Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

Erasmus 18-11-11 17:56

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 538482)
I due triangoli

ABC un triangolo pitagorico primitivo con lati ed area interi.
DEF un triangolo isoscele e anche lui ha i lati e l'area interi.
Il perimetro di ABC uguale al perimetro di DEF.
Anche l'area di ABC uguale all'area di DEF.
Tutti i lati sono minori di 400.

Trovare i lati dei due triangoli.

(Io l'ho risolto a furia di tentativi e non ho idea se la soluzione unica)

:hello:

a) In ogni triangolo rettangolo con lati costituenti una terna pitagorica primitiva diciamolo pure lui "pitagorico primitivo" un cateto dispari e l'altro divisibile per 4. Quindi l'area di ABC divisibile per 2.
Siano x ed y le lunghezze dei cateti di ABC e z l'ipotenusa. Sia y il cateto divisibile per 4.
b) DEF non pu essere equilatero (perch se lo fosse ed avesse il lato intero, l'area non sarebbe intera). Detta allora L la lunghezza dei lati uguali, b (come "base") quella del terzo latoed h l'altezza relativa a questo, siccpme b intero, anche h intera.
Ma siccome √[b/2)^2 + h^2] = L un intero, b/2 intero, ossia b pari.
Quindi (b/2, h, L) un triangolo pitagorico. O b/2 divisibile per 4 o h divisibile per 4 (o entrambi sono divisibili per 4).
c) Tenuto conto di quanto detto, considero le terne pitagoriche primitive (x, y, z), [dove y il cateto divisibile per 4]
Considero l'intero pari (xy)/2 e lo scompongo (in tutti i modi possibili) nella coppia (x', y').
Se √(x'^2 + y'^2) intero ... sono a cavallo.
Se non lo [per nessuna coppia (x', y') tale che 2x'y' = xy] ... amen!
d) Passo alla terna pitagorica primitiva successiva e ripeto l'esame di sopra almeno fin che non sono a cavallo!
e) Quando sono stufo smetto!

:hello:

astromauh 18-11-11 18:12

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 538482)
Trovare i lati dei due triangoli.

Easy: 135, 352, 377 e 132, 366, 366 FINE

Erasmus 18-11-11 18:58

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 538534)
Easy: [...]

Bravo!
NB: Ad ogni soluzione algebrica corrispondono 2 soluzioni geometriche.
[Tagli lungo l'altezza il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli che riattacchi per i cateti che erano mezza base dell'isoscele].
Ad esempio, per (i tuoi) x = 135 e y =352 si ha:
(xy)/2 = x'y' = (66360) con √(66^2 + 360^2) = 366 (intero!)
Ma allora anche (commutando i fattori x' ed y'):
(xy)/2 = y'x' =(36066), ossia DEF = (720, 366, 366).
-----
:hello:

astromauh 18-11-11 19:28

Re: Qualche quiz
 
Non ho capito bene quello che hai scritto, forse perch sono un po' stanco.

Il triangolo 720, 366, 366 non valido, perch pur avendo la stessa aria del triangolo isoscele che avevo trovato, non ha il suo stesso perimetro ed ha un lato che supera le 400 unit previste dal quesito. :mmh:

aspesi 18-11-11 19:48

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 538534)
Easy: 135, 352, 377 e 132, 366, 366 FINE

:ok::ok:E dici anche "facile"!!!

Io ricordo che a risolverlo ci avevo messo una settimana ... ma io non sono capace di programmare.
Confermi che l'unica soluzione?

:hello:

astromauh 18-11-11 20:16

Re: Qualche quiz
 
Le soluzioni sono due:
  • 135, 352, 377 e 132, 366, 366

  • 352, 135, 377 e 132, 366, 366

:D

aspesi 18-11-11 21:46

Re: Qualche quiz
 
I lati dei triangoli pitagorici primitivi devono essere della forma:
a = ass(u^2 - v^2)
b = 2*u*v
c = u^2 + v^2
dove u e v sono due interi primi tra loro e non entrambi dispari

Esistono 69 triangoli pitagorici primitivi con lati <400.

Su un foglio excel considero u pari fra 2 e 18 e v dispari fra 1 e 19 (in tutto 9*10 = 90 coppie).
A questo punto, eliminando le coppie a cui corrisponde c>400 e quelle dove u e v non sono primi fra loro, rimangono 69 coppie, mediante le quali si possono calcolare i valori di a, b e c.
Si va da:
(3, 4, 5) area=6 perimetro=12
a
(288, 325, 397) area=37.050 perimetro=950

A questo punto si studia il triangolo isoscele
Area=S (nota)
Semiperimetro=p (noto)
con X il lato obliquo incognito e Y=2*(p-X) la base

Deve essere (Erone):
p*(p-X)*(p-X)*(p-Y) - s^2 = 0
sostituendo a Y il valore in funzione di X , rimane come sola incognita la X

Si tratta quindi, con i dati dei 69 triangoli rettangoli, di risolvere 69 equazioni di terzo grado nell'incognita X (cosa che non so assolutamente fare...:()

Per, aiutandosi con excel, si trova:
a=135 ; b=352 ; c=377 triangolo rettangolo (u=16 ; v=11)
e=132 ; f=g=366

:hello:

Erasmus 19-11-11 00:22

Re: Qualche quiz
 
Oops... :o
Che i due triangoli dovessero avere anche lo stesso perimetro m'era sfuggito...
--------
:hello:

Erasmus 19-11-11 03:02

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 538611)
Esistono 69 triangoli pitagorici primitivi con lati <400.

A me risulta che sono 63.
Ecco (pi sotto) le prime 69 terne pitagoriche primitive [TPP] ordinate per ipotenusa crescente (e, a parit di questa, per cateto dispari crescente).

Ho registrato il primo milione di TPP in questo ordine 4 anni fa. Sono state calcolate da tal ChronoTrigger (del forum Forumtiime, che ora ... fermo e bloccato) con un programmino basato su un algoritmo che gli avevo suggerito io.
=> Algoritmo per generare le TPP, (Erasmus)
=> Genesi di un milione di TPP, (ChronoTrigger)
=> Scaricare da QUI il file col primo milione di TPP (Chrono Trigger)
=> "/terne1M,zip" (10^6 TPP, file ZIP da 27 Mbyte).

Lo scopo era di verificare sperimentalmente che l'ipotenusa aumentava mediamente di 2π (due pi-greco), per cui la milionesima TTP doveva avere l'ipotenusa di valore circa (2π)10^6, e quindi avere le prime cifre uguali alle prime cifre di 2π.
In effetti, la milionesima TPP (ordinando queste per ipotenusa crescente, e per cateto dispari crescente a parit di ipotenusa) risulta:
[x, y, z] = [5507055, 3025288, 6283313] (e 2π = 6,2831853...).
Ecco perch, nell'elenco che segue. a destra della terna riportato il rapporto z/N tra l'ipotenusa z ed il numero d'ordine N (rapporto che tende a 2π al tendere di N all'infinito) e l'errore z/N 2π (che tende a zero altendere di N all'infinito)
Codice:

  N          x        y (pari)          z        z/N                            z/N 2π
-------------------------------------------------------------------------------
1        3        4        5        5,00000000000000        -1,28318530717958000
2        5        12        13        6,50000000000000        0,21681469282042000
3        15        8        17        5,66666666666667        -0,61651864051291300
4        7        24        25        6,25000000000000        -0,03318530717958000
5        21        20        29        5,80000000000000        -0,48318530717958000
6        35        12        37        6,16666666666667        -0,11651864051291300
7        9        40        41        5,85714285714286        -0,42604245003672300
8        45        28        53        6,62500000000000        0,34181469282042000
9        11        60        61        6,77777777777778        0,49459247059819800
10        33        56        65        6,50000000000000        0,21681469282042000
11        63        16        65        5,90909090909091        -0,37409439808867100
12        55        48        73        6,08333333333333        -0,19985197384624700
13        13        84        85        6,53846153846154        0,25527623128195800
14        77        36        85        6,07142857142857        -0,21175673575100900
15        39        80        89        5,93333333333333        -0,34985197384624600
16        65        72        97        6,06250000000000        -0,22068530717958000
17        99        20        101        5,94117647058824        -0,34200883659134500
18        91        60        109        6,05555555555556        -0,22762975162402500
19        15        112        113        5,94736842105263        -0,33581688612694800
20        117        44        125        6,25000000000000        -0,03318530717958000
21        105        88        137        6,52380952380952        0,24062421662994400
22        17        144        145        6,59090909090909        0,30772378372951100
23        143        24        145        6,30434782608696        0,02116251890737610
24        51        140        149        6,20833333333333        -0,07485197384624700
25        85        132        157        6,28000000000000        -0,00318530717957977
26        119        120        169        6,50000000000000        0,21681469282042000
27        165        52        173        6,40740740740741        0,12422210022782700
28        19        180        181        6,46428571428571        0,18110040710613400
29        57        176        185        6,37931034482759        0,09612503764800630
30        153        104        185        6,16666666666667        -0,11651864051291300
31        95        168        193        6,22580645161290        -0,05737885556667700
32        195        28        197        6,15625000000000        -0,12693530717958000
33        133        156        205        6,21212121212121        -0,07106409505836810
34        187        84        205        6,02941176470588        -0,25377354247369800
35        21        220        221        6,31428571428571        0,03110040710613400
36        171        140        221        6,13888888888889        -0,14429641829069100
37        221        60        229        6,18918918918919        -0,09399611799039050
38        105        208        233        6,13157894736842        -0,15160635981115900
39        209        120        241        6,17948717948718        -0,10369812769240000
40        255        32        257        6,42500000000000        0,14181469282042000
41        23        264        265        6,46341463414634        0,18022932696676200
42        247        96        265        6,30952380952381        0,02633850234422930
43        69        260        269        6,25581395348837        -0,02737135369120840
44        115        252        277        6,29545454545455        0,01226923827496580
45        231        160        281        6,24444444444444        -0,03874086273513560
46        161        240        289        6,28260869565217        -0,00057661152740618
47        285        68        293        6,23404255319149        -0,04914275398809040
48        207        224        305        6,35416666666667        0,07098135948708690
49        273        136        305        6,22448979591837        -0,05869551126121310
50        25        312        313        6,26000000000000        -0,02318530717958020
51        75        308        317        6,21568627450980        -0,06749903266977600
52        253        204        325        6,25000000000000        -0,03318530717958000
53        323        36        325        6,13207547169811        -0,15110983548146700
54        175        288        337        6,24074074074074        -0,04244456643883950
55        299        180        349        6,34545454545455        0,06226923827496570
56        225        272        353        6,30357142857143        0,02038612139184880
57        27        364        365        6,40350877192982        0,12032346475024400
58        357        76        365        6,29310344827586        0,00991814109628208
59        275        252        373        6,32203389830508        0,03884859112550480
60        135        352        377        6,28333333333333        0,00014802615375320
61        345        152        377        6,18032786885246        -0,10285743832712100
62        189        340        389        6,27419354838710        -0,00899175879248304
63        325        228        397        6,30158730158730        0,01840199440772140
64        399        40        401        6,26562500000000        -0,01756030717958000
65        391        120        409        6,29230769230769        0,00912238512811214
66        29        420        421        6,37878787878788        0,09560257160829890
67        87        416        425        6,34328358208955        0,06009827490997210
68        297        304        425        6,25000000000000        -0,03318530717958000
69        145        408        433        6,27536231884058        -0,00782298833899997
....

Ciao, ciao
-----------
:hello:

aspesi 19-11-11 09:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 538630)
A me risulta che sono 63.

Ciao, ciao
-----------
:hello:

Hai ragione.
Avevo contato male...

http://i40.tinypic.com/2wp88c8.jpg

:hello:


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 23:16.

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