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Vecchio 16-07-19, 08:51   #1431
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Non sono d'accordo. Per me è bello...
Ma nino260 non ha detto che il quiz è brutto! Ha detto che il triangolo co r = 23 e e lati interi a perimetro minimo, cioè che è brutto quel triangolo con un angolo ottuso quasi piatto (con i lati lunghi rispettivamente 1059, 1060 e 2117).
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] solo un postulato (che non chiarisce perché "la soluzione del quiz è dunque proprio quella data nella 4)")
.Siccome abbiamo visto che si può dare il lato b in funzione del lato a, cioè:
b = [(r^2 + 1)(a – 1)]/ [(a – (r^2 + 1)],
si potrebbe provare tutti i triangoli con a intero a partire da
a = r^2 + 2
crescendo a di una unità alla volta fino a trovare il minimo perimetro con a intero.
Si scoprirebbe che il perimetro continua a diminuire fino ad a = 2·r^2 + 1, resta lo stesso per a = 2r^2 + 2 e poi inizia a crescere.
Infatti: [Si tenga presente che r è intero maggiore di 1]
• per a = 2·r^2 viene p = 4r^2 + 2 + 2/(r^2 – 1);
• per a = 2·r^2+1 e per a = 2r^2 + 2 viene p = 4r^2 + 2;
• per a = 2·r^2+3 viene p = 4r^2 + 2 + 2/(r^2 + 2).

Ma nel "paperino" di spiegazione del quiz ho ricavato p in funzione di a trovando
p = [a(a – 1)]/[a – (r^2 +1)].
Allora, considerando a variabile con continuità (sempre però maggiore di r^2 + 1), si può trovare il minimo di p annullando la derivata di p rispetto ad a.
Il minimo cade per
a= r^2 + 1 + r·√(r^2 + 1)
e perciò
b = a
e vale quindi
pm = 2r·[r + √(r^2 + 1)].
Il perimetro intero più prossimo a questo capita appunto per a = 2r^2 +1 ed è appunto 4r^2+2.
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-08-19, 01:37   #1432
Erasmus
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Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,827
Predefinito Raggio del cerchio circoscritto al triangolo di lati a, b e c

Più sotto propongo un quiz di geometria piana (che non è di quelli in cui c'è da calcolare qualcosa, bensì di quelli in cui c'è da dimostrare qualcosa di carattere generale. ).

Come richiamo di opporrtune nozioni metto prima la seguente

Prefazione
Sia ABC un triangolo e le lungheze dei suoi lati siano:
BC = a;
CA =b ;
AB = c.
L'area de ltriangolo ABC sia S.
E' nota a tutti la formula di Erone che permette di calcolare S conoscendo a, b e c.
Con la formula di Erone si ha:
Codice:
       √[2((ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 – (a^4 +b^4 +c^4)]
S =  ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =
                                            4   
    √[(a + b + c)(–a + b + c)(a – b + c)(a + b – c)]
= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
                                  4
Di solito si pone p = (a + b + c)/2 per cui la formula di Erone diventa:
Codice:
S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)].
.

E' noto che il raggio R del cerchio circoscritto è:
Codice:
        abc
R = –––––
        4S
Questa formula si ricava facilmente se si tien conto di due cose.
1) Se γ è l'angolo di vertice C, allora l'altezza relativa al lato di lunghezza a risulta b·sin(γ) per cui l'area di ABC è anche
S = [a·b·sin(γ)]/2.
2) Se si sposta il vertice C lungo la circonferenza del cerchio circoscritto [deformando in tal modo il triangolo ABC), l'angolo di vertice C resta cosrtante (sempre di ampiezza γ). Spostando C fiino a farlo diventare diametralmente opposto ad A,il triangolo diventa rettangolo di ipotenusa 2R ed il lato di lunghezza c uno dei due cateti. E allora evidentemente:
c = 2R·sin(γ).

Pertanto:
2R·sin(γ) = c R·[2ab·sin(γ)] = abc 4RS = abc R = (abc)/(4S)
---------

Il quiz
Dimostrare che il raggio R del cerchio circoscritto ad un triangolo vale il rapporto tra il prodotto dei lati e il quadruplo dell'area, cioè:
R = (abc)/(4S)
senza far uso della trigonometria

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 24-08-19 10:04.
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Vecchio Ieri, 22:20   #1433
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Trovare la circonferenza passante per 3 punti che poi possono essere i vertici di un triangolo, io lo so fare sin da quando avevo 12 anni e frequentavo la seconda avviamento che a Laterza era agraria e poi venuto a Torino in terza era industriale.
E' evidente, solo con squadretta e compasso, mica c'era GeoGebra allora. Con Geo basta cliccarci sopra i tre punti ed è fatto.
Con squadretta e compasso è anche banale.
Si congiungono due punti, si fa metà di detti segmenti che sono poi i lati del triangolo, e si tracciano le perpendicolari ai lati per questi punti, diremmo anche le mediane, il loro incontro è il centro della circonferenza che circoscrive il triangolo. Io allora usavo il compasso e puntando nell' incrocio delle 2 perpendicolari con apertura da li ad un punto, ecco che la circonferenza passava per i tre punti.
Ieri notte mi facevo persino stando a letto un esempio tutto a mente naturalmente scegliendomi un caso facile.
Prendevo il triangolo per antonomasia Pitagorico da 3 4 5 , il raggio del cerchio circoscritto è non solo = a 2,5 ma sta anche sull'ipotenusa, ma questo è sia elementare che infantile.
Aimè! Se questa regola mi sta sui polpastrelli, della dimostrazione del perché moltiplicare fra di loro le lunghezze dei lati e poi dividere per 4 volte la superficie del triangolo, ottengo il raggio del cerchio circoscritto, non ne so nulla.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : Ieri 22:22.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio Oggi, 07:46   #1434
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Pensavo anche:
a cosa mi serve di un triangolo conoscere il raggio del cerchio che lo circoscrive senza conoscere il punto di applicazione, cioè dove sta il centro del cerchio?
Bada, sono sempre nei panni di un disegnatore, e come potrebbe essere diversamente?
Be, questa condizione, in cui conosco il valore del raggio senza conoscere anche dove sta il centro, a me sin da bambino quando adoperavo squadretta e compasso perché non avevo altro, non mi è mai capitata.
Ciao
Mettiamo, così tanto per discutere un po', che mi capita tale condizione in cui conosco il raggio ma non ho il centro, come faccio?
Un disegno comincia a bollirmi dentro, troppe parole ho già detto senza disegnare. Vabbè l'anticipo. Allora se dal centro punto col compasso e faccio il cerchio, basta ora fare il contrario punto un paio di volte dai punti e questo paio di cerchi si incontreranno nel centro. E' lapalissiano.
Vuoi mettere però un disegnino che esprime il tutto, senza profferire parola alcuna?
Magari arriva.

Ultima modifica di nino280 : Oggi 07:55.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio Oggi, 08:22   #1435
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

https://i.postimg.cc/mgHx6FDR/Squadretta-e-Compasso.png



Tutto quello che ho detto nei due messaggi precedenti racchiuso in un disegnino. In rosso i cerchi fatti nell'evenienza che conosco il raggio ma non dove sta il centro, appunto come supponevo nel messaggio secondo. Il cerchio blu naturalmente e quello che fa la circoncisione (ma si dice così?) del triangolo.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
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