Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[nino280]

Avevo fatto i conti e messo questo disegno nell'altra sezione degli analfabeti.
Ora metto le cose a posto.
Ciao

[aspesi]

nino280

Ciao

A caso, ma giusto! *

Ho trovato una formula per determinare l'area A (formula che non avevo mai visto), precisamente:

A = RADQ((x+y+z)^2 - 4xy)


* Però il rettangolo che avevo immaginato io era 10 * 7 con x=6*7/2; y=10*4/2; z=4*3/2 e A=23

[nino280]

https://i.postimg.cc/fbxYrGgS/Rettangolo-Incognito.png



Metto a confronto la soluzione di Aspesi con rettangolo 10 x 7 con la mia con rettangolo 14 x 5
La sua è decisamente migliore della mia.
Il suo perimetro è minore cioè 34 contro 38
In più ha l'ipotenusa del triangolo più piccolo intera cioè 5 e due triangoli con un lato uguale cioè 4
Mi domando per quale motivo io ho scelto il 14 x 5 ?
Beh, non l'ho fatto apposta.
Ad un certo punto mentre davo i numeri per la soluzione, dovevo fare in modo che, sapendo che un triangolo doveva avere area 20, di trovare due lati che poi mi dessero appunto 20
I primi numeri a cui ho pensato sono stati 5 e 8 che sarebbe (5x8)/2 = 20 e di conseguenza tutti gli altri numeri e coppie erano obbligati e quindi sono venuti da soli.
Se avessi pensato a 10 e 4 mi veniva il rettangolo di Aspesi.
Ciao

[Erasmus]

@ nino280 & aspesi
L'area S del rettangolo uguale a 70 e quindi l'area A del triangolo inscritto uguale a 23 sono OK..
Ma NON sono univocamente determinabili le aree x, y e z dei triangoli.
Voi due avete scelto z*= 6 e per avere x+y = 41 avete scelto uno (x, y) = (21, 20) e l'altro (x, y) = (20, 21).
Ma, per esempio, andrebbe bene anche z = 4 con (x, y) = (15, 28) o (x,y) = (28,15).
Prendo un rettangolo 14 x 5 come aspesi; ma invece di fare
14 = 8 (a sinistra) + 6 (a destra)
5 = 2 (in alto) + 3 (in basso)
faccio
14 = 6 (a sinistra) + 8 (a destra)
5 = 1 (in alto) + 4 (in basso)
In tal modo ho
x = 5·6/2 = 30/2=15; y = 14·4/2 = 56/2=28; z = 8:1/2 = 4.
Ho ancora x + y + z = 47 e xy = 420
–––––––
Caro aspesi ... ragioniamo come l'altra volta, osservando cioè che la forma può cambiare dilatando la figura in un certo rapporto in una direzione e contraendola nel rapporto reciproco in direzione ortogonale.
Ergo: Niente mi vieta di assumere QUADRATO (di lato L) il rettangolo.

Con questa ipotesi, chiamo h il cateto minore del triangolo di area x, chiamo (L – k) il cateto minore del triangolo di area y e i cateti del triangolo di area z mi risultano L - h e k. Ossia:
x = Lh/2; y = L(L–k)/2; z = (L – h)k/2
Di conseguenza i dati del testo del quesito diventano
Lh + L(L–k) + (L-h)k = 2(x + y + z) =94 ––> (L^2 + h(L–k) = 94 (*)
Lh·L(L–k) = (2x)·2(y) = 4xy = 4·420 = 1680 ––> (L^2)·[h(L–k)] = 1680 (**)
A = L^2 – 47 (***)

Per comodità pongo L^2 = S e h(L–h) = ∆.
Più avanti, sempre per comodità, porrò m = L–h ed n = L – k
Avremo quindi L = h + m (leggendo da sinistra a destra) per il lato orizzontale e L = k + n (leggendo dall'alto in basso) per il lato verticale.
Allora sarà
S = (h+m)·(k + n) e
∆ = hn
x = (k + n)h/2; y = (h + m)n/2; z = mk/2.

