Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

astromauh 07-03-12 02:28

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 573140)
Astromauh aveva capito benissimo...

Il tuo quiz mi fa girare la testa.

Non ho molta dimestichezza con i numeri binari. Per quello che ricordo, a scuola non li ho studiati. Sapevo che esistevano, a livello di "cultura generale", ma non ricordo di aver fatto esercizi con essi. Sono troppo affezionato al sistema a base decimale, e se mi si chiede di fare qualcosa con i numeri binari, e come se mi si chiedesse di fare qualcosa di innaturale, come ruotare la mano destra sulla pancia, e contemporaneamente muovere la sinistra verticalmente sul cuore.

Mi è venuta la curiosità di verificare, se queste serie di zero e di uno, ordinati in modo che ogni combinazione sia rappresentata, sono visualmente diversi, da quelle che si possono ottenere in modo casuale.

Ossia sarei curioso di capire se sia possibile distinguere una "serie ordinata" da una casuale, a prima vista, dal suo aspetto d'insieme, senza andare a verificare in modo analitico, se ciascun numero è rappresentato.

Voi cosa dite?

Io mi immagino che siano indistinguibili, però non so...

In una serie casuale potrebbe esserci una serie di 1 ripetuti di seguito, cosa che invece non è possibile in una serie ordinata, però d'altra parte è molto improbabile che in una serie casuale ci sia una lunga sequenza di 1.

Per cui, in genere, basandosi soltanto sul colpo d'occhio, una serie ordinata dovrebbe risultare indistinguibile da una serie casuale.

Mi intriga la possibilità di trovare un ordine in qualcosa di apparentemente disordinato, o magari quella di creare qualcosa di ordinato, nascondendola con un apparente disordine.

:hello:

aspesi 07-03-12 08:39

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 573180)
Mi è venuta la curiosità di verificare, se queste serie di zero e di uno, ordinati in modo che ogni combinazione sia rappresentata, sono visualmente diversi, da quelle che si possono ottenere in modo casuale.

Ossia sarei curioso di capire se sia possibile distinguere una "serie ordinata" da una casuale, a prima vista, dal suo aspetto d'insieme, senza andare a verificare in modo analitico, se ciascun numero è rappresentato.

:hello:

Le serie che chiami "ordinate" (e che si intendono come quelle che risolvono il quiz) pur sembrando tantissime, sono molto poche rispetto a quelle totali possibili (il mondo è regolato dal disordine, e l'entropia dell'universo è in aumento continuo)

Infatti, la probabilità di trovare a caso una serie con questo ordine (fra tutte quelle con 2^(n-1) "1" e 2^(n-1) "0") tende rapidamente a zero all'aumentare di n:
p(n_1) = 1
p(n_2) = 0,6666...
p(n_3) = 0,22857..
p(n_4) = 0,019891..
p(n_5) = 0,000109..
p(n_6) = 2,3436*10^(-9)
p(n_7) = 7,7018*10^(-19)

Visivamente, di primo acchito, ci sono, come hai detto, pochi riferimenti per stabilire se la sequenza di 1 e 0 è "ordinata" o no (ad es. se vedi troppe "lunghette" di 0 e/o 1 consecutivi, puoi affermare che non va bene); però, in generale, è difficile che sbagli se dici che la serie che ti dovesse essere presentata non possiede le caratteristiche di "ordine" richieste.

:hello:

aspesi 07-03-12 11:49

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 572749)
Scomposizione di numeri

Se si scompone il numero 45 in quattro numeri A, B, C, D è possibile trovare un certo numero x tale che se lo sommiamo ad A, o lo sottraiamo da B o lo moltiplichiamo per C o lo dividiamo da D otteniamo sempre lo stesso risultato.

Cioè:
A = 8; B=12; C=5; D=20
A+B+C+D = 45
x=2
A+2 = B-2 = C*2 = D/2

Provare a scomporre in modo analogo il numero 100.
Quante soluzioni esistono?
E come si può scomporre il numero 1764?

:hello:

Se poniamo il numero incognito uguale a x e la somma (nota) uguale a S, possiamo scrivere queste 4 equazioni:
A + B + C + D = S
A + x = B - x
A + x = Cx
A + x = D/x = Cx

(Cx - x) + (Cx + x) + C + (Cx^2) = S
C(2x + 1 + x^2) = S
C = S/(1 + x)^2

e poi, in funzione di C:
D = Cx^2
A = Cx - x
B = Cx + x

Affinché C sia intero, (1 + x)^2 deve essere un divisore di S

Quindi, il problema ammette tante soluzioni possibili quanti sono i quadrati maggiori di 1 che dividono S
N_soluzioni = 2^n -1
dove, nella scomposizione di S, n è il numero di fattori aventi esponente almeno al quadrato.

