Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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aspesi 08-12-11 08:40

Re: Qualche quiz
 
Nella figura sotto, le 2 semirette sono ad angolo retto.
La distanza AX vale 32 e Y dista 18 da X .
Quanto è lungo il segmento AP, se voglio che l'angolo XPY sia massimo ?


|<.................32 ...............>|<......... 18 .........>|
A--------------------------------X----------------------Y----------->
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P
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:hello:

Erasmus 08-12-11 12:30

Re: Qualche quiz
 
La mia "Calcolatrice grafica" mi dice ... un bel numero tondo. AP = 40
Dieci volte un undicesimo della fila per sei col resto di due :D
Allora, l'angolo è ampio ... quasi quasi quanto un'ora.
Pecisamete XPY = 12° 40' 49''
---------
:hello:

PS
Dato un triangolo ABC i lati opposti dei cui vertici siano lunghi rispettivamente a, b e c [... a 'n vedi quale magistrale della sintassi sa fare Erasmus? :rolleyes:], il coseno dell''angolo α [del triangolo] di vertice A è:
cos(α) = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc)
Nel nostro caso cos(XPY) = 40/41
:fis:

aspesi 08-12-11 12:59

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 544795)
La mia "Calcolatrice grafica" mi dice ... un bel numero tondo. AP = 40
Dieci volte un undicesimo della fila per sei col resto di due
Allora, l'angolo è ampio ... quasi quasi quanto un'ora.
Pecisamete XPY = 12° 40' 49''
---------
:hello:

PS
Dato un triangolo ABC i lati opposti dei cui vertici siano lunghi rispettivamente a, b e c [... a 'n vedi quale magistrale della sintassi sa fare Erasmus? ], il coseno dell''angolo α [del triangolo] di vertice A è:
cos(α) = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc)
Nel nostro caso cos(XPY) = 40/41
:fis:

Scusa, ma per capire un po' le formule trigonometriche, io devo fare sforzi immani... :(

Però, mi pare che 1 ora su un analogico con lancette e quadrante 12 ore sia pari a 30 gradi (ma senz'altro non ho capito cosa intendi... perché la lunghezza AP è sì un numero tondo, ma non è nè 30 nè 10 volte un undicesimo di non so che cosa...)

Quello che hai scritto dopo il PS è una delle poche cose che ricordo anch'io (teorema del coseno)

:hello:

Dopo aver scritto questa stupidaggine (io, non tu!)... mi accorgo che hai messo il risultato, con il colore del carattere uguale a quello dello sfondo.... per cui non l'avevo notato...

Ma ti sei accorto cosa rappresenta la lunghezza AP?

Erasmus 08-12-11 14:51

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 544796)
Ma ti sei accorto cosa rappresenta la lunghezza AP?

L'altezza del triangolo XPY rispetto alla base XY.
E alùra? :mmh:
-------------
Una soluzione geometrica (senza trigonometria, ti va? ;)) è questa che segue.
Premessa: Data una corda di una circonferenza di estremi X e Y, essa divide la circonferenza in due archi. Sia P un punto della circonferenza distinto da X e da Y). Finché P sta su un arco, [indipendentemente dalla sua posizione su di esso], è costante l'angolo XPY.
["Teorema dell'angolo alla circonferenza". Ricordi? Si dimostrava facendo vedere che è metà del corrispondente "angolo al centro"]
A parità di lunghezza della corda, l'angolo alla circonferenza è tanto più piccolo quanto più grande è il raggio della circonferenza. [E questo è evidente; se non è così per te ... mi tocca scriverti una formula trigonometrica :D]

Nella tua figura, sia M il punto medio di XY. Considera poi una circonferenza che passa per i punti X e Y ed ha il centro C "di sotto". C è per forza sull'asse [verticale] di XY, proprio "sotto" M.
Se il raggio è abbastanza grande la circonferenza interseca la semiretta AP. Siano P1 e P2 le intersezioni della circinferenza con la semiretta AP. Per il citato teorema, gli angoli XP1Y e XP2Y sono uguali. Se P è un punto della corda P1P2, l'angolo XPY è maggiore di XP1Y = XP2Y.
Questo succede comunque se la circonferenza interseca la semiretta!
Quindi l'angolo massimo si ha quando la circonferenza è tangente alla semiretta AP e allora coincidono P, P1 e P2.
Morale: AP è uguale alla distanza MC della retta XY dal centro C della circonferenza per X ed Y tangente alla retta AP.

