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Vecchio 18-06-18, 16:12   #1
Erasmus
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Predefinito Sfera circoscritta ad un tetraedro

Sia ABCD un tetraedro irregolare e le lunghezze dei suoi spigoli siano:
BC = a;
CA = b;
AB = c;
AD= d;
BD= e;
CD= f..
Descrivere una procedura atta a trovare il raggi R della sfera circoscritta.

Supponiamo, per esempio:
BC = a = 46;
CA = b = 45;
AB = c = 43];
AD= d = 48;
BD= e = 49;
CD= f. = 51.
Quanto vale il raggio R della sfera circoscritta?

---------------

Due dmande ... accessorie:
a) Quanto vale il volume del tetraedro dell'esempio?
b) Eiste o no una sfera tangente ad oguno dei sei spigoli del tetraedro dell'esempio?
In generale, conoscendo la lunghezza di ciascuno dei sei spigoli, come si fa a sapere se esiste o no la sfera tangente a tutti gli spigoli? [Se esiste sporge in fuori da ogni faccia, (ma ovviamente più piccola di quella circioscritta).
Di questa sfera mi pare che ci siamo occupati molto tempo fa discutendo un quyiz "postato" [ovviamente] da aspesi].
------
__________________
Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 20-06-18 01:37.
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Vecchio 18-06-18, 22:35   #2
nino280
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

https://s22.postimg.cc/c5rwpzrxt/Sfera_R_29.png


Con una sfera di raggio circa 29 c'è la dovremmo cavare.
Ciao
Il volume del tetraedro è 12.067,96603 unità cubiche


Ultima modifica di nino280 : 18-06-18 23:09.
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Vecchio 19-06-18, 10:02   #3
Erasmus
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...]
Con una sfera di raggio circa 29 c'è la dovremmo cavare.
Ma la domanda principale era: «Descrivere una procedura atta a trovare il raggio R della sfera circoscritta».
[Il raggio della sfera non l'ho ancora calcolato].
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Il volume del tetraedro è 12.067,96603 unità cubiche

[A parte il saper usare un programma come "geogebra" –nel quale ormai sei uno "specialista" – , dalla correzione che hai fatto alla figura cambiando l'angolo evidenziato penso che ormai sai come si fa a acalcolare la distanza di un vertice da una faccia ,... cioè l'altezza rispetto a quella faccia assunta come base (e quindi a calcolare poi il volume).

Ti do un suggerimento per il raggio della sfera circoscritta.
L'equazione cartesiana di una sfera di raggio R e centro K (di coordinate Xk, Yk e Zk) è:
(x – Xk)^2 + (y – Yk)^2 + (z – Zk)^2 = R^2
che sviluppando i quadrati e portando a sinistra R^2 diventa
x^2 + y^2 + z^2 – 2(Xk·x + Yk·y + Zk·z) + (Xk^2 + Yk^2 + Zk^2 – R^2) = 0.
Ti ricordi che nel parlare del volume accennavo a due metodi?
Uno era quello di mettere un vertice nell'origine d'un sistema cartesiano e scrivere i tre spigoli con quel vertice comune [messo apposta nell'origine] in forma vettoriale, ossia come terne delle coordinate dell'altro estremo.
Per comodità
• metto in (0, 0, 0) il vertice A (che viene ad avere coordinate [0, 0, 0])
• poi metto sul semi-asse positivo delle x il vertice B, (che viene ad avere coordinate [c, 0, 0])
· poi metto nel piano (x, y) il vertice C (e allora zC = 0 ... e càlcolati tu le coordinate xC e yC
• e infine il quarto vertice D mi viene sollevato al di sopra del piano (x, y) – e càlcolati tu le sue coordinate [xD, yD, zD] –.

Siccome ho messo A in (0, 0, 0), l'equazione della sfera – che allora passa per l'origine - si riduce a
x^2 + y^2 + z^2 – 2(Xk·x + Yk·y + Zk·z) = 0[*]
Perché senz'altroo deve essere R = KA ossia
Xk^2 + Yk^2 + Zk^2 – R^2 = 0. [**]

Se allora nell'equazione[*] metto al posto di (x, y, z) un colpo le coordinate di B, un altro quelle di C ed un altro ancora quelle di D ottengo un sistema di tre equazioni lineari nelle incognite [Xk, Yk, Zk] (coordinate del centro K della sfera).
Il raggio è la distanza di K da un vertice quunque , ed il vertice più comodo è A perché è messo nell'origine,
Dunque, trovate Xk, Yk e Zk abbiamo alla fine
R = √(Xk^2 + Yk^2 + Zk^2) (come risulta anche dalla [**])
–––––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 23-06-18 11:13.
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Vecchio 19-06-18, 13:02   #4
nino280
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