Esempi:

-per 45 abbiamo 45 = 5*3^2 ; n=1
x = (3-1) = 2; A=8; B=12; C=5; D=20

-per 100 abbiamo 100 = 2^2 * 5^2 ; n=2; N_soluzioni = 3
x = (10-1) = 9; A = 0; B = 18; C = 1; D = 81
x = (2-1) = 1; A = 24; B = 26; C = 25; D = 25
x = (5-1) = 4; A = 12; B = 20; C = 4; D = 64

-per 1764 abbiamo 1764 = 2^2 * 3^2 * 7^2 ; n=3; N_soluzioni = 7
1764 = 42^2 ; x = (42-1) = 41
1764 = 4*21^2 ; x = (21-1) = 20
1764 = 9*14^2 ; x = (14-1) = 13
1764 = 49*6^2 ; x = (6-1) = 5
1764 = 36*7^2 ; x = (7-1) = 6
1764 = 196*3^2 ; x = (3-1) = 2
1764 = 441*2^2 ; x = (2-1) = 1

Quindi, con questo sistema è facile determinare le soluzioni per qualunque S.

:hello:

astromauh 07-03-12 14:36

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 573237)
Infatti, la probabilità di trovare a caso una serie con questo ordine (fra tutte quelle con 2^(n-1) "1" e 2^(n-1) "0") tende rapidamente a zero all'aumentare di n:
p(n_1) = 1
p(n_2) = 0,6666...
p(n_3) = 0,22857..
p(n_4) = 0,019891..
p(n_5) = 0,000109..
p(n_6) = 2,3436*10^(-9)
p(n_7) = 7,7018*10^(-19)

Non ho fatto i calcoli, ma è ovvio che sia cosi'. Se da una parte con l'aumentare di n aumenta rapidamente il numero di serie ordinate, la probabilità di incontrarne una casualmente, diminuisce molto più rapidamente.

Già con n=7 fidandosi dei tuoi calcoli, la probabiltà di trovare una di queste serie è dell'ordine 1E-18, quanto basta per dire che si tratta di un'evenienza impossibile.

Se in Messico o da qualche altra parte, si trovassero 64 sassi neri alternati, a 64 sassi bianchi, disposti in una di queste maniere, vuol dire che c'è qualcuno che li ha messi in quel modo.

:hello:

nino280 07-03-12 15:08

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 573180)
Mi intriga la possibilità di trovare un ordine in qualcosa di apparentemente disordinato, o magari quella di creare qualcosa di ordinato, nascondendola con un apparente disordine.

:hello:

Non vorei sbagliarmi ma mi pare che c'è stato già qualcuno che ha trovato ordine nel disordine:
http://it.wikipedia.org/wiki/Costanti_di_Feigenbaum

Ciao

aspesi 07-03-12 20:14

Re: Qualche quiz
 
Ho trovato in Internet questo problema nautico.

Una nave A sta navigando con velocita' 20 nodi secondo una rotta ovest-est; un'altra nave B si trova all'istante iniziale esattamente 52 miglia nautiche a nord di A.
B naviga piu' lentamente di A, precisamente a 10 nodi.
Quale rotta deve tenere B per avvicinarsi il piu' possibile alla nave A? quanto tempo ci mette? che distanza minima raggiunge?

:confused:

Penso si debba determinare l'equazione della traiettoria con derivate ed integrali :o
C'è anche il risultato, ma ovviamente io non so (nè capirò mai:D) come arrivarci...
Ho messo il testo solo per chi (Erasmus?) volesse cimentarsi.

:hello:

astromauh 08-03-12 00:37

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 573633)
Ho trovato in Internet questo problema nautico.

Una nave A sta navigando con velocita' 20 nodi secondo una rotta ovest-est; un'altra nave B si trova all'istante iniziale esattamente 52 miglia nautiche a nord di A.
B naviga piu' lentamente di A, precisamente a 10 nodi.
Quale rotta deve tenere B per avvicinarsi il piu' possibile alla nave A? quanto tempo ci mette? che distanza minima raggiunge?


Penso si debba determinare l'equazione della traiettoria con derivate ed integrali :o
C'è anche il risultato, ma ovviamente io non so (nè capirò mai:D) come arrivarci...
Ho messo il testo solo per chi (Erasmus?) volesse cimentarsi.

Questo quiz non ha senso.

Se la velocità della nave B, è la metà di quella della nave A, qualsiasi rotta essa segua, non potrà mai avvicinarsi all'altra nave. La distanza che le separa è destinata a crescere sempre di più, perchè la minima distanza è proprio quella iniziale.

