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Vecchio 08-12-13, 11:01   #1231
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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6. Peso un lingotto di C1, [Settima pesata]
Venendo così a sapere se l'anomalo è lui o è l'altro.
-----------
Sei riuscito ad identificare non solo il lingotto anomalo, ma anche se è più pesante o più leggero degli altri (il quiz non richiede questo), ma con una pesata in più del necessario (nel tuo caso più sfavorevole).

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-12-13, 11:12   #1232
Luciano Monti
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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UP!
Quiz molto facile ma anche molto simpatico!

Nessuno ha ancora dato la risposta a questo quiz!
Vediamo se questo richiamo frutterà qualcosa.
[Se no la risposta la daremo noi, tu o io].
---------
Pensavo che il tuo post avesse già risposto al quesito, comunque:

sono tutte figure per le quali area e perimetro hanno lo stesso valore.

Ciao,
Luciano
Luciano Monti non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-12-13, 12:06   #1233
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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1. Divido i 32 lingotti in due gruppi A e B da 16.
Si può anche procedere diversamente, ossia partire con un numero di gruppi maggiore di 2, (per esempio 4 gruppi, e magari con diversa cardinalità), in modo che, se si è fortunali, si raggiunge lo scopo (identificare il lingotto anomalo) con un numero di pesate minore di 6.
Allora, identificati i vari modi di procedere, sarebbe interessante, in ciascuno dei modi, calcolare la probabilità del numero di pesate; e, al variare dei modi, quale di essi ha maggiore probabilità di terminare col numero minore di pesate.
Entrambe le cose si potrebbero pure valutare per via statistica (nota da noi con la dizione «con la "forza bruta"»).

Provo ora (in real time, nel senso che ci penso mentre scrvo), cosa succede isolando un lingotto.
1. Metto da parte un lingotto; divido gli altri 31 lingotti in due gruppi A e B. A di 15 lingotti, B di 16. Li peso entrambi. [Due pesate]. Annoto i pesi pA e pB e ne faccio il rapporto.
a) Se pA/pB vale 15/16, il lingotto anomalo è quello messo da parte. [2 sole pesate, probabilità 1/32]
b) Se il rapporto è diverso da 15/16 [probabilità 31/32] il lingotto anomalo sta in A oppure in B; allora peso quello messo da parte. [Terza pesata]. E sia p il suo peso. Allora o il gruppo A pesa 15 oppure (OR esclusivo!) il gruppo B pesa 16p.
Quindi sono in grado non solo di sapere in quale gruppo sta il lingotto anomalo, ma anche di sapere se pesa di più di uno normale (e allora o pA > 15p oppure (XOR!) pB > 16p) o di meno (e allora pA < 15p XOR pB < 16p); e infine di sapere, per differenza, il peso x del lingotto anomalo.
Supponiamo che sia x < p.
Le probabilità che il lingotto anomalo stia in A da 15 elementi o in B da 16 sono rispettivamente
p(A) = (31/31)·(15/31) = 15/32; p(B) = (31/31)·(16/31) = 16/32 = 1/2.
2.Ripeto il procedimento di prima sul gruppo in cui sta il lingotto anomalo. Ho però più informazioni di quelle iniziali: so il peso p di un lingotto normale e il peso x di quello anomalo (non ancora identificato).
Mettiamo che sia quello da 15 (probabilità 15/32) il gruppo che contiene l'anomalo. Metto da parte un lingotto; divido gli altri 14 in due gruppi da 7. Peso il lingotto separato. [Quarta pesta]. Se pesa x è lui l'anomalo.
La probabilità di individuarlo in 4 pesate è (15/32)·(1/15) = 1/32.
Se l'anomalo fosse stato in quello da 16, separandone 1, dividendo gli altri 15 in due gruppi da 8 e da 7. ripetendo il discorso per questa diversa situazione si trova ancora la probabilità 1/32 di individuare l'anonimo con 4 pesate:
Quindi; se non sbaglio; la probabilità di individuare l'anomalo in 4 pesate è, alla fine, 2·(1/32) = 1/16
...
Mi sono stufato ma è chiaro come continuerebbe questa solfa.
– Ogni volta metto da parte un lingotto e divido i restanti in due gruppi di uguale (o quasi uguale) cardinalità.
Peso il lingotto separato. Se pesa x ho finito. [So il numero di pesate e con quale probabilità succede che sia così].
Se no ripeto sul gruppo che contiene l'anomalo fino ad identificarlo.
In ognuna delle eventualità so dopo quante pesate e con quale probabilità.
–––––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 09-12-13 06:18.
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-12-13, 12:24   #1234
aspesi
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sono tutte figure per le quali area e perimetro hanno lo stesso valore.
Ciao,
Luciano
Ciao Luciano.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-12-13, 12:36   #1235
aspesi
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Se no ripeto sul gruppo che contiene l'anomalo fino ad identificarlo.
In ognuna delle eventualità so dopo quante pesate e con quale probabilità.
–––––––
Ma anche così. se va male, occorrono 7 pesate.