che sviluppando i quadrati e portando a sinistra R^2 diventa
x^2 + y^2 + z^2 – 2(Xk·x + Yk·y + Zk·z) + (Xk^2 + Yk^2 + Zk^2 – R^2) = 0.
Quante volte ti devo dire che certe cose non le so fare.
Poi sovente ti dimentichi che hai a che fare con un buon tornitore, non con un laureato o un ingegnere.
Io sentii parlare degli integrali (per esempio) una sola volta in vita mia, alle serali per una ora soltanto poi basta. Ma quella volta fu magari alle 10 di sera, dopo otto ore di lavoro, pensa come ero fresco.
GeoGebra? La sfrutto, perché so disegnare abbastanza bene (non benissimo) in 3D e allora ne approfitto.
Mi pare che mi hai confermato che il volume è corretto? Son contento.
Ora le giornate tendono al bello, e al contrario dell'inverno, io gioco moltissimo. Quasi tutti i giorni. Arrivo adesso dai campi.
Questo per dire che dedico meno alla geometria.
Il volume del tetraedro l'ho trovato in meno di un quarto d'ora.
E' altrettanto verissimo quello che dici che data una faccia io so trovare l'altezza da un suo punto esterno, lo accenno e forse è anche una ripetizione perché sono convinto di averlo già detto:
ho la faccia triangolare o della forma che vuoi, faccio passare un piano per quella faccia, (per tre punti non allineati ci passa un piano, vabbè quella roba lì) poi ho il comando retta perpendicolare fra un punto esterno al piano ed il piano, che naturalmente ed evidentemente è il mio vertice del tetraedro, la retta ha sempre lunghezza infinita, ma a me serve il segmento cioè l'altezza, allora vado a fare intersezione fra piano e retta e mi da un punto, congiungo ora il vertice col punto et voilà l'altezza. Ti assicuro che è più veloce a fare che a descrivere, perché per scrivere questa cosa ci ho impiegato 10 minuti mentre a farlo sono 4 cliccate.
Ad ogni modo tutto questo non mi serve assolutamente.
Io lo avevo anche fatto nel tuo quiz precedente, ma mi pare che avevo scritto che volevo fare lo "sborone" e avevo calcolato il volume del tetraedro in due modi diversi ed il secondo era quello appunto di area di base per altezza /3
Allora come faccio? Non faccio nulla.
Un tetraedro è formato da 4 vertici.
Clicco i primi tre (da ricordare che siamo in 3D) che lui prende come base, e per ultimo il vertice (le solite 4 cliccate) ho immediatamente oltre ad un bel coloratissimo tetraedro e oltre alle superfici delle quattro facce che nemmeno avevo chiesto, il VOLUME.
Ciao.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-06-18, 14:38   #5
nino280
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Per quanto riguarda il raggio della sfera, se notate io ho detto circa 29 e non 29 giusto.
In effetti ho fatto una verifica. Della sfera circoscritta in qualche modo io avevo anche le coordinate del suo centro (in realtà non me ne sono minimamente interessa di loro) meglio dire avevo un punto F nel disegno, se poi traccio dei segmenti da F ai vertici chiamali anche raggi, mi sono accorto che per tre di essi 29 è perfetto mentre per il quarto avevo un 28,988 (non ricordo devo andare a ricontrollare) quindi 29 non è ok ma dovremmo essere molto vicini.
Dovessi dire come ci sono arrivato vi faccio ridere perché non lo so
Insomma non sapendo come fare vado avanti per tentativi o per pasticci successivi.
Date le facce del tetraedro che già avevo non ricordo se sono andato a cercami gli incentri o i baricentri delle facce.
Facciamo che ho cercato i baricentri, nel senso che tracciavo le bisettrici degli lati dei triangoli o spigoli delle facce.
Date tre facce ottenevo tre baricentri che congiunti fra di loro ottenevo un triangolino più piccolo messo di traverso.
Allora ripetevo e cercavo il baricentro di questo triangolo.
Ho di nuovo un punto, che vado ora a congiungere con i vertici.
Leggo i valori e dei valori (4) che oscillavano dal 28 al 30.
Li sommo e divido per 4.
Devo aver trovato un valore molto vicino al 29 mi sono lasciato ingolosire dall'intero e ho sparato 29, ma anche sospettando che magari Erasmus (ho poi scoperto che lui il raggio non lo conosce ancora) ci avesse messo un intero.
C'è ancora un punto.
Se mettiamo ora io rifaccio una approssimazione successiva e cioè sommo 3 da 29 più uno da 28,988 e poi divido per 4 dovrei avere un errore molto più piccolo.
Il punto di c'è ancora un punto. Come trovo il punto del centro sfera, il nostro F?
E' un gioco di parole. Il punto lo trovo tracciando sfere al contrario cioè che partono dai vertici. Si incontreranno in un punto F .
Io poi andrò a verificare se ho 4 segmenti da F ai vertici di lunghezza (raggio) 28,99 tutti uguali e se si è ok.
Solo la nuova approssimazione non l'ho fatta, l'ho solo pensata nel momento stesso che scrivo, non è che ho sempre voglia di disegnare e ridisegnare e disegnare ancora.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-06-18 17:34.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-06-18, 16:15   #6
Cocco Bill
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Mah, ragazzi, uno sforzo nei titoli non sarebbe male:
"Volume di un tetraedsro irregolare"
"Sfera circoscrittb ad un tetraedro"

