Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[aspesi]

nino280

E' giusto?
Ciao

Buonanotte.

Perfetto.

Sì, con geogebra penso sia simile a quelli che abbiamo fatto prima.
Ma risolvendolo analiticamente a me è sembrato ostico, come dice astromauh sono passato attraverso le varie aree.
x=5,644826493

Vedo adesso che la soluzione esatta di chi ha proposto il problema è
x = 13*[Radq(2521) - 41] / [Radq(2541) - 29]

[astromauh]

Questo quiz è troppo difficile.

[nino280]

Si dai, parliamo un pochino di GeoGebra.
Lo adopero da 4 o 5 anni ma non posso dire che lo conosco appieno.
Se dovessi dare una percentuale approssimativa direi che lo conosco al 20% circa.
Io avevo prima che lo adoperassi un sistema che era almeno 10 volte più potente, più performante, ma poi non mi funzionò più e ripiegai per Geo.
Alcuni esempi di questa sua inferiorità rispetto al mio vecchio sistema, vabbè diciamolo il sistema era il CATIA
Geo non tratta le superfici, le Nurbs, non tratta curve e superfici di Bezier, le Spline, le proiezioni, le tritangenze e tanto altro ancora che non sto li ad elencare.
Ma proviamo anche fare un paragone con i programmini o i sistemi o con la forza bruta come a volte voi la chiamate e come diceva l'altra sera Astromauh, lui ne va fiero.
Io penso che sotto sotto anche io in un certo qual modo, "programmo".
Infatti così come Astromauh lavora con le variabili, anche io lavoro con le variabili, ed il mio pallino, penso, altro non è che una variabile.
Ma con un grosso vantaggio a favore di Astromauh.
Lui ha, credo, l' If Then o qualcosa del genere la cosiddetta condizione, che se traduco dovrebbe essere "Se Allora"
E poi Se Allora, Allora Print.
E' super comodo secondo il mio punto di vista.
E io cosa faccio non avendolo.
Mi sono fatto venire l'epicondilite al polso e l'artrosi all'indice a forza di stare ore e ore con li dito pigiato sulla frecciulilla che mi muove il pallino affinché due valori coincidano e anche gli occhi mi si gonfiano come accennavo ieri sera
Dicevo che conosco Geo con non di più del 20% del suo potenziale, ed è vero.
Però ogni volta ci faccio una piccola aggiuntina e dall'altra sera sono al 21% Parliamo proprio di quest'ultimo Quiz.
Io devo tenere sott' occhio due variabili, quella del quadrilatero più la somma dei due triangoli che sommati devono essere uguali all'area del quadrilatero. Non ho l'If Then (non so nemmeno come va scritto) ma è chiaro che mentre vario il pallino mi variano le tre Aree.
Ma ad ogni variazione devo fare una somma, ma io la penna non la devo adoperare.
E allora ho trovato un funzione molto buona. Si chiama "Case " che se io, faccio un esempio, ho due segmenti che ho chiamato P e Q sul disegno, oppure due Aree che ho chiamato T1 e T2 (sono le aree dei triangoli) gli dico, sommami T1 a T2
Cosi facendo non devo fare le somme perché me le fa lui, e allora si che tengo sott'occhio il valore dell'area del quadrilatero con la somma T1 + T2.
Quando i valori cincidono, Stop, Finito.
Print, no scherzavo print non ce l'ho.
Ciao

[aspesi]

astromauh

Questo quiz è troppo difficile.

E' complicatissimo.

[Erasmus]

astromauh

Questo quiz è troppo difficile.

aspesi

E' complicatissimo.

A me non pare particolarmente difficile!
Forse non parrà difficile nemmeno a voi se imboccate la strada che ho imbocato io (partendo dall'osservare che ABD deve essere isoscele sulla base AB (ed avere altezza 12).
Non so come aspesi abbia impostato la soluzione del problema (cioè con quale procedimento).

E non capisco perché andare ad imbarcare i triangolini FCG ed FGD (del tutto estranei al testo del problema!).

Io ho diviso il quadrilatero [viola] ABFE nei due triangoli ABF e AFE.
L'area celeste è già divisa nel due triangoli BCF ed EFD.
Ho poi espresso le aree di questi quattro triangoli in funzione di x e quindi ottenuta una sola equazione in x che è appunto
Area(ABF) + Area(AFE) = Area(BCF) + Area (EFD) [essendo ogni area una espressione nella sola x].

Per il calcolo delle quattro aree è fondamentale tener conto del fatto che l triangolo ABD è isoscele sulla base AB perché la distanza di D da AC è 12 (essendo l'altezza relativa al lato lungo 14 del triangolo ACD di lati 13, 14 e 15 e perciò di area 84). L'area di ABD è dunque 10·12/2 = 60.

Per trovare le aree di BCF e di ABF ho poi ragionato come segue.
• Sia H l'intersezione della parallela per E a BD con AC.
Allora il triangolo AHE è pure isoscele perché simile al triangolo ABD.
La sua base è dunque
AH =(10/13)x
e la sua altezza (relativa ad AH) – diciamola h – è
h = (12/13)x.
Di conseguenza nel triangolo HCE (che risulta simile al triangolino BCF) abbiamo
HC = 14 – (10/13)x,
Allora l'altezza del triangolino BCF – diciamola k – è.
k = h·BC/HC = (12/13)x · 4/[14 – (10/13)x] = 24x/(91 – 5x).

