramite due segmenti paralleli ai suoi lati.
Dimostrare che il prodotto delle aree di due rettangoli non adiacenti non supera 1/16

:hello:

Semplice.
Divido il quadrato in quattro quadrati da 1/4 e 1/4*1/4=1/16 che non supera 1/16.
Ma avevi detto rettangoli? Ma per definizione un quadrato non è forse un caso particolare di rettangolo?:D
Ciao

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

Giusto.
Ma analiticamente:
__________________________________
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|...............A....................|.........B........| ...1 - y
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|----------------------------- |---------------|
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|..............C.....................|........D.........|......y
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|_____________________|___________|

................. x ...................... 1 - x

Se A, B, C, D sono le aree dei quattro rettangoli, i prodotti valgono:
..............

:hello:

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

Tu, probabilmente, per "adiacenti" intendi due rettangoli che si toccano solo in un vertice.
Allora il prodotto delle loro aree è compreso tra 0 (escluso) e 1/16 (compreso).
Ma "adiacente" significa "che giace accanto" (dal latino adiacens, participio pesente del verbo adiacère ––> ad + iacère, ad = accanto, vicino; iacère = giacére, stare in un certo posto, stare sdraiati ...).
[In geometria euclidea si dicono "adiacenti" due angoli consecutivi (= con il lato termine di uno coincidente col lato origine dell'altro) e supplementari (= la cui somma è un angolo piatto)].

Se consideri "adiacenti" due rettangoli con un lato comune, il prodotto delle loro aree è compreso tra 0 (escluso) ed 1/4 (escluso).
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Tipico esercizietto sulle derivate parziali ...
Pongo x e y le distanze delle due rette da un vertice, diciamolo V.
[x ed y variano quindi da 0 escluso ad 1 escluso].
L'area del rettangolo con quel vertice V è S1 = xy.
L'area del rettangolo con un vertice che, nel quadrato, è opposto di V è S3 = (1–x)(1–y).
Gli altri due rettangoli hanno area (rispettivamente) S2 = x(1–y) e S4 = y(1–x).

[Segue un discorso ... barboso!].
Abbiamo così 6 prodotti di aree di 2 rettangoli:
P1(x, y) = S1*S2 = (xy)*[x(1–y)] = (x^2)[y(1–y)];
P2(x, y) = S1*S3 = (xy)*[(1–x)(1–y)] =[x(1–x)][y(1–y)] (che è quello che hai in mente tu).
P3(x, y) = S1*S4 = (xy)*[y(1–x)] = (y^2)[x(1–x)];
P4(x ,y)= S2*S3 = [x(1–y)]*[(1–x)(1–y)] = [x(1–x)]*[(1–y)^2]
P5(x, y) = S2*S4 = [x(1–y)]*[y(1–x)] = (xy)*[(1–x)(1–y)] = P2(x,y)
P6(x, y) = S3*S4 = [(1–x)(1–y)]*[y(1–x)] = [y(1–y)]*[(1–x)^2].

Ma i tipi di prodotti sono, in sostanza, 2 soltanto: quelli delle aree di
• due rettangoli con un lato comune; oppure
• due rettangoli che hanno in comune solo un vertice.
(Così si riconosce anche scambiando x con 1–x, e/o y con 1–y e/o x con y).
Ossia: i due tipi distinti sono:
P1(x, y) = (x^2)*(y – y^2);
P2(x,y) = [x(1–x)]*[y(1–y)] (quello che hai in mente tu).

A parità di y, P1 è massimo per x=1.
Al variare di y tra 0 e 1, P1 è nullo nei limiti (y=0 oppure y = 1) e ha un massimo dove si annulla ∂P1/∂y = (x^2)*(1–2y), cioè per y = 1/2.
Qui PI(x,1/2) = (x^2)(1/2 – 1/4) = (x^2)/4, che è massimo in x = 1 dove vale:
P1(1,1/2) = 1/4.

P2(x, y) si annulla nei limiti di x e/o di y:
P2(x,0) = P(x, 1) = P2(0, y) = P2(1, y) = 0.
E' perciò massimo assoluto in certo (x, y) non di confine dove si annulla sia ∂P2/∂x che ∂P2/∂y.
Si ha infatti:
∂P2/∂x = (1–2x)*[y(1–y)]; ∂P2/∂x = 0 ⇒ (1–2x)*[y(1–y)] =0 ⇒ x = 1/2.
∂P2/∂y = (1–2y)*[x(1–x)]; ∂P2/∂y = 0 ⇒ (1–2y)*[x(1–x)] = 0 ⇒ y = 1/2.
P2(1/2, 1/2) = [(1/2)(1–1/2)]*[1/2(1–1/2)] = 1/16 (c. d. d. :D)
---------------
NB
Se si dice x la posizione di una retta rispetto alla mediana ad essa parallela
e se si dice y la posizione dell'altra retta rispetto alla mediana ad essa parallela
x ed y possono variare tra –1/2 e +1/2. Allora PI e P2 risultano del tipo:
P1(x, y) = [(1/2 –x)(1/2–y)]*[(1/2 +x)(1/2 – y)] = (1/4 – x^2)*[(1/2 – y)^2];
P2(x, y) = [(1/2 – x)(1/2 – y)]]*[(1/2 + x)(1/2 + y)] = (1/4 – x^2)(1/4 – y^2).
Allora ... non c'è bisogno di usare le derivate parziali!
Si vede subito che:
• P1, a parità di x, è massimo per y = –1/2 e, a parità di y, è massimo per x = 0.
E' quindi massimo assoluto in (0, –1/2) dove vale P1(0, –1/2) = (1/4)*1 = 1/4:
• P2 (quello che hai in mente tu) è nullo per x =±1/2 o y = ±1/2 ed à evidentemente massimo assoluto per x = y = 0 dove vale P(0, 0) = (1/4)*(1/4) =1/16 (c. d. d. :D)

Ciao ciao
-------------
:hello:

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

Certamente no!

