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#3851 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 5,598
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#3852 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,235
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![]() Certo! Infatti avevo detto "multiplo di 13, per esempio 39".
–––– Ma ci sono altre soluzioni ben più lunghe come numero di cifre! ![]() Infatti possiamo prendere il numero di cifre k tale che 10^(k–2) – 3 sia divisibile per 299 e poi prendere A di due cifre ... a picere! Le divisioni di interi per 299 dànno quozienti periodici con periodo di 66 cifre. Arrestando allora la divisione per 299 di una potenza di 10 quando il resto è 3 si trova il k–2 giusto. Possiamo allora prendere k–2 cifre consecutive del periodo con le prime cifre piccolette in modo che il triplo non faccia un riporto che aumenta di 1 la lunghezza del numero. Se faccio 1000/299 trovo (mettendo in grassetto il periodo di 66 cifre) (numero) = 1000/299 = =3,34448160535117056856187290969899665551869464882943 1438127090301003344481605351105685618729 .... Ho segnato in blu e in dimensioni 3 la cifra (che è il penultimo 3 del periodo in grassetto) in cui arrestare la divisione perchè il resto sia 3. (Infatti la cifra successiva è 0 – perché è 30 : 299 – e la successiva ancora è 1 – perché è 300 : 299 - seguita da 2 zeri e poi da 3). Allora – a titolo di esempio – una soluzione del quiz è anche questa: Codice:
N = 160535117056856187290969899665551869464882943143812709030100334448; N' = 4816053511705685618729096.899665551869464882943143812709.0301003344 = 3N. «Il numero di cifre di una soluzione è il numero di cifre del periodo del quoziente della divisione che c'è da fare.» Nel tuo quiz c'era da dividere per 17 e le divisioni per 17 dànno quozienti con periodo di 16 cifre: quindi le soluzioni sono interi di 16 cifre. Nel primo quiz che ho ricavato modificando un po' il tuo c'era da dividere per 7 e le divisioni per 7 dànno quozienti periodici con periodo di 6 cifre: e allora le soluzioni erano di 6 cifre. Nel secondo mio quiz (col trasporto non di una ma di due cifre dalla coda alla testa del numero) c'era da dividere per 299 che però non è primo ma è 13·23. Allora si potevano prendere le due cifre di coda costituenti un multiplo di 23 o di 13 e quindi restava da dividere per 13 o per 23, ottenend soluzioni rispettivamente di 6 o di 22 cifre. Ma si poteva dividere anche per 299 (che dà quozienti periodici con periodo di 66 cifre) ottenendo come soluzioni interi di 66 cifre. –––––– ![]()
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» Ultima modifica di Erasmus : 21-11-20 04:05. |
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#3853 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 5,598
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![]() È noto che la serie armonica
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· + 1/n + ··· diverge, cioè a patto di sommare abbastanza termini la somma può diventare arbitrariamente grande. Lo stesso (diverge) per la serie che include solo i termini con n pari o con n dispari. Ma cosa succede se si rimuovono dalla serie armonica tutti i termini in cui n, nella sua rappresentazione in base 10, contiene la cifra "9" (per esempio, n = 9, n = 49, n = 901, n = 991)? Questa nuova serie converge o diverge? Erasmus, se non lo sapevi già, è pane per i tuoi denti ![]() ![]() |
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#3854 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Sep 2007
Messaggi: 4,272
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![]() 10 S= 2,92896825396825
100 S= 5,18737751763962 1000 S= 7,48547086055034 10000 S= 9,78760603604435 100000 S= 12,0901461298633 1000000 S= 14,392726722865 10000000 S= 16,6953113658573 100000000 S= 18,9978964138526 1000000000 S= 21,3004815023485 Ho un notebook diverso a cui sto cercando di abituarmi, e ho cercato di capire cosa intende Aspesi per "divergere". In effetti, allungando la serie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· + 1/n + ··· con sempre nuovi elementi, la loro somma continua ad aumentare. ![]() |
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#3855 | |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 5,598
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![]() Quote:
E' esattamente come dici per la serie armonica. Invece, eliminando tutti i termini che contengono almeno un 9, la serie converge ed è stato scoperto che il limite è 10*ln(10) Grossolanamente, a quello che ho capito io, questa serie converge perché gli interi molto grandi hanno più probabilità di possedere qualunque cifra. Per esempio, è davvero molto probabile che un intero casuale di 100 cifre contenga almeno un 9, causandone l'esclusione dalla precedente somma. ![]() |
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#3856 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: May 2004
Messaggi: 9,693
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![]() Infatti riflettevo ieri sera che, per tutta la serie di numeri interi N di K cifre, solo 0.9^K di questi NON contengono la cifra 9 (così come qualunque altra cifra, solo che il 9 "pesa" di più). Quindi, al tendere di N all'infinito, anche K tende all'infinito, sia pure in scala logaritmica rispetto a N, e ciò mi faceva ritenere che la serie fosse convergente.