Quote:

Erasmus (Scrivi 572201)
Ma che modo di parlare è questo?

Ma allora ha ragione Erasmus! :D

(Mi sa che hai sbagliato qualcosa nel trascrivere il quiz.)

:hello:

Erasmus 08-03-12 02:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 573727)
Questo quiz non ha senso.
(Mi sa che hai sbagliato qualcosa nel trascrivere il quiz.)

Ha senso ed è molto facile. Pensa alla velocità relativa della nave A rispetto alla nave B.


Quote:

aspesi (Scrivi 573633)
[...]problema nautico.
Una nave A sta navigando con velocita' 20 nodi secondo una rotta ovest-est; un'altra nave B si trova all'istante iniziale esattamente 52 miglia nautiche a nord di A.
B naviga piu' lentamente di A, precisamente a 10 nodi.
Quale rotta deve tenere B per avvicinarsi il piu' possibile alla nave A? quanto tempo ci mette? che distanza minima raggiunge?

:confused:

Penso si debba determinare l'equazione della traiettoria con derivate ed integrali :o

«Ma cosa mi dici mai?» :eek:

a) 52 miglia (meno di 100 km) è una distanza abbastanza piccola rispetto al raggio della Terra.
Possiamo considerare il moto delle vavi su un piano invece che sulla superficie curva della Terra.
b) La rotta della nave B è circa SSW ––> NNE, esattamente inclinata di 30 gradi sul meridiano (cioè sulla direzione S ––> N).
c) La distanza minima è Dminima = 26·√(3) miglia ≈ 45,033 miglia
e viene raggiunta dopo che la nave B ha percorso
d(B) = 26/√(3) miglia ≈ (circa) 15,011 miglia.
d) La distanza minima è raggiunta in un tempo che è un pelo più di un'ora e mezza.
Teoricamente dopo il tempo
T = [26/√(3] miglia]/(10 nodi) = [26·√(3)/(3·10)] ore ≈ 1,5011 ore
[In minuti: T= 52·√(3) minuti primi ≈ 90 primi e 4 secondi (circa)].

Nel frattempo la nave A ha fatto la strada doppia (cioè 52/√(3) miglia ≈ 30,022 miglia).
Ma rispetto alla nave B che se la vede avvicinare da 52 miglia fino a (circa) 45 miglia alla velocità di 10√(3) nodi, ha fatto esattamente 26 miglia.

Vedi => Figura (PNG)
NB: Nella figura il punto A' è esterno al cerchio il cui raggio è 10 nodi nella scala delle velocità e 10 miglia in quella delle distanze.
-----------
:hello:

aspesi 08-03-12 08:52

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 573732)
c) La distanza minima è Dminima = 26·√(3) miglia ≈ 45,033 miglia
e viene raggiunta dopo che la nave B ha percorso
d(B) = 26/√(3) miglia ≈ (circa) 15,011 miglia.
d) La distanza minima è raggiunta in un tempo che è un pelo più di un'ora e mezza.
Teoricamente dopo il tempo
T = [26/√(3] miglia]/(10 nodi) = [26·√(3)/(3·10)] ore ≈ 1,5011 ore
[In minuti: T= 52·√(3) minuti primi ≈ 90 primi e 4 secondi (circa)].
:hello:

Chi ha risolto il problema (da dove l'ho tratto) ha trovato risultati un pochino diversi.

la nave naviga sempre a vista in direzione della nave più veloce, la traiettoria è
descritta da una curva algebrica, per la precisione una curva del quarto ordine.

Viene indicata a questo punto questa equazione, da cui è calcolata la distanza minima:

y = 2 * 52 / 3^(1/4) circa 45.6 miglia nautiche.

mentre il tempo di percorrenza risulta:

t = ((8/27^(1/4) - 2)/6) 52/10 circa 1.3 ore corrispondenti alla
distanza percorsa di circa 13 miglia nautiche.

:hello:



astromauh 08-03-12 09:59

Re: Qualche quiz
 
Se è giusto il calcolo di quest'altro, vuol dire che lui ha considerato che la Terra è una sfera, mentre Erasmus aveva semplificato il problema considerando la Terra piatta.

La distanza minima tra due punti, è il segmento della retta passante tra questi due punti. La nave B percorrendo una rotta curvilinea, arriva nel punto della minima distanza, in un tempo maggiore rispetto a quello che impiegherebbe per arrivare allo stesso punto seguendo una rotta diritta.

Quindi se la nave arriva in questo punto seguendo una rotta curvilinea, è perchè non può seguire una rotta diritta su una superficie sferica. Le navi sono più grandi dei neutrini! :D

:mmh:


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