Re: Estrazioni casuali
 

Invece.... è esattamente 4 volte di più...
buona notte..

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Invece io son leggermente arruginito. Gli esami di matematica/fisica/probabilità/etc... son un ricordo del biennio del Politecnico di ben 16/17 anni fa.

:D

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Affinché due corde [pensate come rette, non come segmenti] si intersechino in un punto interno del cerchio occorre che, girando sulla circonferenza in un verso, si incontrino alternativamente un punto di una ed un punto dell'altra. Questo vale per ciascuna coppia di corde, in particolare per ciascuna delle 3 coppie di 3 corde.

Costruite dunque a caso le 3 corde A1A2, B1B2 e C1C2, mi metto a girare sulla circonferenza finché non incontro uno dei 6 punti.
a) Continuando a girare ne incontrerò altri 5. La probabilità di non incontrare per primo il punto compagno di quello già incontrato è 4/5.
b) Mi restano 4 punti. Riprendo a girare. La probabilità di non incontrare il compagno di uno dei due punti già incontrati è 2/4.
c) Mi restano 3 punti, rispettivamente compagni dei punti già incontrati; e devo incontrare per primo il compagno del primo punto incontrato. La probabilità che ciò succeda è 1/3.
d) Mi restano due punti; e devo incontrare per primo il compagno del secondo punto incontrato. La probabilità che ciò succeda è 1/2.
d) Sono ora sicuro [probabilità 1] di incontrare per ultimo il compagno del terzo punto.

La probabilità richiesta è dunque:
(4/5)·(2/4)·(1/3)·(1/2) = (4·2)/(5·4·3·2) = 1/(5·3) = 1/15.

---------------------

Si può anche ragionare così.
L'ordine con cui devo incontrare i 6 punti girando lungo la circonferenza deve essere del tipo di
A B C A' B' C' (*)
caratterizzato dal fatto che, viste le 6 lettere in ordine ciclico, le tre distinte si susseguono due volte nello stesso ordine.

Dichiaro che mi sta bene la parola
A B C A' B' C'
e che mi stanno bene tutte le parole dello stesso tipo (*).

Delle 6! = 720 permutazioni delle 6 lettere, quante sono quelle che mi stanno bene? :mmh:

a) Non cambia nulla se scambio tra loro le lettere uguali. Da una parola ne ricavo due per ciascuno scambio.
In tutto 2 ·2 ·2 = 8 che mi stanno ancora bene. Eccole:
A B C A' B' C'
A' B C A B' C'
A B' C A' B C'
A B C' A' B' C
A' B' C A B C'
A' B C' A B' C
A B' C' A' B C
A' B' C' A B C

b) Se permuto tra loro le prime tre lettere (in qualsiasi dei 3! = 6 modi possibili) e ripeto la stessa permutazione delle ultime tre lettere ho ancora una parola che mi sta bene.
A B C A B C
A C B A C B
B A C B A C
B C A B C A
C A B C A B
C B A C B A

Queste 6 diverse disposizioni le posso fare su ciascuna delle precedenti 8 disposizioni.
In tutto ottengo 6·8 = 48 parole che mi stanno bene sulle 720 possibili.

La probabilità che, scrttte in ordine casuale le 6 lettere, si abbia una parola che mi sta bene è dunque
48/720 = 1/15
-----------------------
:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

:ok::ok: Sono esattamente i due modi che pensavo di postare io....

A proposito del risultato di Astromauh = 1/27 cioè (1/3)^3
Deriva dal ragionamento corretto che due corde hanno probabilità 1/3 di incrociarsi.
Però, non si può fare (1/3)^3 perchè gli eventi non sono indipendenti!
-------

Il passo fondamentale per la soluzione è questo:
-fissato un verso di percorrenza sulla circonferenza, ogni scelta di 6 punti (A1-A2-B1-B2-C1-C2) determina la loro permutazione ciclica. Il numero delle permutazioni, considerando indistinguibili A1 da A2, B1 da B2 e C1 da C2) è quindi:
P = 6!/(2!*2!*2!) ) = 90
Inoltre, si può considerare indistinguibile la notazione A dalla B e dalla C; quindi gli schemi possibili si riducono da 90 a 90/3 = 30
Tra questi, quelli "buoni" sono solamente i due "alternati" e precisamente:
A B C A B C
A C B A C B

In definitiva:
p = 2/30 = 1/15 (seconda soluzione di Erasmus)
--------------------------------------------------------

Il primo approccio è invece:
-partendo da A1 e girando in senso orario sulla circonferenza, i sei punti possono essere numerati da 1 a 6 (A1=1)
Affinchè si ottenga l'incrocio in tre punti interni al cerchio, A2 deve essere in 4 (probabilità(1) = 1/5); vado al punto 2 (che può essere o B o C): il corrispondente B o C deve essere al punto 5, quindi la probabilità(2) è 1/3; (gli ultimi due punti, 3 e 6 sono obbligati (p3=1)
Perciò:
p = 1/5 * 1/3 = 1/15

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Una sequenza del tipo A B C A' B' C' con le 3 corde AA', BB' e CC' diametri vede il punto di incontro unico (il centro). Come vengono esclusi questi casi dal calcolo (se devono essere esclusi) ?

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Ci sono rimasto male.:cry:

Non ho ancora capito che cosa c'è di sbagliato nella mia simulazione.

Assegno al capo A una posizione fissa localizzata sul punto zero della circonferenza, e poi in modo casuale stabilisco le posizioni degli altri capi.

Estraggo prima B e C assegnandogli un valore casuale tra 0 e 360.

Se B < C allora la successione valida sarà A < B < C < A1 < B1 < C1

Se invece C < B allora la successione valida sarà A < C < B < A1 < C1 < B1

Facendo in questo modo la probabilità è 0,01666.

Dov'è il mio errore?

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

La probabilità che i due estremi di un segmento siano perfettamente simmetrici rispetto al centro della circonferenza, sono cosi' poche, che le possiamo trascurare.

Ad esempio:

A = 30,7265499072614
A1= 210,7265499072614

Per caso è praticamente impossibile che si verifichi.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Detto questo anche io non riesco a comprendere l'errore commesso nel ragionamento.
A me viene 1/30.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Non devono essere esclusi.
I 3 punti di incrocio ci sono, anche se sono coincidenti

Re: Estrazioni casuali
 

Il fatto che ad A attribuisco una posizione fissa, non dovrebbe essere un problema.

Lo faccio per semplificare il conteggio delle sequenze valide, ma potrei anche evitare di farlo.

E' un po' la stessa cosa che si verifica nel quiz degli spaghi infilati sotto la porta, il modo di annodare i fili scelto da Aldo si può mantenere fisso, perchè ciò che conta e come li annoda la seconda persona rispetto alla maniera scelta da Aldo.

Oppure se lanciando due dadi, voglio vedere qual è la probabilità che si fermino sullo stesso numero con una simulazione, non occorre che li "lancio" entrambi, ma posso attribuire una faccia fissa ad uno dei due.

Quindi con la mia simulazione è come se avessi scelto in modo random tutti e sei le posizioni degli estremi dei segmenti, ed è per questo che non capisco perchè ho ottenuto un risultato diverso dal vostro.

Non avrò mica fatto un errore di sbaglio?

Forse Mizarino dovrebbe provare a fare anche lui una simulazione...

Re: Estrazioni casuali
 

Ma l'arco A-A1 non lo confronti con le altre lunghezze?

Re: Estrazioni casuali
 

for v=1 to volte

A=0
B=RND*360
C=RND*360
A1=RND*360
B1=RND*360
C1=RND*360

if B<C and A1>C and B1>A1 and C1>B1 then ok=ok + 1
if C<B and A1>B and C1>A1 and B1>C1 then ok=ok + 1

next

response.write("P= " & OK/volte)

Re: Estrazioni casuali
 

Mancano degli "if", tipo questo:
if B1<C1 and A1>C1 and B>A1 and C>B then ok=ok + 1

Re: Estrazioni casuali
 

A è sempre zero.

B potrebbe essere minore di C, cosi' come potrebbe essere maggiore.

Nel primo caso abbiamo quindi:

A < B < C che per soddisfare la condizione posta deve essere seguito da A1 < B1 < C1

Mentre nel secondo caso abbiamo:

A < C < B che per soddisfare la condizione posta deve essere seguito da A1 < C1 < B1

Il numero dei casi favorevoli, diviso il numero di casi totali, mi da:

P= 0.0166

Re: Estrazioni casuali
 

Il tuo ragionamento è corretto ma hai omesso di controllare degli scenari come quello che ti ho inserito nel precedente post.

