Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Qualche quiz (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=33691)

nino280 29-06-11 21:46

Re: Qualche quiz
 
Ci ho impiegato un'ora ma ho trovato la discussione della sfera bucata:
http://www.trekportal.it/coelestis/n...reply&p=153409

http://www.trekportal.it/coelestis/s...ad.php?t=15565

Vedere #17 del secondo link


Ciao

Erasmus 29-06-11 23:14

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 493466)
Miseria Erasmus come sei noioso per non dire "barboso" :D :D
Questa storia della sfera cava l'hai proposta un'altra volta anche qui da noi ...

E che c'entra?
Non volevo affatto riproporre il quiz!
a) L'ho menzionato perché, come il quiz attuale (che nessuno vuol prendere in considerazione), ha una risposta sorprendentemente semplice.
b) M'è venuto in mente come aveva risposto ChronoTrigger a quel quiz (ben prima che io mi iscrivessi a Coelestis). Mi è parso ... un brano letterario che meritasse la pena di essere divulgato.
Che c'entra dunque il quiz in sé? Quel che mi pare degno di nota è quella specie di "novella" che ha inventato ChronoTrigger
[Poseidone che amoreggia con Auguriale non lontano da dove Perseo sta per ammazzare Medusa, che dice ad alta voce "Sei Persei!", ed Auguriale che sospende il gioco erotico per esprimere il suo talento aritmetico rispondendo "Trentasei!]
c) Se clicco su QUA casco di colpo in Forumtime al thread del quiz della "sfera bucata".
Perché dici che il link non funziona? Non è che hai bevuto un bicchiere di grignolino di troppo?
--------------
Ma, come dici anche tu, "lasciamo perdere!"

Hai aperto il documento "quiz-studio.png"?
Non hai nessun commento fa fare?
Nemmeno ... un complimento sulla prima figura (di un quadrilatero articolato ... verde, che mi pare abbastanza buona :rolleyes:)?

Non hai nessuna risposta come tentata soluzione del quiz?
Nemmeno un tentativo ... a sentimento?

E dove si è defilato aspesi-Nino II?
Lui ha trovato "contorto" il mio modo di risolvere il suo quiz ... ma non risponde (né con "contorsione" né senza contorsioni al mio quiz!).

Per non parlare di qull'alieno "menagramo" tanto bravo a sfottere ... :mad:

Non s'è degnato di sprecare due parole di commento al mio 'post' sul calcolo matriciale che invece, nella forma in cui ho trattato le "isometrie" nello spazio tridimensionale, è davvero affascinante!
[Per esempio: le funzioni circolari seno e coseno sono connesse col la funzione esponenziale solo nel campo complesso. Invece, nella rotazioni rigide (caso particolare di isometria), tramite la matrice G che esegue il prodotto vettoriale e che gioca (nel calcolo matriciale) sui vettori un ruolo analogo di quello giocato dall'unità immaginaria sui numeri complessi, l'esponenziale di matrice reale (che è la matrice reale di rotazione) coinvolge gli sviluppi in serie delle funzioni circolari.]

Ripeto quersto concetto ... magari Miza passa di qua, ci fa caso e mi sfotte ancora!

a) Gn è la matrice dipendente esclusivamente dalle componenti del versore n tale che, per quasiasi vettore v, succede:
Gn·v = n x v (prodotto vettoriale di n per v).
b) Nel piano di Gauß, i numeri complessi z sono rappresentati da vettori bi-dimensionale v; e allora, detta j l'unità immaginaria (quel numero complesso tale che j^2 = –1), succede che:
z' = e^(jφ)·z = Esp(jφ)·z= [cos(φ) + jsin(φ)]·z
è il numero complesso rappresentato dal vettore v' ottenuto girando dell'angolo φ il vettore vche rappresenta z.
c) Nello spazio tridimensionale, senza uso alcuno di numeri complessi, per qualsiasi vettore v succede che:
v' = Esp(Gn·φ)·v
è il vettore ottenuto girando il vettore v dell'angolo attorno al versore n.
Quindi, Esp(Gn·φ) – e ... ricordiamo che matrice è Gn – gioca lo stesso ruolo che gioca Esp(jφ) nel piano di Gauß; e Gn quello che nel piano di Gauß è giocato dall'unità immaginaria j.

Beh: se questo non è affascinante non so più cosa c'è di affascinante in matematica!

Ciao, ciao

nino280 30-06-11 01:51

Re: Qualche quiz
 
Si adesso QUA si apre bene, evidentemente ieri sera ero in preda ai fumi dell'alcol. Anche la figura verde mi pare buona, però fai attenzione che nell'ultimo tuo post sono ricomparsi i quadratini e non penso che sia io a vederli perchè ormai devo aver smaltito la sbornia.
Comunque mi dicevi che il pantografo che ho postato io è un rombo, ma quella è soltanto una configurazione particolare di quel quadrilatero, che se ben ricordo aveva tutti gli snodi o fulcri regolabili. Se ne avessi avuto uno di 60 cm avrei potuto certamente costruire anche il tuo quadrilatero che è di 30;40;50;60 di lati.
A dimenticavo, anche io avevo specchiato il triangolo di Nino (Aspesi) lungo il lato maggiore.
P.S. oggi cioè ieri sono andato a Ipercoop e al Bricocenter per cercare di acquistare un pantografo ma non ci ho trovato neanche l'ombra.
Ciao

nino280 30-06-11 07:57

Re: Qualche quiz
 
Non sto cercando di risolvere il tuo quiz.
La cosa grave è che in realtà non ho neache capito la domanda.
Mi sembra d'aver capito che bisogna prendere un quadrilatero snodato tirare idue vertici acuti in direzione opposta oppure spingere il vertice ottuso che è la stessa cosa fino a quando due lati si allineano e quindi diventa un triangolo. Poi bisogna inserire in questo triangolo un cerchio "tritangente" cioè tangente ai tre lati, e poi cosa bisogna fare? DICCELO:mmh:
Ciao

Erasmus 30-06-11 10:32

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 493571)
Non sto cercando di risolvere il tuo quiz [...] non ho neache capito la domanda.

Oh bella!
Hai un quadrilatero articolato con tutti i lati diversi ma con quelli opposti di uguale somma.
I lati siano, in senso ciclico: a, b, c, d
Affinché il quadrilatero ammetta cerchio inscritto deve essere a+c = b+d.
Se è così, sgangherando a piacere il quadrilatero articolato c'è sempre un cerchio inscritto.
A seconda della forma che gli dai, cambia il raggio del cerchio inscritto.
Al limite, tirando per due vertici opposti, hai un triangolo (che ammette un cerchio inscritto). Idem se lo tiri per gli altri due vertici opposti. Quando diventa un triangolo, vuol dire che due vertici opposti sono alla massima distanza e gli altri due alla distanza minima (escludendo le situazioni di poligono non convesso).
Ci sarà una situazione con la distanza tra i vertici opposti intermedia tra la massima (un triangolo così) e la minima (un triangolo cosà!) nella quale il cerchio inscritto ha il raggio massimo possibile.
Dunque, il cerchio inscritto, sgangherando il quadrilatero articolato con lati opposti di ugual somma, ha un raggio R che, partendo da una situazione limite triangolare dove vale R1, cresce fino ad un massimo Rmax per poi diminuire e diventare R2 nell'altra
situazione limite triangolare.

Il quiz chiede di dire come si fa a calcolare R1, R2 ed Rmax, cioè le formule di questi raggi in funzione delle lunghezze a, b, c, d dei lati (sempre rispettosi della condizione a+c = b+d).
Il raggio del cerchio inscritto si trova, in ogni caso, dividendo l'area S del poligono (che ammetta il cerchio inscritto) per il semiperimetro p.
S = Area del quadrilatero
p = Semiperimetro = <perimetro>/2 = (a+c+b+d)/2.

Raggio cerchio iscritto (esiste se e solo se a+c = b+d):
R = S/p = (2S)/(a+b+c+d) = S/(a+c) = S/(b+d)

Allora ... il clou del quiz è trovare S nei tre casi. Due (quando il quadrilatero diventa un triangolo) sono facili.
Resta il caso del quadrilatero ad area massima.

Dunque: articolare opportunamente il quadrilatero per farlo diventare di area massima.

Qual è la formula di questa area massima Smax in funzione delle lunghezze a, b, c, d dei lati?

Ciao, ciao
:hello:

aspesi 30-06-11 13:08

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 493635)
Oh bella!
Allora ... il clou del quiz è trovare S nei tre casi. Due (quando il quadrilatero diventa un triangolo) sono facili.
Resta il caso del quadrilatero ad area massima.
Dunque: articolando opportunamente il quadrilatero questo ha l'area massima.

Qual è la formula di questa area massima Smax in funzione delle lunghezze a, b, c, d dei lati?

Ciao, ciao
:hello:

Trovato con Erone S1 e S2 (le aree di quando il quadrilatero diventa un triangolo con i cerchi inscritti), non è che:
S_max = RADQ(S1^2 + S2^2) ?

:hello:

Erasmus 30-06-11 15:23

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 493688)
Trovato con Erone S1 e S2 (le aree di quando il quadrilatero diventa un triangolo con i cerchi inscritti), non è che:
S_max = RADQ(S1^2 + S2^2) ? :hello:

Facciamo un esempio:
a = 6; b = 8; c = 12; d = 10;
OK perché a+c = b + d = 18.

I trinagoli-limite T1 e T2 sono quelli di lati
T1: [a+b, c, d] = [14, 12, 10]
T2: [d+a, b, c] = [16, 8, 12]

p = 18 in entrambi i casi.
S1^2 = 18(18–14)(18–12)(18–10) = 18·4·6·8 = (2^7)·(3^3) = 128·27 = 3456.
S2^2 = 18(18–16)(18–8)(18–12) = 18·2·10·6 = (2^4)·(3^3)·5 = 16·27·5 = 2160.
√(S1^2 + S2^2) = √(3456 + 2160) = √(5616) ≈ 74,94

Sia A il vertice comune ai lati minori a e b, e sia C il vertice comune ai lati maggiori c e d.
La distanza massima possibile tra A e C (che sono vertici opposti) è a+d =16
La distanza minima si ha quando è massima la distanza tra gli altri due vertici (e quest'ultima è a+b = 14, lato lungo d'un triangolo di lati [14, 10, 12]).
Con Carnot trovo il coseno di un angolo adiacente al lato lungo (quello a+b = 14). Con questo coseno (sempre con Carnot) trovo la distanza minima Xmin tra A e C.
Fatti i conti, la distanza minima tra A e C viene:
Xmin^2 = 6^2 + 10^2 – 2·6·10·[(14^2+10^2 –12^2)/(2·4·10)] =19840/280 =496/7;
Xmin ≈ 8, 417...
Tra A e C sono dunque possibili distanze comprese tra questa e 14.
Per esempio 12.
Proviamo a vedere con questa diagonale lunga 12 quanto viene l'area di questo quadrilatero [di lati 6, 8, 10, 12].
L'area sarà la somma di due triangoli rispettivamente di lati [6, 10, 12] e [8, 12, 12].
Sempre con Erone trovo:
S = √[14·(14–6)·(14–10)·(14–12)] + √[16·(16–8)·(16–12)·(16–12)] ≈ 75,188... > √(5616) ≈ 74,94

Come vedi ... la tua area √[S1^2 + S2^2] non è la MASSIMA POSIBILE

E poi:
a) La risposta è "sorprendentemente semplice" (e tale non mi pare la tua)
b) Deve essere comprensiva dei casi facili. Facciamo un quasi-quadrato?
Sgangherando al massimo un rombo articolato ... ti viene di area nulla. L'area massima ce l'hai col quadrato.
Per lati un pelo soltanto diversi uno dall'altro la tua formula ti darebbe un'area miserabile!
----------------
Ma ... hai aperto il link "quiz-studio.png"?
Ci trovi il percorso da fare ... quasi tutto fatto, solo da completare.
[Vedi che la pagina termina con "puntini, puntini" ;)]

Ciao, ciao
----------
:hello:

aspesi 30-06-11 17:40

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 493715)
Ma ... hai aperto il link "quiz-studio.png"?
Ci trovi il percorso da fare ... quasi tutto fatto, solo da completare.
[Vedi che la pagina termina con "puntini, puntini" ;)]

Ciao, ciao
----------
:hello:


Ehmmm... :o no, non l'avevo aperto...

Troppo comodo (completare il tuo percorso...):
S_max = RADQ(abcd)

:hello:

aspesi 30-06-11 19:07

Re: Qualche quiz
 
Su it.scienza.matematica è stato proposto questo:

Dato R, il raggio del cerchio grande, trovare il raggio del cerchio blu.

http://pedroperaria.altervista.org:80/sng.png

http://pedroperaria.altervista.org/sng2.png

che ovviamente io non so risolvere....

Erasmus 30-06-11 19:22

Miiizaaaaa! 'Ndo stai?
 
Si può vedere che ho modificato i miei 'post' #474 e #482.
Il "paper" conteneva ... un "errore di sbaglio".
Nella riga sotto alla parola Posizioni, a destra, nei due radicali c'era "(C–t)" al posto di "(t–C)". L'errore consisteva quindi ... nel dare i numeri immaginari.
Per correggere occorreva pure farsi ospitare l'immagine corretta. E' dunque cambiato anche l'URL dell'immagine PNG del "paper".

-----------------------
Visto che Nino I ha rimesso in attualità il vecchio thread della "sfera bucata", il fatto che una sfera con un foro passante cilindrico con asse per il centro e di lunghezza 2L abbia volume
V = (4/3)·π·L^3
(ossia: che la sfera bucata sia equivalente ad una sfera integra di diametro pari alla lunghezza 2L del foro) viene immediatamente con un semplicissimo calcolo integrale
Sezionando l'anello che è la "sfera bucata" con un piano meridiano, si evidenziano due segmenti di cerchio, delimitati da un arco ed una corda lunga appunto 2·L.
Sia R il raggio (della sfera e del cerchio di sezione meridiana) e sia 2φ l'angolo (in radianti) al centro dell'arco che ha la corda lunga 2·L.
Evidentemente L = R·sin(φ), la distanza dal centro della corda periferica è R·cos(φ) e le corde del segmento di cerchio parallele all'asse del foro sono segmenti distanti R·cos(α) dal centro e lunghi 2R·sin(α) con
0 ≤ α ≤ φ
Una strisciolina di altezza y = 2R·sin(α) e larghezza infinitesima
dx = d[R·cos(α)] = – R·sin(α)·dα
quindi di area
dS = dx·y = [– R·sin(α)·dα]·[2R·sin(α)] = –(4·R^2)·[sin(α)^2]·dα
girando attorno all'asse del foro di un angolo giro genera il volume elementare (fatto a tubo cilindrico):
dV = 2π·[R·cos(α)]·dS = –4π·(R^3)·[sin(α)^2]·cos(α)·dα.
Il volume della sfera "bucata" si trova integrando dV tra φ e 0.
Possiamo cambiare segno alla funzione integranda e scambiare tra loro gli estremi di integrazione ottenendo:
Codice:

                      φ
V = 4π·(R^3)·[(sin(α)^2]·cos(α)·dα = (4/3)·π· [R·sin(φ)]^3
                    0

Si noti che R·sin(φ) = L.
La sfera bucata con foro passante (cilindrico con asse per il centro) lungo 2L è quindi equivalente ad una sfera di diametro 2L.
Il buco ha diametro 2R·cos(φ) = 2√(R^2 – L^2).
Il diametro del foro tende a zero per φ tendente all'angolo retto, cioè per L tendente ad R.

