Qualche quiz

[Erasmus]

Erasmus

x ≈ – 0,43084056624279/2 ;
y ≈ 0,52942639825188/2;
z = 1 – 2x ≈1,43084056624279.

Ho scritto i numeri in notazione decimale. Ma si potrebbe anche scriverli esatti" con le loro complicate espressioni "radicali".
La più semplice di queste espressioni è quella del valore di z, che è la [sola] soluzione reale dell'equazione
z^3 – z^2 – z/2 – 1/6 =0.
Posto z = t + 1/3 si risolve l'equazione "canonica" in t che risulta:
t^3 –(5/6)t – 11/27
ottenendo alla fine

      [11/2 + (3/2)√(13/2)]^(1/3) +  [11/2 – (3/2)√(13/2)]^(1/3) + 1
z = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ≈1,43084956624279.
                                    3

––––––

[aspesi]

Erasmus

Concettualmente questo quiz non è difficile!
Ma è piuttosto ... "incasinato"; e si rischia di perdersi per strada se non si procede con ... i piuedi di piombo!
Una cosa che si scopre procedendo alla risoluzione del quiz, è che i tre numeri [a, b, c] non possono essere tutti reali.
Alla fine della fiera si trova la terna (non ordinata):
[a, b, c] = [x + jy, x –jy, z]
dove
x ≈ – 0,43084056624279/2 ;
y ≈ 0,52942639825188/2;
z = 1 – 2x ≈1,43084056624279.

Lascio ad aspesi il calcolo di a^6 + b^6 + c^6 . Ma lo aiuto scrivendo le potenze di un numero complesso.
(x ± jy)^2 = (x^2 – y^2) ± jxy;
(x ± jy)^3 = (x^3 – 3xy^2) ± j (3yx^2 – y^3);
(x ± jy)^6 = [(x ± jy)^3]^2 = [(x^3 – 3xy^2)^2 – (3yx^2 – y^3)^2] ± j[(x^3 – 3xy^2)·(3yx^2 – y^3)].
Pertanto risulterà:
a^6 + b^6 + c^6 = 2·[(x^3 – 3xy^2)^2 – (3yx^2 – y^3)^2]+ z^6
dove x, y e z valgono quanto sopra dichiarato (in blue).
––

Mi spiace, non mi ci metto...
Non ho mai visto una roba (che mi pare una schifezza, ma è senz'altro colpa mia... ) del genere

[nino280]

Proseguendo nella lettura del MdGM vado a leggere cosa viene dopo il 153.
Dopo il 153 abbiamo il 154
Dice:
154! + 1 è un numero primo.
Purtroppo non ho una calcolatrice abbastanza potente per verificarlo.
Ciao

[aspesi]

nino280

154! + 1 è un numero primo.
Purtroppo non ho una calcolatrice abbastanza potente per verificarlo.
Ciao

Il numero è questo
30897696138473508879585646703632404659201907040888 8204778715
89289865505687886666220300447285640952619071680544 3374941092
64649994680187591361311072737951454695525676891035 6408637432
00899694758450943586711068571022031011228320107310 6124800000
00000000000000000000000000000001

sono solo 272 cifre
Che sarà mai di fronte a 2^74.207.281 - 1

[nino280]

Ti prego Nino. Ho già abbastanza mal di testa per conto mio o per i fatti miei
Ciao

[Erasmus]

Riprendo – per spiegare come si procede – il quiz proposrto da aspesi che diceva:
«
E' dato il sistema algebrico (nelle incognite a, b e c):
a + b + c = 1;
a^2 + b^2 + c^2 = 2;
ea^3 + b^3 + c^3 = 3.
Quanto vale a^6 + b^6 + c^6 ?
»
Si tratta di un sistema simmetrico di grado 2·3 = 6.
Avrà quindi 6 soluzioni ciostituite dalle 3! permutazioni di una terna non ordinata.
Basta dunque trovare una una soluzione.
Osserviamo anzitutto che per qualsiasi coppia di numeri (reali o colplessi) u e v si ha:.
u^2 + v^2 = (u+v)^2 – 2uv;
u^3 + v^3 = (u + v)^3 – 3uv(u+v).
Allora il dato sistema si può trasformare in quest'altro ad esso equivalente
a+b = 1 – c;
(a+b)^2 – 2ab = 2 – c^2 (*)
(a+b)^3 – 3ab(a+b) = 3 – c^3 (**)

Eliminiamo ora (a+b) da (*) e da (**) sostituendovi (a+b) con (1–c). Otteniamo facilmente:
(1 – c)^2 – 2ab = 2 – c^2 ⇔ (1– c)^2 –(2–c^2) =2ab ⇔ ab = c^2 – c – 1/2 (***)
(1 – c)^3 –3ab(1–c) = 3 – c^3 *⇔ [...]* ab = (2/3)/(c–1) – c. (****)
Uguagliando i secondi membri di (***) e (****) si ricava alla fine una equazione di 3° grado in c la quale, portando ad 1 il coefficiente di c^3, risulta:
c^3 – c^2 – c/2 – 1/6 = 0.
Per applicare la formula risolutiva dell'equazione canonica (nella quale manca il termine di 2° grado) si ponga c = t+1/3. Allora si trova:
c^3 – c^2 –c/2 – 1/6 = (t+1/3)^3 – (t+1/3)^2 – (t+1/3)/2 – 1/6 = t^3 – (5/6)t – 11/27 = 0.
Quest'ultima equazione ha una sola soluzione reale che vale:

      [11/2 + (3/2)√(13/2)]^(1/3) +  [11/2 – (3/2)√(13/2)]^(1/3)
t = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ≈1,09751623290946.
                                    3

Sicché:
c = t + 1/3 ≈1,43084056624279.
Allora, per essere
a+b = 1 – c;
ab = c^2 – c –1/2
si trovano i valori di a+b e di ab e da questi i valori di a e b (che risultano complessi e coniugati uno dell'altro).
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[aspesi]

Erasmus

Sicché:
c = t + 1/3 ≈1,43084056624279.
Allora, per essere
a+b = 1 – c;
ab = c^2 – c –1/2
si trovano i valori di a+b e di ab e da questi i valori di a e b (che risultano complessi e coniugati uno dell'altro).
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Questa dimostrazione (che non avrei mai saputo fare!), mi piace, grazie

[Erasmus]

aspesi

Se
a + b + c = 1
a^2 + b^2 + c^2 = 2
a^3 + b^3 + c^3 = 3
quanto vale
a^6 + b^6 + c^6?

Non ho capito perché a^6+b^6+c^6 = 103/12

Sia:
a = –x + jy;
b = – x – jy;
c = z = 1 – (a+b);
[con x ed y reali positivi].
Allora c è reale (e vale 1 + 2x) e a^6 + b^6 è reale perché se a e b sono coniugati anche a^6 e b^6 sono coniugati.
Risulta in generale:
(–x + jy)^6 + (–x – jy)^6 + (1 + 2x)^6 =
= 2·[x^6 – 15·(x^4)·(y^2) + 15·(x^2) ·(y^4) – y^6] + (1 + 6·2x + 15·(2x)^2 + 20·(2x)^3 + 15·(2x)^4 + 6·(2x)^5 + (2x)^6. (*)
Per x = 0,43084056624279/2 (e quindi c = 1 + 2x = 1,43084056624279) ed y = 0,52942639825188/2 la (*) porge:
12(a^6 + b^6 + c^6) ≈102,996 ... ≈ 103
Ma non so se, usando le complicate espressioni radicali, alla fine risulti esattamente 12(a^3 + b^3 + c^3) = 103 o se quel 103 è comunque una approssimazione seppur molto buona.
------
L'equazione in c (ossia quella che porge il valore di una delle tre incognite) è di terzo grado con una sola soluzione reale.
Tu mi ringrazi per aver spiegato come ho trovato le altre due incognite (dette a e b), cioè trovando dapprima il valore di a+b – diciamolo s – e quello di ab – diciamolo p – e passando quindi per la successiva equazione di 2° grado:
t^2 – st + p =0
le cui soluzioni sono appunto t = a e t = b.
Ma, ripensandoci, una volta trovata la soluzione reale dell'equazione di 3 grado – facile perché appunto con una sola soluzione reale), le altre due soluzioni (ricavabili con una equazione di 2° grado ottenuta da quella di 3° grado) sono proprio i vlori delle altre due incognite (conplesso-coniugate).
Insomma: con la pazienza che io non ho più non sarebbe nemmeno troppo difficile avere le esatte espressiioni "radicali" delle tre costanti reali che ho chiamato x, y e z. (e alla fine di a^6 + b^6 + c^6.
Comunque ... s'è capito come succede che questa somma valga 103/12.
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[Erasmus]

Ecco un altro quiz simpatico.
[E' uno di quelli affrontati dai ragazzi che hanno fatto i "giochi matematici" l'anno scorso alla Bocconi (Milano) – tra i quali anche quel mio nipotino che faceva la terza liceo ... e ora ha 17 anni compiuti. Ma ho cambiato i dati e quindi è cambiata anche la risposta giusta].]

In una classe di N allievi, gli insegnanti promuovono tre iniziative – diciamole A, B e C – con partecipazione volontaria.
Succede che
• nessun allievo partecipa a meno di due delle tre iniziative;
e precisamente:
• 13 allievi partecipano alle iniziative A e B,
• 17 allievi partecipano alle iniziative A e C,
• 21 allievi partecipano alle iniziative B e C e
• 3 allievi partecipano a tutte tre le iniziative (A, B e C).

Quanti sono gli allievi di quella classe? [ N = ? ]
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[Mizarino]

Ah, ah! Cagnato!

Nonostante la tua pignoleria, non hai precisato se il numero di allievi che partecipano alle iniziative A e B, A e C, e B e C include oppure no i 3 che partecipano a tutte le tre iniziative.