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Vecchio 23-04-19, 13:48   #3081
nino280
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Predefinito Re: Bar Nino

Ma proviamo a tornare alla matematica. A Pasqua ci siamo presi una vacanza e in modo particolare io, per non sforzarmi troppo le meningi mi sono messo a parlare di torni che mi viene molto più naturale, appunto senza sforzarmi.
Con Sat o era forse Meta che ci volete fare io questi due nomi essendo corti ambedue, ho cominciato a confonderli e perseguito, insisto, non vorrei un giorno incolpare Sat di cose che ha detto Meta e viceversa. Ma eravamo a Pasqua, bevuto a volte avevo, e rispondevo così alla rinfusa. Si ora sono sicuro: era Meta.
Basta andare in giù con la barra o lo scroll e si vede che era Meta.
Però vi posso assicurare che con Meta oltre al fatto che mi ha fatto incavolare (non è vero) abbiamo giocato.
Torniamo alla Matematica:
P.S. Ho cancellato tutte le formule di ieri e sostituite con queste riviste e corrette di oggi, come suggerisce in un messaggio a seguire Erasmus
https://i.postimg.cc/nc5p3BrZ/Ian-Radianti.png


Ultima modifica di nino280 : 24-04-19 09:02.
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Vecchio 23-04-19, 19:20   #3082
Erasmus
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Predefinito Re: Bar Nino

Non ho letto nient'altro che le formule scritte in grande .. le quali sono SBAGLIATE!
La serie di potenze che sviluppa sin(x) in funzione di x E' A SEGNI ALTERNI!
sin(x) = x – x^3/3! + x^5/5! – x^7/7!+x^9/9! – x^11/11!+ ... .
Insomma:
Codice:
             
sin(x) = [(-1)^n]·[x^(2n+1)]/(2n+1)!
           n=0
Siccome i fattoriali crescono molto in fretta, l'estremo superiore della sommatoria invece di ∞ puoi metterlo anche ben minore di 50.
Per esempio. mettendo 40 invece di ∞, il termine più grosso trascurato è quello per n = 41, ossia in valore assoluto:
(x^83)/83!
e 83! ≈ 3,24·10^124.
Guarda qua cosa dice il mio "Grapher":

––––
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Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
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Vecchio 23-04-19, 19:26   #3083
nino280
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Predefinito Re: Bar Nino

Ohh porco mondo.

Maledetto libro da cui ho preso la serie.
Mi sono precipitato di corsa a rileggere la formula nel caso avessi letto male io.
No mi da proprio tutti i termini col segno + e non alternato a meno.
Ciao Grazie Era.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-04-19, 20:01   #3084
Erasmus
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Predefinito Re: Bar Nino

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Ohh porco mondo!
Questa esclamazione l'hai imparata da me!
E' per questo che mi ringrazi?
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...] Grazie Era
[Pensa che io questa esclamazione l'ho impartata a Milano da un mio collega greco, l'ing. Manusso Paterakis (Μανουσο Πατερακις). Magari adesso può anche leggerci ... ma non so se è vivo o morto, dato che era due anni più vecchio di me e non ne so più niente dal 1975 quando sono scappato via dalla bolgia che era allora Milano.]
––––––
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Vecchio 23-04-19, 22:26   #3085
meta
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Predefinito Re: Bar Nino

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
...dal 1975 quando sono scappato via dalla bolgia che era allora Milano.]
––––––

coincide perfettamente coi miei ricordi di studente delle medie. che sia utile ricordarlo: Milano allora faceva paura, concretamente era molto pericolosa. e pensare che adesso è diventata la mia meta preferita per il weekend.
meta non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-04-19, 23:15   #3086
nino280
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Milano la meta di meta.
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Vecchio 24-04-19, 08:54   #3087
nino280
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Predefinito Re: Bar Nino

N.B.
Sono andato a correggere i miei misfatti di ieri, naturalmente come suggerito da Erasmus.
Se non altro per dimostrare a me stesso che anche io so farlo (se mi si da le dritte) e che il mio grapher funziona altrettanto bene.
Ciao
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Vecchio 25-04-19, 15:01   #3088
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Predefinito Re: Bar Nino

E no caro Ian non mi freghi due volte:
https://i.postimg.cc/RhQ3QCZX/Cos-Ian.png



Ian sarebbe Ian Stewart l'autore del libro che sto leggendo:
"Le 17 Equazioni che hanno cambiato il mondo"
Ed è li che avevo letto la serie sbagliata del seno con le sommatorie in cui non mi alternava i segni + e -
Ma ora un pò per gioco come faccio di solito, e supponendo di aver capito il meccanismo vado a calcolare il coseno sempre di Pi/6
Ed il giochino risulta facile, basta andare a togliere solo due 1 dalla formula precedente, precisamente in (2n +1)
Fatto e visto che mi da la risposta giusta, ne deduco che la supposta è giusta
Ciao
P.S. Molto tempo fa lessi "Le 10 equazioni che hanno cambiato il mondo" Essendo ora passati da 10 a 17 il libro è un pochino + spesso. Anche se in verità molta roba e trita e ritrita.
Il libro in questione se comprendiamo la prefazione e l'indice analitico, ha 493 pagine. E non si può pretendere 493 pagine di originalità. Avendolo pagato poi solo una dozzina di Euro rivista compresa. Molta roba è "Riempimento" Alcuni esempi? In una pagina per esempio c'è la famosissima figura della limatura di ferro messa su un foglio di carta con sotto al foglio una calamita e poi fa vedere le linee di campo che si dispongono con la caratteristica figura. Ma quante volte in vita mia avrò visto questa figura? 300? 400? Non saprei di preciso, ma più o meno siamo lì. Altro esempio, il nastro di Mobius. Quante volte l'ho già visto? 375? 425?
Mi era parsa interessante la serie del seno, in cui io ho poi tentato di mettere sotto forma di sommatoria, che alla fin fine era pure sbagliata.
Mi rimangio un po' le parole.
E' vero che se mi si parla della storia o della vita di Cardano, di Bernoulli di Cartesio Gauss e compagnia bella, a noi vecchietti non ci racconti nulla di nuovo, ma è anche vero che il libro potrebbe capitare nelle mani di un 15 enne e per lui sono tutte cose nuove o mai sentite.

Ultima modifica di nino280 : 25-04-19 21:14.
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Vecchio 25-04-19, 21:32   #3089
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E le inesattezze di detto libro sono già due.
Due su due su argomenti che poi io ho trasportato qui nei Rudi. Troppe.
Vi ricordo brevemente l'altro.
Riguardava la cometa 39/P Oterma commentata e segnalata da me in "Miscellanea di Scienze Varie"
In pratica mi aveva fatto credere che la Oterma era in "Risonanza 3-2 e 2-3 fra Giove ed il Sole.
Che voleva dire che detta cometa faceva 3 giri completi attorno a Giove seguiti da 2 giri attorno al Sole, e poi continuava con 2 giri attorno a Giove e 3 attorno al Sole.
Cosa che poi Mizarino smentì categoricamente.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-04-19, 00:26   #3090
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Predefinito Re: Bar Nino

Queste serie (e molte altre, a comincioiare da quella dell'esponenziale o da quella dsell'arcotangente) le puoi "inventare" tu stesso se ti ricordi che sono "Sviluppi in serie di Mac Laurin" (che poi sono un caso particolare degli sviluppi in serie di Taylor)

Serie di Mac Laurin
Supponiamo che una certa funzione f(x) sia indefinitamente derivabile (cioè che esista la sua derivata prima, e poi la derivata di questa cioè la dertivata seconda, e poi la derivata di questa cioè la derivata terza, e così via indefinitamente.).
Allora f(x) è sviluppabile in serie di Mac Laurin ... come segue.
1) Si cerca una serie di potenze, che sarà del tipo
c0 + c1·x + c2·x^2 + c3·x^3 + c4·x^4 + ... (ecc. ecc.). Ossia
Codice:
          
f(x) =  cn · x^n
        n=0
2) I coefficienti cn delle potenze x^n sono
cn = <derivata di ordine n in x = 0 > fratto n! ("enne fattoriale"). E bisogna assumere che la derivata di ordine 0 è la stessa funzione.
Allora, se indichiamo con fn(0) la derivata n-esima di f(x) in x= 0, la serie di Mac Laurin viene:
f(x) = f(0) /0! + f1(0)·x/1! + f2(0)(x^2)/2! + f3(0)(x^3)/3! +... (ecc., ecc.)
Ossia:
Codice:
                   
f(x) = f(0) + fn(0)·(x^n)/n!   (*)
                  n=1
Supponiamo, per esempio, di non conoscere lo sviluppo in serie di potenze di cos(x).
Allora ce lo costruiamo!
Basta che ci ricordiamo che la derivata di sin(x) è cos(x) e la derivata di cos(x) è –sin(x).
• il termine di grado 0 è cos(0) = 1.
• La derivata prima di cos(x) è –sin(x) che in x=0 vale 0. Mancherà dunque il termine di grado 1
• La derivata seconda di cos(x) è la derivata della derivata prima che era –sin(x); quindi è –cos(x) che in x= 0 vale –1. Il termine di 2° grado è dunque [(–1)/(2!]·x^2 =( –x^2)/2.
• La derivata terza di cos(x) è la derivata della derivata seconda che era – cos(x); è cioè –(–sin(x) = sin(x) che in x=0 vale 0. Mancherà anche il termine di 3° grado.
• Continuando analogamente si trova che tutti i termini di grado dispari hanno la derivata o sin(x) o –sin(x), comunque nulla in x=0. Dunque nello sviluppo in serie di potenze di cos(x) mancano tutti i termini di grado dispari. Ed è giusto che sia così dato che cos(x) è una funzione PARI, cioè che vale ugualmente in x e in –x. In formula:
cos(x) = cos(–x) per ogni x.

• In definitiva: la derivata (2n+2)–esima di cos(x) è l'opposto della derivata 2n–esima e la derivata (2n+4)–esima è uguale alla derivata 2n-esima.
Pertanto ci sono tutti e soli i termini di grado pari con segno alterno (essendo 1 il valore in x=0 di cos(x) e –1 il valore in x=0 di –cos(x).
• Pertanto abbiamo:
cos(x) = 1 – (x^2)/2 + (x^4)/24 – (x^6)/720 + ... +[(–1)^n]·[x^(2n)]/(2n)!+ ...
Ossia:
Codice:
                        
cos(x) =  [(–1)^n]·[x^(2n)]/(2n)!
             n=0
–––––––––
Cerchiamo ora lo sviluppo in serie di potenze di t della funzione
x = arctan(t).
Questa è l'inversa della funzione y = tan(x).
Sappiamo inoltre che se x = g(y) è la funzione inversa di y = f(x), allora la derrivata di x = g(y) è in ogni punto il reciproco della derivata di y = f(x).
Indicando con' y' = f'(x) la derivata di f(x) sappiamo anche che la derivata di una funzione prodotto di altre due funzioni, ossia di
f(x) = h(x)·k(x)
è
f'(x) = h'x)·k(x) + h(x)·k'(x).
Sfruttiamo questìultima nozione per calcolare la derivata di t = tan(x) = sin(x) · [cos(x)]^(–1).
Abbiamo dunque:
t' = cos(x) · [cos(x)]^(–1) + sin(x)·{(–[cos(x)]^(–2)}(–sin(x) = 1 + {[sinx)^2}/{[cos(x)]^2} = 1 + [tan(x)]^2 = 1 + t^2.
Allora la derivata dell'inversa di t = tan(x), ossia di x = arctan(t) è
x' = 1/(1 + t^2) .
E' arcinoto che per 0 < t ≤ 1 la serie geometrica d termine iniziale 1 e ragione – t, ossia
1 – t +t^2 – t^3 + t^4 – t^5 + t^6 – t^7 + ... (ecc., ecc.) (**)
converge a 1/(1 + t^2).
D'altra parte, la (**) è la drivata di
t – (t^3)/3 + t(^5)/5 –( t^7)/7 + ... +[ (–1)^n].t^(n+1)/(2n+1).
Pertanto, per x tale che sia –1 ≤ tan(x) ≤ 1 (ossia per –π/4 ≤ x ≤ π/4), se t = tan(x) si ha:
x = arctan(t) = t – (t^3)/3 + (t^5)/5 – (t^7)/7 + (t^9)/9 – (t^11)/11 + ... (ecc., ecc.). (***)
[Allo stesso risultato si arriva applicando la formula generale (*) della serie di Mac Laurin.]

In particolare, per x = π/4, siccome tan(π/4) = 1, la serie (***) diventa (come già tu hai scritto poco tempo fa):[code]
π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + 1/13 – 1/15 + ... (ecc., ecc.).
Ossia:
Codice:
       /Users/arnavic/Desktop/sin(π:6).png
π=4·[(–1)^n]/(2n+1)
      n=0
E siccome tan(π/6) = 1/√(3) abbiamo anche:
π/6 = [1/√(3)]·{1 – 1/(3·3) + 1/[(3^2)·5] –1/[(3^3)·7] + 1/[(3^4)·9] – 1/[(3^5)·11]+ ... +[(–1)^n]/[(3^n)·(2n+1)}.
Ossia:
π = 2√(3)·{1 – 1/(3·3) + 1/[(3^2)·5] –1/[(3^3)·7] + 1/[(3^4)·9] – 1/[(3^5)·11]+ ... +[(–1)^n]/[(3^n)2n+1)}.

Guarda qua il mio Grapher:

–––
Serie di Taylor
La funzione y = f(x) sia indefinitamente derivabile per x = x.
Allora risulta, indicando con fn(x) la derivata n-esima di f(x) in x = x;
Codice:
                                         
f(x) =f(x) + ∑[fn(x)/n!]·(x – x)^n.
                n=1
Si vede di colpo che per x = 0 la serie di Taylor diventa la serie di Mac Laurin
–––
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 02-05-19 08:50.
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