Pertanto è proprio il volume della sfera integra che è il caso limite (per diametro del foro tendente a zero) del volume della "sfera bucata".

Naturalmente, a chi non sa nulla di integrali, occorre spiegare il risultato detraendo da un segmento sferico a due basi il cilindro del foro. E per avere il volume del segmento sferico a due basi occorre detrarre dalla sfera intera due uguali segmenti sferici ad una base; e il volume di ciascuno di loro è la differenza tra un cono sferico – la proiezione dal centro della calotta del segmento sferico ad una base – ed un cono a base piana (base del segmento sferico, uguale alla sezione normale del foro passante).
Insomma: un discreto casino per estrarre la "sfera bucata" (con buco lungo 2L) dalla sfera integra; però con risultato sorprendentemente semplice (che prescinde dal diametro del foro).
V = (4/3)·π· L^3,

Analogamente succede per il raggio massimo del cerchio inscritto in un quadrilatero di assegnati lati a, b, c, d (in ordine ciclico) con la condizione a+c = b+d (se no il cerchio inscritto non c'è!).

Su trova:
Smax = √(abcd).
Rmax = 2√(abcd)/(a+b+c+d).

Si ricava comodamente scrivendo l'area S del quadrilatero come somma delle aree di due triangoli con un lato comune che è una diagonale di lunghezza variabile (diciamola x) e cercando il massimo (che capita per quel valore di x che annulla la derivata dS/dx).

Non so se possa esistere una dimostrazione che prescinda dal calcolo differenziale.

Sarebbe bello se ci fosse. Si potrebbe spiegare la formula anche a chi non sa nulla di derivate.

Ciao, ciao.
-------------------
P.S.
[ven. 01.07.11 h07:45]
Solo ora vedo che aspesi aveva risposto ancor prima che inviassi questo 'post',

Ho allora modificato sostituendo "Aspettiamo ancora un po' " con le formule dell'area massima e del raggio del cerchio inscitto nel quadrilatero di area massima.

Ciao, ciao
[Devo scappare per andar a fare il baby -sitter alle nipotine ...]
______
:hello:

nino280 01-07-11 18:42

Re: Qualche quiz
 
Ora ho visto e più o meno capito qualcosina sui quadrangoli o quadrilateri snodati. Si lo ammetto hanno in se una misteriosa bellezza. Mi darei 1897,366 frustate per essere arrivato fino ad oggi senza averli mai gustati prima.
1897,366 è l'area del quadrilatero smodato di 30;40;50;60.
Ciao

Erasmus 01-07-11 21:27

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 493806)
Su it.scienza.matematica è stato proposto questo:

Dato R, il raggio del cerchio grande, trovare il raggio del cerchio blu.

http://pedroperaria.altervista.org:80/sng.png

http://pedroperaria.altervista.org/sng2.png ...

Che mi rappresenta (di diverso dalla prima) la seconda figura? :mmh:
-------------
Ignoro la seconda figura.

Se ho capito giusto, il cerchio bianco di sinistra ha raggio R/2 e la rampa su cui poggia il cerchio blu è inclinata di 45°.
Se non fosse così ... sarebbe (quasi) lo stesso. ;) basterebbe sapere il raggio del cerchio bianco sulla sinistra e si troverebbe di conseguenza la pendenza del fianco del triangolo isoscele sul quale poggia, a destra, il cerchio blu.

In coordinate cartesiane, come ogni cerchio, il cerchio blu è definito dalle coordinate Xc, Yc del centro C e dal raggio r.
Occorre allora trovare 3 equazioni indipendenti nelle tre incognite Xc, Yc ed r.
Eliminando poi Xc ed Yc, resta una equazione in r.
Assumiamo che la retta orizzontale per il cerchio grande di raggio R sia l'asse delle ascisse x e che l'equazione del cerchio grande sia x^2 + y^2 = R^2.

a) La retta per l'origine O(0,0) – centro del cerchio grande – e per il centro C del cerchio blu passa pure per il punto di tangenza in alto (perché in ogni cerchio il raggio in un punto della circonferenza è ortogonale alla tangente in quel punto).
Pertanto abbiamo una prima equazione:
1. √[Xc^2 + Yc^2) + r = R => Xc^2 + Yc^2 = (R – r)^2 = r^2 – 2r·R + R^2.

b) Se due cerchi distinti si toccano in un punto, questo è allineato con i centri dei due cerchi. Allora, dalla tangenza del cerchio blu col cerchio bianco di raggio R/2 abbiamo una seconda equazione:
2. (Xc + R/2)^2 + Yc^2 = (R/2 + r)^2 => Xc^2 + Yc^2 + R·Xc = r^2 + r·R

c) Dalle equazioni 1. e 2., per differenza membro-a-membro si ha:
(*) R·Xc = 3R·r – R^2 => Xc = 3·r – R.

d) La terza equazione si ha sfruttando la tangenza del cerchio blu col fianco del triangolo isoscele (che è pure rettangolo nel vertice alto). Detto T il punto di contatto, l'equazione del lato, cioè della retta OT, è:
y = x
La retta per il cento C del cerchio blue e per T è perpendicolare alla retta OT, quindi ha equazione del tipo y = –x + q. Siccome passa per C, deve essere Yc = –Xc + q, ossia:
q = Xc + Yc
e quindi:
y = –x + Xc + Yc
Facendo sistema con la retta di eq. y = x, trovo le coordinate del punto di contatto T che risultano uguali entrambe a (Xc + Yc)/2.
[Questa cosa si vede anche geometricamente. Prolungamdo la retta CT a sinistra fino sull'asse delle ordinate, si ottiene un triangolo rettangolo in T con l'ipotenusa verticale e i cateti uguali inclinati di 45 gradi uno in su l'altro in giù. Quindi, tagliandolo in due con una retta orizzontale per T, si vede che le coordinate di T sono metà dell'ipotenusa che, come visto, è l'intercetta q = Xc + yC della retta per C e T.]
Allora abbiamo anche:
|Xc – XT| = |Xc – (Xc + Yc)/2| = (Yc – Xc)/2 = r/(√(2);
|Yc – YT| = |Yc – (Xc + Yc)/2| = (Yc – Xc)/2 = r/(√2).
Sicché:
Yc = Xc + √(2)·r
Ma avevamo trovato, [V. la (*)]:
Xc = 3·r – R.
Allora otteniamo:
3. 3. Yc = (3+√(2))·r – R.
Mettendo questa assieme alla (*) abbiamo il sistema espicito nel parametro r:
(**)
Xc = 3·r – R:
Yc = (3+√(2))·r – R.

e) Riprendiamo la 1. ed in essa sostituiamo Xc ed Yc date dalle (**). Otteniamo:
[3·r – R]^2 + [(3+√(2))·r – R]^2 = r^2 – 2r·R + R^2.
Da qui, semplificando, dividendo per R^2 e ponendo poi t = r/R otteniamo l'equazione di 2° grado in t :
4. [19+6√(2)]·t^2 –2·[5+v(2)]·t + 1 = 0.

La mia "calcolatrice grafica" mi dice che il questo trinomio di 2° grado si annulla in
t = r/R = 0,098914593425 ...
e in
t = r/R = 0,367823474490 ...

Per come la figura illustra il quiz, la soluzione buona è la seconda (r ≈ 0,3678·R).

Ma anche la prima [r ≈ 0,0989·R] ha senso! Infatti ...
Se si prolunga in basso a sinistra la retta OT (fianco del triangolo su cui poggia il cerchio blu), quasta, dopo aver attraversato il cerchio di raggio R/2 uscendo dal punto più basso (di coordinate –R/2, –R/2), crea un angolino sopra di se tra il cerchio Grande di raggio R e quello bianco di raggio R/2. Qui ci sta proprio un cerchietto tangente ancora internamente al cerchio grande ed esternamente al cerchio di raggio metà, ed appoggiato ancora (alla sua destra) sulla retta per il centro inclinata di 45 gradi (di equazione y=x).

Ho fatto una figura dove il cerchio blu-scuro è diventato verdino (per poterci scrivere sopra leggibilmente), le formule sono scritte meglio di qua ... e ci sta anche il cerchietto spurio (colorato in rosso).
Eccola:
=> Soluzione-spiegazione (PNG)

Ciao, ciao
--------------
:hello:

aspesi 01-07-11 22:56

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 494173)
La mia "calcolatrice grafica" mi dice che il questo trinomio di 2° grado si annulla in
t = r/R = 0,098914593425 ...
e in
t = r/R = 0,367823474490 ...

Per come la figura illustra il quiz, la soluzione buona è la seconda (r ≈ 0,3678·R).

Ma anche la prima [r ≈ 0,0989·R] ha senso! Infatti ...
.........

Ho fatto una figura dove il cerchio blu-scuro è diventato verdino (per poterci scrivere sopra leggibilmente), le formule sono scritte meglio di qua ... e ci sta anche il cerchietto spurio (colorato in rosso).
Eccola:
=> Soluzione-spiegazione (PNG)

Ciao, ciao
--------------
:hello:

:ok::ok:
Sei troppo forte!!!!

http://www.foonews.info/it-scienza-matematica/14075806-sangaku.html

(Quando avrò un po' di tempo, lunedì, ci guardo e cercherò di capire la tua soluzione)

Ciao
Nino

nino280 02-07-11 10:14

Re: Qualche quiz
 
Faccio anche io i complimenti ad Erasmus:ok:
Non sapendo come risolverlo analiticamente con le formule(e questa non è per niente una novità) lo risolto graficamente.
Ho acceso e messo in moto il mio CAD che non aprivo da molto tempo (malissimo perchè è molto potente ma sapete la voglia che ho), ho disegnato:
cerchio grande=100
cerchio a sinistra =50
triangolo rettangolo a destra , insomma proprio come richiesto da Aspesi
col comando "tritangenza" clicco sui tre elementi cerchio grande,secondo cerchio, triangolo, ed ottengo il cosidetto cerchio blu.
Col comando "misura" (l'icona di questo comando è un immagine a me cara:un calibro
mi da la misura di detto cerchio blu 36,782 nota dico 36,782 che è proprio la soluzione di Erasmus x 100 volte.
Di nuovo complimenti ad Erasmus.
In quanto a me per fare la verifica ho saltato la colazione:D
Ciao
P.S.
Purtroppo non riesco in nessun modo farvi vedere il disegno.

Erasmus 02-07-11 15:52

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 494246)
... cerchio blu 36,782 ...
Purtroppo non riesco in nessun modo farvi vedere il disegno.

a) I complimenti ... vanno fatti a te per la verifica: anzi, al tuo CAD che risolve il problema in un battibaleno!

b) Una volta un tuo disegno ce l'hai fatto vedere: quindi allora sapevi come fare!
Mi ricordo che l'avevo copiato ... e poi te lo avevo anche criticato :D. Cioè: ti suggerivo di fare diversamente nel costruirne qualche parte.
Per mostrarci una tua figura, basta che te la faccia caricare da un sito di hosting.
Ho trovato un sito di hosting di immagini meraviglioso. Vedi che da un po' di tempo non vcarico più su "www.imageshack.us/" bensì su:
=> http://host.presenze.com/ .
Provalo anche tu: è facilissimo da usare!

c) Nino I (cioè Nino280): te lo faccio vedere io il disegno!
Il mio editor di grafica misura le dimensioni al decimo di millimetro.
Disegnato il cerchio grande di 200,0 mm di diametro, quello bianco (di sinistra) di 100,0 mm di diametro e la retta per il centro inclinata di 45°, ho disegnato poi per approssimazioni successive i due cerchi tangenti, uno azzurro (in alto) ed uno rosso (in basso a sinistra). Cioè: per disegnare ciascuno dei due cerchi colorati, sono andato per tentativi partendo da un cerchio ad occhio non troppo lontano da giusto , aggiustandolo poi con continui stiracchiamenti e spostamenti fino a renderlo tangente agli altri 3 oggetti.
Alla fine, il mio editor mi dice che il diametro del cerchio azzurro è 73,6 mm e quello del cerchio rosso 19,8 mm.
I diametri teorici in millimetri sarebbero:
• 2Razzurro = 200·0,36782 ... ≈ 73.564
• 2Rrosso = 200·0,98914 ... ≈ 1,9783.

d) Ih: il disegno è sostanzialmente quello stesso di prima.
La differenza è che questa volta il disegno l'ho fatto con la massima accuratezza possibile col mio editor di grafica, cioè al decimo di millimetro.

Nino I: scarica l'immagine e misurane anche tu i quattro diametri. ;)
=>twosolutions.png
--------
:hello:

nino280 02-07-11 19:19

Re: Qualche quiz
 
Certo che mi ricordo che avevo postato qualcosa fatto col mio CAD quello che non mi ricordo è come ho fatto:D
Insomma senza tanti misteri ho il "CATIA'" se si dovesse venire a sapere vado in galera perchè per adoperarlo ci vuole una licenza che io non ho. Me lo ha kraccato ed installato mio nipote, mi ricordo che anni fa la licenza costava 80 milioni di lire, mumble mumble.
Ma non credo che ora potrei avere dei fastidi visto che l'adopero solo per usi "domestici". Anzi mi dovrebbero dare un premio visto che velatamente gli sto facendo pubblicità.
Per quanto riguarda i tuoi suggerimenti . . . proverò.
Ciao

nino280 02-07-11 21:01

Re: Qualche quiz
 
http://host.presenze.com/view-pic-im...mg=57109&w=720
Ecco una immagine di una tritangenza fatta col cad su una nostra vecchia discussione che ora sto provando ad inviare col sistema suggerita poco fa da Erasmus.
Ciao

Erasmus 02-07-11 22:22

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 494414)
http://host.presenze.com/view-pic-im...mg=57109&w=720
Ecco una immagine di una tritangenza fatta col cad su una nostra vecchia discussione che ora sto provando ad inviare col sistema suggerito poco fa da Erasmus.
Ciao

No, Nino. Non va bene la scrittura del link come hai fatto tu qui sopra!

Anzitutto, qui in Coelestis è perfettamente inutile mettere l'indirizzo URL di un'immagine tra i "tag" [img] e [/img], dato che le immagini non compaiono nel messaggio ma si può solo mandar a vederle creando un link. Anzi: siccome qui sono permesse 4 immagini al massimo comprese la "faccine " (smiles, emoticon: uniche immagini visibili nei messaggi), l'uso di quel tag ti ruba una possibilità di mettere una "faccina".

In secondo luogo, un link si crea in due modi
a) Mettendo l'indirizzo URL tra i tag e oppure mettendolo nudo e crudo perché ci pensa il server a metterci davanti e dietro
b) Mettendo tra parentesi quadra "URL=" e l'indirizzo URL, poi la parole che preferisci (con font, colore, dimensioni e stile a piacere) e infine [/url]

Se clicco sul tuo link mi si scarica un file che è una applicazione (che non va bene per chi è in Mac, e mi si apre come testo con una caterva di caratteri strani).

Ho estratto dal tuo testo (che leggo integralmente facendo "QUOTA") il vero indirizzo.
Adesso faccio il link nei due modi che ho detto.
Tu prima provali (controlla cioè che funzionano); poi clicca su "QUOTA" e leggi esattamente come ho fabbricato l'uno e l'altro link.

1° modo: => http://host.presenze.com/showorigina...9/image002.gif

2° modo: => "Tritangenza", (.../image002.gif)
--------------------
Ma perché, invece di mettere la figura inerente al quiz, (cerchio di diametro 200 mm con dentro il cerchio di diametro 36,782 mm), hai rimesso quella antica figura che già avevi 'postato' una volta?

Ciao, ciao!

nino280 04-07-11 14:02

Re: Qualche quiz
 
Ma perché, invece di mettere la figura inerente al quiz, (cerchio di diametro 200 mm con dentro il cerchio di diametro 36,782 mm), hai rimesso quella antica figura che già avevi 'postato' una volta?
(Da Erasmus)
Il perchè te lo l'ho già detto, non ci riesco proprio più.

7 minuti per fare il disegnino e più di due ore forse tre per cercare di postarlo facendomi venire la gobba ed il torcicollo senza poi riuscirci.
Allora ho postato una vecchia immagine sicuramente fatta al cad ed infatti si intravede un quadrato, quel quadrato è il comando "piano" che allora mi era servito perchè disegnado in 3D lui vuole che si specifichi un piano quando appunto disegni su un piano. Non avevo cancellato quel piano perchè non ho la padronanza ne dei comandi ne del sistema stesso.
Cioa

Erasmus 04-07-11 19:43

Re: Qualche quiz
 
[quote=nino280;494806][quote=Erasmus]Ma perché, invece di mettere la figura inerente al quiz, (cerchio di diametro 200 mm con dentro il cerchio di diametro 36,782 mm), hai rimesso quella antica figura che già avevi 'postato' una volta?
Quote:

*... non ci riesco proprio più.
7 minuti per fare il disegnino e più di due ore forse tre per cercare di postarlo facendomi venire la gobba ed il torcicollo senza poi riuscirci.
Ma dai!
Vedo che l'immagine che hai 'postato' è una GIF e che l'hai caricata nel sito di hosting che t'ho detto io, ( http://host.presenze.com/ )
Vuol dire che sei capace di caricare una immagine che hai sul computer.
Una volta che hai fatto il disegno col CAD, ci sarà la possibilità di salvarlo come immagine, no?
Se non trovi cime si fa [dal menu File], puoi sempre copiare la parte di schermo contenentee la figura.
[Così faccio io ultimamente. Vedi che se ingrandisci le ultime mie immagini, anche le parole di testo diventano ... seghettate mettendo in evidenza che l'originale altro non è che la mappa di pixel dello schermo. Copiando una parte di schermo mi si forma di colpo sulla scrivania l'immagine PNG corrispondente. La carico sul sito di hosting così com'è ... anche se a volte – chissà perché!? – vedo che il sito me ne cambia il formato da PNG a JPEG (estensione ".jpg").]

Quando fai l'hosting dove ti ho detto, non copiare nessun indirizzo che ti si mostra! Invece, vedi a destra una miniatura della tua figura. Ci clicchi sopra e diventa a dimensioni normali in mezzo allo schermo ... ma non è da sola. Ci clicchi ancora e vedi che si riforma e stavolta nella finestra di internet c'è la figura soltanto. Allora copi l'indirizzo dalla barra degli indirizzi.
Per esempio, la figura che hai postato (sbagliando!) ha l'indirizzo URL che leggi in blu nella riga seguente (e puoi controllare editando questo mio messaggio cliccando "QUOTA"):
=> http://host.presenze.com/showoriginal-57109/image002.gif

Dai, riprova!

-------------
:hello:

P.S.
Nino280: hai provato ad aprire l'ultima immagine che ho 'postato'?
Te la rimetto.
=>twosolutions.png
Per favore, prova a misurare i diametri dei quattro cerchi per vedere se, a parte la bassa risoluzione, hanno i valori giusti (quelli scritti nella stessa immagine).
Grazie! ;)

Ciao, ciao

nino280 04-07-11 20:05

Re: Qualche quiz
 
P.S.
Nino280: hai provato ad aprire l'ultima immagine che ho 'postato'?
Te la rimetto.
=>twosolutions.png
Per favore, prova a misurare i diametri dei quattro cerchi per vedere se, a parte la bassa risoluzione, hanno i valori giusti (quelli scritti nella stessa immagine).
Grazie! ;)
Scusa che significa quest'ultima tua cosa?
Se ti riferisci al comando "misura" che accennavo ieri o l'altro ieri questi funziona solo se misuri un disegno fatto col CAD stesso cioè non so se mi spiego in quel file in quella partitura ma perchè chiaramente data una linea o un cerchio essi hanno all'interno tutta la matematica è il caso di dirlo che fa parte di quella retta o quel cerchio. Dimmi come faccio a misurare un tuo disegno? O non volevi dire queto?
Ormai ci riferiamo quasi sempre a vecchi post, vado ancora una volta
a memoria:
si voleva calcolare l'area di un ellisse ricordi; e allora presi un cerchio di diametro 100 e lo proiettai su un "piano" inclinato di 45°, ottenni un ellisse con diametro max sempre di 100 ma il minore divenne 50
turna col comando "misura" ripeto c'è un nonio cioè il calibro tipico dei tornitori stavolta misuro l'area che fu xxx,yyy.
Tu poi mi hai confermato che quel valore era vicinissimo al tuo calcolo fatto analiticamente, si dice cosi'? Si ci capiamo fatto con le tue formule ed era anche lui xxx,yyy al massimo xxx,yyz
Ciao

nino280 04-07-11 21:15

Re: Qualche quiz
 
Ormai il disegno lo fatto e mi sono sbizzarito:D
Tu (Erasmus) con la calcolatrice grafica avevi trovato due possibilità cerchio blu e quello rosso, facciamo lavorare il Cad:
cerchio piccolo (rosso) mi da 9,891 ((andrò poi a confrontarlo col tuo valore))
Ma stranamente ma non tanto stranamente mi da ancora due casi:
Un caso sempre tangente al cerchio di 100 a quello di 50 e alla linea che tu hai prolungato verso il basso. Si colloca cioè a fianco del cerchio piccolo rosso ma sulla destra della linea a 45°; il suo valore é :19,545
Poi mi da un quarto caso ma più banale:
è tangente al 100 al 50 e alla retta ma all'interno sia del 100 che del 50 e si colloca con un punto in comune con gli altri due, cioè ha il centro sulla stessa retta che unisce i centri del 100 e del 50.
il suo valore é 41,421 che tanto miricorda la radice si 2.

nino280 05-07-11 08:39

Re: Qualche quiz
 
L'ultimo caso che ho descritto e che ho chiamato banale è però anche curioso. E' evidente che questo cerchio entra in quello grande ben stipato 4 volte, che io ho trovato essere 41,421 che mi sembrava ma che poi è radice di 2 - 1, quindi, aiutami Erasmus se dico giusto in generale con r=R(rad2-1) trovo il raggio dei quattro cerchi tangenti fra di loro e tangenti a loro volta internamente ad una circonferenza.
Ciao
Comunque su questo argomento di cerchi tangenti ad altri se ne era parlato tempo fa ampiamente.
Se a qualcuno interessa ci sono molte curiosità; dai cerchi di Ford al setaccio di Apollonio, e tante altre cose.:hello:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...ad.php?t=19636

Erasmus 06-07-11 06:31

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 495062)
... aiutami Erasmus ...

Non posso: parto per qualche giorno senza computer.
Prova a rivolgerti all'Illustrissimo (da parecchio assente da questi paraggi).
E poi c'è sempre l'esimio tuo omonimo Nino II.

Ciao, ciao a tutti.

Hasta la vista, siempre!
----------
:hello:

nino280 09-07-11 21:02

Re: Qualche quiz
 
Qui' tutto langue, con Erasmus in vacanza si ferma tutto, e anche Mizarino deve essere in vacanza, ma è anche giusto un po di svago, buone vacanze a tutti, io per il momento ho in programma un viaggio in Corsica col gruppo tennisti, ma questo a Settembre.
Comunque io vado avanti a fare domande come mi è solito fare:
se in un piano dato una circoferenza di raggio R , se è giusta la formula che con 0,41421R trovo una circonferenza che sta esattamente quattro volte in R, se ci spostiamo nello spazio (del resto se avete letto la discussione "Quattro cerchi tangenti a tre a tre" che ho segnalato, anche li si finiva con il parlare di compattamento di sfere) cioè in 3D ed il cerchio diventa una sfera però in questo una sfera "cava"quante sfere piccole 0,41411R ci entrano? Forse 6 ?
Ritornando al mio Cad so di certo che disegna solidi.
Faccio un breve appunto per chi magari non ha mai disegnato al CAD.
Di solito se per esempio si disegna un cilindro visto in assonometria, si fanno i classici due ellissi che rappresentano le sue basi,congiunti da due rette che sono le altezze generatrici del cilindro. Ma se si prova a sezionare a metà il cilindro e si fa una vista altro ottengo che due punti( se il disegno non è appunto un "solido")
Un passo successivo è disegnare la superficie laterale del cilindro in modo che, se faccio una sezione a metà ottengo un cerchio, voglio dire che è come se si è sezionato una tipica lattina di birra.
Ma il passo successivo ancora è disegnare in geometria solida, in modo che se faccio una sezione ottengo si un cerchio ma con tanto di superficie al suo interno, in pratica è come se seziono una barra solida, un cilindro pieno.
Ripeto ancora una una volta che non sono un Caddista vero e di queste cose ne ho un'idea molto vaga. Non so se si può disegnare una sfera cava per verificare il mio quesito. Se ne avrò voglia ci proverò.
Ciao

nino280 10-07-11 08:57

Re: Qualche quiz
 
Bello è anche lavorare di fantasia ed immaginare di avere realmente la perfetta sfera cava di raggio 100 e di avere anche un po di sfere normali piene di raggio 41,421.
No immaginiamo una semisfera cava come una coppa sempre di 200 di diam e ci buttiamo dentro le sfere più piccole da 82,842 di diam.
La prima andrà a sistemarsi a fondovalle. Fingiamo anche di avere l'attrito essere quasi nullo fra i contatti, la seconda sfera spingerà in alto la prima e si disporranno alla stessa altezza, la terza le disporrà a 120°. Una quarta farà un tertraedro non regolare. Io credevo che spingendola con un dito facesse salire le altre tre e lei toccasse il fondo, ma non è cosi'.
Bisogna fare l'esperimento im un altro modo.
Metto la prima e contemporraneamente le altre tre.
La quinta non avrebbe molta libertà. Si sistemerebbe tangente a tre sfere e naturalamente anche tangente alla nostra coppa perchè ci sta dentro e tutte si toccano a quattro a quattro senza lasciare spazi.
Ciao
P.S. Ieri mi proponevo di disegnare una sfera cava, ma credo che sia stessa cosa disegnare attorno ad una sfera di diam 34,316 che è l'interstizio centrale fra la sfera cava di 100 e le sfere da 41,421.

nino280 11-07-11 15:41

Re: Qualche quiz
 
Ho detto forse delle cose troppo banali? Booh, forse si?
Ma prendiamo per esempio questa frase che ho detto:
La prima andrà a sistemarsi a fondovalle. Fingiamo anche di avere l'attrito essere quasi nullo fra i contatti, la seconda sfera spingerà in alto la prima e si disporranno alla stessa altezza, la terza le disporrà a 120°.
Sarà poi vero? Chi mi dice che la seconda sfera spingerà in alto la prima fino alla sua stessa altezza? Io in realtà di questo non sono proprio sicuro.
Mi potrei sbagliare ma non potrebbe capitare che si incastrano e una rimane più alta dell'altra?
Mi vengono in mente i coni Morse tipici dei tornitori e dei meccanici in generale. Queste serie di coni mashi e femmine numerati 1; 2; 3; 4 . . , hanno una non grande conicità( 5% di conicità che mi da 2.86°) se infilati uno dentro l'altro, vale a dire maschio - femmina, basta un colpetto di una decina di grammi per piantarli. Poi invece per separarli, 10 chili non bastano più, ci vuole un estrattore speciale, che noi chiamavamo "spina" un cuneo insomma.
E' pur sempre vero che nel caso delle sfere abbiamo soltanto due punti di contatto che possono scorrrere , ma che succede? Io non lo so, ma ho il sospetto che si potrebbe riconoscere la seconda sfera infilata anche se di qualche decimo o centesimo di mm più alta.
Ciao
Ripensandoci l'esempio dei coni Morse non calza proprio per niente.
Quando si monta un cono Morse e si dà il tipico colpetto da 10 grammi, non è che subito dopo lo si smonta, ma si va a fare qualcosa, cioè si "lavora". E' nella lavorazione che i coni si incastrano e poi per smontarli non bastano 10 kg ma che dico non bastano 100 kg.:hello:

Erasmus 17-07-11 23:28

Re: Qualche quiz
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 494173)

Quote:

Erasmus (Scrivi 494964)

Porco mondo! :mad:
Il sito di hosting http://host.presenze.com/ mi ha ... tirato un bel bidone :mad:
I link ci sono ancora, ma la pagina che dovrebbe avere la figura PNG che dice l'indirizzo è assolutamente vuota! :o

Bella fregatura questo nuovo sito di hosting http://host.presenze.com/ : dopo qualche giorno ... la tua immagine si squaglia ...
Provare per credere!!!
--------------
:hello:

Erasmus 18-07-11 17:43

Re: Qualche quiz
 
Ho trovato il modo di mostrare che la massima area del quadrilatero articolato di alti lunghi (in ordine ciclico) a, b, c, d con a+c = b+d (in modo che sempre ammette un cerchio inscritto) vale √(abcd) senza usare il calcolo differenziale.
In fondo concettualmente ... è una banalità, anche se ci sono da fare tanti passaggi che in effetti sono "barbosi": si tratta di risolvere una disequazione con radicali (disequazione che, per essere razionalizzata, necessita di ... "smistare" i radicali e di una doppia quadratura, come quando ti fanno ricavare l'equazione cartesiana canonica dell'ellisse partendo dalla definizione).

Allora, ripropongo il quiz in questa veste:

E' dato un quadrilatero articolato di lati che, in senso ciclico, sono lunghi a, b, c, e d con a+c = b+d (e quindi tale da ammettere sempre un cerchio inscritto).
1) Mostrare che l'area del quadrilatero nel caso in cui esso ammette pure un cerchio circoscritto vale
So = √(abcd):
2) Mostrare, senza l'uso di calcolo differenziale, che tale area So è la massima area S possibile per il quadrilatero articolato con lati di quelle date lunghezze.


Ciao, ciao

aspesi 18-07-11 19:39

Re: Qualche quiz
 
Quadrilateri con la massima area (a parità del perimetro):

-con i 4 lati uguali (a+c = b+d = 2a :D)
Tra quadrato e rombo, l'area massima è quella del quadrato:
S = RADQ((a*a)*(a*a)) = RADQ(a^4) = a^2

-con i lati uguali a due a due, non adiacenti (a+b = c+d :D)
Tra rettangolo e romboide, l'area massima è quella del rettangolo:
S = RADQ((a*b)*(a*b)) = RADQ(a^2*b^2) = a*b
(Qui però non c'è cerchio inscritto, perché a + c >< b+d !)

-con i lati adiacenti uguali a due a due (a+c = b+d con a=b c=d )
S_max = RADQ(a^2*c^2) = a*c (a*d ... b*c ..... b*d)

Ciao Erasmus
(scusami se non c'entra con quello che chiedi... buone vacanze :))

Nino

Erasmus 30-07-11 01:52

C'è qualcuno?
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 499495)
E' dato un quadrilatero articolato di lati che, in senso ciclico, sono lunghi a, b, c, e d con a+c = b+d (e quindi tale da ammettere sempre un cerchio inscritto).
1) Mostrare che l'area del quadrilatero nel caso in cui esso ammette pure un cerchio circoscritto vale (abcd);
2) Mostrare, senza l'uso di calcolo differenziale, che tale area (abcd) è la massima area possibile per il quadrilatero articolato con i lati di quella data lunghezza.
]

=> Teorema 1.png
=> Teorema 2.gif
Bye, bye

nino280 01-08-11 20:52

Re: Qualche quiz
 

Voglio verificare il teorema 1( Dal paper di sopra di Erasmus):
cioè voglio verificare che se un quadrilatero è inscritto è anche circoscritto:
prendiamo il già citato quadrilatero articolato o snodato di lati 30 ; 40 ; 50 ; 60
Per mia comodità disegno il quadrilatero in un sistema di assi cartesiani.
Il lato di 30 ha coordinate x=0 ; y=30
chiamo alfa l'angolo fra i lati 30 e 40
dalla formula 5 di Erasmus ricavo:
sen alfa = 2S/ab+cd = 3.794,733/4200 = 0,9035079 = 64,623066° =115,37693° (angolo supplementare)
traccio ora dall'estremità del primo lato (y=30) un segmento a 115,37 . .° lungo 40.
Da questa ultima estremità di coordinate X=36,14 y= 47,143 traccio un cerchio di raggio 60
Dall'estremità in basso del lato di 30 di coordinate x=0 ; y=0 traccio un cechio di r = 50
L'intersezione di questi due cerchi è un punto di coordinate X=48,65; y=-11,538
Congiungo estremità 30 ed estremità 40 con due rette fino a detta itersezione e voilà il nostro quadrilatero snodato di 30 , 40, 50, 60.
Verifico col comando "tritangenza" se il cerchio inscritto è tangente ai 4 lati. Clicco su tre lati, è OK perchè anche il 4° lato è tangente di coseguenza. Bene, per finire la verifica che mi promettevo di fare:
clicco tre estremi del quadrangolo (sempre con lo stesso comando tritangenza) ed anche questa volta il cerchio circoscritto passa essattamente per i quattro vertici della figura.
Erasmus:ok: Il teorema è giusto:D:hello:
P.S. L'aver disegnato il quadrilatero in un sistema cartesiano può essere utile se qualcuno ne avesse voglia di verificare il tutto con la geometria analitica, io non ne ho voglia e non mi ricordo le formule, ma sono sicuro che si può fare, anzi a proposito segnalo le coodinate dei due cerchi inscritto e circoscritto:
cerchio circoscritto R = 32,873 (coordinate del centro x=29,251 Y=15
Cerchio inscritto r = 21,082 (coordinate del centro x=21,082 y =16,667
Ciao

Erasmus 02-08-11 13:35

Quasi come Erone.
 
Bravo Nino, sei forte. ;)

Ma cosa faresti senza il tuo CAD?
Addio cliccare "tritangenza", addio verifiche geometriche :D
------------------------------------------------------------------
Ho generalizzato i discorsi relativi al quadrilatero articolato.
Senza imporre che ammetta il cerchio inscritto (cioè: senza imporre che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due), l'area massima si ha in ogni caso quando il quadrilatero ammette il cerchio circoscritto.

Se a, b, c e d sono le lunghezze dei lati del quadrilatero, quest'area vale:
Smax = (1/4)·√[(–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d)].

Non penso certo di aver trovato qualcosa di originale: tuttavia penso che l'Illustrissimo non lo sapeva; e nemmeno Piotr. :p
Che io sappia, questa nozione (che mi pare notevole) non si insegna in alcuna scuola della Repubblica!

Vediamo se l'Illustrissimo e/o Piotr mi confermano o mi smentiscono.
--------------------
Se diciamo p il semiperimetro (a+b+c+d)/2 , la "mia" formula diventa:

Smax= √[(p–a)(p–b)(p–c)(p–d)]


Si sa – dai tempi di Erone (1° secolo a.C. o 1° secolo d. C.?)– che se a, b e c sono le lunghezze dei lati di un triangolo e p è il semiperimetro (a+b+c)/2, l'area del triangolo vale:

Str = √[p(p–a)(p–b)(p–c)]

La "mia" formula comprende anche questa di Erone come caso limite al tendere a zero della lunghezza di un lato del quadrilatero, [al tendere a zero di d per come sono scritte le formule].

Naturalmente, se a+c = b+d (cioè il quadrilatero ammette anche il cerchio inscitto), si ritrova la formula
Smax = √(abcd).

Bye, bye
------------------
P.S.
Domani vado via di nuovo.
Ciao a tutti,

ANDREAtom 16-08-11 06:16

Re: Qualche quiz
 
Io senza l'uso della calcolatrice non mi ricordo più come si estrae la radice quadrata :o

nino280 16-08-11 15:09

Re: Qualche quiz
 
Io senza l'uso della calcolatrice non mi ricordo più come si estrae la radice quadrata :o

Vediamo, devi fare la radice di 2209; fai finta di fare una divisione normale. Partendo da destra dividi il numero a due a due.
Ottieni 22.09; devi trovare un numero (il massimo) che moltiplicato per se stesso sta nel 22 ed è 4
4x4 = 16 che scrivi sotto il 22 e sottrai.
Ottieni 6 e poi abbassi lo 09
Otieni 609 (porca miseria è più facile a farla che spiegarla):D
Ora raddoppia il 4 e diventa 8
ora trovare un numero x che messo a fianco dell' 8 e motiplicato sempre per x , stia nel 609 , che è 7 cioè 87*7 = 609 giusti e li finisce. Quindi alla fine è 47:hello:

Erasmus 21-08-11 17:36

Re: Quasi come Erone.
 
