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Vecchio 14-06-08, 18:29   #1
Erasmus
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Predefinito Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

Ieri ho letto "MatematicaMente", il foglio mensile di Mathesis Verona (che non ha nulla a che vedere col sito "matematicamente.it" e che, come pubblicazione di matematica, è anteriore di almeno 7 o 8 anni dell'apertura di quel sito – piuttosto pressapochistico, detto tra noi).

Siccome è davvero un solo foglio, molta roba per numero non ci sta!

Stavolta c'era un solo articolo.
Era un intervento del prof. Claudio Bernardi (Univ. "La Sapienza", Roma) di carattere didattico. Lamentava che la geometria era insegnata poco, quasi niente quella solida... (o meglio: quella dello spazio).

Poi presentava esercizi e quesiti (non suoi, ma racimolati da varie fonti, specialmente test di ingresso o esami di stato) allo scopo di far vedere come la geometria, avvalendosi della possibilità di "visualizzazione" (anche solo a livello mentale, con la fantasia), era molto formativa potendo favorire il passaggio dall'intuizione (e la certezza psicologica anche se non ancora comprovata da formale prova deduttiva), alla dimostrazione rigorosa.

Tra i quesiti ce n'era uno che – nell'idea di chi l'aveva proposto per primo – era un test di "organizzazione del calcolo".
Il quesito era semplicissimo:
«Quante sono le coppie di spigoli di un cubo rispettivamente appartenenti a rette sghembe?»

-----------------------------------------------------
NB. nello stesso articolo erano precedentemente riportate anche alcune risposte sbagliate alla domanda: «Definisci correttamente il concetto di "rette sghembe"».
Avendo visto che su questo forum arrivano anche liceali, mi permetto di dire che significa "rette sghembe" (sperando che nessuno si offenda perché scopro l'acqua calda).
«Si dicono "sghembe" due rette dello spazio (tridimensionale) se non esiste un piano sul quale stiano entrambe»..
Insomma: rette sghembe = rette non complanari.

Ovviamente, due rette sghembe non hanno punti comune e hanno direzione diversa.
Esse, come coppia, individuano, però, qualcosa: individuano una "giacitira". [La "giacitura" è ciò che hanno in comune piani paralleli]. Infatti esiste un'unica retta perpendicolare a due rette sghembe (e la distanza tra i suoi piedi sulle due rette sghembe è la minima distanza tra un punto di una retta e un punto dell'altra). Allora ogni piano perpendicolare all'unica retta perpendicolare ad entrambe le due rette sghembe è parallelo ad entrambe le rette (a parte due piani della stessa giacitura ciascuno dei quali contiene una retta ed è parallelo all'altra).
--------------------------------------------------------------------------
Per brevità, date due rette sghembe e due segmenti, uno appartenente ad una e l'altro all'altra, dirò "sghembi" i segmenti stessi.

Questo mio intervento, però, non intende "tout court" presentare il quesito "quante coppie di spigoli "sghembi" ci stanno in un cubo", bensì usare questo quesito come spunto per riflettere sul commento dell'autore del quesito (ripreso anche dal prof. Bernardi): "Ornanizzazione del calcolo".

Ecco.
Si potrebbe pensare ad un quesito così:
«Descrivi l'algoritmo secondo te migliore per trovare quante coppie di spigoli sghembi ci sono in un cubo».

Poi, magari, Piotr potrebbe fare da ... giudice "super partes" e mettere in classifica i vari "elaborati" di algoritmi (accorpando quelli che dicono le stese cose anche se con parole diverse e distinguendo quelli veramente diversi).

Una soluzione è quella di individuare tutte le coppie distinte di spigoli sghembi (del nostro cubo) e quindi contarle. Ma penso che Bernardi e l'autore del quesito, per "organizzare il calcolo" intendessero far uso di qualche criterio che permetta di calcolarne il numero senza individuare effettivamente le coppie di spigoli sghembi (almeno: senza individuarle tutte!)

La parola a voi, signori "Rudi Mathematici"!
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 14-06-08 20:23.
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Vecchio 14-06-08, 18:57   #2
Mizarino
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Predefinito Re: Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

Aggiungi il "cubo" anche al quesito scritto in blu all'inizio, altrimenti il lettore rimane (come sono rimasto io) un po' confuso ...
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Vecchio 14-06-08, 20:21   #3
Erasmus
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Predefinito Re: Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

Quote:
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Aggiungi il "cubo" anche al quesito scritto in blu all'inizio, altrimenti il lettore rimane (come sono rimasto io) un po' confuso ...
Hai ragione.
Grazie dell'avvertenza,
...
Fatto!
Ciao.
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Vecchio 15-06-08, 09:04   #4
Mizarino
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Predefinito Re: Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

Questa volta sarò prodigo e non taccagno...
Non so se ti vada bene come "algoritmo", ma, trattandosi del cubo, io ragiono così:
1) In un cubo ci sono 12 spigoli. (Ma no! Davvero?... )
2) Gli spigoli del cubo sono orientati lungo una terna di assi ortogonali. Ne consegue che, comunque prendi due spigoli, o sono perpendicolari fra loro, o sono paralleli, oppure sono sghembi (Ma no! Davvero?... ).
3) Prendiamo allora uno spigolo qualsiasi, e, anziché cercare subito gli spigoli a lui sghembi, cerchiamo quelli perpendicolari e quelli paralleli. Sottraendoli dal totale, avremo gli sghembi.
4) Uno spigolo ha quattro spigoli a lui perpendicolari (quelli che incrocia) e tre spigoli a lui (dovrei usare il pronome "esso", ma mi piace personalizzare non solo i gatti, ma anche gli oggetti ...) paralleli. Ne restano allora quattro, che gli sono sghembi. Questi sono gli spigoli opposti, su una stessa faccia, a quelli che gli sono perpendicolari.
5) A questo punto abbiamo quattro coppie di spigoli sghembi, ma quante altre ce ne sono, che non coincidono con una già considerata ? Qui ci dovrei pensare per un po', e non ne ho tanta voglia... Ritornerò ...
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Vecchio 15-06-08, 13:39   #5
astromauh
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Predefinito Re: Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

Ventisei.