Eppure è facilissimo trovare diverse procedure che terminano con 6 pesate.
E, nel caso di 31 lingotti iniziali (quiz 2), la soluzione migliore dà un numero massimo di pesate pari a 5.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-12-13, 19:40   #1236
Planezio
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Scusa, la bilancia di precisione indica anche il valore della pesata?
Cioè SE nel piatto c'è il lingotto diverso indica un valore indicativo?
Planezio non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-12-13, 21:28   #1237
aspesi
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Planezio Visualizza il messaggio
Scusa, la bilancia di precisione indica anche il valore della pesata?
Cioè SE nel piatto c'è il lingotto diverso indica un valore indicativo?
Sì, la bilancia ha una sensibilità sufficiente per mostrare la differenza di peso del lingotto anomalo rispetto agli altri, qualunque sia il numero dei lingotti messi sul piatto.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 09-12-13, 10:36   #1238
Planezio
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Allora, metto sulla bilancia 16 lingotti. "O" pèesano giusto, "O" pesano sbagliato.
Se pesano giusto, prendo altri 8 lingotti. (2° peso)
"O" pesano giusto "O" sbagliato.
Se pesano giusto, prendo 4 lingotti (3° peso)
Se pesano giusto, prendo 2 lingotti (4° peso)
Col 5° peso determino qual è quello col peso diverso.
Sbaglio?
Ciao
Planezio non in linea   Rispondi citando
Vecchio 09-12-13, 12:07   #1239
aspesi
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Planezio Visualizza il messaggio
Allora, metto sulla bilancia 16 lingotti. "O" pesano giusto, "O" pesano sbagliato.
Ma non sai "a priori" qual è il peso di uno dei lingotti (né di quelli giusti, né di quello sbagliato).
Quindi, il valore della prima pesata (di 16 lingotti) non ti dà l'informazione che citi, cioè che in quel gruppo c'è o no il lingotto anomalo.

Ciao
Nino
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Vecchio 09-12-13, 13:10   #1240
Erasmus
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Ma anche così. se va male, occorrono 7 pesate.
Vediamo se ho capito.
Nel primo mio approccio, dopo tre pesate arrivavo a stabilire in quale di tre gruppi – due da 8 e uno da 16 lingotti – stava quello anomalo e quanto esso pesava (a fortiori se pesava di più o di meno degli altri). Ed ero partito dividendo in due gruppi da 16, con l'incertezza in quale dei due stesse il lingotto anomalo.
Nel secondo approccio sono invece partito ... lasciando da parte [qualc]uno.

Mi dici ora che posso risparmiare una pesata nel caso peggiore.
Forse la posso risparmiare non individuando un sottogruppo (di tre) nel quale sta ll lingotto anomalo, ma un sottogruppo (sempre di tre) in cui l'anomalo non ci sta. Allora, scartandolo, riduco la numerosità dell'unione di due gruppi ... ambigui. Cioè: ripeto la situazione di partenza in cui, se divido in due tutto l'insieme, non so in quale dei due sta il lingotto anomalo. E mi porto dietro due insiemi ... ambigui, ma sempre meno numerosi.

... [mumble mumble] ---

Ho sospeso lo scrivere per provare.
Adotto una procedura che, nel caso più fortunato, mi porta a 5 pesate.
Ecco la procedura ed ecco cosa succede nel caso più fortunato.
1. Suddivido i 32 lingotti in 3 gruppi A, B e C rispettivamente di 16, 8 e 8 lingotti.
Suppongo d'essere fortunato ... quasi come il cugino Gastone.
Peso A e B, [2 pesate], trovando rispettivamente i pesi pA e pB e scoprendo che pA/pB = 2.
Decido che il lingotto anomalo sta in C. E dividendo pB per 8 trovo anche il peso p dei lingotti normali.
2. Prendo gli 8 lingotti di C e li suddivido in 3 sotto-insiemi A1, B1 e C1 rispettivamente di 4, 2 e 2 elementi. Peso A1 e B1, [altre 2 pesate, 4 in tutto] scoprendo che A1 pesa 4p, mentre B1 pesa diversamdente da 2p (di più o di meno). Quindi il pezzo anomalo sta in B1 e so anche se pesa di più o di meno di p.
3. Prendo un elemento a caso di B1 e lo peso. [Quinta e ultima pesata]. Se pesa p, l'elemento bastardo è quell'altro. Se pesa di più o di meno di p, l'elemento bastardo è lui.

Vediamo cosa succede se invece sono sfortunato come Paperino ma ... intelligente come Qui, Quo, Qua.
1. Numero i 32 elementi da 1 a 32. Li suddivido in
A = {1, 2, ..., 15, 16};
B = {17,18, ..., 23, 24};
C = {25, ..., 31, 32}.
Peso A e B, [2 pesate] trovando i rispettivi pesi pA e pB e scoprendo che pA/pB è diverso da 2.
Posto p il peso di ciascuno dei 31 elementi normali e p·(1 + x) il peso dell'elemento bastardo, il rapporto
pA/pB potrebbe essere
pA/pB = 16/(8 + x) = 2/(1 + x/8) (*)
oppure
pA/pB = (16 + x)/8 = 2 + x/8 (**)
Ma io non posso saperlo perché non so il segno di x.
Scarto l'insieme C (di cui ogni elemento pesa p) e suddivido A in
A1 = {1, 2, ... , 7, 8};
B1 = {9, 10, 11, 12};
C1 = {13, 14, 15, 16}.
...
Forse, proseguendo su questa via, si riesce a ridurre a 6 le pesate nel caso più sfortunato.
Ma io, per ora, io non ci sono riuscito.
Lascio perciò volentieri la palla a qualcun altro.
--------
P.S.
Il sapere, ad un certo punto, se l'elemento bastardo pesa di più o di meno degli altri, porta a procedere con una sola pesata alla volta invece che con due. Se no, le mie precedenti 7 pesate sarebbero state di più ...
Insomma: aspesi dice che è facilissimo trovare la procedura che arriva in fondo con sole 6 pesate nel caso più sfigato
Facilissimo sarà per lui, non per me.
----
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 09-12-13 13:16.
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