Qualche quiz

[aspesi]

Erasmus

Devi prendere A multiplo di 13 , per esempio A = 3·13 = 39.
Allora è B = 3·(Numero) = 13043478260869565217
e quindi:
N = 1304347826086956521739;
N' = 3913043478260869565217 = 3N.
––––

Anche il doppio
2 608 695 652 173 913 043 478 *3 = 7 826 086 956 521 739 130 434

[Erasmus]

aspesi

Anche il doppio
2 608 695 652 173 913 043 478 *3 =7 826 086 956 521 739 130 434

Certo! Infatti avevo detto "multiplo di 13, per esempio 39".
––––
Ma ci sono altre soluzioni ben più lunghe come numero di cifre!
Infatti possiamo prendere il numero di cifre k tale che
10^(k–2) – 3
sia divisibile per 299
e poi prendere A di due cifre ... a picere!
Le divisioni di interi per 299 dànno quozienti periodici con periodo di 66 cifre.
Arrestando allora la divisione per 299 di una potenza di 10 quando il resto è 3 si trova il k–2 giusto.
Possiamo allora prendere k–2 cifre consecutive del periodo con le prime cifre piccolette in modo che il triplo non faccia un riporto che aumenta di 1 la lunghezza del numero.
Se faccio 1000/299 trovo (mettendo in grassetto il periodo di 66 cifre)
(numero) = 1000/299 =
=3,34448160535117056856187290969899665551869464882943 1438127090301003344481605351105685618729 ....
Ho segnato in blu e in dimensioni 3 la cifra (che è il penultimo 3 del periodo in grassetto) in cui arrestare la divisione perchè il resto sia 3.
(Infatti la cifra successiva è 0 – perché è 30 : 299 – e la successiva ancora è 1 – perché è 300 : 299 - seguita da 2 zeri e poi da 3).
Allora – a titolo di esempio – una soluzione del quiz è anche questa:

N =     160535117056856187290969899665551869464882943143812709030100334448;
N' = 4816053511705685618729096.899665551869464882943143812709.0301003344 = 3N.

Se ne induce una regoletta generale (per i quiz di questo tipo,)
«Il numero di cifre di una soluzione è il numero di cifre del periodo del quoziente della divisione che c'è da fare.»
Nel tuo quiz c'era da dividere per 17 e le divisioni per 17 dànno quozienti con periodo di 16 cifre: quindi le soluzioni sono interi di 16 cifre.
Nel primo quiz che ho ricavato modificando un po' il tuo c'era da dividere per 7 e le divisioni per 7 dànno quozienti periodici con periodo di 6 cifre: e allora le soluzioni erano di 6 cifre.
Nel secondo mio quiz (col trasporto non di una ma di due cifre dalla coda alla testa del numero) c'era da dividere per 299 che però non è primo ma è 13·23.
Allora si potevano prendere le due cifre di coda costituenti un multiplo di 23 o di 13 e quindi restava da dividere per 13 o per 23, ottenend soluzioni rispettivamente di 6 o di 22 cifre.
Ma si poteva dividere anche per 299 (che dà quozienti periodici con periodo di 66 cifre) ottenendo come soluzioni interi di 66 cifre.
––––––

[aspesi]

È noto che la serie armonica
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· + 1/n + ···
diverge, cioè a patto di sommare abbastanza termini la somma può diventare arbitrariamente grande.
Lo stesso (diverge) per la serie che include solo i termini con n pari o con n dispari.

Ma cosa succede se si rimuovono dalla serie armonica tutti i termini in cui n, nella sua rappresentazione in base 10, contiene la cifra "9" (per esempio, n = 9, n = 49, n = 901, n = 991)?
Questa nuova serie converge o diverge?

Erasmus, se non lo sapevi già, è pane per i tuoi denti

[astromauh]

10 S= 2,92896825396825
100 S= 5,18737751763962
1000 S= 7,48547086055034
10000 S= 9,78760603604435
100000 S= 12,0901461298633
1000000 S= 14,392726722865
10000000 S= 16,6953113658573
100000000 S= 18,9978964138526
1000000000 S= 21,3004815023485

Ho un notebook diverso a cui sto cercando di abituarmi, e ho cercato di capire cosa intende Aspesi per "divergere".