Cocco Bill ora è in linea   Rispondi citando
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Vecchio 19-06-18, 16:41   #7
nino280
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Come sappiamo ( almeno era cosi' tempo fa) se sbagli a scrivere il titolo , poi per noi utenti non e' piu' possibile correggere.
Poi riprendo a rispondere ancora ad Erasmus.
Lui chiede una procedura.
Allora che cosa centrano le mie soluzioni a procedura zero?
Io le metto ugualmente, intanto se dovesse intervenire qualcuno e trova una "procedura" succede che ci controlliamo a vicenda.
Lui controlla me e io lui e se il risultato dovesse coincidere, allora si può poi dire con certezza che sia la procedura che il solito mio disegnino sono OK.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-06-18 17:28.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-06-18, 19:39   #8
nino280
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

https://s8.postimg.cc/kqkl5qshh/Grov...Pazzesco_B.png




Sono riuscito a trovare il raggio della sfera a meno di 5 cifre decimali (perché 5 è il numero che ho impostato come arrotondamento).
E' = 28,99604
Il nome del file del disegno è "Groviglio Pazzesco" e ne ha ben donde.
Due parole della mia nuova "procedura" che ritengo molto elegante se non altro perché l'ho fatta io
Immaginiamo di secare la nostra sfera con 4 piani uno per ogni faccia e che questi piani stanno proprio sulle facce.
Avremo dall' intersezione di detti piani con la sfera 4 circonferenze.
Ma delle 4 circonferenze ho pure le coordinate dei loro centri.
Prendo i valori e metto 4 punti, I H K G
Da questi faccio passare delle rette normali, perpendicolari, ai piani.
Nascondo i piani perché essi mi coprono completamente il disegno.
E vado a cercare una possibile intersezione fra queste 4 rette.
Faccio un po' fatica perché queste rette provengono chissà da dove e anche perché l'intersezione deve essere vera e reale.
Basta un decimillesimo di distanza fra queste rette sghembe nello spazio, che non ho il punto di intersezione.
Ma ho insistito e finalmente ho l'intersezione S
Ho il vago sospetto che questo S sia il mio centro della sfera.
Allora da S partono 4 segmenti per ogni vertice del tetraedro.
Il sospetto è fondato.
Rilevo le 4 lunghezze to tutte = a 28,99604 il nostro Raggio.
Ciao
Mi sono dimenticato di dire come ottengo le circonferenze se la sfera non c'è l'ho.
Semplice le "forzo" con la solita "Per tre punti ( i vertici di una faccia) passa una ed una sola circonferenza.

Ultima modifica di nino280 : 19-06-18 21:56.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-06-18, 06:11   #9
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Visto che si chiedeva una procedura, penso che l'ultima mia soluzione lo sia a tutti gli effetti, perché di tutte le cose che ho detto non c'è nulla che non trovi sul libro di geometria analitica.
---------------------------------------------------------------------
Poi mi pare che Erasmus aveva accennato ad una sfera tangente agli spigoli ( sono talmente pigro che non vado nemmeno a rileggere la richiesta). Ma lui stesso diceva che è un vecchio problema che io penso da lui risolto e da me disegnato, che confermo.
E' così perché se vado nel mio archivio disegni, ho trovato almeno dieci disegni riguardanti questo problema, e da non credere, una di essi è l'avatar di riconoscimento, o la foto del profilo come dicono, che ho sul cellulare per Facebook.
A scanso di equivoci ne metto una di quelle immagini:
https://s8.postimg.cc/erf7ktoat/Disegno_Cellulare.png


Vediamo se mi ricordo qualcosa (basterebbe andare a cercare quella discussione) solo dando una occhiata al disegno stesso.
I punti di contatto diciamo tangenti fra la sfera ed il tetraedro sono 6 ma io avevo creato 12 segmenti spezzando gli spigoli proprio nel punto di contatto, ma non certamente per un mio capriccio del momento, ma perché evidentissimamente questo richiedeva una qualche congettura o teorema di Erasmus.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-06-18, 06:33   #10
nino280
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https://s8.postimg.cc/chvoo0uit/Piramide_Sfera.png

Ne metto un'altra, ne ho visto da tutte le angolazioni e perfino uno di quelli che sporgono dal monitor


Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
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