Prova

[Erasmus]

Mettiamo i numeri dispari negli angoli di una "greca" come segue:

3_______5         11_______ 13      19______ 21
 |           |            |            |            |           |      (ecc. ecc.)
 |           |_______|            |_______|          |___   
1           7            9            15       17          23

Adesso immaginiamo che i dispari in alto (3, 5, 11, 13, 19, 21, 27 ...) siano numeratori, e quelli in basso (1, 7, 9. 15, 17, 23, 25 ...) denominatori.
Vien fuori un prodotto di frazioni lungo a piacere. Numerando i tratti verticali della greca da 1 in su, le corrispondenti frazioni di posto n dispari sono del tipo (2n+1)/(2n-1) > 1 quelle di posto pari sono del tipo (2n-1)/(2n+1) < 1.
Possiamo scrivere il prodotto continuo illimitato nel modo seguente:
A) [(3*5)/(1*7)] * [(11*13)/(9*15)] * [(19*21)/(17*23)] * ..... =
= {[(4–1)(4+1)]/[(4–3)*(4+3)]}*{[(12–1)(12+1)]/[(12–3)*(12+3)]}* {[(20–1)(20+1)]/[(20–3)*(20+3)]} * .... =
= [(16 –1)/(16–9)] * [(144 –1)/(144–9)] * [(400 –1)/(400–9)] * ...
Se poniamo:
An = «Prodotto, per k da 1 a n, di {[4*(2k-1)]^2 – 1}/ {[4*(2k-1)]^2 – 9}»
quel prodotto continuo illimitato ci appare la successione {An} definita ricorrentemente come segue:
A1 = 15/7 [NB: 2 < A1 < 3]
Per ogni n intero positivo An+1 = An * {[4(2n+1)]^2 – 1}/ {[4(2n+1)]^2 – 9} (*)
1. An+1 > An
Si tratta di una successione monotona crescente in senso stretto di valor iniziale 2+1/7.

Possiamo, però, scrivere il prodotto continuo anche in quest'altro modo:
B) 3* [(5*11)/(7*9)] * [(13*19)/(15*17)] * [(21*27)/(23*25)] *... =
= 3*{[(8–3)(8+3)]/[(8–1)*(8+1)]}*{[(16–3)(16+3)]/[(16–1)*(16+1)]}*{[(24–3)(24+3)]/[(24–1)*(24+1)]} * .... =
= 3*[(64 –9)/(64–1)] * [(256 –9)/(256–1)] * [(576 –9)/(576–1)] *...
Se poniamo:
Bn = 3 *«Prodotto, per k da 1 a n, di [(8*k )^2 – 9]/ (8*k)^2 – 1}»
quel prodotto continuo illimitatoci appare la successione {Bn} definita ricorrentemente come segue:
B1 = 3*(55/63) [NB: 2 < B1 < 3]
Per ogni n intero positivo Bn+1 = Bn * {[8(n+1)]^2 – 3}/ {[8(n+1)]^2 – 1} (**)
2. Bn+1 < Bn
Si tratta di una successione monotona decrescente in senso stretto di valor iniziale 2+13/21.

E' immediato vedere che:
Per ogni n intero positivo
3. Bn = [(8n+3)/(8n+1)] * An > An;
4 . Bn – An = An * 2/(8n+1).

Le formule 1., 2., 3, e 4. mostrano chiaramente che le due successioni {An} e {Bn} costituiscono una coppia di classi contigue separate dal reale x limite di entrambe le successioni al tendere di n all'infinito; e limite dello stesso prodotto continuo prolungato indefinitamente.

Il Quiz

Dimostrare che, detto x il limite comune di An e Bn per n ––> oo, risulta:
[x – 1/x]/2= 1.
------------------------
Magari Mizarino, (anzi il suo fido computer), in un battibaleno trova:
2,4142135 < x < 2,4142136
per cui x = (circa) 2,42421355 = x'; e che con questo numero si ha:
x' – 1/x' = 1,9999999... = (circa) 2.
Dopo di che decide che non c'è nulla di interessante da dimostrare.

Caro Miza: il limite x preciso mi è saltato fuori come sottoprodotto dallo sviluppo in serie di Fourier di una funzione periodica di periodo 1 a sua volta somma di infinite funzioni del tipo h(x–n) per n da –oo a +oo.
La funzione h(x) è così definita:
Se è x < 0 allora h(x) = 0, altrimenti
se è x = 0 allora h(x) non è definita, altrimenti (ossia: se è x > 0)
h(x) = [sin(PI*x)]/(PI*x).
[Per disegnare con la mia calcolatrice grafica la funzione h(x) ho usato il trucco di scomporla nelle sue parti pari e dispari. Eccolo il trucco:
h(x) = [(1+|x|/x)/2] * [sin(PI*x)]/(PI*x).]

=> Figura allegata

Ovviamente è piuttosto lungo (e tedioso) usare quello sviluppo in serie per dimostrare quel limite.
Da anni, ogni tanto mi "allambicco" per vedere se esiste una dimistrazione diretta più semplice. Niente: non la trovo.
Magari qua qualcuno conosce già quel prodotto continuo e sa come calcolarne il limite (deduttivamente, mica sperimentalmente!)