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Vecchio 14-03-19, 12:18   #3341
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Io, visto che i quadrati dovevano finire, come ultima cifra, per 0 - 1 - 4 | 9 - 6, ho subito provato a fare la somma dei quadrati di 10 + 11 + 12 che è = alla somma dei quadrati di 13 + 14



aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-03-19, 13:24   #3342
aspesi
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[b](n^2 – 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 = (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4);

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-03-19, 07:08   #3343
aspesi
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[url=https://postimages.org/][/ur

In questo ennagono regolare di lato unitario, AB è una diagonale minore, AC è una diagonale maggiore.

Quanto misura la differenza tra queste due diagonali?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-03-19, 07:45   #3344
nino280
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Uno.
E per un pelino la sua area mi sfiora 10 volte il rapporto Aureo.
Ciao
https://i.postimg.cc/SR7BGm12/Ennagono.png


Vedete quel 6.18182 è l'area dell'ennagono.
Ma il rapporto Aureo è 0,618033.
La differenza è minima. Non vorrei che nel calcolo dell'area Geo si sia mangiato qualche pezzettino dei cosi quadrati come li chiama abitualmente il sottoscritto.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 15-03-19 08:08.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-03-19, 08:12   #3345
aspesi
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Uno.

Ciao
Giusto!.


Un po' laborioso da spiegare...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-03-19, 08:25   #3346
nino280
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E' chiaro che io sono andato per le spicciole.
Ma ad orecchio credo che bisognerebbe tirare in ballo quella faccenda degli angoli alla circonferenza e gli angoli al centro. Almeno penso.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-03-19, 15:31   #3347
nino280
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Arrivato 15 minuti fa dal circolo.
Vinto grande partita in singolo con uno forte.
Ma devo tornarci per un doppio fra un'ora.
Giusto il tempo per dedicare qualche minuto al nostro ennagono di questa mattina:
https://i.postimg.cc/CMQcyfj8/Nuovo-Ennagono.png
Non mi devo sforzare più di tanto, allora stesso disegno con l'aggiunta di pochissime cose. Solo due cerchietti e due angoletti:


Ma lo dicevo stamattina che bisognava guardare gli angoli alla circonferenza e gli angoli al centro
ebbene l'angolo al centro di un ennagono è 40° essendo 9x40 = 360°
e l'angolo alla circonferenza è di conseguenza 20° perché ha da essere la metà. E quindi (180- 20)/2 = 80
Poi va da se siccome io delle formule non fido quasi mai le misuro e buonanotte al secchio
Ma no mi ricordo più chi l'ha detto Eulero o Euclide
L'angolo alla base di un poligono regolare è dato da 180 per il numero dei lati meno 2 e diviso per il numero dei lati
Quindi 180 x 7 = 1260/9 = 140
Ma avevamo già trovato 80 e allora 140 - 80 = 60
Anche qui non mi fido e misuro.
Ma se è 60° e un equilatero.
Allora abbiamo i lati 1 1 1. Tante parole per nulla
Vedete che ho fatto ruotare AB su AC
La solita vecchissima: con apertura di compasso AB . . . .
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-03-19, 21:47   #3348
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

@ nino280
E' da stamattina che ho finito di scrivere un messaggio a proposito di questo fatto (che prima di oggi non conoscevo). Ma per particolari problemi di famigia ho sospeso e solo adesso posso riprendere ,... e vedo che intanto tu, nino280, hai postato ancora!

[Richiamo: In un ennagono regolare ci sono tre tipi di diagonale. La più corta fa un triangolo isoscele assieme a due lati consecutivi dell'ennagono, La più lungo fa un pentagono irregolare assieme a 4 lati consecutivi dell'ennagono. Quella intermedia fa un trapezio isoscele assieme a tre lati consecutivi dell'ennagono.]

Il fatto che non conoscevo si può dire così:
In un ennagono regolare la differenza tra le lunghezze della diagonale più lunga e della diagonale più corta è uguale alla lunghezza del lato.


Bello il tuo disegno, nino280!.
Quanto, però, alla prova del fatto in questione, prima hai fatto una verifica facendoti dire da geogebra le lunghezze delle diagonali dopo aver assunto 1 la lunghezza del lato. Adesso hai fatto una verifica grafica, [o meglio: l'hai fatta fare a geogebra, nella quale sei ormai un "esperto"! .]
Ma una vera dimostrazione non l'hai fatta (nè hai riportato una vera dimostrazione fatta da altri!).

Se si sapesse quanto fa sin(10°) o sin(20°) – o cos(10°) o cos (20°) – sarebbe facile venir a sapere le lunghezze delle diagonali conoscendo la lunghezza di un lato del nostro ennagono.
Ma sapere esattamente le lunghezze delle diagonali di un ennagono regolare sapendo la lunghezza di un lato non è cosa da poco!
Infatti tra i valori notevoli delle funzioni circolari seno e coseno non figurano quelli di angoli di 10° o 20°
Si sa quanto fa sin(30°) . cos(30°), sin(60°) e cos(60°) (ossia seno e coseno del triplo di 10° e di 20°).
Ma mentre la triplicazione è facile:
cos(3φ) = 4·[cos(φ)]^3 – 3·cos(φ); sin(3φ) = 3·sin(φ) – 4·[sin(φ)]^3;
l'operazione inversa (ossia la trisezione) è algebricamente impossibile (nel senso che l'equazione da risolvere conduce in un circolo vizioso).