Re: Estrazioni casuali
 

OK, hai ragione. :)

In effetti, supponiamo che A < B < C

un'altra sequenza valida potrebbe essere:

A < B1 < C1 < A1 < B < C

oltre a A < B < C < A1 < B1 < C1

:o

Re: Estrazioni casuali
 

Oltre a questo (che dovrebbe triplicarti il risultato), mi pare opportuno aumentare i valori dei random (da 360 es. a 10000), per evitare la possibilità (non trascurabile) che esca qualche numero uguale.

@ Rob77
Scusa, non avevo seguito i messaggi tuoi e di Astromauh

Re: Estrazioni casuali
 

Beh, io ho capito il mio errore...

Sempre con A < B < C

una altra sequenza valida potrebbe essere:

A < C1 < B < A1 < C < B1

tutte sequenze che ho trascurato, ed ecco perchè mi risultava una probabilità molto inferiore a quella effettiva.

A mia giustificazione posso solo dire che inizialmente volevo risolvere il problema disegnando i punti su una circonferenza centrata sull'origine degli assi cartesiani, per poi andare a vedere se le intersezioni delle rette passanti per questi punti, cadevano all'interno della circonferenza oppure al suo esterno.

Credo che si possa risolvere anche con una simulazione fatta in questo modo, ma ho cercato di ricavare le formule senza riuscirvi, e quando ho capito che c'era un metodo più semplice come quello di Aspesi e di Erasmus, ero ormai fuso.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Aspetta, nella tua simulazione originale controllavi i 2 casi sopra riportati.
Ad essi se ne aggiungono 2:

if B1<C1 and A1>C1 and B>A1 and C>B then ok=ok + 1
if C1<B1 and A1>B1 and C>A1 and B>C then ok=ok + 1

Corretto?

Se la probabilità della tua simulazione originale era 1/60 ora non dovrebbe venire il doppio, ovvero 1/30?

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Beh quest'errore non l'ho fatto!

I numeri da 0 a 360 non sono mica degli interi, sono dei numeri reali, per cui la possibilità di avere due numeri uguali è assolutamente irrisoria.

Debbo dedicarmi a dei lavori in casa, per qualche giorno sarò assente.

Ciao.

Re: Estrazioni casuali
 

Devi poi raddoppiare, per tener conto che puoi invertire A con A1

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Corretta: http://www.mediafire.com/?lp1bl7yeecjxed2.

Re: Estrazioni casuali
 

P=0,0166 è uguale ad 1/60 mentre la soluzione giusta è 1/15.

Quindi con la mia simulazione ogni quattro sequenze che soddisfano la condizione posta me ne perdevo tre.

Con A < B < C ne ho già trovate due, evidentemente ce n'è un'altra...

Ma a questo punto, mi sono proprio stufato di pensarci.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Vi posto la mia soluzione sicuramente "esteticamente" meno piacevole di quella di aspesi: casi favorevoli / casi totali considerando tutti gli elementi della classe.

Casi Totali
Per ogni posizione k di Mario dalla 2 alla 27 calcolo le disposizioni di 26 elementi di classe k-1 (ovvero tutti i modi possibili, tenendo conto dell'ordine, di disporre tutti gli elementi della classe meno Mario stesso, Claudia ed Aldo) e le moltiplico per le disposizioni di 29-k elementi di classe 29-k ovvero (29-k)!
Per la posizione k=1 so che posso disporre i rimanenti elementi in 28! modi.
Le posizioni 28 e 29 non sono ammesse, quindi 0.

Mario in posizione 1: 28!
Mario in posizione 2: 26!*27!/25!
...
Mario in posizione 28: 0
Mario in posizione 29: 0

Totale: 2,94725E+30

Casi Favorevoli
Simile maniera di ragionare per k da 2 a 27. Quando Mario è in posizione k-esima i casi favorevoli sono calcolati come le disposizioni di 25 elementi (escludo Mario, Giulio, Aldo e Claudia) di classe k-2 moltiplicato per k-1 (le possibili posizioni assunte da Giulio prima di Mario) moltiplicato ancora per le disposizioni di 29-k elementi di classe 29-k ovvero (29-k)!.
k=1, k=28 e k=29 non sono posizioni ammesse, 0 pertanto.

Mario in posizione 1: 0
Mario in posizione 2: 25!*1*27!/(25-25)!
...
Mario in posizione 28: 0
Mario in posizione 29: 0

Totale: 7,36813E+29

Rapporto: 0,25

:hello:

PS: abbiate pazienza 20 giorni; con la fine dell'estate tropicale (e quindi delle nuvole) riprendo il telescopio e riprendo ad impervesare sulle sezioni superiori :)

Re: Estrazioni casuali
 

In merito al quesito di cui sopra, beh, sono arrivato allo stesso risultato ("NO!" (cit. Astromauh)) ma simulando ho trovato alcune differenze tra i valori.

Vi allego la simulazione (salvata in MS Office 97/2003): http://www.mediafire.com/?6q93wifb8kvxm4e

A
Ho simulato nel primo foglio (Estrazioni) 1000 estrazioni di 100 numeri tra 0 e 36.
B
Nel secondo foglio (Analisi) ho calcolato per ognuno dei numeri tra 0 e 36 e per ognuna delle 1000 estrazioni di 100 numeri le occorrenze.
C
Nelle colonne di destra del secondo foglio ho contato il numero di numeri estratti 0, 1, 2 e > 2 volte per ognuna delle 1000 estrazioni di 100 numeri.

Beh, alla fine come potete vedere la probabilità dell'evento A è pari a 0,415 mentre quella dell'evento B 0,585.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Scusa come si fa in excel a simulare una serie di estrazioni casuali?
:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Intendi le formule?

Re: Estrazioni casuali
 

No, le estrazioni, cioè l'equivalente di INT(RND*37)

Re: Estrazioni casuali
 

randbetween(0;36)

Re: Estrazioni casuali
 

OK, grazie, non conosco bene excel.
Ho visto però che il risultato del quiz precedente ottenuto con excel è notevolmente diverso da quello che ci si aspetta dalla teoria e da una accettabile randomizzazione.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Forse non è buona la randomizzazione.

Su 100 lanci alla roulette, si hanno:
Numeri che non escono nessuna volta = (36/37)^100*37 = 2,389...
Numeri che escono esattamente 1 volta = Comb(100,1)*(1/37)*(36/37)^99*37 = 6,637...
Numeri che escono esattamente 2 volt2 = Comb(100,2)*(1/37)^2*(36/37)^98*37 = 9,126

In totale (0 + 1 + 2 volte ) = 18,152 numeri che corrisponde al 18,152/37*100 = 49,06%

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Stessi trovati nella simulazione che ho fatto.
Ora son stanco, domani guardo dov'è il problema.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Dunque ho capito dove sta l'inghippo.
Il set di numeri della roulette (37) è sufficientemente alto in relazione alle estrazioni (100) da non permettere di raggiungere la statistica sufficiente per trovare il risultato della dimostrazione.

La randomizzazione di Excel rimane comunque buona: se considero infatti già 1000 estrazioni approssimo in maniera soddisfacente 0,4906.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Ci sono dieci scatole numerate da 1 a 10 e dieci palline numerate da 1 a 10.

Le palline sono distribuite a caso nelle dieci scatole, una per scatola e poi le scatole vengono chiuse.

Al concorrente viene assegnato un numero da 1 a 10 e puo' aprire 5 scatole con l'obiettivo di trovare la pallina con il suo numero; se la trova vince altrimente perde.
Ovviamente, la probabilita' di vincere e' 5/10 quindi il 50%.

Ma il gioco non e' questo; al gioco partecipa una squadra di 10 concorrenti numerati anche essi da 1 a 10.
A turno ogni concorrente entra nella stanza ove sono contenute le 10 scatole, ne apre 5, controlla il numero della pallina contenuta in ciascuna scatola, rimette tutto a posto come era quando e' entrato ed esce senza poter poi comunicare con chi non ha ancora partecipato.
Alla fine, la squadra vince solo se tutti e 10 i concorrenti vincono (cioe' trovano il proprio numero aprendo 5 delle 10 scatole).

Sembrerebbe che la probabilta' di vincere della squadra sia la stessa di fare10 volte testa lanciando una moneta, cioe 1/1024, e giocando a caso e' certamente cosi'.

Ma esiste una strategia che migliora nettamente questa probabilta'. Quale?
E se la quota della vincita fosse 5 volte il costo complessivo della giocata ci stareste?

(Mentre la probabilità che ha ogni singolo concorrente di trovare in una delle 5 scatole che decide di aprire, il proprio numero è sempre la stessa (1/2), applicando una certa strategia aumenta la probabilità di vittoria della squadra ; fino a che valore? Non so come fare esattamente il calcolo, ma ho un'idea del risultato, che è sorprendente.
Ad esempio, ho esaminato a mano il problema con 4 scatole (numeri da 1 a 4) e 4 concorrenti che possono aprire due delle 4 scatole. Ebbene, la probabilità raggiunge il valore di 5/12 (41,66...%), contro solo il 6,25% di una scelta casuale senza nessuna strategia).

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

La mia strategia:

Cosa succede se i giocatori entrano a turno nella stanza ed aprono tutti le stesse scatole?

La squadra perderà di sicuro, perchè 5 concorrenti troveranno la loro pallina, ma altri 5 non la troveranno per cui la sconfitta è certa. La strategia consiste quindi nel diversificare quanto più è possibile le scelte dei giocatori. Questo si può ottenere facilmente se i giocatori decidono di creare a loro volta una serie di 10 numeri random, e poi ciascun giocatore apre le cinque scatole che hanno al centro il suo numero.

Ad esempio, supponiamo che la serie random creata dai giocatori sia:

8, 2, 9, 7, 5, 4, 1, 6, 3, 10

Il giocatore numero 1 aprirà le scatole: 8, 2, 9, 3, 10
Il giocatore numero 2 aprirà le scatole: 2, 9, 7, 10, 8
Il giocatore numero 3 aprirà le scatole: 9, 7, 5, 8, 2
Il giocatore numero 4 aprirà le scatole: 7, 5, 4, 2, 9
Il giocatore numero 5 aprirà le scatole: 5, 4, 1, 9, 7
Il giocatore numero 6 aprirà le scatole: 4, 1, 6, 7, 5
Il giocatore numero 7 aprirà le scatole: 1, 6, 3, 5, 4
Il giocatore numero 8 aprirà le scatole: 6, 3, 10, 4, 1
Il giocatore numero 9 aprirà le scatole: 3, 10, 8, 1, 6
Il giocatore numero 10 aprirà le scatole: 10, 6, 3, 8, 2



NO, non ho calcolato qual è la probabilità di vincita, ma ad occhio direi che sono molto meno di 1/5, per cui non ci starei.


PS

Ho fatto una simulazione, adottando la strategia che ho suggerito, la probabilità di successo raddoppia. Si passa da 2^10= 0,0009765625 a circa P= 0,0021504, ossia a circa 1 probabilità su 500. Accetterei questa scommessa solo se avessi la possibilità di vincere 500 euro rischiandone 1, e non certo per 5 miseri euro. :mad:




fine

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Non è male, ma si può fare decisamente meglio :)

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Il 41,66% ?

E chi sei, Mandrake? :D

Re: Estrazioni casuali
 

:D
E' una strategia semplice (una volta che la si conosce :D), ma devastante

Pensaci un po' su...

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Tutte le volte che ho detto che hai sbagliato qualcosa, è risultato che a sbagliare ero io.

Ma questa volta sono sicuro.

Sputa il rospo! :D

Quali sarebbero i tuoi numeri magici?

Re: Estrazioni casuali
 

Non sono numeri magici!

Rileggi bene il testo (che ho modificato per aiutarti...:)):
al gioco partecipa una squadra di 10 concorrenti numerati anche essi da 1 a 10.
A turno ogni concorrente entra nella stanza ove sono contenute le 10 scatole, ne apre una, controlla il numero della pallina contenuta nella scatola, poi ne apre un'altra, controlla il numero della pallina contenuta nella scatola, ecc.., fino alla quinta scatola; poi, rimette tutto a posto come era quando e' entrato ed esce senza poter poi comunicare con chi non ha ancora partecipato.
Alla fine, la squadra vince solo se tutti e 10 i concorrenti vincono (cioe' trovano il proprio numero aprendo 5 delle 10 scatole).

:hello: