Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

Mizarino 02-01-11 16:56

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 433922)
Ma sei sicuro?

Io direi che sarebbe sicuramente cosi' se la Terra fosse piatta, ma la Terra non è piatta e questo mi fa venire dei dubbi.

Ebbene, in questo caso il trucco che "raddrizza" la Terra tonda è il ragionamento per infinitesimi.
Se fai su una Terra perfettamente sferica un salto lungo 1,4142 metri in direzione NE, quel tratto è a tutti gli effetti pratici un segmento di retta, e ti sei avvicinato al Polo di 1 metro.
Adesso fai un altro salto di 1,4142 m, nella "nuova" direzione NE, e ti avvicini al Polo ancora di 1 metro, e così via, ad ogni salto, ti avvicini comunque al Polo di 1 metro ...

A proposito, hai visto quello che ti ho ciesto qui ? ;)

Erasmus 03-01-11 02:32

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 433658)
Non so perché, ma mi ricorda Achille e la Tartaruga ...
Senti, non ho voglia di pensarci su ...
Mi pare che, in ogni tratto infinitesimo del percorso del viaggiatore, se lui percorre una distanza dX, si avvicina al Polo Nord di una distanza dX/1,414... (radice di due).
Direi allora che il viaggiatore arriva al Polo dopo aver percorso 14.142 km ...

Non ha niente a che vedere con "Achille e la tartaruga". Là la distanza finita che Achille copre per raggiungere la tartaruga è vista come serie convergente i cui addendi sono le distanze successive tra la posizione di Achille e quella della tartaruga dopo che Achille ha raggiunto la precedente posizione della tartaruga.
Questo quiz assomiglia invece a quello dei 4 cani inizialmente posti ai vertici di un quadrato che si "puntano" in ordine ciclico e si mettono a correre simultaneamente e alla stessa velocità ognuno in direzione della coda di quello davanti (quiz già proposto da Erasmus, ma non ricordo più quando).
Comunque ... la risposta a questo quiz (come anche nel quiz dei quattro cani) è che la distanza percorsa è finita.
[E la risposta di Miza (14142 km) è giusta].
Là ogni cane vede quello su cui punta diretto ortogonalmente alla sua posizione rispetto al bersaglio. Quindi, se inizialmente dista D, raggiungerà il bersaglio dopo aver percorso proprio quella distanza D. [La traiettoria è però una spirale logaritmica, che fa infiniti giri anche con lunghezza di traiettoria finita].

Ciascuno dei 4 cani dista inizialmente D/√(2) dal centro del quadrato. Supponiamo che questo sia il polo Nord. Allora il cane andrebbe con continuità o in direzione Nord-Est o in direzione Nord-Ovest; e comunque, ad ogni tratterello percorso ∆x si avvicinerebbe al polo (= al centro del quadrato) di ∆x/√(2).
Astromauh: piatta o tonda che sia la Terra, il punto mobile del quiz sale verso Nord accorciando la sua distanza dal polo (inizialmente pari a D = 10000 km) di ∆x/√(2) ad ogni avanzamento elementare ∆x.

Ne più né meno del cane del mio vecchio quiz.

:hello:

aspesi 03-01-11 09:14

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 434050)
Non ha niente a che vedere con "Achille e la tartaruga".
:hello:


A me sembra invece che Mizarino abbia ragione: infatti, l'errore di chi dice che il Polo Nord non si raggiunge mai procededendo a Nord-Est è esattamente quello che induce a credere, secondo il paradosso di Zenone, che una freccia scagliata non raggiungerà mai il bersaglio perchè deve percorrere la metà del tragitto, poi la metà di quello che resta, e poi la metà della metà .... e così via all'infinito.

Che ci arrivi al Polo Nord lo si puo' capire pensando che per ogni passo verso est, il viaggiatore ne fa anche uno verso nord e quindi alla fine, passo dopo passo copre tutta la distanza dall'equatore al polo.
Per valutare la distanza percorsa possiamo proprio considerare il percorso a zig-zag eseguito facendo un passo verso est e uno verso ovest. Se si segue questo percorso la somma dei passi verso nord è uguale alla distanza equatore-polo cioè 10000 km e ovviamente anche la somma dei passi verso est è 10000 km dato che sono altrettanti, quindi il totale sarebbe di 20000 km.
Se ora, invece di fare questo inutile zig-zag camminiamo in diagonale verso nordest (cioè a 45° rispetto i paralleli), risparmiamo facendo 1,4142 passi ogni 2 di prima, per cui la distanza totale percorsa è ridotta di un fattore sqrt(2) / 2 rispetto alla precedente.


Il problema è quindi questo:
Un punto si muove su una sfera di raggio R a velocità costante (in modulo) V. Si trova inizialmente sull'equatore, sapendo che il vettore V forma un angolo costante di 45° con i paralleli, si chiede:

Che curva e' descritta dalla traiettoria?
Risposta: Una specie di spirale logaritmica che si avvolge intorno al polo (una specie perche' la spirale log e' una curva piana mentre questa non lo e').

Qual e' la lunghezza dalla curva descritta?
Risposta: pigreco*R/sqrt(2)

Quanto tempo impiega per raggiungere il polo?
Risposta: Ovviamente (pigreco*R/sqrt(2))/V

:hello:
Nino

Erasmus 03-01-11 09:32

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 433929)
... hai visto quello che ti ho chiesto qui ? ;)

Miza: non sarai per caso finito [sciando] fuori pista ed entrato incautamente nel territorio che uno stambecco riteneva suo? [In tedesco il "capricorno" è appunto "Steinbock"].
Ti immagino inseguito e raggiunto da uno stambecco che attenta con successo al tuo deretano ...

Ma forse la "lastra di ghiaccio" era una vera scaglia di ghiaccio su cui hai posato incauto il piede ... E' notorio che nelle vacanze natalizie, come prevedono saggiamente gli (a)strologhi, sono numerosi i traumi ossei per "lapsus" (= scivolata e caduta).

Astromauh: ormai mi conosci bene, ma non sai nei dintorni di quale data compio gli anni.
[Una volta me l'hai chiesto e ti ho rifiutato la risposta].
Se la data di nascita influenza l'indole delle persone, dal saper l'indole di queste tu potresti risalire (con una qualche probabilità di indovinare) a quando sono nate.
Tra l'altro, una volta ho parlato di precisi avvenimenti accaduti quand'ero bambino dicendo pure che età avevo. Insomma: per uno distratto ed ignorante (in astrologia, sia ben chiarlo!) come me risalire ad indovinare la data di nascita è un bel problema. Ma per te ... precisino come sei, dovrebbe essere 'na bazzecola! :D
-------------
Miza: 'sti psicologi trovano chi li paga persino per andare a controllare se gli astrologi hanno azzeccato o no le previsioni!
Brutta genìa, 'sti psicologi! :mad:
Parassiti sanguisuga che indagano sul sesso degli angeli...
--------------
:hello:

Mizarino 03-01-11 10:02

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 434119)
Miza: non sarai per caso finito [sciando] fuori pista ed entrato incautamente nel territorio che uno stambecco riteneva suo? [In tedesco il "capricorno" è appunto "Steinbock"].

Io in vita mia ho usato gli sci (di fondo) solo durante l'inverno del 1982, quando ero in Svezia.
Martedì scorso stavo salendo lungo una carrareccia di montagna e ho messo il piede (praticamente da fermo) su una lastra di ghiaccio coperta da un sottile strato di neve fresca. Ho fatto un volo, atterrando sfortunatamente sul polso sinistro anziché, come sarebbe stato più opportuno, sulle chiappe ... :lipssealed:
Capricorni non ce n'erano, se si esclude quello invocato da quel menagramo di Astromauh ... :D

astromauh 03-01-11 12:01

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 434131)
Capricorni non ce n'erano, se si esclude quello invocato da quel menagramo di Astromauh ... :D

Sono stato punito per la mia cattiveria, ho avuto anch'io un incidente sul ghiaccio, stavo sbrinando il frigorifero e mi sono tagliato un dito con un pezzo di vetro dimenticato.:mad:

Erasmus, ciò che chiedi è molto difficile, l'astrologia non è come la matematica, è difficile fare le operazioni inverse e risalire alla tua data di nascita dalle poche cose che so di te.

Devi avere qualcosa della Vergine, nel tuo oroscopo.

:hello:

Mizarino 03-01-11 15:44

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 434162)
Erasmus, ciò che chiedi è molto difficile, l'astrologia non è come la matematica, è difficile fare le operazioni inverse e risalire alla tua data di nascita dalle poche cose che so di te.

Dalla data e ora della nascita si "deriva" l'oroscopo.
Per l'inverso si dovrebbe allora fare l'integrale, che è operazione notoriamente pù difficile. In più, manca pure la costante di integrazione ...

nino280 03-01-11 15:46

Re: Qualche quiz
 
Bella immagine di percorsi che dall'equatore cercano di andare al polo (senza riuscirci, c'è un buco, non sono riuscito a trovarne una che ci arrivavano, sarà per un'altra volta)
Ciao
Questa va un po meglio, si chiama clelia, io ho una cugina di nome Clelia:D

Erasmus 03-01-11 16:19

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 434162)
Devi avere qualcosa della Vergine, ...

Mi hai forse scambiato per Gesù Bambino? :mmh:
Santa donna la mamma mia ... ma vergine ... un po' dura per il quintogenito ... anche perché pare che lo Spirito Santo fosse come Paganini, qiuello che " non ripete"!
----------------
:hello:

nino280 04-01-11 08:17

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 434229)
Bella immagine di percorsi che dall'equatore cercano di andare al polo (senza riuscirci, c'è un buco, non sono riuscito a trovarne una che ci arrivavano, sarà per un'altra volta)
Ciao
Questa va un po meglio, si chiama clelia, io ho una cugina di nome Clelia:D

Ho riguardato meglio il mio "gomitolo" ebbene ad una prima vista mi erano sembrati tanti percorsi diversi che dall'equatore cercavano di andare al polo, invece penso che in realtà la curva è una sola, e cioè che data un'inclinazione della curva sull'equatore questa sale e se non trova il polo ridiscende per poi riprendere a salire, ed ecco che abbiamo come risultato il gomitolo.
Ecco quindi che mi viene il sospetto che esiste una ed una sola inclinazione che in unico passaggio mi porta dall'equatore al polo, e sarebbe un colpo di c..o se quell'inclinazione fosse proprio 45°.
Ma forse ho capito, come diceva Mizarino rifacendosi a Zenone, attimo per attimo bisogna cambiare la rotta.
Ciao

Mizarino 04-01-11 08:23

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 434416)
... data un'inclinazione della curva sull'equatore questa sale e se non trova il polo ridiscende per poi riprendere a salire, ed ecco che abbiamo come risultato il gomitolo.

No, non mi pare possibile ...
Con qualsiasi inclinazione diversa da zero prima o poi si raggiunge il polo, avvicinandovisi sempre, senza mai allontanarsi.
Per esempio, dirigendosi costantemente a E-N-E, con inclinazione 30° sul parallelo del luogo, si raggiunge il polo dopo aver percorso 20.000 km.
:hello:

aspesi 04-01-11 08:54

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 434419)
No, non mi pare possibile ...
Con qualsiasi inclinazione diversa da zero prima o poi si raggiunge il polo, avvicinandovisi sempre, senza mai allontanarsi.
Per esempio, dirigendosi costantemente a E-N-E, con inclinazione 30° sul parallelo del luogo, si raggiunge il polo dopo aver percorso 20.000 km.
:hello:

In questo caso, mi pare 10.000*radq(5) = 22.361 km circa

:hello:

nino280 04-01-11 09:29

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 434419)
No, non mi pare possibile ...
Con qualsiasi inclinazione diversa da zero prima o poi si raggiunge il polo, avvicinandovisi sempre, senza mai allontanarsi.
Per esempio, dirigendosi costantemente a E-N-E, con inclinazione 30° sul parallelo del luogo, si raggiunge il polo dopo aver percorso 20.000 km.
:hello:

Vuol dire che se voglio andare al polo qualsiasi direzione prendo ci arrivo sempre. Mi sta bene che se parto a 90° dall'equatore ci arrivo sicuramente, ma se vado a 89° mi pare dico mi pare che magari arrivo a (sparo) 100 km dal polo, dovrò pur compiere una spezzata del percorso.:mmh:

Erasmus 04-01-11 11:16

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 434438)
Quote:

Mizarino
No, non mi pare possibile ...
Con qualsiasi inclinazione diversa da zero prima o poi si raggiunge il polo, avvicinandovisi sempre, senza mai allontanarsi.
Per esempio, dirigendosi costantemente a E-N-E, con inclinazione 30° sul parallelo del luogo, si raggiunge il polo dopo aver percorso 20.000 km.

In questo caso, mi pare 10.000*radq(5) = 22.361 km circa
:hello:

E' giusto come dice Miza: la diminuzione della distanza dal polo ad ogni passo è pari al prodotto della lunghezza del passo per il seno dell'inclinazione del passo sul parallelo (o coseno dell'inclinazione del passo sul meridiano).
[30° <=> π/6 rad ––> sin(π/6) = 1/2]

Se "alfa" è l'inclinazione costante della traiettoria sul parallelo (cioè sulla direzione est o ovest), partendo dall'equatore la lunghezza della traiettoria da percorre per arrivare al polo è senz'altro:
10000/sin(alfa) km
------------
:hello:

aspesi 04-01-11 11:26

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 434500)
E' giusto come dice Miza: la diminuzione della distanza dal polo ad ogni passo è pari al prodotto della lunghezza del passo per il seno dell'inclinazione del passo sul parallelo (o coseno dell'inclinazione del passo sul meridiano).
[30° <=> π/6 rad ––> sin(π/6) = 1/2]

------------
:hello:

Certo, se l'inclinazione è 30°, sono 20 mila km....(perché i passi, facendo la spezzata,
sono RADQ(3) a Est e 1 a Nord).
Io avevo inteso E-N-E come se si facesse un passo a Est, poi uno a Nord e poi l'ultimo a Est (quindi, con minore inclinazione, 2 a Est e 1 a Nord)

:hello:

aspesi 04-01-11 11:45

Re: Qualche quiz
 
Oggi si vola...

Un aereo con 100 posti è pronto per decollare e i 100 passeggeri sono in fila per l'imbarco.
Quindi, ogni passeggero ha un posto assegnato e tutti i posti sono assegnati.

Il primo che sale a bordo non guarda nemmeno la carta d'imbarco e si siede in un posto a caso.
Tutti i passeggeri seguenti vanno a sedersi nel posto loro assegnato, a meno che non sia gia' occupato, nel qual caso ne scelgono uno a caso.

La domanda e': quale e' la probabilita' che l'ultimo passeggero a salire trovi libero e si vada a sedere al posto che gli era stato assegnato?

:hello:

Mizarino 04-01-11 14:08

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 434447)
Vuol dire che se voglio andare al polo qualsiasi direzione prendo ci arrivo sempre. Mi sta bene che se parto a 90° dall'equatore ci arrivo sicuramente, ma se vado a 89° mi pare dico mi pare che magari arrivo a (sparo) 100 km dal polo, dovrò pur compiere una spezzata del percorso.

Nino, non è che tu percorri una spezzata, casomai percorri tanti segmentini piccolissimi disegnati sulla sfera (che approssimano una curva continua), riaggiustando ad ogni passo la direzione del moto, in modo che formi costantemente un angolo alfa con il meridiano passante per quel punto.

nino280 04-01-11 18:59

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 434622)
Nino, non è che tu percorri una spezzata, casomai percorri tanti segmentini piccolissimi disegnati sulla sfera (che approssimano una curva continua), riaggiustando ad ogni passo la direzione del moto, in modo che formi costantemente un angolo alfa con il meridiano passante per quel punto.

Si ok ora ci sono, ci metto un po ma poi ci arrivo.
Si è una curva che varia costantemente il suo raggio di curvatura, dico bene se dico che aumenta man mano che arriva al polo?
Tipo quando si sbuccia un'arancia non facendo degli spicchi ma la tipica spirale. Io ero partito male sin dall'inizio immaginando una spline a curvatura costante, e forse per questo che l'avevo vista ridiscendere.
Ciao

astromauh 05-01-11 05:34

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 434527)
Oggi si vola...

Un aereo con 100 posti è pronto per decollare e i 100 passeggeri sono in fila per l'imbarco.
Quindi, ogni passeggero ha un posto assegnato e tutti i posti sono assegnati.

Il primo che sale a bordo non guarda nemmeno la carta d'imbarco e si siede in un posto a caso.
Tutti i passeggeri seguenti vanno a sedersi nel posto loro assegnato, a meno che non sia gia' occupato, nel qual caso ne scelgono uno a caso.

La domanda e': quale e' la probabilita' che l'ultimo passeggero a salire trovi libero e si vada a sedere al posto che gli era stato assegnato?

:hello:

Soluzione: 50%
fine soluzione
:hello:

aspesi 05-01-11 07:31

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 434840)
Soluzione: 50%
fine soluzione
:hello:

:ok:

:hello:

Erasmus 05-01-11 09:13

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 434527)
[...] Il primo che sale a bordo [...] si siede in un posto a caso.

Quindi con probabilità 1/100 di andar a sedersi proprio al suo giusto posto ...
Quote:

aspesi (Scrivi 434527)
Tutti i passeggeri seguenti vanno a sedersi nel posto loro assegnato, a meno che non sia gia' occupato, nel qual caso ne scelgono uno a caso.

La domanda e': quale e' la probabilita' che l'ultimo passeggero a salire trovi [il proprio posto] libero [...]?

Ma è una persecuzione! :mad:
Basta con 'ste probabilità!
T'ho già detto che in probabilità sono scarso! :o

Ad occhio, la probabilità non dovrebbe essere piccolina.
I primi hanno grandissima probabilità di trovare libero il proprio posto, e quindi di non aumentare il rischio che il passeggero successivo non vada a sedersi in un posto altrui.
Il secondo ha probabilità 99/100 di andare al suo posto.

...

Non sapendo come stanno davvero le cose, se dovessi scommettere per forza, direi ... più di 3/4.
----------------------
:hello:
---------------
P.S.
Quel che sta scritto di sopra l'ho scritto stanotte.
Ma dopo m'è venuto un colpo di sonno da addormentarmi quasi sulla sedia; troppo forte ... persino di cliccare "invia risposta".
E se perdo il colpo di sonno, addio dormire!
Brutta malattia la vecchiaia ...

Ma tu, astromauh, spiega come sei arrivato a stabilire 90% (sempreché questo numero non sia il risultato di simulazione statistica al computer).

aspesi 05-01-11 09:44

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 434893)
E se perdo il colpo di sonno, addio dormire!
Brutta malattia la vecchiaia ...

Lo dici a me... che senza pastiglia passo tutta la notte in bianco...

Quote:

Erasmus (Scrivi 434893)
Quindi con probabilità 1/100 di andar a sedersi proprio al suo giusto posto ...

Ad occhio, la probabilità non dovrebbe essere piccolina.
I primi hanno grandissima probabilità di trovare libero il proprio posto, e quindi di non aumentare il rischio che il passeggero successivo non vada a sedersi in un posto altrui.
Il secondo ha probabilità 99/100 di andare al suo posto.

...

Non sapendo come stanno davvero le cose, se dovessi scommettere per forza, direi ... più di 3/4.
----------------------
:hello:

Sembrerebbe... ma non è così

Quote:

Erasmus (Scrivi 434893)
Ma tu, astromauh, spiega come sei arrivato a stabilire 90% (sempreché questo numero non sia il risultato di simulazione statistica al computer).

Non ha scritto 90%, ma, giustamente, 50%...

Soluzione:

Diciamo che i passeggeri sono numerati da 1 a 100 e quello e' anche il numero del posto assegnato.

Il primo passeggero si siede al posto X e fino a che il passeggero X non sale non ci sono problemi. Quando X trova il suo posto occupato ci sono tre possibilita':
1) va sedersi al posto 1 nel qual caso il ciclo si chiude e tutti gli altri troveranno il loro posto libero, incluso 100.
(risultato POSITIVO)
2) con uguale probabilita' del caso precedente va a sedersi nel posto 100 nel qual caso tutti i seguenti troveranno il posto libero tranne 100
(risultato NEGATIVO)
3) sceglie un'altro posto Y vuoto appartenente a qualcuno che ancora deve salire.
In quest'ultimo caso quando Y sale a bordo si ripete quello accaduto a X a cosi' via. Comunque sia ogni volta che qualcuno trova il posto occupato (o si tratta del primo passeggero, ovviamente) la probabilita' e' alla pari e quindi la probabilita' finale e' 50%.


Facendo una piccola modifica all'esposto, che non influisce sulla sostanza del problema, è molto più semplice arrivare alla soluzione.

Invece di pensare che il primo passeggero mantiene il posto occupato quando arriva il legittimo proprietario, si può decidere che sia invece proprio il primo passeggero a cercarsi un altro posto. Naturalmente nella sostanza non cambia niente: ogni nuovo arrivato o trova il proprio posto libero, o lo trova occupato dal primo passeggero, il quale dovrà alzarsi e cercare un altro posto.

Visto in questo modo possiamo immaginare che il primo passeggero ogni volta che è costretto ad alzarsi abbia le seguenti possibili scelte: o sceglie a caso proprio il posto a lui assegnato o sceglie a caso il posto assegnato all'ultimo passeggero (in entrambi i casi non si dovrà più alzare) oppure sceglie uno degli altri posti con la conseguenza che prima o poi sarà costretto ad alzarsi di nuovo.

In tutti i casi in cui deve scegliere un nuovo posto tra i k ancora liberi (compreso il caso in cui entra per primo - di fatto deve fare una scelta del tutto analoga) 1 volta su k sceglierà il suo, 1 volta su k sceglierà quello dell'ultimo e le rimanenti volte rimanderà il problema a un momento successivo.
Quindi la probabilità finale di occupare il suo posto o quello dell'ultimo è la stessa.


:hello:

astromauh 05-01-11 10:05

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 434840)
Soluzione: 50%
fine soluzione
:hello:

La probabilità è del 50%, hai letto male perchè i caratteri erano rimpiccioliti.



Si, ho usato una simulazione, perchè dovrei usare il cervello se posso usare un computer? :rolleyes:

:hello:

aspesi 06-01-11 12:44

Re: Qualche quiz
 
Il cerchio

Oggi ho ritrovato un vecchio compasso.
Mi sono divertito ad usarlo su un foglio a quadretti (lato dei quadretti = 0,5 cm).
Tracciando una circonferenza di raggio 10 cm, mi sono accorto che non passa per nessuno dei vertici della quadrettatura.
Qual è il numero di quadretti attraversati dalla circonferenza?

:hello:

nino280 06-01-11 16:30

Re: Qualche quiz
 
Dove punti il compasso? Se punti in un incrocio dovrebbe trovare almeno 4 incroci.
Ciao

aspesi 06-01-11 17:31

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 435463)
Dove punti il compasso? Se punti in un incrocio dovrebbe trovare almeno 4 incroci.
Ciao

Ciao Nino,

punto all'interno di un quadretto, proprio per fare in modo che la linea della circonferenza non trovi nessun incrocio. (Considera per semplicita' il centro della circonferenza posto nel centro di un quadretto).

:hello:

astromauh 06-01-11 19:39

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 435372)
Il cerchio

Oggi ho ritrovato un vecchio compasso.
Mi sono divertito ad usarlo su un foglio a quadretti (lato dei quadretti = 0,5 cm).
Tracciando una circonferenza di raggio 10 cm, mi sono accorto che non passa per nessuno dei vertici della quadrettatura.
Qual è il numero di quadretti attraversati dalla circonferenza?

:hello:


Soluzione: 160 fine soluzione

:hello:

aspesi 06-01-11 20:57

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 435522)
Soluzione: 160 fine soluzione

:hello:

:ok:
Non dirmi che anche qui hai fatto una simulazione con il computer.... ;)

:hello:

astromauh 07-01-11 04:37

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 435548)
Non dirmi che anche qui hai fatto una simulazione con il computer.... ;)

Il numero delle caselle intercettate, non cambia se consideriamo delle caselle di lato=1 ed una circonferenza di raggio=20.

Ho quindi immesso il valore 20 in questa pagina:




Mizarino 07-01-11 06:01

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 435548)
Non dirmi che anche qui hai fatto una simulazione con il computer....

In questo caso la simulazione conveniva farla col compasso e la carta quadrettata ... ;)

astromauh 07-01-11 06:32

Re: Qualche quiz
 

Mizarino 07-01-11 08:13

Re: Qualche quiz
 
Bello! Complimenti.
Ma tu come li fai questi giochini ?

aspesi 07-01-11 08:18

Re: Qualche quiz
 
Quote:

astromauh (Scrivi 435591)

Sei sorprendente!:)

In generale, se il raggio e' n, il numero max di quadretti e' 8*n.
Consideriamo per semplicita' il centro della circonferenza posto nel centro di un quadretto e percorriamo un quarto di circonferenza, per esempio tra il punto piu' basso e quello piu' a destra.
Durante il percorso ci si sposta di n righe e di n colonne;
ad ogni cambio di riga o di colonna si aggiunge un quadretto, e, dal momento che abbiamo escluso il passaggio per i vertici, questi cambi sono tutti differenti, quindi 2*n.

Il numero puo' diminuire di qualche unita' per particolari posizioni del centro.
Per esempio se il centro e' su un lato della quadrettatura, si perdono due quadretti.
Un altro caso e' se il centro e' molto vicino ad un lato.

:hello:

aspesi 07-01-11 08:59

Re: Qualche quiz
 
La scatola di scarpe e il ragno

........_________B
......./|......../|
....../.|......./.|
...../..|....../..|
..../...|____ /...|
.../.../...../..../
.A/___/_____/..../
..|.......^.|.../
..|.......8.|../
..|.......|.|./
..|_______|_|/


Il disegno rappresenta una scatola da scarpe senza il coperchio.
Il ragnetto Joe desidera andare dal vertice A al vertice B percorrendo il tratto piu' breve.
Facendo un po` di conti, si accorge che puo` scegliere indifferentemente fra 5 percorsi di egual lunghezza.
La scatola e` alta 8 cm, quanto misura in larghezza e lunghezza?

(Sono curioso di vedere come lo risolve Astromauh... :mmh:
Erasmus, se ci sei, batti un colpo...:D)

:hello:

Erasmus 07-01-11 09:16

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 435372)
Il cerchio

Oggi ho ritrovato un vecchio compasso.
Mi sono divertito ad usarlo su un foglio a quadretti (lato dei quadretti = 0,5 cm).
Tracciando una circonferenza di raggio 10 cm, mi sono accorto che non passa per nessuno dei vertici della quadrettatura.
Qual è il numero di quadretti attraversati dalla circonferenza?

Diciamo N questo numero.
Metto due assi cartesiani paralleli ai lati dei quadretti, con l'origine nel centro di un quadretto; e prendo per unità di misura u = mezzo lato di quadretito.
Allora il raggio viene 40 u e i vertici vengono con coordinate entrambe sempre dispari.
Basta contare gli attraversamenti nel 1° quadrante delle rette di equazione
y = (2·k + 1) u, [0 ≤ k ≤ 19]
x = (2·h + 1) u, [0 ≤ h ≤ 19]
e poi moltiplicare per 4.
Infatti, ad ogni attraversamento di una di queste rette si passa da un quadretto ad uno contiguo (intendendo che sono "contigui" due quadretti con un lato comune).
In un quadrante sono attraversate 20 rette parallele all'asse delle ascisse e altre 20 parallele all'asse delle ordinate. Ergo, i quadretti attraversati sono in tutto
N = 4*(20 + 20) = 160
----------
:hello:

astromauh 07-01-11 09:28

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 435618)
Bello! Complimenti.
Ma tu come li fai questi giochini ?