Diciamo z questa lunghezza incognita.

Il raggio della circonferenza è PC, lungo quanto AM = 32 + 18/2 = 41.
Ma anche XC e YC sono raggi, quindi lunghi 41.
Pertanto, con Pitagora hai sùbito:
XM^2 + z^2 = XC^2 ––>
––> 9^2 + z^2 = 41^2 ––> z = √(41^2 – 9^2) = √(1681 – 81) = √(1600) = 40.
-----------
:hello:

P.S. (17.06)
Editato per aggiungere quanto segue.
L'angolo alla circonferenza è metà dell'angolo al centro (dicevamo!).
Qindi è uguale a metà dell'angolo XCY, ossia
XPY = XCM = YCM
Detto α quest'angolo, abbiamo:
tan(α) = AM/MC = 9/40.
cos(α) = CM/XC= 40/41
sin(α) = XM/XC= 9/41

aspesi 08-12-11 15:01

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 544809)
L'altezza del triangolo XPY rispetto alla base XY.
E alùra? :mmh:
:hello:

E' la media geometrica di x=AX e y=AY.
:fis:

AP = RADQ(((x+y)/2)^2 - ((x-y)/2)^2 )= RADQ(x*y)

:hello:

Erasmus 08-12-11 16:39

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 544812)
E' la media geometrica di x=AX e y=AY.
:fis:

AP = RADQ(((x+y)/2)^2 - ((x-y)/2)^2 )= RADQ(x*y)

:hello:

Ah sì!
Un altro modo di vedere la stessa cosa!
[Dopo aver assodato che l'angolo XPY si ha quando P è il punto di tangenza della retta verticale ad una opportuna circonferenza per X ed Y]

Ma anche voi ... studenti "periti", studiavate la "potenza" di un punto rispetto ad una circonferenza?
Ai miei tempi questa era una nozione (di geometria) da università, [del 2° anno del biennio di "Scienze"].

La richiamo.
«E' data una circonferenza di centro C.
E' dato un punto P complanare con la circonferenza ed esterno ad essa.
Si consideri una retta per P secante la circonferenza in X e Y.
Teorema: Al variare della retta per P resta costante il prodotto PX·PY.
Definizione:
Potenza p di P rispetto alla data circonferenza è la radice quadrata di quel prodotto».

Sia r il raggio della circonferenza e sia d> r la distanza di P dal suo centro C.
In particolare, se X ed Y sono diametralmente opposti (ossia: considerando la retta per P ed il centro C della circonferenza):
PX = d – r;
PY = d + r;
p^2 = (d – r)·(d + r) = d^2 – r^2 ––> p = √(d^2 – r^2).
La situazione limite di una retta per P che interseca la circonferenza è quella della retta per P tangente alla circonferenza. Allora X ed Y vanno a coincidere nel punto di tangenza T.
Con Pitagora si ha subito PT^2 = d^2 – r^2.

Nel nostro caso la lunghezza cercata AP è appunto la "potenza" di A rispetto alla circonferenza per X e Y tangente alla retta AP in P.

Pertanto – hai ragione! – deve risultare:
AP = √(AX·AY) = √(32·50) = 40.

Ma che c'entrano i tuoi x ed y?
Verrebbe:
(x + y)/2= (32 + 50)/2 = 41 = raggio del cerchio
(x – y)/2 = (50 – 32)/2 = 9 = metà della corda XY
Ma non ne capisco lo scopo se non appunto inquadrando le cose nella geometria euclidea ... con tanto di Pitagora.

