Erasmus (Scrivi 403767)

[NB: Solo con n pari ci sono vertici diametralmente opposti, ossia è maggiore di 0 la probabilità di avere triangoli rettangoli.]

Chiamo Nr, Na, No il numero di triangoli rispettivamente rettangoli, acutangoli, ottusangoli.
Ho già trovato:
Nr = n(n-2)/2;
N = Nr + Na + No = n(n-1)(n-2)/6.
Allora:
Na+No = n(n-1)(n-2)/6 -n(n-2)/2 =n(n-2)/2][(n-1)/3 -1] = n(n-2)(n-4)/6. (*)

Prendo un vertice fisso, considero ma non prenderò mai il diametrale.
Parto dal vertice preso e procedo a sinistra prendendo uno degli (n-2)/2 vertici disponibili da questa parte.
Ad ogni scelta cerco i triangoli acutangoli.
Devo prendere il terzo vertice dall'altra parte (a destra), ma devo evitare che diventi ottuso l'angolo nel primo vertice.
Procedendo a sinistra, se prendo il 1° che incontro, a destra non ho alcun vertice utile da prendere per terzo; se prendo il 2°, a destra di utili ne ho 1, se prendo il 3° di utili ne ho 2 ... se prendo l'[(n-2)/2]-esimo ce n'ho [(n-2)/2]-1 = (n-4)/2.
Trovo così
0 + 1 + 2 + ... +(n-4)/2 =[(n-2)/2]·[(n-4)/2] = (n–2)(n–4)/4
triangoli acutangoli con un vertice fisso.
Posso cambiare il primo vertice in n modi: ma ogni triangolo viene ripetuto 3! = 6 volte.
Devo perciò moltiplicare quelli trovati con un vertice fisso per n/6.
I triangoli acutangoli sono dunque:
Na = n(n–2)(n–4)/24 (**)

Quanti sono gli ottusangoli lo trovo per differenza dalla (*).
No = n(n–2)(n–4)/6 – n(n–2)(n–4)/24 = n(n–2)(n–4)/8. (***)

NB: i triangoli ottusangoli mi vengono sempre il triplo di quelli acutangoli.

Le rispettive probabilità sono Nr/N, Na/N, No/N, cioè::
Pr = 3/(n–1); (tr. rettangoli)
Pa = (1/4)·[(n–4)/(n–1)]; (tr. acutangoli)
Po = (3/4)·[(n–4)/(n–1)]. (tr. ottusangoli)

Please: Qualcun altro sostituisca n con 2002 e faccia il calcolo numerico!
Thanks for your attention. :)

Ciao, ciao.
:hello:

Erasmus (Scrivi 403802)

Prima osservazione: tirchio 'sto miliardario. eh? Oppure ... potrebbe disporre non di miliardi di $ ma solo di centinaia. Vuoi vedere che è un centenario? :D
Seconda osservazione. Se il numero di anni è intero, occorre che il numero di cents scontati dalla mancia sia divisibile per 100 (per fare dollari interi).

Domanda: è intero il numero di anni del miliardario?

Ciao
:hello:

Erasmus (Scrivi 403802)

[...]
5X – N(N+1)/200 = 23
[...]
N ed X interi
[...]
deve essere intero N(N+1)/200; [...]
N o N+1 deve essere divisibile per 100.

N= k·100 oppure N =100·k – 1

uno dei due numeri interi
k(100·k + 1) + 46 oppure k(100·k–1) + 46
multiplo di 10.

aspesi (Scrivi 403811)

Per i poligoni con un numero dispari di lati, si ha:
numero_tringoli_acutngoli = n*(n-1)*(n+1)/24
numero_triangoli_ottusngoli = n*(n-1)*(n-3)/8

Erasmus (Scrivi 403855)

Ci sono infinite soluzioni aritmetiche.
Nessuna ... ragionevole nel contesto.

La più piccola è:
X = 165 anni; N = 400 minuti.
Allora 5X – N(N+1)/200 = 825 – 2·401 = 825 –802 = 23.

:hello:

Erasmus (Scrivi 403871)

Ci si arriva con lo stesso ragionamento di prima.

P.S.
Dimenticavo:
Ancora il numero di tr. ottusangoli è triplo del numero di tr. acutangoli. :ok:

Erasmus (Scrivi 403802)

Imponendo N ed X interi,

[cut]

Bye, bye

aspesi (Scrivi 403874)

???????????

Erasmus (Scrivi 403919)

Hai ragione!
OK: il rapporto No/Na dipende da n.
No/Na = Po/Pa = 3·(n–3)/(n+1).
[E per n = 2k+1 viene No/Na = 3·(k–1)/(k+1) ].
Però ... tende a 3 al crescere indefinitamente di k, ossia di n dispari.

Per n= 5 viene No/Na =1, (Na= No = 5 = n).
Per n = 7 viene No/Na =3/2, (Na=14 =2n; No = 21 = 3n).
Per n = 11 viene No/Na =3·(2/3) = 2.
Per n =31 viene No/Na = 3·(7/8);
Per n =2001 viene No/Na = 3·(999/1001) ≈ 2,994.

:hello:

aspesi (Scrivi 403901)

Ecco l'errore....
Interi sono X e 100N....

:hello: