Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Quote:

Epoch (Scrivi 585611)

...l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

D'accordo.
Ma ... nessun commento sulla ricerca della soluzione del quiz non ancora risolto?

Torniamo all'ultimo quiz di Nino II:

Quote:

aspesi (Scrivi 584157)

Quale regione all'interno di un quadrato di lato 1 possiede il maggior rapporto area / perimetro ?

Se il quiz consistesse in una gara a chi trova una figura contenuta nel quadrato di lato 1 con rapporto
r = <area>/<perimetro>
più grande, il quiz resterebbe aperto potendo qualcuno battere il record provvisorio (trovato da me), consistente in un quadrato ad angoli smussati con profilo circolare.
Ricapitolando, abbiamo visto che:
• Per ogni poligono regolare di 4n lati il rapporto è sempre 1/4. E' 1/4 anche per il cerchio (come si ottiene per n tendente all'infinito e anche direttamente essendo il raggio 1/2 e quindi l'area π/4 e la circonferenza π, per cui <area>/<circonferenza> = (π/a)/π = 1/4)
• Si può superare questo rapporto pensando ad un ottagono irregolare [con 4 lati alterni centrati nei 4 lati del quadrato] al quale aggiungere 4 ..."lunotti" (uno per ciascuno degli altri 4 lati) che dànno complessivamente alla figura l'aspetto di un quadrato con gli angoli smussati.

In generale, se x è il cateto di ciascuno dei 4 triangoli rettangoli isosceli asportati dal quadrato, dato un lunotto di asegnata forma, questo avrà un'area proporzionale ad x^2 ed una lunghezza dell'arco che lo delimita proporzionale ad x.
Data la forma del lunotto, chiamiamo k un fattore di forma che misura il rapporto tra la lunghezza dell'arco che lo delimita e quella della base [che nel nostro caso è x·√(2)]. Possiamo caratterizzare anche l'area con un altro fattore di forma (diciamolo h) che dà il rapporto tra l'area del lunotto quadrato della lunghezza della sua base [sempre ricordando che nel nostro caso la base è lunga x √(2)].

Pertanto, l'area è della figura è:
– l'area del quadrato , che è 1
– meno l'area dei 4 triangoli rattangoli isosceli di cateto x, che è 4·[(x^2)/2] = 2·x^2
– più l'area dei 4 lunotti, ciascuno di area h·[(x·√(2)]^2 = 2·h·x^2, e in tutto 8·h·x^2.

Complessivamente:
<area> = 1 – 2·x^2 + 8· h·x^2 = 1 –2·(1 – 4·h)·x^2.

Il perimetro è costituito dai 4 lati dell'ottagono centrati sui lati del quadrato, ciascuno di lunghezza 1–2·x, più i 4 archi dei lunotti, ciascuno lungo k·[x·√(2)].
Complessivamente:
<perimetro> = 4·[1 – 2·x + k·√(2)·x] = 4·{1 – [2 – k·√(2)]·x}.

Il rapporto da massimizzare è dunque (in generale):

Codice:

                                       1        1 –2·(1 – 4·h)·x^2

<area>/<perimetro> = ––– · –––––––––––——––––.

                                       4        1 – [2 – k·√(2)] x

La funzione
F(x) = 4·<area>/<perimetro>
è dunque molto espressiva, dato che è sempre
F(0) = 1
(ciò significando che la figura va a coincidere col quadrato al tendere a zero dell'ampiezza dello smusso angolare).

Una volta assunta una certa forma, c'è un massimo per certo x compreso tra 0 e 1/2.
Sia x il valore di x dove c'è il massimo. Questo vale F(x)
Per esempio, con lunotto circolare abbiamo
h = (π–2)/8 = 0,142699 ...; 2(1 – 4·h) = 0,8584073464 ...
k = [π·√(2)]/4 = 1,11072073454 ...
Il massimo si ha per x = 0,2650794521343 .. e vale 4/[2+√(π)] = 1,060317808537...

Ho provato con altre forme di lunotto.
In particolare con lunotto sinusoidale e parabolico.
Ci si avvicina al valore ottenuto con lunotti circolari, ma per ora il record resiste!

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Credo d'aver trovato il metodo per determinare la forma con il massimo assuluto.

Supponiamo di conoscere quel profilo.
Assomiglierà ad un segmento di parabola e avrà gli angoli delle "punte" di 45 gradi.
La parabola "normalizzata" con base lunga 2 e angoli di 45° è alta 1/2, ha equazione cartesiana y = (1 – x^2)/2 ed i fattori di forma sono
h = (2/3)/4 = 1/6 = 0,1666666... quello per l'area:
k = [ln[1+√(2)] + √(2)]/2 = 1,11479357... quello dell'arco.

La sinusoide "normalizzata" con base lunga π e angoli di 45° è alta 1, ha equazione cartesiana y = cos(x) ed i fattori di forma sono
h = 2/(π^2) = 0,202642367 ... quello per l'area:
k = √(2)·E[π, √(2)/2] = 1,216008 ... quello dell'arco

Il profilo che massimizza il rapporto assomiglierà anche ad una sinusoide.

Sia con smussi sinusoidali che parabolici si trova il massimo di F(x) maggiore di 1,059.

Se conoscessimo la funzione del profilo massimizzante il rapporto potremmo svilupparla in serie di potenza del tipo
A + B·x^2 + C·x^4 + ...
Oppure potremmo svilupparla in serie di Fourier.

Non conoscendola, potremmo cercare i coefficienti delle componenti tali da ottenere il profilo ottimo.

Io ho provato a mettere una terza armonica in aggiunta al profilo sinusoidale.
Imponendo le condizioni giuste ho trovato un rapporto che sfiora (e forse supera) 1,06
[Il record da battere è 1,0603. Io ho trovato ≈1,0600]
Ho anche provato ad aggiungere alla parabola una componente di 4° grado.
Anche qua si arriva a toccare 1,06.
Resta dunque il dubbio che quei lunotti circolari costituiscano il massimo assoluto.
Io non ne sono affatto convinto.

Penso invece che il massimo assoluto si ottenga con una curva con una infinità di componenti (per esempio potenze: A + Bx^2 + Cx^4 + ...)
E anche che alla fine l'ottagono irregolare si riduca ad una losanga, ad un quadrato di diagonale 1; cioè che il massimo assoluto si abbia alla fine per x=1/2, cioè con un tipo di smusso che inizia dolcemente dal centro dei lati del quadrato per arrivare alla massima curvatura sulle diagonali del quadrato

Ma ... senza poter programmare è un po' dura ...

Qui occorrerebbe lavorare numericamente con alta accuratezza: cosa che io non posso fare in certi casi (per esempio nel fare integrali numerici, indispensabili per calcolare la lunghezza del profilo quasi parabolico).

C'è qualche programmatore disposto a tentare un calcoletto del genere? :mmh:
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:hello: