Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Easy quiz(zes): but mathematical! (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=28426)

aspesi 18-12-16 17:38

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

nino280 (Scrivi 790963)
Dicci come.
Io intanto vado a fare il disegnino.
Ciao

Eh, no..., ci ho studiato sopra un paio d'ore...
Aspetto Erasmus, lui senz'altro ci arriverà prima.

Un aiuto decisivo l'ho avuto leggendo qui:
https://giuseppemerlino.wordpress.co...adrati-esatti/

:hello:

nino280 18-12-16 18:02

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Vabbè come vuoi.
Intanto come avevo promesso ho fatto il disegno (be adesso che ci ripenso alquanto stupido) ma ormai l'ho fatto.
Ho preso i tuoi numeri tali e quali solo che ho spostato la virgola da destra verso sinistra come alle elementari.:D
https://s27.postimg.org/x1r8jk94j/Triangolo_100000.png


Però tanto tanto stupido non è. Tu avresti potuto bleffare con questi numeroni. Invece il disegnino mi conferma che sono giusti.
Cioè io ho messo i tuoi valori come lati, poi il disegno mi conferma che in C l'angolo è retto.
Anche se in definitiva poi bastava fare il conto con la calcolatrice.
Più che altro questo disegnino mi conferma la bontà dei suoi calcoli sui decimali. In questo caso gli avevo imposto 5 decimali.

aspesi 18-12-16 19:40

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

nino280 (Scrivi 790966)
Anche se in definitiva poi bastava fare il conto con la calcolatrice.

Senza una calcolatrice che dà tutti quei decimali, come quella che hai a suo tempo proposto tu, non sarei stato in grado di verificare i conti e proporre le due soluzioni di A e B valide per:

P (4n+1)^4 = A^2 + B^2

All'inizio avevo utilizzato excel, ma non visualizza risultati sufficientemente precisi.

:hello:

Erasmus 19-12-16 18:04

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

nino280 (Scrivi 790959)
[...] triangolo rettangolo di lati 2.813.761 e 2.938.320 con ipotenusa 4.068.289
[...] a prima vista ad occhio lo vedo come molto prossimo ad un mezzo quadrato cioè con gli angoli adiacenti all'ipotenusa molto vicini ai 45°

Lo credo bene! Un cateto è più lungo dell'altro meno del 5%.
<un angolo acuto> = arctan(2813761/2938320) ≈ 43° 45' 34";
<l'altro angolo acuto> = arctan(2938320/2813761) ≈ 46° 14' 26".
Ma perché proprio questi numeri? :mmh:
√(2813761^2 + 2938320^2)= 4068289, intero!
La terna [2813761, 2938320, 4068289] è una terna pitagrorica. :)

aspesi 19-12-16 19:55

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 791039)
Ma perché proprio questi numeri? :mmh:
√(2813761^2 + 2938320^2)= 4068289, intero!
La terna [2813761, 2938320, 4068289] è una terna pitagrorica. :)

Come ci si può arrivare? (A trovare 2813761 e 2938320, noto 2017^2=4068289)

Si parte da 2017 = 9^2 + 44^2

Genericamente scrivo: P = X^2 + Y^2
dove P è un primo del tipo 4n+1 e X e Y sono una coppia di numeri (noti o facilmente calcolabili) tali che la somma dei loro quadrati sia uguale a P.

Elevo al quadrato i due membri:

P^2 = (X^2 + Y^2)^2 = (X^2 - Y^2)^2 + (2XY)^2

Quindi, X^2 - Y^2 e 2XY sono i due numeri che, elevati al quadrato e poi sommati, equivalgono a P^2.

Nel caso di 2017^2 saranno (44^2-9^2) = 1855 e (2*44*9) = 792

Infatti: 2017^2 = 4068289
1855^2 + 792^2 = 3441025 + 627264 = 4068289

Da P^2 si può passare agevolmente a P^4 e in questo caso si possono trovare le somme di due coppie di numeri quadrati. Lascio incompleto il semplice esercizio.

:hello:

Erasmus 27-01-17 11:34

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Un altro quiz di geometria ancora molto facile.

Siano A e B due punti distinti della retta r e sia H un altro punto di r compreso tra A e B.
Siano P e Q due punti distinti qualsiasi del piano α perpendicolare ad r per H.
Dimostrare che (AP)^2 – (BP)^2 = (AQ)^2 – (BQ)^2 .
---------------
Il quiz si può mettere in quest'altra forma.

Sia r una perdicolare al piano α.
Siano A e B due punti di r uno da una parte e l'altro dall'altra rispetto al piano α.
Sia infine P un punto qualsiasi di α.
Dimostrare che la differenza (AP)^2 – (BP)^2 resta costrante al variare comunque di P in α.
[Consiglio: far uso del punto H piede di r su α].
–––––
:hello:

aspesi 27-01-17 13:00

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 793374)
Dimostrare che (AP)^2 – (BP)^2 = (AQ)^2 – (BQ)^2 .
:hello:

(AP)^2 - (BP)^2 = (AQ)^2 - (BQ)^2
Mi pare troppo semplice, forse non ho capito...

Pitagora

(AH)^2 + (PH)^2 - (PH)^2 - (HB)^2 = (AH)^2 + (HQ)^2 - (HQ)^2 - (HB)^2 =

= (AH)^2 - (HB)^2 ---------> costante -------> (AB) * [(AH) - (HB)]

:hello:

Erasmus 27-01-17 15:42

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

cos (Scrivi 793385)
(AP)^2 - (BP)^2 = (AQ)^2 - (BQ)^2
Mi pare troppo semplice, forse non ho capito...

Certo che hai capito!
E' proprio così semplice! Basta far uso del punto H, [come consigliato]; ossia ricondursi a Pitagora (o, se si vuole essere più ... pomposi, al noto teorema di trigonometria del "seno":
a/[sin(α)] = b/[sin(β)] = c/[sin(γ)] . )
–––––––
La dimostrazione è dunque semplicissima.
Ma questa "indipendenza" di (AP)^2 - (BP)^2 dal punto P – purché su un piano (fisso) ortogonale ad AB – è, secondo me, qualcosa di ... potentissimo!
Per esempio, è comodissima per ricavare la formula di Erone (dell'area del triangolo di lati lunghi a, b e c).
[E' da notare che non è nemmeno necessario che l'intersezione H tra la retta r = AB ed il piano α ad essa ortogonale sia compresa tra A e B.
In ogni triangolo si può sempre nominare i vertici con A, B e C in un ordine tale che la perpendicolare per C al lato AB intersechi questo in un punto H interno al segmento AB. Ma non è necessario! Basta infatti ... dare il segno opportuno alle lunghezze dei segmenti. Precisamente, porre (per esempio):
(*) x = b·cos(α); y = a·cos(β).
[Il punto H cade esternamente al segmennto AB se l'angolo α (in A) o l'angolo β (in B) è ottuso].
Comunque abbiamo:
<lato AB> = c = x+y;
<altezza relativa al lato lungo c> = hc = b·sin(α)= a·sin(β)
e pertanto – facendo uso delle (*)comunque:
b^2 – [b·sin(α)]^2 = [b·cos(α)]^2 = x^2 = b^2 – hc^2;
a^2 – [a·sin(β)]^2 = [a·cos(β)]^2 = y^2 = a^2 – hc^2.
Sottraendo membro a membro le ultime due uguaglianze si ha:
x^2 – y^2 = b^2 – a^2.
Ricordando che x + y = c ≠ 0 abbiamo infine il sistema lineare in x e y:
x + y = c;
xy = (b^2 – a^2)/c.
Ci basta il valore di una delle due incognite, per esempio:
x = (1/2)[c + (b^2 – a^2)/c].
per avere (con Pitagora) hc e quindi l'area del triangolo
S = (c·hc)/2 .
Procedendo abbiamo dunque
hc^2 = b^2 – x^2 = [4(bc)^2 – (c^2 +b^2 – a^2)^2]/(4c^2);
e ricordando che c·hc = 2S:
c^2·hc^2 = 16·S^2 = 4(bc)^2 – (c^2 +b^2 – a^2)^2;
16·S^2 = 2(bc)^2 + 2(ca)^2 +2(ab)^2 – (c^4 +b^4 + a^4).
E in definitiva:
4S = √[2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 – (a^4 +b^4 + c^4)].
(comunque sia fatto i triangolo di lati lunghi a, b e c).
––––––
:hello:

nino280 27-01-17 18:39

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
https://s27.postimg.org/cvlpyriar/Qu...di_Erasmus.png

Certamente non è la dimostrazione ma solo per fare vedere (solo per chi non l'avesse capito) come è fatto l'oggetto indicato da Erasmus.
Mi sono "spinto" anche a fare il calcolo numerico e come si vede l'enunciato è vero.
Breve spiegazione del disegno:
si nota il poligono H P Q che non dovevo farlo, ma l'ho fatto solo per rendere l'idea di un piano come ci indicava Erasmus, e io sono partito dal piano per posizionare P e Q, ma alla vista l'immagine del piano era molto brutta ed ho optato far vedere un poligono.
La dimostrazione che fa parte di un piano è data sia dalla quota dell'angolo che ho marcato, sia dalle coordinate di P e Q che hanno entrambe il valore 3 in x esattamente come H
Ciao

nino280 28-01-17 11:08

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
https://s28.postimg.org/fqyayzg3h/Di...i_quadrati.png

Avevo preso il segmento AB lungo 5 e alla distanza 3 da A ci avevo fatto passare un piano normale come si dice in gergo.
Su questo piano ci avevo piazzato i punti P e Q ma estremamente a caso.
Poi adoperavo la formula dettata da Erasmus e cioè:
AP^2 - BP^2 = AQ^2 - BQ^2
facevo i conti e stranamente mi ritornava la lunghezza del segmento di partenza cioè 5
Come mai è un caso? Non l'ho mica fatto apposta.
Rifacendo il tutto scopro una specie di postulato che ora scrivo:D
La somma di due numeri consecutivi è uguale alla differenza dei loro quadrati
Bello ma io non lo sapevo.
Ricapitolando, avevo preso un segmento lungo 5 e mettendo un punto a 3 avevo l'altra distanza uguale a 2 (Appunto 3 e 2 consecutivi)
Ripeto il tutto senza volerlo.
Ciao


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