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Vecchio 06-04-19, 01:39   #11
Erasmus
Utente Super
 
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Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,824
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Nel cassone di un supermercato sono contenuti, sparsi alla rinfusa, dei calzini rossi e dei calzini neri.
Il numero totale dei calzini è compreso fra 500 e 1000.
Quando si estraggono due calzini in modo casuale, la probabilità che entrambi siano rossi è pari a 1/2.
Concettualmente il quiz non è troppo difficile.
Ci provo.
Sia R il numero (incognito) di calze rosse e sia N il numero (incognito) di calze nere
La probabilità che il primo calzino esca rosso è R/(R+N).
La probabilità che i primi due calzini estratti escano entrambi rossi è:
[R/(R+N)].[(R–1)/(R + N – 1)].
Uguaglio ad 1/2 questa probabilità e allora posso esprimere R in funzione di N ottenendo:
Codice:
        2N + 1 + √(8N^2+1)
R = ––––––––––––––––––––––––.        (*)
                        2
[salvo "errori di sbaglio"]
Il segno "–" davanti al radicale va scartato perché deve essere R > N, dato che potrebbe uscire anche una calza rossa seguita da una una nera].
Perché 8N^2+1 sia il quadrato d'un intero [dispari, diciamo 8N^2+1 = (2k+1)^2] occorre che N^2 sia del tipo
N^2 =[k(k+1)]/2
cioè la metà del prodotto di due interi consecutivi qualsiasi.
[il dispari è un quadrato ed il pari èà il doppio d'un quadrato].
Per esempio, per N = 6 si ha N^2 = 36 = (8·9)/2 e quindi R = 15 e R+N = 21.
Allora:
p(due calze rosse di seuuito) =15/21)·(14/20) = 1/2.
Altro esempio:
N = 5*7 = 35; N^2 = (49*50)/2; R = 85; R + N = 120.
p = (85/120)*(84/119) = (17/24)*(12/17) = 1/2.

Ultimo esempio: N = 12*17 = 204; N^2 = (288*289)/2;
R = 493; R+N = 697;
p = (493/697)*(492/696) = [(17*29)/(17·41)]·[(12·41)/(24*29)] = 1/2
Ma allora ho beccato la soluzione!
Rosse 493 (e Nere 204)

Non so però se questa è l'unica soluzione.

__________________
Erasmus
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Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it