Penso che sia utile vederen da vicino questa faccenda.
Supponiamo di sapere che cos(φ) = k (valore noto) e di voler calcolare cos(φ/3).
Posto x = cos(φ/3), abbiamo subito l'equazione:
4·x^3 – 3x – k = 0 <=> x^3 – 3(1/4)x – 2(k/8) = 0
che è una equazione di terzo grado del tipo "canonico"
(ossia x^3 – 3px – 2q = 0 )
per p = 1/4 e q = k/8.
In generale, l'equazione canonica x^3 – 3px – 2q = 0 è risolta da:
x = [q + √(q^2 – p^3)]^(1/3) + [q – √(q^2 – p^3)]^(1/3)
che per p = 1/4 e q = k/8 diventa
x ={k/8 + √[(k^2)/64 – 1/64]}^1/3 +{k/8 – √[(k^2)/64 – 1/64]}^1/3.
Ma siccome k =cos(φ), succede che k^2 – 1 = –[sin(φ)]^2 ≤ 0. E allora abbiamo:
x = {[k + j√(1 – k^2)]^1/3 + [k – j√(1 – k^2)]^1/3}/2 =
= {[cos(φ) + j·sin(φ)]^1/3 + [cos(φ) – j·sin(φ)]^1/3}/2.
Insomma: l'equazione da risolvere per trovare cos((φ/3) una volta che fosse noto cos(φ) passa per il campo complesso dove la soluzione è data dalla somma delle radici cubiche di due complessi coniugati (uno dell'altro) di modulo 1. Ma per fare queste radici cubiche occorre dividere per tre la fase φ! Ecco che si casca in un circolo vizioso!

–––––––––––––
Tuttavia, è abbastanza facile lo stesso dimostrare che, in un ennagono, la differenza tra la diagonale più lunga e quella più corta uguaglia il lato.

La dimostrazione che ho fatto ancora stamattina (e da questa mattina sta in un'altra finestra pronta per essere inviata) la invio subito dopo questo messaggio.
–––
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Vecchio 15-03-19, 21:49   #3349
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Giusto!
Sì. Ma voi lo sapete perché o ve lo dice qualche autorevole scritto, oppure (ma dubito!) avete trovato l'espressione trigonometrica di questa differenza e avete fatto il calcolo con uno strumento di calcolo automatico! Ma il bello sarebbe dimostrare che è effettivamente 1 esatto, mica fidarsi della calcolatrice elettronica!

La cosa sarebbe facile se si conoscesse l'espressione del seno o del coseno di 10° o di 20°.
Ma tra i valori notevoli delle funzioni circolari non ci stanno quelli del seno o del coseno di 10° o di 20° .

Tuttavia ... la dimostrazione che la differenza tra quelle diagonali (la massima meno la minima) è uguale proprio al lato E' FACILE!
––––––
Scriviamo intanto la differenza tra la diagonale massima e la diagonale minima.
Chiamo x la diagonale minima, quella che fa un triangolo isoscele con due lati consecutivi dell'ennagono (che assumiamo di lunghezza unitaria).
In un poligono regolare di n lati, un angolo (in gradi) misura (n – 2) (180°/n).
Per n = 9 si ha 180°/9 = 20° e l'angolo dell'ennagono regolare misura 7·20° = 140°.
Considerando la diagonale minima come base di un triangolo isoscele. gli angoli alla base valgono entrambi 20° e quindi
x = 2·cos(20),
e, ricordando che cos(2φ) = [cos(φ)]^2 – [sin(φ)]^2 = 1 – 12·[sin(φ)]^2, anche
x = 2·{1 – 2·[sin(10)]^2} = 2 – [2·sin(10°)]^2.

Un lato è visto dal centro sotto l'angolo di 40°. A questo corrisponde l'angolo alla circonferenza di 20°. La diagonale massima (di lunghezza incognita y) è uno dei lati uguali d'un triangolo isoscele che ha per base un lato dell'ennagono (che è lungo 1) e angolo al vertice di 20°. Pertanto
y·sin(10°) = 1/2 ==| y = 1/[2sin(10°)]
Occhio: Per comodità di scrittura scrivo s al posto di sin(10°). e allora ho:
y = 1/(2s)
x = 2 – 4·s^2
y – x = 1/(2s) – 2 + 4·s^2 = (8·s^3 – 4s + 1)/(2s)
Bisogna dunque dimostrare che se s = sin (10°) allora (8·s^3 – 4s + 1)/(2s) = 1.
Ecco come si può farte:
• Se è s = sin(φ) allora è anche sin(3φ) = 3:s – 4·s^5.
• Se è s = sin(10°) allora è 3·s – 4·s^3 = sin(30)° = 1/2
• L'uguaglianza trovata 3·s – 4·s^3 = 1/2 equivale a 8·s^3 – 6·s + 1 = 0
• Aggiungendo 2s ad entrambi i membri di queet'ultima si ottiene 8·s^3 – 4·s + 1 = 2s.
• Infine, dividendo entrambi i membri per 2s otteniamo proprio
y – x = (8·s^3 – 4·s + 1)/2s = 1
che è l'uguaglianza (*) che dovevamo verificare
–––
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Vecchio 15-03-19, 21:54   #3350
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Ma se è 60° e un equilatero.
Allora abbiamo i lati 1 1 1. Tante parole per nulla
Perché tante parole per nulla?
Sono servite per la dimostrazione!

aspesi non in linea   Rispondi citando
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