In effetti, allungando la serie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· + 1/n + ··· con sempre nuovi elementi, la loro somma continua ad aumentare.

[aspesi]

astromauh

1
Ho un notebook diverso a cui sto cercando di abituarmi, e ho cercato di capire cosa intende Aspesi per "divergere".

In effetti, allungando la serie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· + 1/n + ··· con sempre nuovi elementi, la loro somma continua ad aumentare.

Cìao astromauh, tutto bene?
E' esattamente come dici per la serie armonica.
Invece, eliminando tutti i termini che contengono almeno un 9, la serie converge ed è stato scoperto che il limite è 10*ln(10)

Grossolanamente, a quello che ho capito io, questa serie converge perché gli interi molto grandi hanno più probabilità di possedere qualunque cifra. Per esempio, è davvero molto probabile che un intero casuale di 100 cifre contenga almeno un 9, causandone l'esclusione dalla precedente somma.

[Mizarino]

Infatti riflettevo ieri sera che, per tutta la serie di numeri interi N di K cifre, solo 0.9^K di questi NON contengono la cifra 9 (così come qualunque altra cifra, solo che il 9 "pesa" di più). Quindi, al tendere di N all'infinito, anche K tende all'infinito, sia pure in scala logaritmica rispetto a N, e ciò mi faceva ritenere che la serie fosse convergente.
Dimostrarlo e calcolarne la somma è altro discorso, e in questo caso la forza bruta è inutile.

[nino280]

Una volta qui si parlò dei numeri "Rotondi"
Sono passati tanti anni e non ricordo più nulla dei numeri rotondi anche se probabilmente fui proprio io a tirarli fuori.
Credo che si dice che il tal numero è più rotondo del talaltro se è più fortemente composto dell'altro.
Sappiamo per esempio che il 60 è fortemente composto ed è per questo che ci sono i sessagesimi, l'ora è diviso in 60 minuti e l'angolo giro va anche esso di 60 in 60
Così credo che anche nelle cifre se non sbaglio l'analogia , ci sono numeri più rotondi degli altri.
Es. in un prodotto di 2 qualsiasi numeri (e dovrebbe succedere la stessa cosa per quanto riguarda i reciproci dei numeri perché qui di reciproci si parla) e' molto più facile trovare come probabile un 9 che un 7, nel senso che 9 può venire fuori da un 3 x 3 più i riporti del prodotto precedente e allora che ci trovi più 9 che 7 perché il 7 essendo primo non si può ottenere come prodotto di 2 numeri.
Dovrebbe andare meglio con l'8 perché si ottiene dal 4 x 2 oppure dal 2 x 4 più i riporti.
Sono andato a dare un'occhiatina a tutti i reciproci dei numeri primi da 7 a 100 (escludendo i casi più banali del 2 , 3 , 5 ) ebbene su 22 numeri se ho contato bene, ben 19 sarebbero da escludere perché contenenti il 9
Ciao
Quindi leggendo quello che avete già scritto il limite dovrebbe essere 10 ln 10 che è =23,02585093

[Erasmus]

astromauh

[...] ho cercato di capire cosa intende Aspesi per "divergere".

Una "serie" (cioè la somma ordinata di infiniti addendi) può essere convergente, divergente o oscillante.
a) E' "convergente" se tende ad un preciso limite, diciamolo L, ossia – per dirlo con rigore come direbbe il famigerato Giuseppe Scorza Dragoni – se, dato ad arbitrio un numero positivo ε (anche piccolo a piacere) esiste un indice n tale che la somma fino a qualsiasi indice maggiore di n è compresa tra L – ε e L + ε.
Per esempio, è noto che la somma dei reciproci dei quadrati degli interi positivi (cioè: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + .... ) converge a (π^2)/6.
Altro esempio: per ogni x compreso gtra –1 e +1 esclusi, la "serie geometrica"
1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ...
converge al limite 1/(1–x)
b) La serie è "divergente" se, al crescere indefinitamente del numero di addendi, tende all'infinito ossia se, dato ad arbitrio un numero positivo ε (anche grande a piacere) esiste di conseguenza un indice n tale che il modulo della somma degli addendi con indice fino a superare n è comunue maggiore di ε.
c) Una serie è "oscillante" se non è convergente né divergente, cioè se – da un certo indice in poi – la somma varia stando però entro una fascia determinata da un limite superiore ed un limite inferiore.

