Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

[astromauh]

valerio baiardo

scusa astrom ma il giallo sul bianco è illegibile.

E' fatto di proposito, in modo che se non vuoi leggere la soluzione, non sei obbligato a farlo.
Per leggere, basta posizionare il puntatore del mouse, sotto il testo, e poi muovere il mouse, tenendo premuto il tasto sinistro (con windows).

[valerio baiardo]

astromauh

E' fatto di proposito, in modo che se non vuoi leggere la soluzione, non sei obbligato a farlo.
Per leggere, basta posizionare il puntatore del mouse, sotto il testo, e poi muovere il mouse, tenendo premuto il tasto sinistro (con windows).

grazie per la dritta.

[Erasmus]

Volevo intervenire ieri mattina, quando l'ultimo messaggio era quello di Mizarino che citerò: ma non ho potuto (anche se sapevo cosa scrivere e già avevo iniziato a scrivere) perché ... sono troppo lento e non disponevo di tempo sufficiente.

Intervengo ora, anche se vedo già una soluzione (benché "oscurata" per facilitare l'omissione della sua lettura).

Mizarino

[...]
Non so se ti vada bene come "algoritmo", ...

Avevo "avvocato" (= lat. advocaveram) Piotr quale giudice.
Mo' lo "evoco":
Piotr: Se ci sei batti un colpo!

Mizarino

1) In un cubo ci sono 12 spigoli. (Ma no! Davvero?... )
2) Gli spigoli del cubo sono orientati lungo una terna di assi ortogonali. Ne consegue che, comunque prendi due spigoli, o sono perpendicolari fra loro, o sono paralleli, oppure sono sghembi (Ma no! Davvero?... ).
3) Prendiamo allora uno spigolo qualsiasi, e, anziché cercare subito gli spigoli a lui sghembi, cerchiamo quelli perpendicolari e quelli paralleli. Sottraendoli dal totale, avremo gli sghembi.
4) Uno spigolo ha quattro spigoli a lui perpendicolari (quelli che incrocia) e tre spigoli a lui (dovrei usare il pronome "esso", ma mi piace personalizzare non solo i gatti, ma anche gli oggetti ...) paralleli. Ne restano allora quattro, che gli sono sghembi. Questi sono gli spigoli opposti, su una stessa faccia, a quelli che gli sono perpendicolari.
5) A questo punto abbiamo quattro coppie di spigoli sghembi, ...

Ogni algoritmo – si spera! – si basa su un ragionamento.
Ma l'algoritmo non è il ragionamento stesso!
Se "a buon intenditor poche parole", può succedere che sia superfluo commentare un algoritmo col ragionamento che ne sta alla base.
Comunque, un commento che spiega l'algoritmo non nuoce: tutt'al più è superfluo.
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Se perfezioni (se completi, lat. si pèrficis) il tuo ragionamento arrivi dritto alla conclusione.
Ci provo io (ma tu sai quanto prolisso sono!)
6) Una coppia di spigoli (sghembi o no) è composta da due spigoli.(Ma no? Davvero?)
7) «Essere "sghembi"» è una relazione simmetrica: (Ma no? Davvero?)
«Se A è sghembo di B, allora B è sghembo di A».
Appunto per questo si chiede il numero di coppie "non ordinate" di spigoli sghembi.
8) Se ordino le coppie, da ciascuna non ordinata ne ottengo due. (Ma no? Davvero?).
Andando ... di spigolo in spigolo, ogni volta trovo 4 spigoli ciascuno dei quali è sghembo con lo spigolo corrente, ossia: spigolo che vai quaterna di coppie di sghembi che trovi – Tu dixisti).
9) In queste quattro coppie, implicitamente il dato spigolo di riferimento è il primo (nunc ego adiungo!). Lui (pardon: (d)esso), in riferimento a qualcuno di quei suoi quattro sghembi, verrebbe per secondo elemento della coppia , (tunc deduco!).
Ergo:
Xs = <numero di coppie di spigoli sghembi>; {Xs è l’incognita da determinare}
S = <numero di spigoli> = 12;
Ss = <numero di spigoli sghembi rispetto ad un dato spigolo> = 4;
Xs = (S* Ss)/2.

Provo ad enunciare un vero algoritmo che si basa sul tuo ragionamento (da me perfezionato).
a) Do, per user name, agli 8 vertici un numero da 1 a 8 nel seguente modo:
Giro sul perimetro d’una faccia numerando i vertici che incontro da 1 a 4. Arrivato al vertice “4”, mi sposto sulla faccia parallela lungo lo spigolo perpendicolare, le giro attorno lungo il perimetro nello stesso verso di prima e numero i vertici che incontro da 5 a 8.
[Come diceva altrove aleph, un’immagine può essere più espressiva di tante parole! Vedi allora la figura allegata].

b) Carico i 12 spigoli in un array di 12 coppie di vertici avendo cura di mettere gli spigoli in fila tale da venir ripartiti in tre quaderne: quelli di una faccia, quelli della faccia parallela e quelli perpendicolari a queste facce.
[1, 2]; [2, 3]; [3, 4]; [4, 1];
[5, 6]; [6, 7]; [7, 8]; [8, 5];
[1, 5]; [2, 6]; [3, 7]; [4, 8].
Ossia:
« Per n da 1 a 4 fa S(n) = [n, (n mod 4)+1];
Per n da 5 a 8 fa S(n) = [n, ((n–4) mod 4)+5];
Per n da 9 a 12 fa S(n) = [n–8, n–4] »

c) Per come ho numerato gli spigoli S(n), dispongo di una loro partizione in tre quaterne in ciascuna delle quali non ci sono coppie di spigoli sghembi – vuoi perché complanari (1ª e 2ª quaterna) vuoi perché paralleli (3ª quaterna). Allora considero solo le coppie:
• con uno spigolo nella 1ª quaterna e l’altro nella 2ª evitando le coppie di spigoli paralleli (riconoscibili per avere i vertici che differiscono di un numero pari);
• con uno spigolo nella 1ª o 2ª quaterna e l’altro nella 3ª evitando le coppie di spigoli incidenti (riconoscibili per avere un vertice comune).

L’algoritmo potrebbe dunque essere il seguente.

Per n da 1 a 4 fa S(n) = [n, (n mod 4)+1];
per n da 5 a 8 fa S(n) = [n, ((n–4) mod 4)+5];
per n da 9 a 12 fa S(n) = [n–8, n–4].
Metti x = 0;
per m da 1 a 8 fa 
  per n da m+1 a 12 fa
    inizio
      metti [a, b]:= S(m);  metti [c, d]:= S(n);
      se (m <5) e ((n>4) e (n<9)) allora 
        se non ((c – a è pari) e  (d – b  è pari)) allora incrementa x di 1;
      se (n>8)  allora
        se non ((a = c) oppure (a=d) oppure (b=c) oppure (b=d)) allora incrementa x di 1
    fine.
Scrivi x.

[astromauh]

Mizarino,
mi hai definito da qualche parte, come "appartenente al Comitato Complicazione Affari Semplici".

Adesso, dammi però, una definizione di Erasmus.

Caro Erasmus, ma se proprio devi dare dei numeri agli elementi del cubo, perchè li assegni ai vertici, visto che il problema verte sugli spigoli?
Mi sembra una inutile complicazione.

Troppo stanco per leggere i dettagli del tuo algoritmo, non ho dormito causa insonnia,
ma preferisco di gran lunga il mio.

Beh, non so se quello che ho scritto nel post # 9 sia da considerarsi un algoritmo oppure un conteggio semplificato, però funziona.

Hai ragione sul fatto che un disegno, aiuta a chiarirsi le idee, osservando un cubo, si nota che 1 spigolo preso a caso è parallelo ad altri 3 , è perpendicolare ad altri 4, ed è sghembo rispetto ad altri 4.

Si nota inoltre che il totale degli spigoli è 1 + 3 + 4 + 4 = 12

Ora siccome il cubo è una figura regolare, se abbiamo osservato questa relazione tra 1 spigolo ed i restanti 11, possiamo essere certi, che questa relazione rimane invariata anche per tutti gli altri spigoli.

Il problema si riduce quindi nell'evitare di considerare più volte la stessa coppia.

Essendo gli elementi che stiamo considerando 12 se ne ricava che le coppie possibili sono ((12 * 12) - 12 ) / 2 = 66

(meno 12 perchè evitiamo di considerare le finte coppie formate da uno spigolo con se stesso x = y , e diviso 2 perchè vogliamo evitare i doppioni, ossia evitare di considerare la coppia x;y diversa dalla coppia y;x)


A = (3 / 11) * 66 = 18 (A: coppie parallele)
B = (4 / 11) * 66 = 24 (B: coppie perpendicolari)
C = (4 / 11) * 66 = 24 (C: coppie sghembe)

Tu Erasmus sei riuscito a far comparire nel tuo algoritmo la funzione MOD, che mi è sembrata indispensabile nel quiz delle noci di cocco, ma che qui mi pare fuori luogo.

Scusami per la critica, ciao.

[Mizarino]

astromauh

Mizarino,
mi hai definito da qualche parte, come "appartenente al Comitato Complicazione Affari Semplici".
Adesso, dammi però, una definizione di Erasmus.

Erasmus è il Presidente !

Fino a questo momento, il ragionamento completo più breve è quello che ho fatto nel post n. 6. Il fatto che poi, per mia coglionaggine, abbia dimenticato una parte degli spigoli paralleli, non modifica la correttezza del ragionamento (basta completare il conto).
Quindi Erasmus Presidente, Astromauh membro del Consiglio Direttivo, Mizarino, tutt'al più, addetto alla raccolta differenziata delle cartacce ...

P.S. Scherzo, Erasmus ha costruito una bella procedura, un vero "algoritmo". Inizialmente avevo anch'io numerato i vertici nello stesso modo, pensando di fare qualcosa di simile, ma poi, visto che ci si arrivava subito "a occhio", ho lasciato perdere...
Però vorrei vedere come uno se la possa cavare con gli spigoli dell'icosaedro ...

[Piotr]

Erasmus

Avevo "avvocato" (= lat. advocaveram) Piotr quale giudice.
Mo' lo "evoco":
Piotr: Se ci sei batti un colpo!

Ci sono, certo che ci sono.
Magari scrivo poco o niente, ma leggere leggo sempre tutto.
Il fatto è che a me piacciono molto le discussioni che portano contributi, piuttosto che le gare a chi scrive la soluzione più bella: ho sempre paura che mettendola troppo sulla competizione, qualcuno "matematicamente timido" potrebbe perdere il coraggio di parlare, cosa che invece riesce a fare se può dire giusto due parole di tanto in tanto.
Poi, insomma, questa discussione mi pare stia procedendo bene: magari per "approssimazioni successive", ma anche le approssimazioni successive sono un metodo che ha cittadinanza, in matematica.

Sono molto orgoglioso di questa sezione: è una "sezione con moderatore" che potrebbe benissimo fare a meno del moderatore. E' davvero un buon segno.

[Erasmus]

Mizarino

Erasmus è il Presidente !

«Chi disprezza compera»

Mizarino

Fino a questo momento, il ragionamento completo più breve è quello che ho fatto nel post n. 6

No: quello che hai fatto nel post #4.
[Detto con tante parole, ma in sé brevissimo:
«Dato uno dei 12 spigoli, degli altri 11 quattro sono a lui incidenti, tre sono a lui paralleli e quindi 11–(4+3)= 4 sono a lui sghembi»].
Ho scritto stanotte, ma era la continuazione di quanto avevo iniziato quando il tuo #4 era l'ultimo del thread.

Per la concisione del risultato, già ho detto a cosa portava dritto dritto il tuo ragionamento

Erasmus

Xs = <numero di coppie di spigoli sghembi>; {Xs è l’incognita da determinare}
S = <numero di spigoli> = 12;
Ss = <numero di spigoli sghembi rispetto ad un dato spigolo> = 4;
Xs = (S* Ss)/2.

Quanto all'algoritmo ...

Mizarino

... , Erasmus ha costruito [...] un vero "algoritmo". Inizialmente avevo anch'io numerato i vertici nello stesso modo, pensando di fare qualcosa di simile...

questo che scrivi non mi stupisce affatto, visto che l'algoritmo che ho scritto era di proposito l'applicazione del tuo ragionamento (però da me "perfezionato" (= completato, lat. perfectum ).

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Ma nell'aprire questo thread avevo detto espressamente che l'intento non era di presentare un quiz (facilissimo), ma quello di riflettere sul discorso della formatività della geometria in quanto, appoggiandosi sulla "visualizzazione", facilitava la transizione dall'intuizione alla dimostrazione rigorosa.
Il particolare argomento può essere affrontato in vari modi (focalizzandoci, per esempio, sui vertici come insiemi di tre spigoli, oppure sulle facce; determinando direttamente il numero richiesto oppure – come fai tu e fa astromauh – sottraendo il numero complementare (di "non sghembi") alle "12 sopra 2"= 66 coppie (combinazioni a due a due) di spigoli).

Se consideri l'algoritmo che ho scritto vedi, per esempio, che esso sarebbe interpretabile anche come algoritmo della soluzione di un problema più generale sui "grafi".
Immagina, per esempio, di disegnare un quadrilatero grande ed un quadrilatero più piccolo dentro quello grande e collegare ogni vertice di uno con il più prossimo vertice dell'altro. [Un tale "grafo" vedresti in prospettiva avvicinandoti ad una faccia dello "scheletro" del cubo, quello che ho mostrato nella figura allegata: gli spigoli sono i "rami" del "grafo" e i vertici ne sono i "nodi". Potresti classificare (per esempio, per analogia, proprio come "incidenti", "paralleli" o "sghembi") due rami del grafo in relazione alla loro mutua posizione. E poi chiederti quante sono le coppie di ciascun tipo.
Ecco che l'essere passati per il cubo, ci permette ancora di focalizzarci sui soli rami (spigoli) o sulle maglie (facce, osservando che le maglie sono tutte di quattro rami) o sui nodi (vertici, osservando che ad ogni nodo arrivano tre rami). Da cui la possibilità di scrivere più algoritmi diversi nella sostanza uno dall'altro e tuttavia equivalenti ...

[astromauh]

Erasmus

Se consideri l'algoritmo che ho scritto, per esempio, vedi che esso sarebbe interpretabile anche come algoritmo della soluzione di un problema più generale sui "grafi".

Avevo intuito che c'era sotto un trucco, sei abbastanza prevedibile.

Propongo io un quiz:

Calcolate il numero di spigoli, paralleli, perpendicolari e sghembi dell'avatar di Nino280.

[nino280]

Se può servire ecco un ingrandimento




Ciao!

[snav orion]

astromauh

Uhm



, mi cederai una tua stelletta (1), perchè non voglio rimanere sottotenente a vita.


(1)

Perchè si possono cedere ?