Allora trovo
Area(BCF) = 4k/2 = 48x/(91 – 5x);
Area(ABF) = 10k/2 = 120x/(91 – 5x);

[NB: se due triangoli hanno la stessa alteza, il rapporto tra le loro aree è uguale al rapporto delle loro basi, per cui potevo fare
Area(ABF) = (10/4)Area(BCF).]

• L'area di AFE la trovo sottraendo all'area di ACE – che è 14·h/2 = 7.(12/13)x =84x/13 – le aree di BCF e ABF [appena trovate]. Risulta
Area(AFE) = (420/13)·x(13–x)/(91 – 5x).
Infine l'area di EFD è il prodotto del rapporto [(13 – x)/x] per l'area AFE, ossia
Area(EFD) = [(13 – x)/x]·Area(AFE)
= (420/13)·[(13–x)^2]/(91 – 5x).
Per controllo, quest'ultima area si ottiene anche sottraendo all'area di ABD (che vale 60) l'area di ABFE che è
Area(ABFE) = Area(ABF) + Area(AFE).

Pertanto la richiesta che sia
Area(ABFE) = Area(BCF) + Area(EFD)
conduce all'equazione
48x/(91 – 5x) + (420/13)·[(13–x)^2]/(91 – 5x) = 120x/(91 – 5x) + 420/13)·x(13–x)/(91 – 5x)
che (semplificata e ridotta in forma canonivìca) equivale a:
70·x^2 – 111·13·x + 35·13^2 = 0
ovvero
(x/13)^2 – (111/70)·(x/13) +1/2
le cui soluzioni sono
x = 13·[111 ± √(111^2 – 2·70^2)]/140 = 13·[111± √(2521)]/140
cioè
x = 13·[111 – √ (2521)]/140 ≈ 5,64482649319339 oppure x = 13·[111 + √ (2521)]/140 ≈14,96945922109235
Ma la seonda soluzione è da scartare (non è cioè soluzione del problem, dsovendo essere E un punto del segmento AD)..
––––

[aspesi]

Erasmus

A me non pare particolarmente difficile!
Forse non parrà difficile nemmeno a voi se imboccate la strada che ho imbocato io (partendo dall'osservare che ABD deve essere isoscele sulla base AB (ed avere altezza 12).

Pertanto la richiesta che sia
Area(ABFE) = Area(BCF) + Area(EFD)
conduce all'equazione
48x/(91 – 5x) + (420/13)·[(13–x)^2]/(91 – 5x) = 120x/(91 – 5x) + 420/13)·x(13–x)/(91 – 5x)
che (semplificata e ridotta in forma canonivìca) equivale a:
70·x^2 – 111·13·x + 35·13^2 = 0
ovvero
(x/13)^2 – (111/70)·(x/13) +1/2
le cui soluzioni sono
x = 13·[111 ± √(111^2 – 2·70^2)]/140 = 13·[111± √(2521)]/140
cioè
x = 13·[111 – √ (2521)]/140 ≈ 5,64482649319339 oppure x = 13·[111 + √ (2521)]/140 ≈14,96945922109235
Ma la seconda soluzione è da scartare (non è cioè soluzione del problema, dovendo essere E un punto del segmento AD)..
––––

Non avevo capito che ABD deve essere isoscele sulla base (pur avendone calcolato subito l'altezza, dopo aver visto con Erone che l'area è 60)

[nino280]

aspesi

Non avevo capito che ABD deve essere isoscele sulla base (pur avendone calcolato subito l'altezza, dopo aver visto con Erone che l'area è 60)

Se tu osservavi meglio il mio disegno del giorno 12/12, il fatto che il triangolo era isoscele era ben marcato.
Ciao

[astromauh]

aspesi

Non avevo capito che ABD deve essere isoscele sulla base (pur avendone calcolato subito l'altezza, dopo aver visto con Erone che l'area è 60)

Io stavo per chiedertelo se quel triangolo era isoscele così come sembrava dal disegno, ma poi ho capito che lo era. Guarda l'immagine che avevo postato, dove ho scritto

sqrt(12^2 + 9^2) = 15

Questa è la conferma che quel triangolo è proprio isoscele.

[aspesi]

nino280 e astromauh, è vero, avete verificato che è isoscele e, come ha considerato implicitamente Erasmus, in questo modo i calcoli sono relativamente più semplici.
Però non era specificato nel testo (anche se risultava dai valori delle lunghezze dei lati) e non me ne sono accorto.

Infatti io sono pervenuto al risultato in modo molto più laborioso e solo imponendo un valore di un'area come se fosse noto e in base a questo determinavo x, il cui valore veniva poi migliorato per successive approssimazioni (variando l'area che avevo considerato come fosse nota) fino ad ottenere la precisione che mi interessava.

[aspesi]

Apollonio e il teorema della mediana