L'immagine è una semplice GIF animata, fatta mettendo insieme le varie immagini singole. Ho un programma che le mette insieme, scaricato gratuitamente dalla rete, si chiama Alchemy Mindworks, io ce l'ho da anni, ma potrebbe non esistere più o essere diventato a pagamento.

Le immagini singole invece le fa la pagina di cui ti avevo dato il link: Il Cerchio.

Tu sai scrivere una pagina in HTML?

Questa è una pagina appena più complessa in asp.net, che è possibile programmare.

Tutti i programmi che faccio sono delle pagine con l'estensione aspx, io non ho linguaggi di programmazione sul mio computer, a parte l'ambiente che mi permette di sviluppare questi programmi.

Le pagine sono in realtà due, perchè l'immagine è inserita in un frame.
La pagina principale si chiama index.aspx, ma potrebbe anche essere una normale pagina in html, perchè si limita ad inviare le istruzioni (il raggio) all'altra pagina che fa il lavoro.

Tu che sistema operativo hai? XP professional?

Questo ambiente che permette di programmare queste pagine prima di trasferirle su un server, è incluso in XP professional, ma anche su Windows 7 e Vista, sebbene non nelle versioni di base.

Bisogna attivarlo, perchè la maggior parte della gente più che chattare con il PC non fa, e allora Bill Gates lo tiene un po' nascosto. Non ricordo bene come si fa ad attivarlo, ma non è difficile e poi incominci a programmare delle pagine che puoi mettere in rete.


Quote:

aspesi (Scrivi 435620)
Sei sorprendente!:)

Grazie :).


Quote:

In generale, se il raggio e' n, il numero max di quadretti e' 8*n.
Non ci avevo fatto caso! :spaf:

Mi ripromettevo di guardare con calma quale fosse la relazione tra il raggio ed il numero dei quadretti. :D

Erasmus 07-01-11 10:42

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 435633)
La scatola di scarpe e il ragno

........_________B
......./|......../|
....../.|......./.|
...../..|....../..|
..../...|____ /...|
.../.../...../..../
.A/___/_____/..../
..|.......^.|.../
..|.......8.|../
..|.......|.|./
..|_______|_|/


Il disegno rappresenta una scatola da scarpe senza il coperchio.
Il ragnetto Joe desidera andare dal vertice A al vertice B percorrendo il tratto piu' breve.
Facendo un po` di conti, si accorge che puo` scegliere indifferentemente fra 5 percorsi di egual lunghezza.
La scatola e` alta 8 cm, quanto misura in larghezza e lunghezza?

Se la scatola fosse molto fonda ci sarebbero solo due percorsi minimi: quelli lingo due spigoli (larghezza e lunghezza).
Se la scatola fosse poco fonda ci sarebbe solo un percorso minimo: scendere per uno spigolo, attraversare in diagonale il rettangolo di base, risalire sullo spigolo opposto al primo.
Se la scatola non è troppo fonfa né troppo poco fonda, i tre percorsi possono essere lunghi ugualmente.
Dico h = 8 l'altezza (=profondità, visto che manca il coperchio e Joe sta alla massima quota), x la lerghezza e y la lunghezza.
Una equazione è:
x + y = h + √(x^2 + y^2) + h –––> 2h(x+y) – xy = 2h^2 –-> 16(x+y) – xy = 128.

Siccome Aspesi dice che i percorsi minimi ed uguali sono 5, forse c'è un altro percorso pure minimo (e il suo simmetrico): Scendere da A non in verticale lungo lo spigolo, ma con determinata pendenza lungo una parete (per esempio quella a sinistra), fare un tratto orizzontale sul fondo per raggiungere la parete perpendicolare alla prima e risalire su questa verso il vertice B.
Immaginiamo di rompere la scatola abbattendo le pareti in modo che A e B vanno sul piano del fondo.
I punti A e B si sdoppiano (in A e A', in B e B' rispettivamente).
Codice:


          A __________________
            |                x            | h
A'_____|. . . . . . . . . . . . . . . .|_____
 |        .                              .    h    |
 |  y    .                              .          |  y
 |_____. . . . . . . . . . . . . . . .  _____ |
          |            x                |            B
          |_________________ | B'


In tal caso Joe sceglierebbe senz'altro di andare dritto da A a B o da A a B' se si trovasse in A; e di andare dritto da A' a B o sa A' a B' se si trovasse in A'.
Nel primo caso farebbe il percorso lungo
√[(h+x)^2 + (h+y)^2]
oppure il percorso lungo
√[(2h+y)^2 + x^2].
Nel secondo il percorso lungo
√[(2h+x)^2 + y^2]
oppure il percorso lungo ancora
√[(h+x)^2 + (h+y)^2].

Aspesi mi suggerisce che questi percorsi sono uguali tra loro.
Uguagliandoli, quadrando e semplificando ricavo |x – y| = h.
Se penso che x sia la dimensione maggiore (lunghezza), trovo y = x – h.
Aspesi mi dice anche che sono uguali all'altro percorso lungo x+y.
Posso eliminare una variabile.
Ma adesso devo scappare ... i conti numerici fateveli voi.
[Quando torno li farò anch'io].
---------
:hello:
-----------------------

Sono tornato. [Ho anche, tra l'altro, pranzato :rolleyes:]

Edito, correggo quanto ho scritto prima ... e completo.

Dalla prima equazione, sostituendo y con x – h, trovo:
Trovo:
x = [√(10) – 1]·h. Per h = 8 cm trovo x ≈ (circa) 2,162·8 cm ≈ (circa) 17,3 cm.
y = x – h = [√(10) – 2]·h. Per h = 8 cm trovo y ≈ (circa) 1,162·8 cm ≈ (circa) 9,3 cm.

Bye, bye
:hello:

aspesi 07-01-11 11:12

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 435673)
I punti A e B si sdoppiano (in A e A', in B e B' rispettivamente).
Codice:


          A __________________
            |                x            | h
A'_____|...............................|_____
 |                                                    |
 |  y                                                |
 |_____................................______|B
          |                              |
          |_________________ | B'


In tal caso Joe sceglierebbe senz'altro di andare dritto da A a B se si trovasse in A; e di andare dritto da A' a B se si trovasse in A'.
Nel primo caso farebbe il percorso lungo √[(h+x)^2 + (h+y)^2]
Nel secondo il percorso √[(2h+x)^2 + y^2].
Aspesi mi suggerisce che questi percorsi sono uguali tra loro.
Uguagliandoli, quadrando e semplificando ricavo |x – y| = h
Mi dice anche che sono uguali all'altro percorso lungo x+y.
---------
:hello:

:ok:Sei troppo forte!


Quote:

Erasmus (Scrivi 435673)
Dico h = 8 l'altezza (=profondità, visto che manca il coperchio e Joe sta alla massima quota), x la lerghezza e y la lunghezza.
Una equazione è:
x + y = a + √(x^2 + y^2) + a –––> 2a(x+y) – xy = 2a^2 –-> 16(x+y) – xy = 128.

Qui c'è qualcosina che non torna...

:hello:

Erasmus 07-01-11 13:15

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 435684)
Qui c'è qualcosina che non torna...

E' possibile ... un "errore di sbaglio" nel semplificare.

Provo a correggermi. Mi pare che venga:
2h·(x+y) – x·y = 2h^2.

Sostituisco y con x–h.

2h·(2x – h) –x·(x – h) = 2·h^2 –––> x·^2 – 5·h·x + 4·h^2 = 0 –––> x = 4·h oppure x = h.
y = x – h –––> y = 3·h oppure y = 0 (da rifiutare).

Mi pare che le dimensioni siano:
Altezza h = 8 cm;
Lunghezza 4h = 32 cm;
Larghezza 3 h = 24 cm.

Provo a verificare.
1) x + y = 7 h;
2) h + √(x^2 + y^2) + h = h + 5·h + h = 7·h; (O.K.)
3) √[(x+h)^2 + (y+h)^2] = [√(25 + 16)]·h = [√(41)] · h; [Qui non ci siamo!]
4) √[(2h + y)^2 + x^2)] = [√(25 + 16)]·h = [√(41)] · h; [Neanche qui!]
5) √[(2h + x)^2 + y^2)] = [√(36+ 9)]·h = [√(45)] · h; [E neanche qui!]

Alcune condizioni vengono giuste (la 1) e la 2) concordano; la 3) e la 4) concordano pure) e altre no.

Ci sarà forse qualche altro "errore di sbaglio" ? :mmh:

Mi sono stufato!
--------
:hello:

aspesi 07-01-11 14:25

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 435673)
Immaginiamo di rompere la scatola abbattendo le pareti in modo che A e B vanno sul piano del fondo.
I punti A e B si sdoppiano

........___x___B
.......|....../|
....___|__.__/_|___B
...|...|..../..|...|
..y|...|.../.......|y
...|.__|__/__._|_8_|
...A...|./.....|
.......|/._____|8
.......A x


Bye, bye
:hello:

Ho modificato il tuo disegno della "scatola rotta".
I percorsi per andare da A a B mi paiono molto più comprensibili.
Mi pare che il tuo errore sia considerare uguale il percorso √[(2h+x)^2 + y^2]*, che invece è più lungo di √[(h+x)^2 + (h+y)^2] e di (x+y).

*In realtà è: √[(2h+y)^2 + x^2]

:hello:


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