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Vecchio 21-11-15, 18:32   #631
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

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Sia n > 1
a) In pratica, come si fa (o forse: cosa si fa in pratica) per stabilire se n vettori n-dimensionali sono o no linearmente dipendenti?

b) Dati n vettori n-dimensionali LINEARMENTE INDIPENDENTI,
u1, u2, ..., un
determinare altri n vettori n-dimensionali pure linearmente indipendenti (diciamoli v1, v2, ..., vn)
tali che, per ogni k appartenente a {1, 2, ..., n}, risulti
ukvk ≠ 0 (prodotto scalare diverso da zero per indici uguali)
ed invece, per h e k entrambi appartenenti a {1, 2, ..., n} ma diversi uno dall'altro
uhvk = 0
(prodotto scalare uguale a zero per indici distinti).
Visto che va di moda il "selfie", mi auto-rispondo.
a) Si assumano gli n vettori come linee parallele (righe o colonne) di una matrice [quadrata] M e si calcoli det(M).
"det(M) ≠ 0" ⇔ "i vettori sono linearmente indipendenti"
(Consequentlyy: "det(M) = 0" ⇔ "the vectors are linearly dependent").

b) Sia M la matrice quadrata che ha per colonne (o righe) gli n vettori n-dimensionali linearmente indipendenti
u1, u2, ..., un.

Allora le righe (o le colonne) della matrice aggiunta di M sono n vettori
v1, v2, ..., vn
che soddisfano le condizioni richieste, ovvero
∀ k ∈ {1, 2, ..., n} ukvk ≠ 0
∀ k ∈ {1, 2, ..., n} ∀ h ∈ {1, 2, ..., n} h ≠ k ⇒ ukvh = 0.

NB. Si dimostra che, se det(M)≠ 0, (e ciò implica che nessuna colonna e nessuna riga è il vettore nullo), allora è diverso da zero anche il determinante della matrice aggiunta di M (il che implica che nessuna sua riga e nessuna sua colona è il vettotre nullo).

Ricordo (a beneficio di astromauh ) cos'è la matrice aggiunta di una data matrice quadrata M.
1) Premessa. Data la matrice M di formato n × n, (con n > 1), indichiamo con A(r, s) la matrice di formato (n–1) × (n–1) che si ottiene da M sopprimendone la riga r-esima e la colonna s-esima
(quelle che si incrociano nell'elemento a(r, s) ∈ M).
Diciamo "cofattore di a(r, s)" il numero
c(r, s) = [(–1)^(r + s)]· det[A(r, s)]
[ovvero det[A(r, s)] se r + s è pari ed invece –det[A(r, s)] se (r + s) è dispari].
• Si dimostra che il prodotto scalare di un vettore-linea di M (riga o colonna che sia) per il vettore dei cofattori dei suoi elementi è invariante al cambio della linea. Tale prodotto scalare è, per definizione, il determinante della matrice M .
• Si dimostra altresì che il prodotto scalare di un vettore-linea di M (riga o colonna che sia) per il vettore dei cofattori degli elementi di un'altra linea parallela alla prima è nullo.
2) Definizione. La matrice aggiunta della matrice quadrata M è la matrice quadrata che ha per colonne ordinatamente i vettori dei cofattori delle righe di M.
Brevemente: La matrice aggiunta di M –diciamola AM– è la trasposta della matrice dei cofattori [degli elementi] di M.
3) Corollario_1. Il prodotto [righe per colonne] di una matrice M per la propria aggiunta AM è una matrice diagonale –diciamola D – i cui elementi d(r, s) valgono det(M) se è r = s (ossia sulla diagonale principale di D) ... e [ovviamente] sono nulli se è r ≠ s.
4) Corollario_2. La matrice "inversa di M" [diciamola M^(–1), quella per cui M·M^(–1) = <matrice identità I> e che esiste se e solo se det(M)≠ 0] si ottiene dalla aggiunta AM di M dividendone ogni elemento per del(M).
–––
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Erasmus
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Vecchio 13-12-15, 15:41   #632
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

Codice:
Posto
            S(n) = 1/2 + 3/8 + 5/32 + ... + (2n+1)/2^(2n+1)
ossia 
           S(n) = <Somma, per k da 0 a n, di (2k+1)/2^(2k+1>,
trovare:
a)        S(∞) =     lim   S(n).
                       n ––> ∞
b)        Scriivere  S(n) come funzione diretta di n. 
Più facile:
c) Verificare che
                       10             6n+11
           S(n) = ––––– – –––––––––––––.
                        9          9·[2^(2n+1)] 
–––



P.S. (lun. 14.12.2015 h21:49)
Edito per correggere e rendere visibile quanto prima scritto in "color=pink" (che ora converto in "color=blue")-
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Ultima modifica di Erasmus : 14-12-15 20:49.
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Vecchio 13-12-15, 16:18   #633
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

Quote:
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[code]Posto
S(n) = 1/2 + 3/8 + 5/32 + ... + (2n+1)/2^(2n+1)
trovare:
a) S(∞) = lim S(n).
n ––> ∞

–––
= 1 + 1/9

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-12-15, 18:47   #634
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
S(∞) = 1 + 1/9
Sì, (io avevo in mente 10/9).
Però, ... è troppo facile dare il solo valore (con i mezzi di calcolo automatico di cui si dispone oggi).
Sarebbe più interessante una verifica "teorica", a monte del calcolo numerico (che tu fai fare ad Excell ed io a Grapher).
----------
Supponiamo, più in generale, che la somma da calcolare sia
S(n, m) = 1/m + 3/m^3 + 5/m^5 + ... +(2n+1)/m^(2n+1).
Quale sarebbe allora l'espressione di S(n, m) come funxìzione diretta di n ed m?
[Il quiz in corso è il caso particolare per m = 2].
E quale sarebbe il limite di S(n, m) per n tendente a ∞ – diciamolo S(∞, m) – ?
––––
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Ultima modifica di Erasmus : 14-12-15 20:53.
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Vecchio 13-12-15, 18:55   #635
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

@ aspesi.
1) Perché hai risposto solo al punto a)?
2) Sei sicuro d'aver letto tutto nel mio messaggio ––> # 632?
3) Passato il mal di schiena?
––––
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Ultima modifica di Erasmus : 13-12-15 21:22.
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Vecchio 13-12-15, 20:10   #636
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
@ aspesi.
1) Perché hai risposto solo al punto a)?
2) Sei sicuro d'aver letto tutto nel mia messaggio ––> # 632?
3) Passato il mal di schiena?
––––
1) Perché il resto non lo so fare
2) Sì, ma non mi va di verificare quello che hai scritto in linen o qualcosa del genere (che fra l'altro non ho capito)
3) Un po' meglio (a furia di cortisonici...); dopo le feste farò una serie di analisi e esami.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-12-15, 21:30   #637
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
1) Perché il resto non lo so fare
Il colore era "color=pink" ... si vede che qui hanno una strana idea del colore"rosa"!
L'ho sostituito con "color=blue" (rendendo palese quel che prima era invisibile).

Ti manderò un messaggio privato ...
–––
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Vecchio 20-12-15, 14:44   #638
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

Quote:
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Codice:
Posto
              S(n) = 1/2 + 3/8 + 5/32 + ... + (2n+1)/2^(2n+1)
ossia 
     (*)    S(n) = <Somma, per k da 0 a n, di (2k+1)/2^(2k+1>,
[...] Verificare che
                           10             6n+11 
    (**)    S(n) = ––––– – –––––––––––––.
                            9          9·[2^(2n+1)] 
La verifica è facile ragionando per induzione completa.

a) Prima verifichiamo che la (**) va bene per n = 0 e per n = 1.
Dalla (*) viene:
S(0) = 1/2;
S(1) = 1/2 + 3/8 = 7/8.
Dalla (**) viene:
S(0) = 10/9 – 11/(9·2) = (20 – 11)/18 = 9/18 = 1/2 [come dalla (*)];
S(1) = 10/9 – (6 + 11)(9·8) = (80 – 17)/72 = 63/72 = 7/8 [come dalla (*)].

b) Poi verifichiamo che, se la (**) va bene per n = m, allora va bene anche per n = m+1.

Se la (**) va bene per n = m, ossia se è giusto:
S(m) = 10/9 – (6m + 11)/[9·2^(2m+1)]
allora, essendo S(m+1) = S(m) + (2m+3)/[2^(2m+3)], è giusto anche:
S(m + 1) = 10/9 – (6m + 11)/[9·2^(2m+1)] + (2m + 3)/[2^(2m + 3)] =
= 10/9 – (24m+44 – 18m – 27)/[9·2^(2m+3)] =
= 10/9 – (6m + 17)/[9·2^(2m+3); ossia:
Codice:
                 10         6(m+1) + 11
S(m+1) = –––– – –––––––––––––––.
                  9       9·2^[2(m+1)+1]
Quindi, il fatto che la (**) vada bene fino a n=m comporta che vada bene anche per n = m+1. Ma allora, siccome è già stato verificato che va bene per n = 0 e per n = 1, la (**) va bene per ogni n naturale.
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Ultima modifica di Erasmus : 23-12-15 00:38.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 28-12-15, 07:32   #639
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

Quanto dista l'ortocentro [di un triangolo] dai vertici [del triangolo]?

Formlizziamo:
Nel triangolo ABC siano note le lunghezze dei lati, cioè:
a = BC;
b = CA;
c = AB.
Sia O l'ortocentro di ABC e si ponga
x = OA;
y = OB;
z = OC.
Determinare x, y e z.
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Vecchio 28-12-15, 19:32   #640
astromauh
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical (again)

Quote:
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Quanto dista l'ortocentro [di un triangolo] dai vertici [del triangolo]?

Formlizziamo:
Nel triangolo ABC siano note le lunghezze dei lati, cioè:
a = BC;
b = CA;
c = AB.
Sia O l'ortocentro di ABC e si ponga
x = OA;
y = OB;
z = OC.
Determinare x, y e z.
Ho scritto un programma per rispondere al tuo quesito:


Spero di non aver sbagliato qualcosa...

Perché non l'ho controllato bene.


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