Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

aspesi 10-04-12 15:25

Re: Qualche quiz
 


Cos io la vedo.
Come pure andando su:
http://postimage.org/image/7i63k4hjh/
Altrimenti, vedo come Nino280 un quadratino con una x rossa al centro...:D

:hello:

Epoch 11-04-12 07:33

Re: Qualche quiz
 
Siamo alle solite con PostImage?
l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

astromauh 11-04-12 16:18

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Epoch (Scrivi 585611)
Siamo alle solite con PostImage?
l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

@Erasmus, ma perch non metti le tue immagini da qualche altra parte?

Di siti che offrono questo servizio ce ne sono diversi.



:hello:

Erasmus 11-04-12 18:10

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Epoch (Scrivi 585611)
...l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

D'accordo.
Ma ... nessun commento sulla ricerca della soluzione del quiz non ancora risolto?

Torniamo all'ultimo quiz di Nino II:
Quote:

aspesi (Scrivi 584157)
Quale regione all'interno di un quadrato di lato 1 possiede il maggior rapporto area / perimetro ?

Se il quiz consistesse in una gara a chi trova una figura contenuta nel quadrato di lato 1 con rapporto
r = <area>/<perimetro>
pi grande, il quiz resterebbe aperto potendo qualcuno battere il record provvisorio (trovato da me), consistente in un quadrato ad angoli smussati con profilo circolare.
Ricapitolando, abbiamo visto che:
Per ogni poligono regolare di 4n lati il rapporto sempre 1/4. E' 1/4 anche per il cerchio (come si ottiene per n tendente all'infinito e anche direttamente essendo il raggio 1/2 e quindi l'area π/4 e la circonferenza π, per cui <area>/<circonferenza> = (π/a)/π = 1/4)
Si pu superare questo rapporto pensando ad un ottagono irregolare [con 4 lati alterni centrati nei 4 lati del quadrato] al quale aggiungere 4 ..."lunotti" (uno per ciascuno degli altri 4 lati) che dnno complessivamente alla figura l'aspetto di un quadrato con gli angoli smussati.

In generale, se x il cateto di ciascuno dei 4 triangoli rettangoli isosceli asportati dal quadrato, dato un lunotto di asegnata forma, questo avr un'area proporzionale ad x^2 ed una lunghezza dell'arco che lo delimita proporzionale ad x.
Data la forma del lunotto, chiamiamo k un fattore di forma che misura il rapporto tra la lunghezza dell'arco che lo delimita e quella della base [che nel nostro caso x√(2)]. Possiamo caratterizzare anche l'area con un altro fattore di forma (diciamolo h) che d il rapporto tra l'area del lunotto quadrato della lunghezza della sua base [sempre ricordando che nel nostro caso la base lunga x √(2)].

Pertanto, l'area della figura :
l'area del quadrato , che 1
meno l'area dei 4 triangoli rattangoli isosceli di cateto x, che 4[(x^2)/2] = 2x^2
pi l'area dei 4 lunotti, ciascuno di area h[(x√(2)]^2 = 2hx^2, e in tutto 8hx^2.

Complessivamente:
<area> = 1 2x^2 + 8 hx^2 = 1 2(1 4h)x^2.

Il perimetro costituito dai 4 lati dell'ottagono centrati sui lati del quadrato, ciascuno di lunghezza 12x, pi i 4 archi dei lunotti, ciascuno lungo k[x√(2)].
Complessivamente:
<perimetro> = 4[1 2x + k√(2)x] = 4{1 [2 k√(2)]x}.

Il rapporto da massimizzare dunque (in generale):
Codice:

                                      1        1 2(1 4h)x^2
<area>/<perimetro> = .
                                      4        1 [2 k√(2)] x

La funzione
F(x) = 4<area>/<perimetro>
dunque molto espressiva, dato che sempre
F(0) = 1
(ci significando che la figura va a coincidere col quadrato al tendere a zero dell'ampiezza dello smusso angolare).

Una volta assunta una certa forma, c' un massimo per certo x compreso tra 0 e 1/2.
Sia x il valore di x dove c' il massimo. Questo vale F(x)
Per esempio, con lunotto circolare abbiamo
h = (π2)/8 = 0,142699 ...; 2(1 4h) = 0,8584073464 ...
k = [π√(2)]/4 = 1,11072073454 ...
Il massimo si ha per x = 0,2650794521343 .. e vale 4/[2+√(π)] = 1,060317808537...

Ho provato con altre forme di lunotto.
In particolare con lunotto sinusoidale e parabolico.
Ci si avvicina al valore ottenuto con lunotti circolari, ma per ora il record resiste!

---------------

Credo d'aver trovato il metodo per determinare la forma con il massimo assuluto.

Supponiamo di conoscere quel profilo.
Assomiglier ad un segmento di parabola e avr gli angoli delle "punte" di 45 gradi.
La parabola "normalizzata" con base lunga 2 e angoli di 45 alta 1/2, ha equazione cartesiana y = (1 x^2)/2 ed i fattori di forma sono
h = (2/3)/4 = 1/6 = 0,1666666... quello per l'area:
k = [ln[1+√(2)] + √(2)]/2 = 1,11479357... quello dell'arco.

La sinusoide "normalizzata" con base lunga π e angoli di 45 alta 1, ha equazione cartesiana y = cos(x) ed i fattori di forma sono
h = 2/(π^2) = 0,202642367 ... quello per l'area:
k = √(2)E[π, √(2)/2] = 1,216008 ... quello dell'arco

Il profilo che massimizza il rapporto assomiglier anche ad una sinusoide.

Sia con smussi sinusoidali che parabolici si trova il massimo di F(x) maggiore di 1,059.

Se conoscessimo la funzione del profilo massimizzante il rapporto potremmo svilupparla in serie di potenza del tipo
A + Bx^2 + Cx^4 + ...
Oppure potremmo svilupparla in serie di Fourier.

Non conoscendola, potremmo cercare i coefficienti delle componenti tali da ottenere il profilo ottimo.

Io ho provato a mettere una terza armonica in aggiunta al profilo sinusoidale.
Imponendo le condizioni giuste ho trovato un rapporto che sfiora (e forse supera) 1,06
[Il record da battere 1,0603. Io ho trovato ≈1,0600]
Ho anche provato ad aggiungere alla parabola una componente di 4 grado.
Anche qua si arriva a toccare 1,06.
Resta dunque il dubbio che quei lunotti circolari costituiscano il massimo assoluto.
Io non ne sono affatto convinto.

Penso invece che il massimo assoluto si ottenga con una curva con una infinit di componenti (per esempio potenze: A + Bx^2 + Cx^4 + ...)
E anche che alla fine l'ottagono irregolare si riduca ad una losanga, ad un quadrato di diagonale 1; cio che il massimo assoluto si abbia alla fine per x=1/2, cio con un tipo di smusso che inizia dolcemente dal centro dei lati del quadrato per arrivare alla massima curvatura sulle diagonali del quadrato

Ma ... senza poter programmare un po' dura ...

Qui occorrerebbe lavorare numericamente con alta accuratezza: cosa che io non posso fare in certi casi (per esempio nel fare integrali numerici, indispensabili per calcolare la lunghezza del profilo quasi parabolico).

C' qualche programmatore disposto a tentare un calcoletto del genere? :mmh:
---------
:hello:

Epoch 11-04-12 21:31

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 585810)
D'accordo.
Ma ... nessun commento sulla ricerca della soluzione del quiz non ancora risolto?

Chiedo Scusa, ma questo non sono riuscito a seguirlo bene.. :(

nino280 12-04-12 00:05

Re: Qualche quiz
 
Da Erasmus
Il massimo si ha per x = 0,26579.. e vale 4/[2+√(π)] = 1,06031780...
Mi ricordo di un numero simile, si trattava di far passare un cubo dentro un quadrato di lato pi piccolo.
E' noto come Il paradosso del Principe di Rupert, ma forse meglio che vi rimando a quella discussione:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=12567&page=4

La discussione era " Ovvi Cubi " di Piotr
Ciao

Erasmus 12-04-12 09:25

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 585911)
Da Erasmus:
[...] 1,06031780...
Mi ricordo di un numero simile, si trattava di .
E' noto come Il paradosso del Principe di Rupert, ma forse meglio che vi rimando a quella discussione:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=12567&page=4
La discussione era " Ovvi Cubi " di Piotr
Ciao

No Nino I !
a) Il cubo doveva passare per un buco (="foro passante") di un cubo pi piccolo.
E' impossibile far passare un cubo dentro un quadrato di lato pi piccolo [sottinteso del suo spigolo]
In un cubo si pu invece fare un tunnel di sezione quadrata di lato maggiore dello spigolo del cubo.
Rimetto la figura che sta nella pagina che tu avevi 'linkato' in quella discussione.
b) I numeri quasi uguali sono diversi!
Il rapporto 4<area>/<perimetro> di cui stiamo parlando
4/[2 + √(π)] = 1,060.317.808.537.2 ...
Il "numero di Rupert" (= lunghezza dello spigolo del cubo pi grande che pu passare in un buco opportuno di un cubo di spigolo 1) invece:
√(9/8) = (3/4)√(2) = 1,060.660.171.8 ...

:hello:
--------------------------
P.S. (Editando ...)
Riassumo:
C' un quadrato di lato 1.
Devo cercare una figura (piana) inscritta in questo quadrato con un rapporto <area>/<perimetro> il pi grande possibile.
Provo allora ... quanto segue.
Asporto da ciascun angolo del quadrato un quadratino di lato x ricavando una figura fatta "croce", ... cosi: + .
Spacco in quattro un cerchio di raggio x e colloco ciascun quarto di cerchio al posto di ciascun quadratino asportato.
Ottengo un quadrato ad angoli smussati con smusso circolare di raggio x.
Questo ha area
1 4x^2 + πx^2 = 1 (4 π)x^2
e perimetro
4 8x + 2πx = 4{1 1 [(4 π)/2]x}
Il rapporto
4<area>/<perimetro>
del tipo
r(x) = (1 ax^2)/[1 (a/2)x]
dove
a = 4 π = [2 + √(π)][2 √(π)]
L'andamento di r(x) mostra che r(x) ha un massimo in un certo x tra 0 e 1/2 esclusi.
Annullando la derivata di r(x) si trova che essa si annulla in
x = [2 √(4 a)]/a = 1/[2 + √(π)].
E' qui che la funzione r(x) massima.
Per questo x essa vale
r(x) = [1 (4 π)x^2]/{[1 (4 π)x/2] = {1 [2√(π)]/[2 + √(π)]}/{1 [2 √(π)]/2} = 4/[2 + √(π)].
Resta la domanda se questo record davvero imbattibile ...
A ri-ciao!

aspesi 12-04-12 10:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 585810)
Il massimo si ha per x = 0,26579.. e vale 4/[2+√(π)] = 1,06031780...

Ho provato con altre forme di lunotto.
In particolare con lunotto sinusoidale e parabolico.
Ci si avvicina al valore ottenuto con lunotti circolari, ma per ora il record resiste!
:hello:

Ti sfuggito uno zero (0,265079452..)

Non riesco a seguire i tuoi lunotti sinusoidali e parabolici, ma, come ho gi detto, sarei pronto a scommettere che il massimo dei lunotti cicolari non pu essere superato.

:hello:

Erasmus 12-04-12 17:38

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 586027)
Ti sfuggito uno zero (0,265079452..)

Ho corretto.
Quote:

aspesi (Scrivi 586027)
Non riesco a seguire i tuoi lunotti sinusoidali e parabolici, ...

Visto che hai capito il lunotto circolare, non ti sar difficile capire anche il resto.
Siamo gi d'accordo sull'ottagono irregolare con 4 lati paralleli alla diagonale del quadrato e lunghi x√(2) e gli altri 4 centrati nei lati del quadrato lunghi 1 2x.
Al posto dei "lunotti" circolari (che sono "segmenti di cerchio" di raggio x ed angolo al centro π/2, possiamo mettere "lunotti" di altra forma (sempre per assomigliante ai lunotti circolari.
Indispensabile che x sia compreso tra 0 e 1/2, che la tangente negli estremi dell'arco sia a 45 sulla "base" [che la "corda" , lunga x√(2) e a coincidere con il lato dell'ottagono parallelo alla diagonale del quadrato].

a) Lunotto parabolico.
La parabola il luogo dei punti (del piano) equidistanti da un punto F il "fuoco" e da una retta d la "direttrice".
Una parabola qualsiasi caratterizzata dal solo parametro "apertura" p.
Che cos' l'apertura di una conica (ellisse, parabola o iperbole)?
Parabola: considera la perpendicolare n all'asse per il fuoco.
Elllisse e iperbole: considera l'asse principale (quello per i fuochi) e la perpendicolare n ad esso per un fuoco
Questa retta n interseca la conica in due punti A e B equidistanti dal fuoco F (allineato con A e B). L'apertura p met della distanza tra A e B (cio la distanza comune di A e/o B dal fuoco allineato su n con A e B).
Nella parabola, l'asse interseca la direttrice d in un punto a distanza dal fuoco F come i punti A e B (per definizione), cio a distanza p dal fuoco. Allora il vertice V, distando ugualmente dal fuoco e dalla direttrice, dista p/2 dal fuoco.

Considera la parabola di equazione cartesiana
y = (p/2)[1 (x/p)^2]
E' immediato rilevare che il fuoco nell'origine O(0, 0), il vertice ha coordinate (0, p/2) e i punti A e B hanno coordinate (p, 0).
L'inclinazione di questa curva "parabola" sull'asse y in x = p proprio 45 (come si trova subito derivando).
Diciamo "base" la corda di estremi A e B lunga 2p (che ora un segmento dell'asse delle ascisse).
Il lunotto "parabolico" il segmento di parabola delimitato dall'arco di curva e dalla sua corda-base di estremi A e B.
L'area del lunotto 2/3 del rettangolo in cui inscritto il lunotto.
Il rettangolo ha i lati lunghi 2p e p/2, quindi di area p^2 e l'area del lunotto (2/3)p^2.
La parabola uno dei pochi casi in cui (per integrazione) si riesce ad esprimerfe la lunghezza di un suo arco in termini di funzioni gi note.
Infatti, per qualsiasi curva y = f(x) , detto ds un pezzettino di arco e y' la derivata di f(x), abbiamo:
ds = √(dx^2 + dy^2) = √(1 + y'^2) dx
Nel caso della nostra parabola
y = (p/2)[1 (x/p)^2] = p/2 (x^2)/(2p) => y' = x/p => √(1 + y'^2) = √[(1 + (x/p)^2].

La lunghezza dell'arco di parabola tra gli estremi A e B della base del "lunotto dunque:
Codice:

          p                                  1
L = 2√[1 + (x/p)^2] dx = 2p √(1 + t^2) dt
        0                                    0

La primitiva di √(1 + t^2) nulla in t = 0
F(t) = {ln[t + √(1+t^2)] + t√(1 + t^2)}/2.
[Si ricava facilmente con la sostituzione t = sinh(z) e anche (un po' meno facilmente!) con la sostituzione t = tan(phi)].
In conclusione, la lunghezza dell'arco del lunotto parabolico di base 2p :
L = p{ ln√[1 + √(2)] + √(2)} = 2p1,1477935746963...
Il rapporto tra la lunghezza dell'arco e quella della corda dunque:
k = { ln√[1 + √(2)] + √(2)}(2 = 1,1477935746963...
NB: Per il lunotto circolare avevamo k = (π/2)/√(2) = π√(2)/4 = 1,1107207345396...

La funzione da massimizzare
4<area>/<perimetro>
ancora del tipo
r(x) = (1 ax^2)/(1 bx)
Solo che adesso sono diversi da prima i coefficienti a e b.
-------------------

Analogamente si pu fare con la sinusoide osservando che
Il lunotto sinusoidale y = cos(x) ha la base lunga π, l'altezza 1 e l'area 2.
Quindi il lunotto di base x√(2) ha area 4/π^2.
La lunghezza dell'arco di sinusoide y = cos(x) in un semiperiodo (che coinvolge l'integrale ellittico di 2 specie) k volte il semiperiodo π, dove:
k = 1,21600803...
Quote:

aspesi (Scrivi 586027)
... sarei pronto a scommettere che il massimo dei lunotti cicolari non pu essere superato.

Non scommetto mai. Ma penso che, se disponessi di mezzi di calcolo adeguato, perderesti la scommessa.
E lo penso perch credo che la curva che produce quel rapporto massimo debba essere una curva analitica (senza discontinuit nelle derivate), mentre invece quella che per ora detiene il record ha la curvatura che passa di scatto da zero a 1/x.
Vista la curva rispetto ad assi paralleli alle diagonali dxel quadrato, non ci sono angolosit, vero, [la derivata prima continua]. Ma non mi convince la discontinuit nella derivata seconda.

Ciao ciao

aspesi 12-04-12 18:31

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 586221)
Visto che hai capito il lunotto circolare,

Ciao ciao

???
Quella era la mia soluzione :D

#1118
Quote:

aspesi (Scrivi 584471)
OK, i rapporti possono migliorare se le smussature sono arrotondate con archi di circonferenza tangenti ai lati del quadrato, di raggio x pari alla distanza tra i vertici del quadrato e i punti di tangenza.
Variando x tra 0 e 0,5 si passa dal quadrato originale al cerchio inscritto (rapporto area/perimetro = 0,25 in entrambi i casi)

Per, io trovo che il massimo un po' minore rispetto a quello calcolato da te e precisamente:
S/P = 0,265079...
per x=0,2651..

:hello:

:hello:


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