Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

Erasmus 11-11-11 12:13

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 535331)
Non so se mi sono espresso male, ma io ho usato il metodo alla Mizarino, ossia il metodo Montecarlo. Per me, considerare tutti i casi possibili, oppure considerare un gran numero di essi, distribuito uniformemente sull'insieme della totalità dei casi, sono entrambi dei metodi basati sulla forza bruta.

Se mi dite che per metodo basato sulla forza bruta, si considera solo quello che tiene conto di TUTTI i casi possibili, in futuro farò più attenzione a ciò che dico. :o

No, non ti sei espresso male prima! Hai letto male il mio 'post' dopo! :D
Ho detto che è più facile programmare una formula – se c'è e se la si conosce, of course – che fare un programma direttamente numerico, o analizzando tutti i possibili esiti (processo esaustivo, possibile solo se in numero di esiti possibili è finito) per contare quelli "favorevoli" oppure analizzarne un gran numero presi "a caso" (distribuiti uniformemente sull'insieme di tutti i possibili se questi sono equiprobabili, processo alla Montecarlo).
Insomma:
La cosiddetta "forza bruta" consiste nel simulare l'evento ripetutamente in modo da applicare l'assioma della probabilità frequentistica: La distribuzione effettiva degli esiti nella ripetizione di eventi casuali uguali tende alla probabilità al tendere all'infinito del numero di eventi.
-----------------------
@ aspesi
Hai detto che la formula che alla fine ho trovato io è quella giusta.
Io l'ho trovata senza essere troppo sicuro che fosse quella giusta. :o
Alla fine sono andato più per induzione – a partire dall'esame dell'unione di tre insiemi non disgiunti – che per deduzione, perché mi son detto: facciamo qualcosa che sia il più possibile analogo a quel che succede a tre insiemi che si intersecano.
In questo senso (induzione!) mi è stato fondamentale, anzi indispensabile, il risultato ottenuto con la "forza bruta" da astromauh. Come nelle leggi della Fisica: osservato l'esito di qualche evento viene ipotizzata una legge che però sarà accettata per vera solo se verificata senza eccezioni da successive sperimentazioni, ossia (a) provocazioni di eventi analoghi per i quali la legge prevede l'esito e (b) constatazione che l'esito sperimentale effettivo è quello previsto dalla legge.
Tu invece hai dedotto la formula (= la legge) come conseguenza di formule già note (= leggi già assodate nel calcolo combinatorio nel quale sei impareggiabile, i. e. eximius :), almeno qui nel nostro ambiente).
Per favore, vuoi spiegare meglio il processo deduttivo con cui si trova quella formula?
Ti dici che sono "formidabile" (che, etimologicamente, significa che sono "spaventoso").
Sarà anche vero che faccio paura, dal momento che ancora dove starebbe la semplicità della tua formula recursiva io non ho capito!.
Fatto sta che non l'ho capita!.
E non mandarmi a vedere le "sequenze" sull'apposito sito Internet: così non risolvo il mio problema di comprensione, ma dovrei dirti: «Sì, hai ragione!» fidandomi anch'io di un "ipse dixit".

Ciao ciao
----------------
P.S.
Non c'è bosogno che tu mi dica che lanciare un dado alla volta è lo stesso che lanciarli tutti insieme!
Quel che non è lo stesso è esaminare i lanci uno alla volta man mano che avvengono o esaminarli dopo che sono stati lanciati tutti.
Nel primo caso devi andare a probabilità condizionate, nel secondo caso ... te ne freghi dell'effettivo esito e vai a raccogliere tra tutti gli eventi possibili, come quando vai a funghi e distingui i buoni dai cattivi.

astromauh 11-11-11 13:59

Re: Estrazioni casuali
 
Comunque, sono sicuro che il mio programmino darebbe lo stesso risultato anche sul PC di Mizarino, che ha un generatore di numeri random molto efficiente.

Con questo non voglio dire che le formule di Aspesi siano errate, ma probabilmente c'è una approssimazione nei suoi calcoli, maggiore dell'imprecisione del metodo Montecarlo.

Mizarino, sei ci sei batti un colpo!

PS
Credo che potrei anche fare un programma per conteggiare in modo esaustivo, i due miliardi e rotti di combinazioni, solo che non ne ho tanta voglia.

:hello:

aspesi 11-11-11 15:10

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 535474)
Comunque, sono sicuro che il mio programmino darebbe lo stesso risultato anche sul PC di Mizarino, che ha un generatore di numeri random molto efficiente.

Credo che potrei anche fare un programma per conteggiare in modo esaustivo, i due miliardi e rotti di combinazioni, solo che non ne ho tanta voglia.