astromauh

In effetti, allungando la serie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· + 1/n + ··· con sempre nuovi elementi, la loro somma continua ad aumentare.

Non basta che la somma continui ad aumentare per dire che la serie è "divergente".
I due esempi di serie "convergente" che ti ho portato sono appunto di somme che continuano a crescere: ma con aumenti sempre più picoli e tali che la somma approssima sempre meglio un precio limite.
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[Erasmus]

Mizarino

Infatti riflettevo ieri sera che, per tutta la serie di numeri interi N di K cifre, solo 0.9^K di questi NON contengono la cifra 9 (così come qualunque altra cifra, solo che il 9 "pesa" di più).

Occhio all'equivocabilità dell'espressione "0.9^k di questi" Correggi 0.9^k con 9^k. Oppure di': "Di questi, solo la frazione (9/10)^k è di numeri che NON contengono ecc. "

I numeri naturali che, in base 10, hanno al massimo k cifre – sono cioè minori di 10^k – sono ovviamente 10^k (andando da 0 a (10^k) –1). Conveniamo di premettere k–m zeri ai numeri [minori di 10^(k–1) ] che siamo soliti scrivere con m < k cifre.
Allora, di questi 10^k interi, quelli che hanno h volte una determinata cifra c sono
C(k, h)·9^(k–h)
{ dove C(k, h) vale k!/[h!(k–h)!] }.
Quelli senza la cifra c sono dunque C(k,0)·9^k = 1·9^k
Succede anche (ovviamente ) che:

   k
• ∑C(k, h)9^(k–h) = (1 + 9)^k = 10^k (cioè tutti i numeri di k cifre)
  h=0

  k–1
• ∑C(k,h)·9^(k–h) = numero di numeri con almeno una volta la cifra c
  h=0

 k–1
• ∑h·C(k. h)·9^(k–h) = numero totale di volte dell'uso della cifra c = k·10^(k–1)
 h=0

Per esempio.

Mizarino;8390[...

solo che il 9 "pesa" di più [...]le.

Cosa intendi dire davvero ... mi è difficile capire!
Stiamo trattando il cancellare dalla serie armonica (i cui termini sono i reciptoci degli intyeri positivi) i reciproci di numeri che, in base dieci, contengonoi laa cifra 9. Questa è*maggiore ("pesa di più", dici tu) di ogni altra cifra ... ma sta nel denominatore! Siccome al crescere dell'indice sono sempre più rari gli interi il ciui reciproco è uno degli addendi della serie così mutilata, succede che questa converge. Mi sento sicuro che convergono anche le serie ottenute da quella armonica cancellando i termini nel cui denominatore sta qualsiasi altra determinata cifra,
A cosa convergano non lo sappiamo.
Mi piacerebbe capire come si trova che cancellando i rerciproci dei numeri con almeno un 9 resta una serie che convege a 10ln(10) ≈ 23,02
–––

[aspesi]

Erasmus

Mi sento sicuro che convergono anche le serie ottenute da quella armonica cancellando i termini nel cui denominatore sta qualsiasi altra determinata cifra,
A cosa convergano non lo sappiamo.
Mi piacerebbe capire come si trova che cancellando i rerciproci dei numeri con almeno un 9 resta una serie che convege a 10ln(10) ≈ 23,02
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Guarda qui
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_...18mqwkGVs4-Rp4



Questo è più interessante
http://www.bitman.name/math/article/744