Esattamente.
Ma io avevo scritto:
"Dimostrare che il prodotto delle aree di due rettangoli non adiacenti non supera 1/16"

Adesso vado a vedere il resto... ;)

:hello:

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

Tu hai detto la tua (che sarà certamente il modo più rigoroso barboso)

Adesso guarda la mia dimostrazione:

Riprendo il quadrato postato in precedenza:
__________________________________
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|...............A....................|.........B........| ...1 - y
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|----------------------------- |---------------|
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|..............C.....................|........D.........|......y
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|_____________________|___________|
................. x ...................... 1 - x

Se A, B, C, D, sono le aree dei quattro rettangoli, i prodotti valgono:
C * B = x*y * (1-x)*(1-y)
D * A = (1-x)*y * x*(1-y)

Si nota subito che i due prodotti sono uguali (stessi fattori in diverso ordine)

Detto P questo prodotto e variando l'ordine, si può scrivere:
P = x*(1-x) * y*(1-y)

ossia P è anche il prodotto delle aree di due rettangoli, ciascuno con perimetro uguale a 2 (infatti la somma delle lunghezze di due lati consecutivi vale 1)

Questo lo so anch'io....:D
Fra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, l'area è tanto maggiore quanto più il rettangolo è "compatto"; il massimo si ha per
x = (1-x) = 1/2
e il rettangolo diventa un quadrato con l'area che vale 1/4 (idem per l'altro rettangolo)

Quindi, nel caso limite in cui i due segmenti passano per il centro del quadrato dato, dividendolo in 4 quadrati uguali, si ha:
x = (1-x) = y = (1-y) = 1/2
e il prodotto P vale 1/4*1/4 = 1/16

In tutti gli altri casi P<1/16

:hello:

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

8) Una proprietà molto rara.

Prendiamo un intero A, aggiungiamo la somma delle sue cifre per ottenere B, aggiungiamo a B la somma delle cifre dello stesso B per ottenere C.
Ora, se invertendo le cifre di C ottengo A, quale numero può essere A?

Es.
A = 12
12 + 1 + 2 = 15
15 + 1 + 5 = 21
inversione di 21 = 12

Penso che ci sia solo un altro possibile valore di A oltre al 12.

9) Una torta rettangolare ricoperta di cioccolato deve essere divisa in 3 parti con 2 tagli verticali (non necessariamente rettilinei, se si vuole anche segmentati), in modo che ogni parte contenga la stessa quantità di cioccolato (Superficie) e la stessa quantità di contenuto (Volume).

Penso che ci sia più di una soluzione.

:hello:

(Per un po', basta quiz...)

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

Sorry! :o
:spaf: non avevo letto il "non".
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Occhio: tutti i rilievi che fai [sul cambio di ordine dei fattori, che le aree delle due coppie di non adiacenti dànno lo stesso prodotto, ecc] ci stavano pari pari anche nella mia barbosa spiegazione.

La "barbosità", nel mio modo di vedere, era nel voler far uso delle derivate parziali (oltre al voler essere completo, considerando tutte le 6 coppie per mostrare che di tipi distinti nella sostanza ce n'erano solo 2]

Ma hai letto bene il "NB." ? ;)

Quello non era "barboso e diceva tutto in poche righe.
Faccio anch'io una figura. E poi ti riscrivo quel "NB".
Ma gli tolgo quanto si riferisce a rettangoli "adiacenti", uso A e B per indicare le aree dei rettangoli di una coppia di "non adiacenti" e metto una frasetta di spiegazione in più.«Se si dice x la posizione di una retta rispetto alla mediana ad essa parallela
e se si dice y la posizione dell'altra retta rispetto alla mediana ad essa parallela,
x ed y possono variare tra –1/2 e +1/2.
Allora P = A·B risulta del tipo:
P(x, y) =A·B = [(1/2 – x)(1/2 – y)]]*[(1/2 + x)(1/2 + y)] = (1/4 – x^2)(1/4 – y^2).
Allora ... non c'è bisogno di usare le derivate parziali!
Si vede subito che:
• P(x,y) è nullo per x =±1/2 o y = ±1/2 ed à evidentemente massimo assoluto per
x = y = 0 (perché x^2 e y^2, non essendo mai negativi, sono minimi quando si annullano)
dove vale P(0, 0) = (1/4)*(1/4) =1/16 (c. d. d. :D)»

Ciao ciao

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

La soluzione del quiz N. 8 è

69


Aspesi, non farmi domande indiscrete.;)

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

OK, questa spiegazione è chiara e semplice (come quella che ho scritto io) ;)

:hello:

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 

:ok::ok:

Ehehe, tanto conosco già la risposta...;)

Ciao
Nino