:hello:

Allora, insisti :mad:

Le 2.176.782.336 combinazioni del lancio di 12 dadi si ripartiscono così:
1 numero = 6
2 numeri = 61.410
3 numeri = 10.838.120
4 numeri = 220.140.360
5 numeri = 993.168.000
6 numeri = 953.029.440
----------------------------
Totale = 2.176.782.336 = 6^12

:hello:

aspesi 11-11-11 15:43

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 535435)
Tu invece hai dedotto la formula (= la legge) come conseguenza di formule già note (= leggi già assodate nel calcolo combinatorio nel quale sei impareggiabile, i. e. eximius :), almeno qui nel nostro ambiente).
Per favore, vuoi spiegare meglio il processo deduttivo con cui si trova quella formula?.

Erasmus, tu mi sopravvaluti...:) specie ora, che gli anni, anche per me, cominciano a mostrare i segni...:(

Tu le formule le ricavi, io normalmente non so farlo.
E quasi sempre mi limito a fare una ricerca con google.
Dopo aver calcolato qualche risultato parziale, facendo esempi con numeri piccoli abbordabili, che si possono trattare "a mano".
In questo caso, la formula io l'ho copiata dal sito dell'enciclopedia delle sequenze,
al quale mi rivolgo spesso:
http://oeis.org/A000920
come ho già detto.

Quote:

Erasmus (Scrivi 535435)
...ancora dove starebbe la semplicità della tua formula recursiva io non ho capito!.
Fatto sta che non l'ho capita!.

La tabella di cui al messaggio 115 è semplice!
Ogni valore indica la probabilità di avere n (1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6) facce distinte lanciando k (da 1 a 15) volte un dado (oppure k dadi una volta).

La prima colonna è banale.
Dopo 1 lancio, la probabilità di avere 1 faccia è 1.
Dopo 2 lanci è 1*1/6
Dopo 3 lanci è (1*1/6)*1/6
ecc....
e quindi per ottenere i valori basta fare:
p(1,k) = p(1,k-1) * 1/6

Gli altri valori si ottengono invece dalla somma di due contributi per tener conto della situazione di partenza precedente (al lancio k-1):
-la probabilità di mantenere lo stesso numero di numeri del lancio precedente (k-1), purché si ripeta uno dei numeri già usciti prima (con frazione n/6) + la probabilità di aumentare di un numero, qualora la situazione presente al lancio k-1 fosse di avere n-1 numeri e con il successivo lancio uscisse un numero non presente prima (frazione (6-(n+1))/6).

Esempio:
Qual è la probabilità di avere 4 numeri distinti sui 6 del dado con 8 lanci?
E' la somma della probabilità di avere 4 numeri dopo 7 lanci moltiplicata per 4/6 + quella di avere 3 numeri dopo 7 lanci moltiplicata per il numero di facce mancanti a 6 in quella situazione, cioè 3, diviso 6.
p(4,8) = p(4,7) * 4/6 + p(3,7) * 3/6

Lo stesso meccanismo (catene di Markov?) è utile in molti altri casi (ad esempio, se si vuole calcolare la probabilità di avere un numero x di teste consecutive con un numero y di lanci di una moneta)

:hello:

aspesi 12-11-11 11:01

Re: Estrazioni casuali
 
Oggi giochiamo con i dadi al 7-11

Le regole sono queste:
Si gioca con due dadi. Si punta 100.
Si tirano la prima volta, e si sommano i due numeri usciti.
Se la somma è 7 o 11, si vince 200.
Se escono 2, 3 o 12 si perde.
Nel caso la somma dei due dadi dia un punteggio differente, si continuano a tirare i due dadi finché:
-esce lo stesso punteggio somma del primo tiro e allora si vince 200
-esce la somma 7 e allora si perdono i 100 puntati all'inizio

Alla lunga, è più conveniente tirare i dadi o scommettere contro?

:hello:

astromauh 13-11-11 14:03

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 535507)
Allora, insisti :mad:

Le 2.176.782.336 combinazioni del lancio di 12 dadi si ripartiscono così:
1 numero = 6
2 numeri = 61.410
3 numeri = 10.838.120
4 numeri = 220.140.360
5 numeri = 993.168.000
6 numeri = 953.029.440
----------------------------
Totale = 2.176.782.336 = 6^12

:hello:

Si, ha ragione, ho calcolato TUTTE le combinazioni, ed ottengo esattamente i
numeri che riporti. :o

Non capisco però, perchè il generatore di numeri random funzioni cosi' male!