Ero convinto di aver "postato" in questo thread martedì 16 agosto (di passaggio da casa, per ritornarmene subito fuori).
Ma siccome non mi vedo, vorrà dire che, come altre volte, ho fabbricato il "post", ne ho fatto l'anteprima ... tutto OK, salvo poi dimenticare di inviare effettivamente. :o

Metto allora adesso il "paper" datato 16 agosto che credevo d'aver messo allora.
Contiene ... una dimostrazione della mia ultima affermazione.

Coviene che mi citi (a scanso di equivoci o incomprensioni):
Quote:

Erasmus (Scrivi 503737)
[...]
Ho generalizzato i discorsi relativi al quadrilatero articolato.
Senza imporre che ammetta il cerchio inscritto (cioè: senza imporre che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due), l'area massima si ha in ogni caso quando il quadrilatero ammette il cerchio circoscritto.

Se a, b, c e d sono le lunghezze dei lati del quadrilatero, quest'area vale:
Smax = (1/4)·√[(–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d)].

Non penso certo di aver trovato qualcosa di originale: tuttavia penso che l'Illustrissimo non lo sapeva; e nemmeno Piotr. :p
Che io sappia, questa nozione (che mi pare notevole) non si insegna in alcuna scuola della Repubblica!

Vediamo se l'Illustrissimo e/o Piotr mi confermano o mi smentiscono.
--------------------
Se diciamo p il semiperimetro (a+b+c+d)/2 , la "mia" formula diventa:

Smax= √[(p–a)(p–b)(p–c)(p–d)]
[...]

=> Area del Quadrilatero Circoscrivibile - PNG

Ciao a tutti
:hello:

nino280 22-08-11 08:51

Re: Qualche quiz
 
Da Erasmus e per Erasmus
=> Area del Quadrilatero Circoscrivibile - PNG

Un suggerimento.
Dal momento che ritengo questi tuoi paper molto ma molto interessanti ti suggerisco e prego di scorporarli e metterli in nuova apposita discussione (anche solo copiandoli col nome "quadrilateri circoscrivibili" o simile. Il motivo semplice è come tu sai, che a volte ci e mi capita di voler ritornare sull'argomento anche dopo anni, ora cercare questo argomento in questo thread che ha ormai migliaia di pagine sarebbe un'impresa.
Grazie Ciao.
Se non lo fai tu lo faccio io tanto non dovrebbe essere una cosa lunga.:hello:

Erasmus 22-08-11 20:49

Re: Qualche quiz
 
Quote:

nino280 (Scrivi 509045)
[...] dal momento che ritengo questi tuoi paper molto interessanti ti suggerisco di scorporarli e metterli in nuova apposita discussione (anche solo copiandoli col nome "quadrilateri circoscrivibili" o simile. Il motivo semplice è come tu sai, che a volte ci e mi capita di voler ritornare sull'argomento anche dopo anni, ora cercare questo argomento in questo thread che ha ormai migliaia di pagine sarebbe un'impresa. [...]

Beh: potresti sempre "scaricare" e "conservare" il paper che ritieni interessante.

Comunque, stavolta ti accontento.
Apro un nuovo thread col titolo "Quadrilateri circoscrivibili" e metto anche là quest'ultimo "paper".
....
Fatto!

V. => Quadrilateri circoscrivibili, (by Erasmus, lun 21.08.11)

Ciao, ciao
:hello:

aspesi 25-08-11 17:15

Re: Qualche quiz
 
Un triangolo dentro un altro triangolo

Dato il triangolo ABC con:
AB=4
BC=5
AC=6
si segnano i punti D, E, F
rispettivamente su AC, AB, BC
tali che il triangolo DEF abbia i lati
DE=2
EF=3
FD=4

Quanto vale AD ?

:hello:

Erasmus 30-08-11 12:34

Re: Qualche quiz
 
Quote:

aspesi (Scrivi 510120)
Un triangolo dentro un altro triangolo

Dato il triangolo ABC con:
AB=4
BC=5
AC=6
si segnano i punti D, E, F
rispettivamente su AC, AB, BC
tali che il triangolo DEF abbia i lati
DE=2
EF=3
FD=4

Quanto vale AD ?

NB. Sono rientrato ieri sera (lun. 29.08.11), ma volevo ugualmente dedicarmi al tuo problemino.
Eh, eh! Il problemino è ... simpatico!
Ma mica tanto sbrigativo. :o

Ieri sera credevo di aver trovato una via sbrigativa ... ma poi ho fatto cilecca! :lipssealed:

Si può impostare direttamente nelle incognite:
x = AD; y = BE; z = CF (*)
[con cui sarà poi: CD = 6–x; BE = AE = 4 – y; BF = 5 – z (**) ].
L'impostazione è facile ... ma il manipolare le equazioni è arduo!
[Tre equazioni algebriche di 2° grado: una in x e y, una in y e z e una in z e x].

Ecco qui l’impostazione.
Si possono trovare i coseni degli angoli nei vertici A, B e C dal triangolo ABC ed uguagliarli ai coseni degli stessi angoli pensati angoli rispettivamente dei triangolini ADE, BEF e CFD.

Dal triangolone ABC si trova
(***)
cos(BAC) = (4^2+6^2 – 5^2)/(2*4*6) = 9/16
cos(ABC) = (4^2+5^2 – 6^2)/(2*4*5) = 1/8
cos(ACB) = (6^2+5^2 – 4^2)/(2*6*5) = 3/4
Dai triangolini ADE, BEF e CFD abbiano dunque:
(****)
cos(BAC) = cos(DAE)=> [x^2 + (4–y)^2 – 2^2][2*x*(4–y)= 9/16
cos(ABC) = cos(EBF) = [y^2 + (5–z)^2 – 3^2][2*y*(5–z)= 1/8
cos(ACB) = cos(DCF) = [z^2 + (6–x)^2 – 4^2][2*z*(6–x)= 3/4
Eliminando z dalla 2ª e dalla 3ª di (****) si trova una equazione in y e x da cui si può ricavare y in funzione di x, diciamo y = F(x). Sostituendo nella 1ª y con questa F(x) si ottiene una equazione in x = AD.
Con la mia calcolatrice grafica non sarebbe neanche una cosa molto mostruosa.

Ma ieri sera credevo di aver trovato una via più praticabile (ed elegante) prendendo per incognite non i segmenti ma gli angoli.

Avendo 2 triangoli con i lati noti possiamo trovare gli angoli ai loro vertici (col teorema di Carnot).
Siano dunque:
α = BAC; β = ABC ; γ = ACB
e
δ = EDF ; ε = DEF; η = DFE.
Si ricordi anche che α+ β+ γ = δ+ ε+ η = π (=180°). (I)
Poniamo ora come incognite gli angoli:
x = ADE
y = BEF
z = CFD.

Nino II: ti consiglio di segnare gli angoli sulla figura, se no fai fatica a vedere quel che sto per dire!
Ecco la figura:
Triangolo_nel_triangolo.PNG

Risulta subito – tramite le (I) –
x + δ = γ + z => z – x = δ – γ;
z + η= β + y => y – z = η– β;
y + ε= α + x => x – y = ε– α.

Purtroppo, però, questo sistema non è determinato ... :o

[La terza equazione viene anche sommando le prime due, cambiando di segno e ricordando le (I)].

Ci penserò ancora ...
Nel frattempo cercherò di trovare graficamente la soluzione (ovviamente approssimata, per tentativi con approssimazioni successive).

Ciao ciao
--------------------
:hello:


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