Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

nino280 08-04-12 22:41

Re: Qualche quiz
 
Interessante. La scena si ripete e torna al punto di partenza , e potremmo andare avanti all'infinito, proprio come in un anello di Mobius che dopo due giri si ritorna al punto di partenza.
Aspesi nel quiz non ha specificato se si tratta di una "figura" piana, ma credo che ci sia sottinteso. Chi lo sa magari la pellicola del film era essa stessa un anello di Mobius. :hello:

aspesi 08-04-12 22:48

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 585065)
Aspesi nel quiz non ha specificato se si tratta di una "figura" piana, ma credo che ci sia sottinteso. :hello:

Certo, si trattava di costruire all'interno del quadrato 1*1 una figura (con le stesse caratteristiche del quadrato) che presentasse un valore del rapporto Area/Perimetro superiore a quello del quadrato originale e del cerchio inscritto.

:hello:

Erasmus 10-04-12 11:35

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 584825)
... rimango dell'avviso che il massimo sia con l'arrotondamento dell'ottagono irregolare (<area>/<perimetro>=0,265079...):
Perimetro = 2*pi.greco*x + 4*(1-2x) = 3,544872...

Ho trovato un'altra forma ... "competiva"!
Ma il record [dello smusso circolare] resiste.

Al posto dello smusso circolare ho messo uno smusso sinusoidale. (*) il "!massimo" capita per un arco pi lungo (ossia: si riduce la parte rettilinea del contorno)
Il rapporto <area>/<perimetro> solo 2 per mille minore di quello con lo smusso circolare.

(*) NB: Il rapporto tra la lunghezza L dell'arco della sinusoide in mezzo periodo ed il semiperiodo stesso vale circa 1.216008.
Guarda qua:
=> Smussi sinusoidali PNG
:hello:

Erasmus 10-04-12 15:05

Re: Qualche quiz
 
Si vede un'immagine o un link costituito da un indirizzo URL ... abbreviato (nel senso che contiene puntini "...")? :mmh:

---------
:hello:

nino280 10-04-12 15:48

Re: Qualche quiz
 
Se non disturbo thi:D

nino280 10-04-12 15:57

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 585416)


Si vede un'immagine o un link costituito da un indirizzo URL ... abbreviato (nel senso che contiene puntini "...")? :mmh:

---------
:hello:

Qui non si vede un bel niente. Invece l'immagine l'ho aperta da :


Smussi sinusoidali PNG
:hello:

aspesi 10-04-12 16:25

Re: Qualche quiz
 


Cos io la vedo.
Come pure andando su:
http://postimage.org/image/7i63k4hjh/
Altrimenti, vedo come Nino280 un quadratino con una x rossa al centro...:D

:hello:

Epoch 11-04-12 08:33

Re: Qualche quiz
 
Siamo alle solite con PostImage?
l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

astromauh 11-04-12 17:18

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Epoch (Scrivi 585611)
Siamo alle solite con PostImage?
l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

@Erasmus, ma perch non metti le tue immagini da qualche altra parte?

Di siti che offrono questo servizio ce ne sono diversi.



:hello:

Erasmus 11-04-12 19:10

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Epoch (Scrivi 585611)
...l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.

D'accordo.
Ma ... nessun commento sulla ricerca della soluzione del quiz non ancora risolto?

Torniamo all'ultimo quiz di Nino II:
Quote:

aspesi (Scrivi 584157)
Quale regione all'interno di un quadrato di lato 1 possiede il maggior rapporto area / perimetro ?

Se il quiz consistesse in una gara a chi trova una figura contenuta nel quadrato di lato 1 con rapporto
r = <area>/<perimetro>
pi grande, il quiz resterebbe aperto potendo qualcuno battere il record provvisorio (trovato da me), consistente in un quadrato ad angoli smussati con profilo circolare.
Ricapitolando, abbiamo visto che:
Per ogni poligono regolare di 4n lati il rapporto sempre 1/4. E' 1/4 anche per il cerchio (come si ottiene per n tendente all'infinito e anche direttamente essendo il raggio 1/2 e quindi l'area π/4 e la circonferenza π, per cui <area>/<circonferenza> = (π/a)/π = 1/4)
Si pu superare questo rapporto pensando ad un ottagono irregolare [con 4 lati alterni centrati nei 4 lati del quadrato] al quale aggiungere 4 ..."lunotti" (uno per ciascuno degli altri 4 lati) che dnno complessivamente alla figura l'aspetto di un quadrato con gli angoli smussati.

In generale, se x il cateto di ciascuno dei 4 triangoli rettangoli isosceli asportati dal quadrato, dato un lunotto di asegnata forma, questo avr un'area proporzionale ad x^2 ed una lunghezza dell'arco che lo delimita proporzionale ad x.
Data la forma del lunotto, chiamiamo k un fattore di forma che misura il rapporto tra la lunghezza dell'arco che lo delimita e quella della base [che nel nostro caso x√(2)]. Possiamo caratterizzare anche l'area con un altro fattore di forma (diciamolo h) che d il rapporto tra l'area del lunotto quadrato della lunghezza della sua base [sempre ricordando che nel nostro caso la base lunga x √(2)].

Pertanto, l'area della figura :
l'area del quadrato , che 1
meno l'area dei 4 triangoli rattangoli isosceli di cateto x, che 4[(x^2)/2] = 2x^2
pi l'area dei 4 lunotti, ciascuno di area h[(x√(2)]^2 = 2hx^2, e in tutto 8hx^2.

Complessivamente:
<area> = 1 2x^2 + 8 hx^2 = 1 2(1 4h)x^2.

Il perimetro costituito dai 4 lati dell'ottagono centrati sui lati del quadrato, ciascuno di lunghezza 12x, pi i 4 archi dei lunotti, ciascuno lungo k[x√(2)].
Complessivamente:
<perimetro> = 4[1 2x + k√(2)x] = 4{1 [2 k√(2)]x}.

Il rapporto da massimizzare dunque (in generale):
Codice:

                                      1        1 2(1 4h)x^2
<area>/<perimetro> = .
                                      4        1 [2 k√(2)] x

La funzione
F(x) = 4<area>/<perimetro>
dunque molto espressiva, dato che sempre
F(0) = 1
(ci significando che la figura va a coincidere col quadrato al tendere a zero dell'ampiezza dello smusso angolare).

Una volta assunta una certa forma, c' un massimo per certo x compreso tra 0 e 1/2.
Sia x il valore di x dove c' il massimo. Questo vale F(x)
Per esempio, con lunotto circolare abbiamo
h = (π2)/8 = 0,142699 ...; 2(1 4h) = 0,8584073464 ...
k = [π√(2)]/4 = 1,11072073454 ...
Il massimo si ha per x = 0,2650794521343 .. e vale 4/[2+√(π)] = 1,060317808537...

Ho provato con altre forme di lunotto.
In particolare con lunotto sinusoidale e parabolico.
Ci si avvicina al valore ottenuto con lunotti circolari, ma per ora il record resiste!

---------------

Credo d'aver trovato il metodo per determinare la forma con il massimo assuluto.

Supponiamo di conoscere quel profilo.
Assomiglier ad un segmento di parabola e avr gli angoli delle "punte" di 45 gradi.
La parabola "normalizzata" con base lunga 2 e angoli di 45 alta 1/2, ha equazione cartesiana y = (1 x^2)/2 ed i fattori di forma sono
h = (2/3)/4 = 1/6 = 0,1666666... quello per l'area:
k = [ln[1+√(2)] + √(2)]/2 = 1,11479357... quello dell'arco.

La sinusoide "normalizzata" con base lunga π e angoli di 45 alta 1, ha equazione cartesiana y = cos(x) ed i fattori di forma sono
h = 2/(π^2) = 0,202642367 ... quello per l'area:
k = √(2)E[π, √(2)/2] = 1,216008 ... quello dell'arco

Il profilo che massimizza il rapporto assomiglier anche ad una sinusoide.

Sia con smussi sinusoidali che parabolici si trova il massimo di F(x) maggiore di 1,059.

Se conoscessimo la funzione del profilo massimizzante il rapporto potremmo svilupparla in serie di potenza del tipo
A + Bx^2 + Cx^4 + ...
Oppure potremmo svilupparla in serie di Fourier.

Non conoscendola, potremmo cercare i coefficienti delle componenti tali da ottenere il profilo ottimo.

Io ho provato a mettere una terza armonica in aggiunta al profilo sinusoidale.
Imponendo le condizioni giuste ho trovato un rapporto che sfiora (e forse supera) 1,06
[Il record da battere 1,0603. Io ho trovato ≈1,0600]
Ho anche provato ad aggiungere alla parabola una componente di 4 grado.
Anche qua si arriva a toccare 1,06.
Resta dunque il dubbio che quei lunotti circolari costituiscano il massimo assoluto.
Io non ne sono affatto convinto.

Penso invece che il massimo assoluto si ottenga con una curva con una infinit di componenti (per esempio potenze: A + Bx^2 + Cx^4 + ...)
E anche che alla fine l'ottagono irregolare si riduca ad una losanga, ad un quadrato di diagonale 1; cio che il massimo assoluto si abbia alla fine per x=1/2, cio con un tipo di smusso che inizia dolcemente dal centro dei lati del quadrato per arrivare alla massima curvatura sulle diagonali del quadrato

Ma ... senza poter programmare un po' dura ...

Qui occorrerebbe lavorare numericamente con alta accuratezza: cosa che io non posso fare in certi casi (per esempio nel fare integrali numerici, indispensabili per calcolare la lunghezza del profilo quasi parabolico).

C' qualche programmatore disposto a tentare un calcoletto del genere? :mmh:
---------
:hello:


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