Accidenti a Bill Gates! :mad:

astromauh 13-11-11 14:38

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 535819)
Oggi giochiamo con i dadi al 7-11

Le regole sono queste:
Si gioca con due dadi. Si punta 100.
Si tirano la prima volta, e si sommano i due numeri usciti.
Se la somma è 7 o 11, si vince 200.
Se escono 2, 3 o 12 si perde.
Nel caso la somma dei due dadi dia un punteggio differente, si continuano a tirare i due dadi finché:
-esce lo stesso punteggio somma del primo tiro e allora si vince 200
-esce la somma 7 e allora si perdono i 100 puntati all'inizio

Alla lunga, è più conveniente tirare i dadi o scommettere contro?

:hello:


Ma che gioco è?

Non si capisce nulla!

aspesi 13-11-11 14:42

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 536193)
Si, ha ragione, ho calcolato TUTTE le combinazioni, ed ottengo esattamente i
numeri che riporti. :o

:ok:

Quote:

Ma che gioco è?

Non si capisce nulla!
__________________

Mi pare chiarissimo.*
Il 7-11 con due dadi è anche un gioco piuttosto comune.
Chiedi quello che non capisci

:hello:

*
Queste sono le elementari regole:
  • se il punteggio totalizzato dalle due facce dei dadi è 7 oppure 11 il tiratore vince la partita e si dice “Naturale”,
  • se la somma da come risultato 2, 3, oppure 12 il giocatore ha perso e l’evento è si dice “Craps”;
  • se si ottiene invece un 4, 5, 6, 8, 9 o 10 (al primo lancio) il tiratore accumula il punteggio ed ha diritto ad un ulteriore tiro che gli darà la vittoria se viene riconfermato nuovamente quel punteggio, in caso contrario (se ottiene un 7) perderà la partita.
http://www.casino2k.com/gioco-dadi

astromauh 13-11-11 14:59

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 536202)
:ok:



Mi pare chiarissimo.*
Il 7-11 con due dadi è anche un gioco piuttosto comune.
Chiedi quello che non capisci

:hello:

*
Queste sono le elementari regole:
  • se il punteggio totalizzato dalle due facce dei dadi è 7 oppure 11 il tiratore vince la partita e si dice “Naturale”,
  • se la somma da come risultato 2, 3, oppure 12 il giocatore ha perso e l’evento è si dice “Craps”;
  • se si ottiene invece un 4, 5, 6, 8, 9 o 10 (al primo lancio) il tiratore accumula il punteggio ed ha diritto ad un ulteriore tiro che gli darà la vittoria se viene riconfermato nuovamente quel punteggio, in caso contrario (se ottiene un 7) perderà la partita.
http://www.casino2k.com/gioco-dadi

E se viene un 11 al secondo tentativo?

Oppure un 12 o un 3 ?

aspesi 13-11-11 15:07

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 536206)
E se viene un 11 al secondo tentativo?

Oppure un 12 o un 3 ?

Se viene 11 al secondo tentativo, non conta nulla e lo stesso se esce 12 o 3; e il lanciatore tira ancora i due dadi, finché esce o il 7 (perde chi lancia e vince chi scommette contro), o la somma che era uscita al primo lancio 4-5-6-8-9-10 (e allora per le vincite è viceversa quello che ho scritto prima)

astromauh 13-11-11 15:13

Re: Estrazioni casuali
 
Continua a non essere chiaro.

Se al primo tentativo mi esce un 8, ed al secondo tentativo mi esce un 6, cosa succede?

aspesi 13-11-11 15:18

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 536210)
Continua a non essere chiaro.

Se al primo tentativo mi esce un 8, ed al secondo tentativo mi esce un 6, cosa succede?

Tiri ancora, finché esce o il 7 (e allora perde chi lancia e vince chi ha scommesso contro) o viene l'8 (cioè il numero del primo lancio) e allora è al contrarro e si riprende dall'inizio un'altra partita.

astromauh 13-11-11 15:24

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 535819)
Oggi giochiamo con i dadi al 7-11

Le regole sono queste:
Si gioca con due dadi. Si punta 100.
Si tirano la prima volta, e si sommano i due numeri usciti.
Se la somma è 7 o 11, si vince 200.
Se escono 2, 3 o 12 si perde.
Nel caso la somma dei due dadi dia un punteggio differente, si continuano a tirare i due dadi finché:
-esce lo stesso punteggio somma del primo tiro e allora si vince 200
-esce la somma 7 e allora si perdono i 100 puntati all'inizio

Alla lunga, è più conveniente tirare i dadi o scommettere contro?

:hello:

Ricapitolando:

Si lanciano sempre due dadi.

Se la somma dei dadi è 7 o 11 si vince.
Se escono 2, 3, o 12 si perde.

Se esce 4, 5, 6, 8, 9, 10

Si rilanciano i dadi per un numero imprecisato di volte,
fino a quando non esce il risultato iniziale, oppure 7.

Se esce 7 il giocatore perde, se riesce il risultato iniziale vince.

Giusto?

aspesi 13-11-11 15:30

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 536218)
Ricapitolando:


Se esce 7 il giocatore perde, se riesce il risultato iniziale. pareggia.

Non pareggia, ma vince (come se all'inizio fosse uscito 7 o 11)
Fai apposta a non capire?

Ci sono uno che getta i dadi (vince al primo colpo con 7 o 11 o nei successivi colpi se c'è ripetizione del primo lancio) e un altro che scommette contro e vince se esce 2-3-12 al primo colpo o 7 ai successivi.
Conviene tirare i dadi o scommettere contro?

aspesi 13-11-11 15:35

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 536218)
Se esce 7 il giocatore perde, se riesce il risultato iniziale vince.

Giusto?

Sì, tenendo conto che i lanci successivi si fanno solo se al primo lancio non è uscito 2, 3, 7, 11, o 12.

astromauh 13-11-11 15:56

Re: Estrazioni casuali
 
vince=0,49391817 (circa)
perde=0,50608183 (circa)

E' leggermente favorito chi gioca contro colui che lancia i dadi

:hello:

aspesi 13-11-11 16:17

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 536231)
vince=0,49391817 (circa)
perde=0,50608183 (circa)

E' leggermente favorito chi gioca contro colui che lancia i dadi

:hello:

:ok: Infatti il gioco si basa sulla presunzione psicologica che chi lancia, "ritiene" di avere un'abilità di far uscire in prevalenza 7 o 11 al primo colpo che possa compensare il lieve svantaggio matematico. :)

Comunque, i tuoi risultati sono anche stavolta affetti da un errore di circa lo 0,2% (è già sbagliata la terza cifra significativa)

:hello:

astromauh 13-11-11 17:36

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 536238)
Comunque, i tuoi risultati sono anche stavolta affetti da un errore di circa lo 0,2% (è già sbagliata la terza cifra significativa)

:hello:

Ho appena ripetuto la simulazione su un miliardi di casi, e mi da gli stessi risultati (le prime cifre). La cosa strana è che non mi ero mai accorto di quanto sballa il generatore di numeri random.

vince=0,493917431
perde=0,506082569

aspesi 13-11-11 17:44

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 536259)
Ho appena ripetuto la simulazione su un miliardi di casi, e mi da gli stessi risultati (le prime cifre). La cosa strana è che non mi ero mai accorto di quanto sballa il generatore di numeri random.

vince=0,493917431
perde=0,506082569

Il valore esatto è 244/495 = 0,49292929.... periodico
Se non interverrà Erasmus, domani metterò la (non difficile) soluzione.

:hello:

astromauh 14-11-11 05:23

Re: Estrazioni casuali
 
Per prima cosa consideriamo le probabilità di uscita della somma dei punteggi dei due dadi. che sono:

Somma / P.
2.... 1/36
3.... 2/36
4.... 3/36
5.... 4/36
6.... 5/36
7.... 6/36
8.... 5/36
9.... 4/36
10....3/36
11....2/36
12....1/36

La probabilità di vincere con il primo lancio di dadi è 8/36 e quella di perdere 4/36.

Nel restante 24/36 dei casi la somma del punteggio sarà:

4 o 10....P= 6/36
5 o 9.... P= 8/36
6 o 8.... P= 10/36



Se la somma è un 4 o un 10:
vince (3/9) * (6/36)
perde (6/9) * (6/36)

Se la somma è un 5 o un 9:
vince (4/10) * (8/36)
perde (6/10) * (8/36)

Se la somma è un 6 o un 8:
vince (5/11) * (10/36)
perde (6/11) * (10/36)

La probabilità totale di vincita è quindi:

P= 8/36 + (3/9) * (6/36) + (4/10) * (8/36) + (5/11) * (10/36) = 0.4929292929292929



nota:
Se non si vince o si perde con il primo lancio di dadi, nei lanci successivi, gli unici risultati che contano, sono il 7 che fa perdere, ed il numero uscito la prima volta che fa vincere.

Per cui tutti i risultati diversi dal 7 e diversi dal numero precedente non vanno considerati.

Quindi il numero che appare al numeratore della frazione che indica la probabilità rimane invariato, mentre al denominatore c'è il numero dei casi possibili, che non sono più 36, ma che è dato dalla somma dei soli casi possibili.


Mizarino, ma se provi a calcolare la probabilità di vincita con una simulazione sul tuo PC, che risultato ottieni?

Vorrei capire come mai il mio risultato precedente era cosi' sballato. :mad:





:hello:

aspesi 14-11-11 07:54

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 536429)
La probabilità totale di vincita è quindi:

P= 8/36 + (3/9) * (6/36) + (4/10) * (8/36) + (5/11) * (10/36) = 0.4929292929292929

:hello:

:ok::ok:
Tutto perfetto. Niente da aggiungere.

:hello:

aspesi 22-11-11 14:47

Re: Estrazioni casuali
 
Questo è un altro quiz sul lancio dei dadi.
A me pare piuttosto complesso, (anche se il risultato è intuitivo), se si cerca di risolverlo con il classico modo di calcolare i casi favorevoli e metterli in relazione con tutti i casi possibili.

Supponiamo che si possa vincere una certa cifra nel seguente gioco.
Il banco lancia contemporaneamente un determinato numero K di dadi; ad ogni lancio si confrontano i valori di tutte le facce che compaiono e vengono pagati tanti euro quanti sono i valori che si presentano una volta sola.
Se ad esempio K=8 dadi ed il risultato del lancio è 1, 5, 3, 4, 3, 1, 6, 1, la vincita è di 3 euro (perché il 4, 5 e 6 compare una volta, mentre l'1 e il 3 sono ripetuti e quindi annullati).

Che valore di K è meglio scegliere, cioè quanti dadi è preferibile lanciare per massimizzare la vincita?

:hello:

Mizarino 22-11-11 15:24

Re: Estrazioni casuali
 
"A occhio" direi che conviene lanciare 6 dadi ...

Ma veniamo al "metodo".
Suggerirei di vedere il problema in questo modo:
Supponiamo che i 6 numeri di un dado siano 6 caselle (o scatole), e che i dadi da lanciare siano altrettante palline da mettere a caso nelle caselle.
1) Se lancio una pallina i casi possibili sono 6 e naturalmente tutti mi fanno vincere 1€
2) Se lancio due palline i casi possibili sono 6*6 = 36, 6*5=30 sono quelli che mi fanno vincere 2€ e 6 non mi fanno vincere nulla.
3) Se lancio 3 palline, i casi possibili sono 6*6*6=216. Di questi 6*5*4=120 mi fanno vincere 3€, 6 non mi fanno vincere nulla (tre palline nella stessa casella fanno 6 casi "totalmente sfavorevoli) e i restanti 90 mi fanno vincere 1€. Questo è un 90 ottenuto "per differenza", ma vediamo da che ragionamento potrebbe venir fuori:
Una coppia di palline può occupare una delle sei caselle, ma può essere formata in 3 modi diversi (palline 1-2, 1-3, e 2-3): fanno 18 modi possibili, per ognuno dei quali restano 5 modi di disporre la terza pallina. In tutto fa 18*5=90.

Beh, io ho dato lo spunto, adesso continuate voi ... :D

aspesi 22-11-11 15:32

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 540172)
Beh, io ho dato lo spunto, adesso continuate voi ... :D

E' tutto giusto...;)
Certo, adesso bisogna andare avanti :D

Però... c'è qualcosa di incompleto nel risultato...

:hello:

Mizarino 22-11-11 15:44

Re: Estrazioni casuali
 
Di incompleto c'è che non ho "pesato" le probabilità per ricavare la "vincita media attesa"
Nel caso 3, abbiamo per esempio una "vincita media attesa" di (3*120+1*90)/216 = 2.08€ ...

aspesi 22-11-11 16:53

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 540185)
Di incompleto c'è che non ho "pesato" le probabilità per ricavare la "vincita media attesa"
Nel caso 3, abbiamo per esempio una "vincita media attesa" di (3*120+1*90)/216 = 2.08€ ...

Sì, ma il quiz chiede il valore K, cioè il numero dei dadi, che massimizzano la vincita.

Tu hai detto "a occhio" 6: a questo mi riferivo circa la risposta incompleta... che, come hai scritto, si deduce calcolando le vincite medie attese per i vari valori di K (che hai indicato per K=1, K=2 e K=3.