Dimostrarlo e calcolarne la somma è altro discorso, e in questo caso la forza bruta è inutile. |
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#3857 |
Utente Super
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 7,628
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![]() Una volta qui si parlò dei numeri "Rotondi"
Sono passati tanti anni e non ricordo più nulla dei numeri rotondi anche se probabilmente fui proprio io a tirarli fuori. Credo che si dice che il tal numero è più rotondo del talaltro se è più fortemente composto dell'altro. Sappiamo per esempio che il 60 è fortemente composto ed è per questo che ci sono i sessagesimi, l'ora è diviso in 60 minuti e l'angolo giro va anche esso di 60 in 60 Così credo che anche nelle cifre se non sbaglio l'analogia , ci sono numeri più rotondi degli altri. Es. in un prodotto di 2 qualsiasi numeri (e dovrebbe succedere la stessa cosa per quanto riguarda i reciproci dei numeri perché qui di reciproci si parla) e' molto più facile trovare come probabile un 9 che un 7, nel senso che 9 può venire fuori da un 3 x 3 più i riporti del prodotto precedente e allora che ci trovi più 9 che 7 perché il 7 essendo primo non si può ottenere come prodotto di 2 numeri. Dovrebbe andare meglio con l'8 perché si ottiene dal 4 x 2 oppure dal 2 x 4 più i riporti. Sono andato a dare un'occhiatina a tutti i reciproci dei numeri primi da 7 a 100 (escludendo i casi più banali del 2 , 3 , 5 ) ebbene su 22 numeri se ho contato bene, ben 19 sarebbero da escludere perché contenenti il 9 Ciao Quindi leggendo quello che avete già scritto il limite dovrebbe essere 10 ln 10 che è =23,02585093 Ultima modifica di nino280 : 25-11-20 06:54. |
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#3858 | |
Utente Super
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Messaggi: 6,235
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![]() Una "serie" (cioè la somma ordinata di infiniti addendi) può essere convergente, divergente o oscillante.
a) E' "convergente" se tende ad un preciso limite, diciamolo L, ossia – per dirlo con rigore come direbbe il famigerato Giuseppe Scorza Dragoni ![]() Per esempio, è noto che la somma dei reciproci dei quadrati degli interi positivi (cioè: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + .... ) converge a (π^2)/6. Altro esempio: per ogni x compreso gtra –1 e +1 esclusi, la "serie geometrica" 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... converge al limite 1/(1–x) b) La serie è "divergente" se, al crescere indefinitamente del numero di addendi, tende all'infinito ossia se, dato ad arbitrio un numero positivo ε (anche grande a piacere) esiste di conseguenza un indice n tale che il modulo della somma degli addendi con indice fino a superare n è comunue maggiore di ε. c) Una serie è "oscillante" se non è convergente né divergente, cioè se – da un certo indice in poi – la somma varia stando però entro una fascia determinata da un limite superiore ed un limite inferiore. Quote:
I due esempi di serie "convergente" che ti ho portato sono appunto di somme che continuano a crescere: ma con aumenti sempre più picoli e tali che la somma approssima sempre meglio un precio limite. --- ![]()
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» Ultima modifica di Erasmus : 27-11-20 00:20. |
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#3859 | ||
Utente Super
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Messaggi: 6,235
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![]() Quote:
![]() I numeri naturali che, in base 10, hanno al massimo k cifre – sono cioè minori di 10^k – sono ovviamente 10^k (andando da 0 a (10^k) –1). Conveniamo di premettere k–m zeri ai numeri [minori di 10^(k–1) ] che siamo soliti scrivere con m < k cifre. Allora, di questi 10^k interi, quelli che hanno h volte una determinata cifra c sono C(k, h)·9^(k–h) { dove C(k, h) vale k!/[h!(k–h)!] }. Quelli senza la cifra c sono dunque C(k,0)·9^k = 1·9^k Succede anche (ovviamente ![]() Codice:
k • ∑C(k, h)9^(k–h) = (1 + 9)^k = 10^k (cioè tutti i numeri di k cifre) h=0 k–1 • ∑C(k,h)·9^(k–h) = numero di numeri con almeno una volta la cifra c h=0 k–1 • ∑h·C(k. h)·9^(k–h) = numero totale di volte dell'uso della cifra c = k·10^(k–1) h=0 Quote:
Stiamo trattando il cancellare dalla serie armonica (i cui termini sono i reciptoci degli intyeri positivi) i reciproci di numeri che, in base dieci, contengonoi laa cifra 9. Questa è*maggiore ("pesa di più", dici tu) di ogni altra cifra ... ma sta nel denominatore! Siccome al crescere dell'indice sono sempre più rari gli interi il ciui reciproco è uno degli addendi della serie così mutilata, succede che questa converge. Mi sento sicuro che convergono anche le serie ottenute da quella armonica cancellando i termini nel cui denominatore sta qualsiasi altra determinata cifra, A cosa convergano non lo sappiamo. Mi piacerebbe capire come si trova che cancellando i rerciproci dei numeri con almeno un 9 resta una serie che convege a 10ln(10) ≈ 23,02 ![]() ––– ![]()
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Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!» |
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#3860 | |
Utente Super
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![]() Quote:
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_...18mqwkGVs4-Rp4 ![]() Questo è più interessante http://www.bitman.name/math/article/744 |
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