Perchè ...

Ho considerato che dati N elementi le combinazioni di coppie, non ripetitive sono:

(N ^ 2 - N) / 2 + N

e che nel cubo 1/3 delle coppie di spigoli sono sghembi, per cui

Sghembi = ((N ^ 2 - N) / 2 + N) / 3

Essendo N = 12

Sghembi = 26

In altre parole, invece di considerare ciascun spigolo con i restanti 11, ho trovato più semplice considerare il confronto di ciascun spigolo, con 12 spigoli, compreso quindi se stesso, in questo modo ciascun spigolo, ha 4 spigoli paralleli, 4 spigoli perpendicolari e 4 spigoli sghembi.
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Ultima modifica di astromauh : 15-06-08 16:14.
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Vecchio 15-06-08, 17:33   #6
Mizarino
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Predefinito Re: Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

Provo a seguire la stessa logica di prima, ovvero il metodo di "togliere le coppie non sghembe", ma tanto vale partire daccapo ...

1) In tutto in un cubo ci sono 12 spigoli, quindi le possibili diverse coppie sono 12*11/2 = 66
2) Quante di queste sono fatte da spigoli paralleli ? Ogni faccia ha due coppie di lati paralleli, le facce sono 6, quindi abbiamo 12 coppie di spigoli paralleli.
3) quante coppie sono fatte da spigoli perpendicolari ? Due spigoli perpendicolari individuano univocamente un vertice del cubo, ma ogni vertice corrisponde a tre coppie di spigoli perpendicolari.
I vertici sono otto, quindi ci sono 24 coppie di spigoli perpendicolari, diverse fra loro.
4) Allora in tutto abbiamo 36 coppie "non sghembe", per cui ne restano 30 sghembe.
Mi pare sia convincente ...

Ultima modifica di Mizarino : 15-06-08 17:36.
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Vecchio 15-06-08, 17:53   #7
astromauh
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Predefinito Re: Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

Quote:
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Ogni faccia ha due coppie di lati paralleli, le facce sono 6, quindi abbiamo 12 coppie di spigoli paralleli.
Uhm

Le coppie di lati paralleli, sono di più, perchè non debbono essere necessariamente sulla stessa faccia, secondo me sono 14.

Se è la mia soluzione che risulterà corretta, mi cederai una tua stelletta (1), perchè non voglio rimanere sottotenente a vita.


(1)
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Ultima modifica di astromauh : 15-06-08 18:05.
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Vecchio 15-06-08, 18:46   #8
Mizarino
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Predefinito Re: Quante coppie di spigoli sghembi in un cubo?

Quote:
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Uhm
Le coppie di lati paralleli, sono di più, perchè non debbono essere necessariamente sulla stessa faccia, secondo me sono 14.
Più che giusto! Ci sono sei coppie di spigoli paralleli situati sui piani diagonali.
Se li togliamo scendiamo a 24!
Ma la stelletta non te la do perché avevi sbagliato anche tu ...
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Vecchio 15-06-08, 22:05   #9
astromauh
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Predefinito meglio tardi che mai

Mi sono confuso, perchè pensavo che il numero di coppie di spigoli paralleli, dovesse essere uguale a quello delle coppie perpendicolari e a quello delle coppie sgembe.

In realtà, ogni spigolo ha 3 spigoli paralleli, mentre ha 4 spigoli perpendicolari e 4 spigoli sghembi.

Essendo N = numero degli spigoli = 12
Le coppie di spigoli possibili sono complessivamente :

(N ^2 - N)/ 2 = 66

Siccome ogni spigolo ha 3 spigoli paralleli il numero di coppie di spigoli
paralleli è :

(3 + 2 + 1) * 3 = 18

che sottratto al numero complessivo e diviso 2 da :

66 - 18 = 48 / 2 = 24

Che è sia il numero delle coppie di spigoli sghembi che di quello delle coppie di spigoli perpendicolari.



Ad ogni modo mi ero avvicinato al risultato corretto più di Mizarino,
ed è questo quello che conta.
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Ultima modifica di astromauh : 15-06-08 22:23.
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Vecchio 15-06-08, 22:39   #10
valerio baiardo
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Predefinito Re: meglio tardi che mai

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Mi sono confuso, perchè pensavo che il numero di coppie di spigoli paralleli, dovesse essere uguale a quello delle coppie perpendicolari e a quello delle coppie sgembe.

In realtà, ogni spigolo ha 3 spigoli paralleli, mentre ha 4 spigoli perpendicolari e 4 spigoli sghembi.

Essendo N = numero degli spigoli = 12
Le coppie di spigoli possibili sono complessivamente :

(N ^2 - N)/ 2 = 66

Siccome ogni spigolo ha 3 spigoli paralleli il numero di coppie di spigoli
paralleli è :

(3 + 2 + 1) * 3 = 18

che sottratto al numero complessivo e diviso 2 da :

66 - 18 = 48 / 2 = 24

Che è sia il numero delle coppie di spigoli sghembi che di quello delle coppie di spigoli perpendicolari.



Ad ogni modo mi ero avvicinato al risultato corretto più di Mizarino,
ed è questo quello che conta.
scusa astrom ma il giallo sul bianco è illegibile.
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Lunga vita e prosperità ...............
valerio baiardo non in linea   Rispondi citando
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