:hello:

Mizarino 22-11-11 18:44

Re: Estrazioni casuali
 
Anche in questo quiz si può applicare una "ricorsività" ...
Partendo dalle possibili configurazioni ottenute per K=3, si aggiunge una pallina (un dado) e si va a vedere cosa può succedere ...
Risultato, con K=4 la vincita media attesa è 3.415€ ...;)

P.S. Correggo un errore da "distastia": il numero giusto è 2.315

aspesi 22-11-11 21:59

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 540256)
Anche in questo quiz si può applicare una "ricorsività" ...
Partendo dalle possibili configurazioni ottenute per K=3, si aggiunge una pallina (un dado) e si va a vedere cosa può succedere ...
Risultato, con K=4 la vincita media attesa è 3.415€ ...;)

Non vorrei che Erasmus, che mi ha confessato di essersi stufato con i quiz sulle probabilità, cambiasse idea e venisse a vedere.... perché, a conferma delle sue affermazioni sull'"alieno che non sbaglia (quasi) mai," questa volta hai probabilmente fatto un errore di sbaglio...:D

La vincita attesa con K=4 è molto più bassa, più di un euro in meno.
E il massimo della vincita viene dopo.

Calcolare i casi favorevoli (da dividere per 6^K per trovare la probabilità) è, secondo me, una faticaccia, ed è facilissimo sbagliarsi.
Molto più semplice è arrivare al risultato corretto da considerazioni dirette sulla probabilità, calcolando l'uscita di una sola volta di un numero e poi estendendo il ragionamento per i 6 numeri del dado.

Magari, tu o Astromauh, se ne avete voglia, potete dare una conferma con una simulazione.;)

:hello:

Mizarino 23-11-11 06:26

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 540323)
La vincita attesa con K=4 è molto più bassa, più di un euro in meno.

Oops, più che un "errore di sbaglio", è un "errore di tasto" ... :D
Si tratta di 2,3148... Ovvero 3000/1296 ...
E naturalmente non è ancora il massimo... ;)

Ma lo sai che con questo quiz stiamo facendo il conto dei microstati di una configurazione elettronica, nella ipotesi che non valga il Principio di Esclusione di Pauli ?... :D

aspesi 23-11-11 09:56

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 540362)
Oops, più che un "errore di sbaglio", è un "errore di tasto" ...
Si tratta di 2,3148... Ovvero 3000/1296 ...
E naturalmente non è ancora il massimo... ;)

Ma lo sai che con questo quiz stiamo facendo il conto dei microstati di una configurazione elettronica, nella ipotesi che non valga il Principio di Esclusione di Pauli ?... :D

:ok: Il massimo si raggiunge subito dopo e rimane uguale per il K successivo. Per poi calare a poco a poco....

Purtroppo no, sono assolutamente ignorante sulla fisica teorica e la meccanica quantistica.

:hello:

aspesi 24-11-11 09:31

Re: Estrazioni casuali
 
Visto che... sono rimasto solo:(, dò subito la risposta.
Il quiz si ottimizza (la vincita, ossia il numero di facce che mediamente compaiono una volta sola è il massimo possibile) scegliendo indifferentemente 5 o 6 dadi da lanciare.

Vediamo di contare il numero delle facce presenti solo una volta in funzione del numero dei dadi che vengono lanciati.

1) K = 1 un dado
Può ovviamente comparire una qualsiasi delle 6 facce.
Casi favorevoli = 6 .......... Vincita media attesa = 6*1/6 = 1 euro

2) K = 2 due dadi
Sui 36 casi possibili, 30 sono favorevoli, mentre gli altri 6 presentano la ripetizione della stessa faccia (1-1; 2-2; ....; 6-6)
Casi favorevoli = 30 ......... Vincita media attesa = 30/36*2 = 1,6666... euro

3) K = 3 tre dadi
Le cose cominciano a complicarsi.... E' utile preparare una tabellina che rappresenti il numero di facce che compaiono (da 1 a 6) in funzione del numero di dadi che si lanciano. A tal fine possiamo riprendere la formula ricorsiva:
p(n,k) = p(n,k-1)*n/6 + p(n-1,k-1)*(6-n+1)/6
e la tabella riportata al messaggio 115 , che qui diventa:

.........1........... 2.......... 3.......... 4.......... 5.......... 6
.......-----........------......------......------......------......------
1....... 6
2........6 ... .......30..........0...........0...........0...........0....
3.... ...6.... .......90.........120..........0...........0...........0....
4.... ...6.... ......210.........720.........360..........0...........0....
5.... ...6.... ......450.........3000........3600........720..........0....
6.... ...6.... ......930........10800.......23400.......10800........720...
7.... ...6.... ......1890.......36120.......126000......100800......15120..
8.... ...6.... ......3810.......115920......612360......756000......191520.
9.... ...6.... ......7650.......363000.....2797200.....5004720.....1905120.
10... ...6.... .....15330......1119600.....12277800....30618000....16435440
11... ...6.... .....30690......3420120.....52470000...177645600...129230640
12... ...6.... .....61410......10383120...220140360...993168000...953029440
13... ...6.... .....122850.....31395000...911710800...5406120720..6711344640
14... ...6..........245730.....94676400...3,741E+09...2,885E+10...4,567E+10
15. .....6..........491490....285012120...1,521E+10...1,518E+11...3,029E+11

Per determinare le facce non ripetute (più di una volta) è ancora necessario valutare in quanti modi diversi può comparire uno stesso numero di facce totali (cioè con quali ripartizioni), quando i dadi che si lanciano sono più di due:
Ad esempio, con K = 3 dadi, i 90 casi in cui si presentano due facce, indicano che un numero è ripetuto e l'altro presente solo una volta (presenza 2,1), mentre le 3 facce sono ovviamente tutte diverse e quindi i casi favorevoli al quiz sono 90*1 + 120*3 = 450.

Proseguendo, si ha che per K = 4 , i casi favorevoli sono per 2 facce (3,1), è escluso (2,2) e sono 210*8/14; per 3 facce (2,1,1) sono 720*2 e per 4 facce (1,1,1,1) sono 360*4. In totale = 3000

Complicandosi un po' la vita, per K = 5 , i casi favorevoli sono per 2 facce (4,1) sono 450*10/30; per 3 facce(3,1,1) 3000*2*60/150 e (2,2,1) 3000*90/150; per 4 facce (2,1,1,1) sono 3600*3 e per 5 facce (1,1,1,1,1) sono 720*5. In totale = 18750

Con il medesimo meccanismo e sempre maggiore difficoltà:spaf:, si arriva alla fine a queste conclusioni:

.K dadi... casi facce singole .. Vincita media
--------- . ------------------- . -------------------
... 1 ...... ...........6 ........................1
... 2 ...... ..........30 ...............1,6666666
... 3 ...... .........450 ..............2,0833333
... 4 ...... ........3000 .............2,3148148
... 5 ...... .......18750 .............2,4112654
... 6 ...... ......112500 ............2,4112654
... 7 ...... ......656250 ............2,3442858
... 8 ...... .....3750000 ...........2,2326532
... 9 ...... ....21093750 ...........2,0931124
.. 10 ..........117187500 .........1,9380670

Allo stesso risultato si può arrivare molto più facilmente con un diverso approccio.

:hello:

aspesi 24-11-11 18:19

Re: Estrazioni casuali
 
Dicevo:

Quote:

aspesi (Scrivi 540762)
Allo stesso risultato si può arrivare molto più facilmente con un diverso approccio.

:hello:

Calcoliamo la probabilità che lanciando un numero qualsiasi K di dadi, esca una sola volta una determinata faccia (numero, es. l'1):
p = Comb(k,1) * 1/6^1 * (5/6)^(k-1) = k * 1/6 * (5/6)^(k-1)

Ad esempio, gettando 10 dadi la probabilità che esca un solo 1 è:
p = 10 * 1/6 * (5/6)^9 = 0,323011

Infatti, uno solo dei 10 dadi deve fermarsi sull'1 (probabilità = 1/6), mentre gli altri 9 dadi devono dare qualunque numero diverso da 1 (ciascuno con probabilità 5/6) e l'unico 1 può essere uno qualsiasi dei 10 dadi lanciati.

Si può dire quindi che, in media, la faccia con il numero 1 fa vincere un importo di euro pari alla probabilità p per ogni giocata di k dadi.

Quello che è valido per il numero 1, vale per un numero qualsiasi, quindi, anche per gli altri valori: ne consegue che, in media, ad ogni giocata si vinceranno 6*p euro.

Basta quindi fare una tabella, calcolando il valore 6*p, che è la vincita attesa, per i vari k:
6 * p = 6 * k * 1/6 * (5/6)^(k-1)

Ad es., per k=6, si ha:
6 * p = 6 * 6 * 1/6 * (5/6)^5 = 2,411265432

che è lo stesso valore trovato molto meno agevolmente con il metodo dei casi favorevoli rispetto a quelli totali.

:hello:

aspesi 30-11-11 16:45

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 535331)
A proposito di cifre decimali, il mio risultato differisce un po' da quello di Aspesi, perchè mi veniva: 43,758 % :hello:

Ho provato anch'io una simulazione con il Qbx e, stranamente, viene anche a me 43,7588%

:hello:

astromauh 01-12-11 10:25

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 541979)
Ho provato anch'io una simulazione con il Qbx e, stranamente, viene anche a me 43,7588%

:hello:

E quindi, cosa ne deduci?

