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Vecchio 22-10-18, 21:11   #3071
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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La piramide in figura e' composta da 16 quadretti.
Quanti rettangoli di tutti i tipi e dimensioni, (compresi i quadrati), si possono contare ?

Generalizzare per piramidi con base 2n-1 (es. qual è il numero totale dei rettangoli (includendo i quadrati) contenuti in una piramide di 7 righe n, quindi con base 13 quadrati)



up

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-10-18, 09:37   #3072
nino280
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https://i.postimg.cc/26VcNdvp/Aspesi...olo-Casino.png



E' molto probabile che intendevi questa roba di sopra.
Credimi, quando si vedono disegni fatti con la barra del diviso e con i trattini del meno, è scoraggiante anche solo incominciare.
Poi per un meccanico disegnatore quale io sono, l'offesa è doppia
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-10-18, 09:54   #3073
aspesi
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nino280 Visualizza il messaggio
E' molto probabile che intendevi questa roba di sopra.

Ciao
Sì, ma nel messaggio originale
http://www.trekportal.it/coelestis/s...postcount=3068

si vede meglio

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-10-18, 11:13   #3074
Erasmus
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Quanti rettangoli di tutti i tipi e dimensioni, (compresi i quadrati), si possono contare [...] in piramidi con base 2n-1?
Visti in citazione (quindi con i caratteri scritti in corsivo) i tuoi quadratini fanno un po' schifo!
Meglio togliere il corsivo.
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Ho pensato che al crescere di n la successione – diciamola {R(n)} – sia polinomiale di grado non maggiore di 4. E allora –mettendo in conto che R(0) = 0 e R(1) = 1 – mi sono messo a contare i rettangoli (compresi i quadrati) per n = 2 e n = 3 trovando – sorprendentemente – R(2) = 8 e R(3) = 27. Siccome 0^3 = 0 e 1^3 = 1 verrebbe da pensare che sia R(n) = n^3 per ogni n naturale.
Ma allora – ho ancora pendsato – sarebbe troppo facile!
E mi sono ricordato del quiz delle "fette di torta" (ancora ai tempi di Piotr "moderatore") rifatto poi da aspesi come "parti di cerchio" ottenibili tracciando tutte le corde di estremi due di n punti della circonferenza.
[Là succedeva che la successione pareva (dai primi termini: 1, 2, 4, 8, e 16) una progressione geometrica di ragione 2, ma andando avanti si scopriva che non era così, pur essendo ancora una successione di quelle che io chiamavo "sequenze linearmente dipendenti") perchè dopo 16 non veniva 32 bensì 31, 57, ...

Ho detto a quei tempi che se il polinomio caratteristico associato è una potenza del biiomio x – 1 allora la sequenza linearmente dipendente risulta polinomiale.
Resto convinto che sia polinomiale anche la successione {R(n)} che risolve questo quiz.
Occorrerà avewre la pazienza di contare anche i rettangoli per n = 4.
Ci provo ... ma non è detto che ci riesca.
...
Ho contato q(4) = 64 = 4^3 (ancora il cubo del numero di righe).
Provo allora ad arrischiare che sia q(n) = n^3 per ogni n naturale
–––


P.S.
Il numero di quadratini in una "piramide di n righe con la k-esima riga – 1 ≤ k « n – di 2k–1 quadratini è n^2. Sarebbe troppo bello se il numero totale di rettangoli in n riche fosse n^3.
-
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-10-18, 12:17   #3075
aspesi
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Ho pensato che al crescere di n la successione – diciamola {R(n)} – sia polinomiale di grado non maggiore di 4. E allora –mettendo in conto che R(0) = 0 e R(1) = 1 – mi sono messo a contare i rettangoli (compresi i quadrati) per n = 2 e n = 3 trovando – sorprendentemente – R(2) = 8 e R(3) = 27.
Alt!
Te ne sei persi 3 (probabilmente i due quadrati 2X2 e il rettangolo 3X2)

La sequenza è
1, 8, 30, ...

a questo punto... le differenze finite di Newton

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-10-18, 18:42   #3076
nino280
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P.S.
Il numero di quadratini in una "piramide di n righe con la k-esima riga – 1 ≤ k « n – di 2k–1 quadratini è n^2. -
https://i.postimg.cc/C11TNVwm/Spostamenti-quadrati.png



Verifico questa affermazione di Erasmus facile facile:
Dal vecchio triangolo di quadratini verdi ritaglio q1,q2,q3 e li sistemo sulla destra capovolgendo e colorando in blu.
Prendo anche q4 e lo porto in alto a sinistra.
Si ottiene un bel quadrato 4x4
Ci sarebbero anche altri tagli possibili ma basta questo.
Invece le differenze finite di Newton le lascio volentieri a voi
Ciao
P.S. Vedo ora che si può far meglio e cioè ottenere il quadrato con un unico taglio.
Tagliare la figura con una verticale passante per 40 e attaccare dall'altra parte capovolgendo.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 24-10-18 09:36.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-10-18, 07:40   #3077
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nino280 Visualizza il messaggio

Dal vecchio triangolo di quadratini verdi ritaglio q1,q2,q3 e li sistemo sulla destra capovolgendo e colorando in blu.
Prendo anche q4 e lo porto in alto a sinistra.
Si ottiene un bel quadrato 4x4

Ciao
Ma così ottieni un'altra cosa e un quiz tutto diverso.
Infatti, il numero di rettangoli e quadrati sarebbe molto maggiore rispetto alla configurazione a piramide

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-10-18, 21:50   #3078
Erasmus
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Alt!
Te ne sei persi 3 (probabilmente i due quadrati 2X2 e il rettangolo 3X2)
No! Questi tre me li ricordo. Avevo elencato i rettangolini classificandoli con i numeri di unità in orizzontale e in verticale (distinguendo, per esempio, quelli 3*2 da quelli 2*3). E con 3 righe (lunghe 1, 3 e 5 ) mi venivano 27 rettangoli in tutto. Ma se dici che sono 30 ... ti credo sulla parola!
Strano però che contando poi quelli di quattro righe (lunghe ripettivamente 1, 3, 5 e 7 quadratini) ne abbia contati 64, ancora il cubo del numero di righe).
Ma è probabile che abbia sbagliato di nuovo e che i due cubi 3^3 = 27 e 4^3 = 64 siano un altro caso degli innumerevoli casi della famosa "legge di Murphy" (sulla inesorabile "sfiga"!).
Quote:
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La sequenza è
1, 8, 30, ...
Ho guardato su OEIS.
• A002417 - OEIS –––> 1, 8, 30, 80, 175, 336, ....
• A100175 - OEIS –––> 1, 8, 30, 76, 155, 276, ,...
Dimmi allora quanti me ne sono persi dicendo 64 = 4^3 il numero di quadratini di 4 righe (lunghe rispettivamente 1, 3, 5 e 7).
A meno che la sequenza non sia polinimiale di grado non maggiore di tre, dato che ora conosco 4 termini consecutivi (0, 1, 8, 30).
Prova a determinare la sequenza supponendo che sia polinomiale di 3° grao.
[NB: In generale una sequenza {Sn} linearmente dipendente di ordine 3 col solo autovalore x = 1 è un polinomio di terzo grado [in n – dove n è l'indice della sequenza – ], ossia del tipo:
A + Bn + Cn^2 + Dn^3.
Le costanti A, B, C e D si calcolano conoscendo quattro termini in fila].
Nel caso attuale – dicendo ora R(n) la successione richiesta [e sempreché sia vera la premessa di sequenza poliniomiale di 3° grado], siccome per n = 0 è R(0) = 0, deve essere A = 0. E poi:
B + C + D =1;
2B + 4C + 8D = 8;
3B + 9C + 27D = 30.
Questo sistema è risolto da [B, C, D] = [1, –3/2, 3/2).
Risulterebbe dunque R(n) = n – (3/2)n^2 + (3/2)n^3.
Con ciò sarebbe:
R(1) = 1 –3/2 + 3/2 = 1: OK
R(2) = 2 – (3/2)·4 + (3/2)·8 = 2 –6 + 12 = 8; OK
R(3) = 3 – (3/2)·9 + (3/2)·27 = 3 – (27 – 81)/2 = 3 + 54/2 = 30; OK
R(4) = 4 – (3/2)·16 + (3/2)·64 = ... = 76; ???
R(5) = 5 – (3/2)·25 + (3/2)·125 = ... = 155; ???
R(6) = 6 – (3/2)·36 + (3/2)·216 = ... = 276; ???
...
Codice:
           n[3n(n – 1) + 2]
R(n) = ––––––––––––––
                      2
Insomma: se fosse così la sequenza sarebbe la ––> Oeis A100175
–––

...
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Ultima modifica di Erasmus : 24-10-18 23:57.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-10-18, 23:01   #3079
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Quote:
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Ho guardato su OEIS.
• A002417 - OEIS –––> 1, 8, 30, 80, 175, 336, ....
E' questa

https://oeis.org/search?q=1%2C8%2C30...ian&go=c erca
a(n) is the total number of rectangles (including squares) contained in a stepped pyramid of n rows (or of base 2n-1) of squares.


Ultima modifica di aspesi : 24-10-18 23:04.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-10-18, 12:41   #3080
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Abbiamo un biliardo di forma rettangolare con i lati a e b interi e con 4 buche ai vertici.

Una palla esce da una delle buche del biliardo esattamente a 45 gradi.
Può rimbalzare indefinitamente o finirà prima o poi la sua corsa in una delle buche ?

aspesi non in linea   Rispondi citando
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