Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Easy quiz(zes): but mathematical! (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=28426)

Mizarino 18-01-10 16:50

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 329804)
In 2ª media si studiano la radice quadrata, le proporzioni, la similitudine tra triangoli, il teorema di Pitagora, ma non certo le equazioni di 2° grado.
Anzi: i problemi sono ancora svolti senza l'uso formale delle equazioni.

Mah, se chiamiamo H l'altezza, B la metà della base e L il lato, dal teorema di Pitagora abbiamo:
(B^2) + (H^2) = L^2
Nello stesso tempo abbiamo
(B^2) * (H^2) = S
Abbiamo allora due numeri, B2 e H2 (ho semplificato la notazione)
di cui conosciamo la somma e il prodotto.
Questo è un classico problemino che si risolverebbe con un'eqyuazione di 2° grado, ma se ci mettiamo dentro i numeri dati abbiamo:
B2 * H2 = 90.000
B2 + H2 = 625
A questo punto io la soluzione la vedrei "a occhio", perché 625 è la somma dei due "quadrati esatti" 400 e 225, che moltiplicati danno 90.000 ...

Ma forse c'è un metodo formale che non implica l'equazione di 2° grado ...

Erasmus 18-01-10 20:31

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 329705)
Un problema preso dal testo di matematica di 2ª media di quando mio figlio faceva appunto la 2ª media.

«L'area di un triangolo isoscele acutangolo è 300 cm^2 e uno dei due lati uguali è lungo 25 cm.
Determinare la lunghezza dell'altezza relativa al terzo lato».

L'unica equazione di secondo grado che i bambini (bravi) di 2ª media sanno inconsciamente risolvere è: x^2 = k ≥ 0; infatti sanno fare la radice quadrata e sanno applicare il Teorema di Pitagora. ;)
Ecco come si insegnava ai miei tempi e come anche vedevo pressapoco fare a mio figlio quando era in 2ª media (1977/78).
=>Problema.png
:hello:

Mizarino 18-01-10 20:42

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
E' la dimostrazione geometrica, col Teorema di Pitagora, che più si cresce di età, più ci si rincoglionisce ... :D

astromauh 19-01-10 00:00

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Questo problema sarà pure stato su un testo di 2° media, ma sarei curioso di sapere quanti studenti riuscivano a risolverlo.

Erasmus 19-01-10 03:02

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

astromauh (Scrivi 330151)
Questo problema sarà pure stato su un testo di 2° media, ma sarei curioso di sapere quanti studenti riuscivano a risolverlo.

E' stata una delle poche volte che mio figlio mi era venuto a chiedere aiuto.
Ma di questo problema non aveva ancora letto il testo. Era la stessa volta in cui, avendo da fare due problemi, ha cominciato col chiedermi aiuto nell'altro (che ho già 'postato' molto tempo fa), cioè:
«Determinare l'area di una corona circolare sapendo che una corda della circonferenza esterna lunga 10 cm è tangente alla circonferenza interna».
Siccome di colpo nemmeno a me veniva in mente come risolvere questo, (e non potevo certo permettermi che lui se n'accorgesse, dato che "suo papà" insegnava matematica :o), sono andato di colpo a vedere di che trattava il capitolo in fondo al quale c'erano gli esercizi (tra cui i due assegnati dal profe come compito per casa). Era giust'appunto il capitolo del Teorema di Pitagora e delle sue applicazioni.
Risolto il primo, ... sotto col secondo ;), (quello che ho 'postato' adesso).
Il difficile, in entrambi, è ... intuire la partenza. Il problema della corona circolare è strano perché ... uno si aspetta di avere due dati (con cui arrivare ai raggi delle circonferenze), e se ne trova invece uno solo. Quanto ingombrante è 'sta corona circolare non si sa: va da un cerchio di raggio 5 cm con un foro puntiforme nel centro fino ... ai confini dell'universo, con raggio maggiore R grande a piacere e – detta 2d = 10 cm la lunghezza della corda – raggio minore:
r = √(R^2 – d^2)

Il problema 'postato' ora non è molto difficile neanche per un ragazzino se sa "a priori" che c'è da applicare il Teorema di Pitagora. [Ma mio figlio era talmente lavativo che non si curava nemmeno di vedere l'argomento del capitolo in fondo al quale stava l'esercizio da fare!]. Fai la figura e ti metti a scarabocchiarla proprio tracciando altezze (ossia segmenti che partono dai vertici e sono perpendicolari ai lati rispettivamente opposti) perché vai in cerca di triangoli rettangoli. Appena hai tracciato l'altezza relativa a uno dei due lati uguali, che è do lunghezza nota, di colpo ti scatta l'idea che questa altezza la puoi conoscere perché sai anche l'area ...
Il resto ... direi che viene da sé.
====================
P.S.
Ho "editato" il 'post' dell'ultimo mio "paper" per sostituire questo con uno rivisto, corretto e migliorato. [Prima quasi non si vedevano i "cappelli" messi sopra alle coppie di lettere per indicare lunghezze di segmenti. Ne ho approfittato per ampliare l'ultima parte ("Soluzione grafico-geometrica"), mostrando che, senza la precisazione che si tratta di un triangolo acutangolo, si trovano due soluzioni.
:hello:

Mizarino 19-01-10 06:38

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

astromauh (Scrivi 330151)
Questo problema sarà pure stato su un testo di 2° media, ma sarei curioso di sapere quanti studenti riuscivano a risolverlo.

Alle medie sono bravissimi. Poi alle scuole superiori si infessiscono, e arrivano all'Università che è un miracolo se sanno la tabellina del 2 ...
Sono anni che cerco di capire perché ... :mmh:

astromauh 19-01-10 08:03

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
E' colpa degli ormoni.

aleph 19-01-10 10:22

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Chissà, forse dipende dalla mancanza di una buona architettura dell'edificio didattico nel suo insieme. Magari i primi anni di scuola rendono di più perché si stanno costruendo solo i primi piani, ma poi col tempo e col crescere dell'edificio la struttura comincia a scricchiolare...

astromauh 19-01-10 11:19

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Mi sa che la seconda risposta che ho dato al quiz del triangolo era un po' sbagliata, per fortuna che l'ho scritta in modo invisibile, spero che non venga in mente a nessuno l'idea di metterla in chiaro. :D

Erasmus 19-01-10 12:31

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 329920)
B2 * H2 = 90.000
B2 + H2 = 625
A questo punto io la soluzione la vedrei "a occhio", perché 625 è la somma dei due "quadrati esatti" 400 e 225, che moltiplicati danno 90.000 ...

Se però i numeri fossero un po' meno facili e piccoli, vedere "ad occhio" sarebbe un po' più arduo, non credi?

A dir il vero, il problemino era sì nel testo di matematica di 2ª media, mi ricordo che aveva numeri piccoli e facili, ... ma quei veri numeri non li ricordo più!
Ho allora provato a ricostruirlo partendo con una altezza relativa a uno dei lati uguali del tipo k*12. M'è venuto di colpo da pensare la base k*13, quindi il pezzo di lato prossimo alla base k*5 , da cui l'altro pezzo di lato k*(12^2 – 5^2)/(2*5) = k*119/10.
Per avere numeri interi dovevo prendere k almeno 10.
Allora il lato veniva L = 119+10*5 = 169
L'altezza relativa al lato veniva 10*12 = 120
La base veniva 10*13 = 130.
L'altezza veniva √(169^2 – 65^2) = 13*√13^2 –5^2] = 13*√(169–25) = 13*12 =156.

Mi son detto: no, i numeri erano più facili!

Sono ripartito con l'altezza relativa ad uno dei lati uguali del tipo k*4 , il pezzo di lato prossimo alla base k*3, la base k*5 e quindi l'altro pezzo di lato
k*(4^2 – 3^2)/(2*3) = k*7/6.

A questo punto mi andava da dio k=6 e quindi:
Base 6*5 = 30 (la tua 2B)
Altezza relativa ad uno dei lati uguali 6*4 = 24
Pezzo di lato prossimo alla base 6*3 = 18
L'altro pezzo di lato 6*(7/6) = 7
Lato (6*3 + 7) = (18+7) = 25
Altezza √[25^2 – (30/2)^2] = 5*√(5^2 – 3^2) = 5√(16) = 20 (la tua H).

E' molto probabile che i veri numeri di quell'esercizio fossero proprio questi.
Quote:

Mizarino (Scrivi 329920)
Mah, se chiamiamo H l'altezza, B la metà della base e L il lato, dal teorema di Pitagora abbiamo:
(B^2) + (H^2) = L^2
Nello stesso tempo abbiamo
(*) (B^2) * (H^2) = S
Abbiamo allora due numeri, B2 e H2 (ho semplificato la notazione)
di cui conosciamo la somma e il prodotto.
Questo è un classico problemino che si risolverebbe con un'equazione di 2° grado, ma se ci mettiamo dentro i numeri dati abbiamo:
B2 * H2 = 90.000
B2 + H2 = 625
A questo punto io la soluzione la vedrei "a occhio", perché 625 è la somma dei due "quadrati esatti" 400 e 225, che moltiplicati danno 90.000 ...