Io ci sono rimasto male con questa storia, perchè mi fidavo dei numeri random di Bill Gates.
Mi sento un po' come un fidanzato tradito. :cry:

aspesi 01-12-11 10:37

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 542232)
E quindi, cosa ne deduci?

Io ci sono rimasto male con questa storia, perchè mi fidavo dei numeri random di Bill Gates.
Mi sento un po' come un fidanzato tradito. :cry:

:D
Non sono in grado di dedurre nulla.
E' probabilmente un limite della funzione di randomizzazione e, in tal caso, o si è in grado di cambiarla, o si accetta l'approssimazione che fornisce

:hello:

Mizarino 01-12-11 13:52

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 542232)
Io ci sono rimasto male con questa storia, perchè mi fidavo dei numeri random di Bill Gates.

Non ho ben capito quale sia stato il problema, ma è certo che non puoi fidarti della semplice funzione "RND" incorporata di un qualsiasi linguaggio e/o compilatore, se vuoi "estrarre" più di un centinaio di migliaia di numeri.
Il generatore in pratica si inserisce in un punto di una sequenza ciclica di 2^32 numeri diversi, compresi fra 0 e 2^32-1, e estrae uno alla volta i numeri successivi della sequenza.
Dopo 2^32 estrazioni, la sequenza si ripete identica. Ma non è questo il danno maggiore.
Il danno maggiore è che se fai due diverse serie di estrazioni di un gran numero (mettiamo un miliardo) di numeri, diventa alta la probabilità che i due "archi" della sequenza ciclica si sovrappongano ... e allora col cavolo che le due serie di estrazioni sono indipendenti fra loro!...
:hello:

Mizarino 01-12-11 15:02

Re: Estrazioni casuali
 
Rettifico quanto scritto sopra:
Quanto scritto sopra vale per il Basic a 32 bit che uso io (PowerBasic).
Per il QuickBasic è molto peggio ... il periodo del generatore RND non è 2^32, ma è 2^24.
Vale a dire che fare un miliardo di estrazioni significa estrarre 60 volte la stessa sequenza di numeri!... ;)

Ecco il codice che lo dimostra:
Codice:

DEFDBL A-Z
RANDOMIZE TIMER
F = 2 ^ 50#
N0 = RND * F: I = 0
N1 = RND * F
N2 = RND * F
DO
  I = I + 1
  N = RND * F
  IF N = N0 THEN
      N = RND * F: I = I + 1
      IF N = N1 THEN
        N = RND * F: I = I + 1
        IF N = N2 THEN EXIT DO
      END IF
  END IF
LOOP
PRINT I

:hello:

aspesi 01-12-11 15:48

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 542332)
Non ho ben capito quale sia stato il problema, ma è certo che non puoi fidarti della semplice funzione "RND" incorporata di un qualsiasi linguaggio e/o compilatore, se vuoi "estrarre" più di un centinaio di migliaia di numeri.
:hello:

Il riferimento è a questo quiz:#97
Abbiamo 12 dadi normali, perfettamente equilibrati.
Li lanci tutti quanti.
Se fra i 12 numeri usciti ce ne sono 6 differenti (sono cioè uscite tutte le 6 facce con i numeri 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6) hai vinto e ti pago 1 euro.
In caso contrario (cioè ci sono meno di 6 numeri diversi, variamente ripetuti), l'euro lo paghi tu a me.

Ci stai a giocare


Con la sua simulazione, Astromauh trovava un risultato (43,758%), diverso di circa lo 0,5 per mille rispetto al valore esatto (43,7815681%) e si (ti) chiedeva se questa approssimazione era compatibile con il generatore random che usa.

:hello:

astromauh 01-12-11 15:50

Re: Estrazioni casuali
 
2^24 = 16.777.216

Non ho capito bene. Supponendo che la frequenza del mio generatore di numeri random sia 2^24, se gli chiedo di estrarre dei numeri casuali tra 1 e 6, dopo 16.777.216 estrazioni mi riproduce nuovamente gli stessi risultati?

:confused:

aspesi 01-12-11 15:54

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 542391)
2^24 = 16.777.216

Non ho capito bene. Supponendo che la frequenza del mio generatore di numeri random sia 2^24, se gli chiedo di estrarre dei numeri casuali tra 1 e 6, dopo 16.777.216 estrazioni mi riproduce nuovamente gli stessi risultati?

:confused:

Mi pare sia proprio quello che ha verificato Mizarino con il suo programma (codice nel messaggio delle 16:02)
Ma è il generatore del quick basic, il tuo potrebbe ripetersi dopo 2^32 non 2^24.

:hello:


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