Ammissione per la scuola Normale superiore di Pisa, anno accademico 1960-1961

[Angus89]

Vi propongo un problema da me risolto (credo solo parzialmente), preso dal test di ammissione per la scuola Normale superiore di Pisa, anno accademico 1960-1961. Il problema è:

In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da r, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due A e B, sulla circonferenza, in modo che la somma della base AB e della relativa altezza sia uguale a un dato segmento misurato da a, supponendo a<2r .

Partendo dal presupposto che io non conosco la goniometria e la trigonometria, ma soltanto conosco le funzioni seno e coseno, ho risolto questo problema come illustrato nell’immagine. Credo che la parte matematica risulti abbastanza chiara e altrettanto quella grafica. Quello che voglio sapere è se è possibile sviluppare ancora di più la mia soluzione. La mia soluzione è rappresentata dall’ultima disequazione, se l’angolo α soddisfa la disuguaglianza, allora è dimostrata la tesi del problema, altrimenti non lo è. Quello che voglio sapere è se si può passare da questa forma alla determinazione dell’angolo α, magari cambiando il segno < con =, stabilendo il limite per cui non è valida la disuguaglianza, trovando α e poi ponendo l’angolo in C minore del limite per cui non è valida la disuguaglianza cioè α. Spero che qualcuno mi abbia capito e mi aiuti!!!

[Mizarino]

Ma non posso proprio usarla la funzione tangente ?

Perché se me la lasci usare la soluzione la trovo subito.

Detto alfa la metà dell'angolo al centro che definisce il triangolo, si ha, assumendo r = 1 (solo per comodità espressiva):

2sin(alfa) + cos(alfa) = a

Ora mi ricordo che, quando ...anta anni fa ero al liceo scientifico, ho studiato che le equazioni in sin(alfa) e cos(alfa) si risolvono usando le identità:

sin(alfa) = 2t/(1+t^2)
cos(alfa) = (1-t^2)/(1+t^2)

dove t = tan(alfa/2)

ne deriva l'equazione di 2°grado:
(a+1)t^2 - 4t + (a-1) = 0
che risolta dà:

t = [2 +/- radice(5-a^2)]/(a+1)

l'intervallo possibile per a è 1-2, e quello accettabile per alfa è 0-90° , per cui l'intervallo accettabile per t è 0-1, il che ci porta a concludere che delle due solo la soluzione col segno meno è accettabile per il problema, e rappresenta la soluzione generale.

Per esempio, se a = 1.5 (ovvero 1.5r nelproblema originale), si ha
t = [2 - radice(5-2.25)]/2.5 = 0.1366748
alfa = Atan(2t) = 0.26683 rad = 15.28°

[Angus89]

Kapito!
Io non ci sarei potuto arrivare perkè non konosco la goniometria... ho già scritto che a stento conosco le funzioni seno e coseno...credi che comunque la mia soluzione fosse accettabile?

[Mizarino]

Angus89

Kapito!
...credi che comunque la mia soluzione fosse accettabile?

Temo che nella tua soluzione tu sia partito col piede sbagliato, perché hai scritto:
CH/CB = [SIN(alfa)]/2, mentre è:
CH/CB = SIN(alfa/2), e così per l'altro angolo.
Il seguito non lo ho più guardato ...

[Angus89]

ok ho capito...
grazie di tutto...

[Yanakuro]

Salve a tutti !!!
Anche io mi sono trovato con questo problema, ma non ho proceduto con seno coseno o quant' altro...
Premesso che sono uno studente di prima e che quindi è molto probabile che sbagli, vorrei scrivere qui la mia soluzione per capire dove sbaglio il ragionamento...

Semplicemente, dalla disuguaglianza a<2r, e dall' uguaglianza AB+h=a, ho ottenuto che il tringolo da disegnare debba avere AB+h<2r. Giusto ?
A questo punto, ho notato che h, essendo altezza del triangolo, non potrà mai essere uguale al raggio ( il piede della perpendicolale K non toccherà mai la circonferenza ). L'unica varibile che ci interessa a questo punto è AB... semplicemente, per ottenere la soluzione del problema ho supposto che il triangolo debba avere AB minore o al massimo uguale a r...

In effetti, mi sembra troppo facile per essere questa la soluzione... si deve obbligatoriamente usare goniometria e trigonometria per il problema ?

[Erasmus]

Non c'è bisogno di usare funzioni circolari, Miza!

Detta b la base ed h l'altezza, sai che (b/2)^2 + h^2 = r^2, ossia:

b =2 (r^2 – h^2)^1/2

Allora la somma è s = h + 2 (r^2 – h^2)^1/2.

Per h = 0 viene s = 2r.
Per h = r viene s = r.
Al variare di h tra 0 ed r, c'è un massimo di s maggiore di 2r. Infatti, partendo da h=0, inizialmente h cresce più in fretta di quel che cala b: quindi per certi h è s > 2r. Ma ci deve essere anche un h al di sopra del quale risulta 2r > s >r.

Occorre, dato a, che sia s = a.

Mi pare che il succo del problema stia allora nel vedere che significa la condizione a <2r.

Senza fare derivate, se risolvi l'equazione in h :

h + 2(r^2 – h^2)^1/2 = 2r

trovi h1 = 0 e h2 = 3r/5.

Vuol dire che per avere s nminore di 2r devi stare con h maggiore di 3r/5.

Dato s=a, hai una sola soluzione per a compreso tra r e 2r: quella con h compreso tra 3r/5 ed r.

[Mizarino]

Erasmus

Non c'è bisogno di usare funzioni circolari, Miza!

Non ho mai detto che ce ne fosse bisogno ...

[Erasmus]

Mizarino

Non ho mai detto che ce ne fosse bisogno ...

Permalosetto, eh ?!
Avevi, però, chiesto il permesso di usare la tangente – di metà dell'angolo al vertice (che è il centro del cerchio) – .

E va beh. Sbagliato destinatario. [Ti chiedo unilmente scusa, Miza ]

Yanakuro

[...] si deve obbligatoriamente usare goniometria e trigonometria per il problema ?

NB per Yanakuro : le funzioni circolari sono proprio "seno, coseno e tangente", quelle usate anche in trigonometria (ma non solo).
[Lascia perdere la "goniometria"].

[Erasmus]

Negli anni 90 l'ammissione alla Normale di Pisa aveva un compito scritto ben più difficile!

Ecco, per esempio, uno dei 6 quesiti della prova scritta dell'esame di ammissione alla Normale dl 1994:


[[N° 5 del Test d'Ingresso per l'anno accademico 1994/95]
Consideriamo un triangolo e dividiamo i suoi lati in n parti uguali mediante n-1 punti su ciascun lato. Congiungiamo ciascun vertice con uno dei punti così ottenuti sul lato opposto, ottenendo 3 segmenti (corde del triangolo passanti ciascuna per un vertice). Si dimostri che se n è primo maggiore di 2 allora le tre corde si incontrano a 2 a 2 in 3 punti distinti (e giammai tutte in un solo punto).