Nell'esempio in corso le (*) e (**) diventano il sistema (simetrico di 2° grado):
S + ∆ = 94
S ∆ = 1680
Allora S e ∆ solo le soluzioni dell'equazione
t^2 – 94t + 1680 = 0 ––> t = 47 ± 23 ––> (S =70 ∧ ∆ = 24) ∨ (S =24 ∧ ∆ = 70).
Ma, per il significato di S (che è l'area del rettangolo) e di ∆ (che è l'area di un rettangolo di lati che sono rispettivamente una parte dei lati del rettangolo) occorre prendere
S = 70 e ∆ = 24.

Per m = L–h ed n = L–k le condizioni imposte dal testo del quiz dopo aver scelto la forma quadrata (di lato L) portano a:
• Lato orizzontale h + m = L;
• Lato verticale k + n = L;
• L = √(S) = √(70);
• Lh = 2x ––> h = (x/35)√(70);
• m = L – x ––> m = (1 – x/35)√(70);
• L(L–k) = 2y ––> k = (1 – y/35)√(70);
• n = L –k ––> n = (y/35)√(70);
• mk = 2z ––> (1–x/35)(1-y/35)·70 = 2z ––> 4900 – 140x – 140y +4xy = 140z ––>
––> 1225 + xy = 35(x+y+z) ––> 1225 + 420 = 35· 47 ––>235· (35 + 12) = 35·47. OK!
• Cateti del triangolo di area x: (k + n) ed h;
• Cateti del triangolo di area y: (h + m) ed n;
• Cateti del triangolo di area z: m e k
Il quadrato può essere poi deformato in un rettangolo dilatandolo nella direzione di un lato col prodotto di un arbitrario fattore r >1 e contraendolo nella dirazione ortogonale col prodotto del reciproco 1/r di quel fattore [in modo da conservare l'area e le aree delle sue parti].
Per esempio, se r = √(10/7) per la direzione orizontale e 1/r = √(7/10) per la direzione verticale si ha:
• h = 6; m = 4; Lato orizzontale h + m = 6 + 4 = 10;
• k = 3; n = 4; Lato verticale k + n = 3 + 4 = 7;
e questa è la soluzione di nino280 con: x =7*6/2 = 21; y = 10*4(2 = 20; z =4*3/2 = 6.

La soluzione di aspesi si ha per r = 2√(7/10) che quindi dà:
• Lato orizzontale h + m = 8 + 6 = 14;
• Lato verticale k + n = 2 + 3 = 5;
ossia con: x = 5*8/2 = 20; y = 14*3/2 = 21; z = 6*2/2 = 6.
La soluzione di aspesi, a parte lo scambio del lato verticale con quello orizzontale, non è che una distorsione del rettangolo di nino280 col raddoppiare il lato lungo 7 e dimezzare quello lungo 10.

Invece, la mia soluzione con (x, y, z) = (15, 28, 4) – contro (20, 21, 6) di aspesi e (21, 20, 6) di nino280 – rìisulta, (con tutti i cateti interi):
Lato orizzontale 14 con h = 6 ed m = 8;
• Lato verticale 5 con k = 1 ed n = 4.
Con questi numeri risulta infatti
x = (4 + 1)*6/2 = 30/2 = 15;
y = (6 + 8)*4/2 = 56/2 = 28;
z = 8*1/2 = 4.

@ aspesi
Vedi che ho risolto il problema col sistema
S + ∆ = 2(x + y + z) (Somma)
S·∆ = 4·(xy). (Prodotto)
col quale si trova:
S = (x+y+z) + A.
Nota l'area S del rettangolo e quindi pure A = S – (x+y+z), essendo S + ∆ =2(x+y+z), si ha:
∆ = 2(x + y + z) – S = 2(x+y+z) – [(x+y+z) + A] = (x + y + z) – A.
Insomma: il sistema "Somma e Prodotto" (ponendo per comodità x+y+z = ∑), porge:
S = ∑ + A;
∆ = ∑ – A.
Da cui, moltiplicando membro a membro, trovi:
S∆ = ∑^2 – A^2
ossia
A^2 = ∑^2 – S∆
basta allora ricordare che era S∆ = 4xy per avere la formula che hai citato, cioé:
A = √[(x+y+z)^2 – 4xy]

C. D. D.
–––
Nell'esempio in corso (con ∑ = 47 e xy = 420) viene S = 70 e ∆ = 24; e la tua formula è verificata.
A^2 = ∑^2 - S∆ = 47^2 – 70*24 = 2209 –1680 = 529 = 23^2.
–––

[aspesi]

Mizzica

Erasmus

L'area S del rettangolo uguale a 70 e quindi l'area A del triangolo inscritto uguale a 23 sono OK..
Ma NON sono univocamente determinabili le aree x, y e z dei triangoli.

Questo mi era già chiarissimo

Erasmus

Per esempio, se r = √(10/7) per la direzione orizontale e 1/r = √(7/10) per la direzione verticale si ha:
• h = 6; m = 4; Lato orizzontale h + m = 6 + 4 = 10;
• k = 3; n = 4; Lato verticale k + n = 3 + 4 = 7;
e questa è la soluzione di nino280 con: x =7*6/2 = 21; y = 10*4(2 = 20; z =4*3/2 = 6.

La soluzione di aspesi si ha per r = 2√(7/10) che quindi dà:
• Lato orizzontale h + m = 8 + 6 = 14;
• Lato verticale k + n = 2 + 3 = 5;
ossia con: x = 5*8/2 = 20; y = 14*3/2 = 21; z = 6*2/2 = 6.
La soluzione di aspesi, a parte lo scambio del lato verticale con quello orizzontale, non è che una distorsione del rettangolo di nino280 col raddoppiare il lato lungo 7 e dimezzare quello lungo 10.

Tutto bene, ma con le soluzioni al contrario...

Erasmus

Da cui, moltiplicando membro a membro, trovi::
S∆ = ∑^2 – A^2
ossia
A^2 = ∑^2 – S∆
basta allora ricordare che era S∆ = che 4xy per avere la formula che hai citato, cioé:
A = √(x+y+z)^2 – 4xy]
C. D. D.
–––

[nino280]

Non è gran che' importante, solo il 7 x 10 era di proprietà di Aspesi e il 14 x 5 era la mia soluzione. Erasmus ha invertito i proprietari.
Ciao

[aspesi]

(Facile)

Aldo, Bruno e Carlo si sfidano diversi giorni di fila a braccio di ferro.
Ogni giorno due di loro si incontrano, mentre il terzo riposa aspettando di affrontare il vincente nel giorno successivo.
Dopo diversi giorni Aldo ha giocato 10 volte, Bruno 15 e Carlo 17.

Chi ha perso il secondo giorno?

[nino280]

Ha perso Aldo.
Io credo che Aldo le perda tutte.
Il primo giorno non gioca, e di conseguenza visto che le perde tutte, la seconda giornata perde lui.
Ciao

[nino280]

https://i.postimg.cc/Qt5pkf5y/Rettangolo-Incognito.png



Ma torniamo al quiz precedente.
Avevamo i due rettangoli uno mio e l'altro di Aspesi con lati diversi ma con Area equivalente.
Immaginiamo una buona schiera di rettangoli, una famiglia, ma tutti di Area 70.
Immaginiamo anche che ci sia un punto che io ho chiamato P ma messo lì, per il momento, in una posizione a caso, P rappresenta i vari vertici in alto e a destra della famiglia di rettangoli, e che P nell'andare da C a E (e anche oltre) lasci una traccia delle varie posizioni.
Posso sospettare che l'unione di tali punti stia su una curva, magari anche geometrica.
La domanda è: che curva è?
Ciao

[aspesi]

nino280

Ha perso Aldo.
Io credo che Aldo le perda tutte.
Il primo giorno non gioca, e di conseguenza visto che le perde tutte, la seconda giornata perde lui.
Ciao

Proprio così (i tre hanno giocato per 21 giorni)