Ciao ciao

aspesi 08-12-11 20:01

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 544832)
Ma anche voi ... studenti "periti", studiavate la "potenza" di un punto rispetto ad una circonferenza?
Ai miei tempi questa era una nozione (di geometria) da università, [del 2° anno del biennio di "Scienze"].

Ciao ciao

Erasmus, sono passati 50 anni...:(
Cosa vuoi che mi ricordi di quello che si insegnava a scuola...

Per il resto di quello che hai scritto, provo a ripetere (per vedere se l'ho capito ;)) e a integrare.

Consideriamo una circonferenza che passa per X, Y e P
(L'asse verticale di A potrebbe intersecare la circonferenza in due punti P1 e P2. Però, per avere l'angolo XPY massimo, la circonferenza deve essere tangente all'asse e quindi lo incontra solo in P)
Se la circonferenza è tangente a P, il suo centro C ha la stessa ordinata di P e ascissa (X+Y)/2 = 41 (uguale a M)
XC = PC = AM = (X+Y)/2
XM = (Y-X)/2
Quindi, MC = AP = RADQ(((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2) come ho scritto prima

Infine, l'angolo della bisettrice di XPY è nullo per AP=0 (e l'angolo XPY è nullo) e anche per AP=infinito (e in questo caso l'angolo XPY è retto). Il massimo si avrà quando la bisettrice forma un angolo di 45 gradi con l'asse verticale.

:hello:

Erasmus 09-12-11 00:30

Re: Qualche quiz
 
Se della scuola non ricordi se hai studiato o no la nozione di "potenza" di un punto rispetto ad un cerchio, da dove diavolo hai tirato fuori che AP deve essere la media geometrica tra AX e AY affinché l'angolo XPY sia massimo?

Quote:

aspesi (Scrivi 544882)
Infine, l'angolo della bisettrice di XPY è nullo per AP=0 (e l'angolo XPY è nullo) e anche per AP=infinito (e in questo caso l'angolo XPY è retto). Il massimo si avrà quando la bisettrice forma un angolo di 45 gradi con l'asse verticale.

La bisettrice di XPY è sì inclinata di 45°: ma non mi pare che l'essere 45° la media aritmetica delle due inclinazioni estreme per le quali l'angolo è nullo motivi il fatto che con quella inclinazione della bisettrice l'angolo debba essere massimo.
E' vero invece il viceversa!
Se l'angolo è massimo la bisettrice è inclinata di 45°. Ma non c'entrano le inclinazioni limite di 0° e 90° per angolo infinitesimo!
Sia x l'ascissa di X e sia y l'ascissa di Y.
Abbiamo visto che l'angolo è massimo quando l'ordinata di P è √(xy).
Allora la pendenza di PX è √(xy)/x = √(y/x) e quella di PY è √(xy)/y = √(x/y).
Le pendenze dei lati dell'angolo in questione sono una reciproca dell'altra!
La pendenza è la tangente (trigonometrica) dell'angolo di inclinazione.
Si sa che se alfa e beta sono angoli complementari allora la tangente di uno è il reciproco della tangente dell'altro; e viceversa (se si escludono angoli non compresi tra 0° e 90°).
(alfa + beta = 90°) <==> [tan(alfa)*tan(beta) = 1].

Se alfa e beta sono le inclinazione dei lati di un angolo, sempre la bisettrice è inclinata di (alfa + beta)/2.
Nel nostro caso, essendo alfa + beta = 90°, la bisettrice è inclinata di 45°

D'altra parte, metà angolo è la differenza tra le inclinazioni della bisettrice e di un lato dell'angolo. Ricordando la formula della tangente della differenza di angoli:
tan(alfa – beta) = [tan(alfa) – tan(beta)]/[1 + tan(alfa)*tan(beta)],
se la pendenza di un lato dell'angolo è p e quella dell'altro è q, detta m la pendenza della bisettrice deve essere:
(p – m)/[1 + pm] = (m – q)/[1 + mq] => m^2 – 2m·[(pq – 1)/(p + q)] – 1 = 0
che permette di calcolare la pendenza m della bisettrice.
Nel nostro caso è p = 40/32 = 5/4 e q = 40/50 = 4/5. E perciò pq =1.
L'equazione di sopra si riduce a m^2 = 1, ossia pendenza 45°

Se pq ≠ 1, allora ll'equazione si può mettere nella forma
2m/(1–m^2) = (p + q)/(1 – pq)
che dice proprio che il doppio dell'inclinazione della bisettrice d'un angolo è uguale alla somma delle inclinazioni dei lati dell'angolo.

Ciao ciao
---
:hello:


Allora sì puoi dire che la bisettrice, sempre inclinata di (alfa + beta)/2,

aspesi 09-12-11 10:34

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 544917)
Se della scuola non ricordi se hai studiato o no la nozione di "potenza" di un punto rispetto ad un cerchio, da dove diavolo hai tirato fuori che AP deve essere la media geometrica tra AX e AY affinché l'angolo XPY sia massimo?
Ciao ciao
---
:hello:

Boh... :mmh:Non ho "nessuna nozione di potenza" :mmh:

Ho fatto un ragionamento su quando l'angolo XPY è massimo e poi:

MC = AP = RADQ(((X+Y)/2)^2 - ((Y-X)/2)^2) =
= RADQ(X^2/4 + Y^2/4 +2XY/4 - Y^2/4 - X^2/4 + 2XY/4) =
= RADQ(4XY/4) = RADQ(XY)
che è la media geometrica

:hello:
(Per la bisettrice a 45 gradi è vero il tuo "viceversa")

Erasmus 09-12-11 16:57

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 544977)
Boh...Non ho "nessuna nozione di potenza"

Ho fatto un ragionamento su quando l'angolo XPY è massimo [...]

E daje! E qual è 'sto ragionamento?

[Non sono ancora riuscito a farti dire come facevi a sapere che AP è la media geometrica tra AX e AY, [ossia, equivalentemente, la radice quadrata della differenza tra i quadrati di (AX + AY)/2 e (AX – AY)/2].

Insomma:
1) Mi hai fatto notare che:
AX·AY = [(AX + AY)/2]^2 – [(AXAY)/2]^2.
Allora realizzo che, in un triangolo rettangolo che avesse l'ipotenusa lunga
(AX + AY)/2 = <distanza del punto medio di XY da A>
e un cateto lungo
(AYAX)/2 = < metà della lunghezza del segmento XY>
l'altro cateto sarebbe lungo
<radice quadrata di {[(AX+ AY)/2]^2 – [(AX – AY)/2]^2}> = <media geom. tra AX e AY>.

2) Posso costruire questo triangolo rettangolo così:
• chiamo M il punto medio di XY e traccio la perpendicolare p per M ad XY;
• rilevo col compasso la lunghezza AM;
• punto il compasso (con tale apertura) in X (o in Y) e traccio l'arco che interseca la perpend. p in C.
• Ottengo: ipotenusa=CX; un cateto = XM; l'atro cateto = MC.

3) Ma come faccio a sapere che se AP = MC allora l'angolo XPY è il massimo angolo sotto il quale vedo da un punto della semiretta verticale per A il segmento XY? :mmh:]

La soluzione me l'hai data.
Ma non me l'hai ancora spiegata. :o


Facciamo finta che io non sappia risolvere il quiz e presuma che tu il quiz lo conosci per bene.
a) Mi hai dato la soluzione. Ho capito cos'è:
AP = √(32·50) = 40
ma non "perché"!
b) Mi hai fatto notare che, se mi metto metà di XY, [diciamo nel punto medio M di XY],
quella radice quadrata (o media geometrica che sia) sarebbe un cateto –diciamolo c – di un triangolo che avesse l'ipotenusa lunga come la distanza di M da A e l'altro cateto lungo come la metà del segmento XY (cioè: distanza di M da X e Y).
c) Non mi hai ancora spiegato perché mai se prendo P distante da A come quel cateto c l'angolo XPY diventa il massimo! :confused:
------
:hello:


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