Occhio: la stelletta rossa tra parentesi (*) l'ho messa io.
A Miza: se è il risveglio che ti rincoglionisce, ... la pennichella pomeridiana è stata lunghetta, visto che hai 'postato' alle 17:50 :D
Oppure lo fai apposta ... per farti voler bene (e simulare di non essere un alieno)? :mad:

Prima segni il quadrato d'una variabile X con X^2 (ma allora hai dimenticato l'esponente di S):
Quote:

Mizarino (Scrivi 329920)
(B^2) * (H^2) = S

Poi cambi simbologia:
Quote:

Mizarino (Scrivi 329920)
B2 * H2 = 90.000
B2 + H2 = 625

Ma soprattutto ... procedi da cani nell'impostare il sistema di equazioni nelle incognite B e H. Che bisogno c'è di quadrare la seconda che è "naturalmente" B*H = S ?
Ho capito: tu, sottintendendo posizioni del tipo x = B^2 e y = H^2, ti riporti al classico sistema di 2° grado simmetrico:
x + y = s {s come "somma"} and xy = p {p come "prodotto"}
[Per inciso: quadrando la prima e sottraendo il quadruplo della seconda hai:
x^2 + y^2 – 2xy = s^2 – 4p <=> |x–y| = √(s^2 – 4p)
e se metti l'ultima insieme ad x + y = s hai due sistemi lineari di 1° grado:
[x+y = s and x–y = √(s^2 – 4p)] or [x+y = s and x–y = –√(s^2 – 4p)].
Ma quando insegnavo io partivo dalle identità:
(t–x)*(t–y) = (t–y)*(t–x) = t^2 –(x+y)*t + xy
(dove ogni membro è nullo per t =x or t=y)
che, dato il sistema x+y = s and xy = p, portano all'equazione "di servizio"
t^2 – st + p = 0.
Fine dell'inciso]

Ma è ... "fuorviante" il ricondursi al modello x+y = s and xy = p nel sistema
X^2 + Y^2 = E^2
XY = P
[Non ti porta nel burrone; ma è un allungare scioccamente ( ;) ) il percorso!
Hai subito (per somma e differenza membro a membro):
X^2 + Y^2 + 2XY = E^2 +2P <=> (X+Y)^2 = E^2 +2P <=> !X+Y| = √(E^2 +2P) = 35
X^2 + Y^2 – 2XY = E^2 – 2P <=> (X–Y)^2 = E^2 – 2P <=> !X – Y| = √(E^2 –2P) = 5
[Algebricamente hai 4 sistemi lineari, ossia 4 soluzioni: infatti il sistema è di 4° grado.
Ma geometricamente, imponendo X ed Y non negativi, ne hai due soli:
[X+Y = 35 and X–Y = 5] or [Y+X = 35 and Y–X = 5]

Da cui
{[2X = 40 and 2Y = 30] or [2Y = 40 and 2X = 30]} <=>
<=> {[X = 20 and Y = 15] or [Y = 20 and X = 15]}

E vedi che ritorniamo alla sostanza: risolvere il problema comporterà il fare 2 radici quadrate, ma di numeri più piccoli di quelli del tuo metodo.

Ricordiamo che X era la mezza–base B e Y era l'altezza H.
La 1ª soluzione è quella del triangolo ottusangolo: Base 40 cm e Altezza 15 cm.
La 2ª soluzione è quella del triangolo ocutangolo: Altezza 20 cm e Base 30 cm.

Rispunta dunque la proprietà menzionata in fondo al mio paper:
«Due triangoli isosceli con stessa area e stessi "latii uguali" [sono] uno acutangolo e l'altro ottusangolo[; e] verificano la proprietà:
«La base di uno di essi è il doppio dell'altezza dell'altro»
,
cosa che il bambino di 2ª media verifica di colpo partendo da due triangoli rettangoli uguali (con cateti non uguali) e giustapponendoli una volta per il cateto breve (costruendo un triangolo isoscele ottusangolo) ed un'altra per il cateto lungo (costruendo un triangolo isoscele acutangolo).
___________________
:hello:


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