Volume d'un tetraedsro irregolare.

[Erasmus]

nino280

[url]

Occhio ai simboli!
Io avevo chiamato φ, χ e ψ gli angoli delle tre facce d'un triedro; e α, β e γ gli angoli diedri rispettivamente oppostialle facce con quegli ancgoli,

Comunque; sei d'acordo su fatto che l'altezza del tetraedro è uguale al prodotto dell'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro fatto da questa faccia con la faccia-base?

L'altezza di un triangolo è facile trovarla se si conoscono le lunghezze dei lati.
Col teorema di Carnot si trovano subito anche i coseni degli angoli d'un triangolo se si conoscono le lunghezze dei suoi lati.
Insomma: se di un tetraedro conosci le lunghezze di tutti gli spigoli puoi bene trovare i coseni dei tre angoli con il vertice comune in un vertice del tetraedro.

In trigonometria sferica i due "teoremi del coseno" mettono in relazione gli angoli delle facce di un triedro con gli angoli diedri dello stesso.
Nel "1° teorema del coseno" i coseni degli angoli diedri d'un triedro sono dati in funzione dei coseni e dei seni degli angoli delle facce.
Nel "2° teorema del coseno", viceversa, sono i coseni degli angoli delle facce [di un triedro] che sono dati in funzione dei coseni e dei seni degli angoli diedri di querl triedro.
Le espressioni del "2° teorema del coseno" sono quasi le stesse di quelle del 1°. Differiscono solo (a parte l'ovvio scambio dei simboli) per un segno: al posto del "meno" che c'è nel 1°, nel2° c'è un "più".

Le riscrivo tutte (questa volta anche quelle del "2° teorema del coseno").
[NB: Come già detto φ, χ e ψ sono gli angoli delle facce di un triedro e α, β e γ sono gli angoli diedri rispettivamente opposti: α (alfa) opposto di φ (phi); β (beta) opposto di χ (chi): γ (gamma) opposto di ψ (psi)].

1° teorema del coseno
             cos(φ) – cos(χ)·cos(ψ)
cos(α) = ––––––––––––––––––– ;    
                  sin(χ)·sin(ψ)

             cos(χ) – cos(ψ)·cos(φ)
cos(β) = ––––––––––––––––––– ;
                 sin(ψ)·sin(φ)

             cos(ψ) – cos(φ)·cos(χ)
cos(γ) = –––––––––––––––––––.
                 sin(φ)·sin(χ)

2° teorema del coseno
             cos(α) +  cos(β)·cos(γ)
cos(φ) = ––––––––––––––––––– ;    
                 sin(β)·sin(γ)

             cos(β) + cos(γ)·ccos(α)
cos(χ) = ––––––––––––––––––– ;
                 sin(γ)·sin(α)

             cos(γ) + cos(α)· cos(β)
cos(ψ) = –––––––––––––––––––.
                 sin(α)· sin(β))

nino280

[...]Quando vedo quattro coseni che si moltiplicano e si sottraggono di sopra fra di loro che poi si rapportano ad un altro paio di seni che a loro volta si sono moltiplicati io mi sono perso già ai primi due coseni.

Ma non dire stronzate!
L'espressione di un coseno di un angolo diedro in funzione degli angoli delle facce è facilissima da ricordare. Come sarebbe facile ricordare espressioni del del tipo:

Dirette:
             a – b·c                                b – c·a                                   c – a·b
x = ––––––––––––––––––;   y = ––––––––––––––––––;   z =  ––––––––––––––––––.
     √(1– b^2) · √(1–c^2)         √(1– c^2) · √(1–a^2)           √(1– a^2) · √(1–b^2)
Inverse:
             x + y·z                                y + z·x                                   z + x·y
a = ––––––––––––––––––;   b = ––––––––––––––––––;   c =  ––––––––––––––––––.
     √(1– y^2) · √(1–z^2)         √(1– z^2) · √(1–x^2)           √(1– x^2) · √(1–y^2)

Solo che al posto di 6 lettere (divise in due terne) devi mettere i coseni di 6 angoli (divisi pure in due terne: i coseni dei tre angoli diedri in funzione dei coseni degli angoli delle tre facce ... e viceversa. Ci sono dei rilievi mnemonici facilissimi!!

E anche la dimostrazione della prima formula tramite lo scrivere l'espressione di un segmento come lato comune di due distinti triangoli mediante il teorema di Carnot non ha nulla di difficile.
––––

[Erasmus]

nino280

[...] Ho preso come vedi le tue frazioni ne ho calcolato i coseni e di conseguenza l'arco, l'angolo.
Poi sono andato a misurare vari angoli e ho visto che si riferivano ad un unico spigolo non so se chiamarlo triedro. [...]

Ma dai, non fare casino!
Non serve ricavare l'ampiezza degli adal loro coseno!
Il problema sostanzialmente è ricavare il coseno degli angoli diedri conoscendo i coseni (e i seni – ... ma questi li trovi subito se conosci i coseni*– degli angoli delle facce.

E' anche inutile che mi reciti la formula del coseno d'un angolo di un triangolo in funzione dei lati. Non è più chiaro scriverla?
Come sai anche tu, il teorema di Carnot si esrime con una formula in cui un membro è il quadrato di un lato e l'altro membro ha tre termini: la somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppoio prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo da essi compreso (che è quello opposto al lato dell'altro membro).
Ossia:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc·cos(alfa); b^2 = c^2 + a^2 – 2ca·cos(beta); ; c^2 = a^2 + b^2 – 2ab·cos(gamma).
Da queste formule, (che esprimono il teorema di Carnot), se conosci le lunghezze a, b e c dei lati ricavi subito i coseni degli angoli. Niente di nuovo: solo esplicitare il coseno. Trovi subito:

             b^2 + c^2 – a^2                 c^2 + a^2 – b^2                a^2 + b^2 . c^2       
cos(α) = ––––––––––––––;  cos(β) = –––––––––––––––;  cos(γ) = –––––––––––––––.
                    2bc                                         2ca                                    2ab

Occhio: nel parlare di trigonometria sferica, i simboli α, β e γli ho riservati agli angoli diedri. Perciò non ho dato il nome agli angoli dei triangoli, salvo riservare i simboli φ, χ e ψ per gli angoli che hanno un vertice in comune in unio dei vertici del tetradro .
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Un angoloide è pensabile come la proiezione di un lembo di superficie sferica dal centro della sfera.
Il triedro non è un solido finito! Un triedro (inteso come tre facce piane ciascuna delle quali delimitata da due di tre semirette con l'origine comune) non è altro che la proiezione del perimetro di un triangolo sferico. Un "lato" di un triangolo sferico è un arco di cerchio massimo; e la sua proiezione dal centro della sfera è una delle tre facce di un "triedro". Il triedro è dunque la superfice di un angoloide pensabile come proiezione di un triangolo sferico dal centro della sfera
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Considera tre semirette con l'origine comune
Potresti fare così: considerare tre punti distinti (diciamoli A, B e C) ed un quarto punto V (come "vertice") non complanare e considerare le tre semirette di origine V passati una per A l'altra per B e la terza per C. .
Insomma, dando un nome anche alle semirette (diciamole r, s e t):
r = VA; s = VB; t = VC.
Adesso, nel paino individuato da due delle tre semirette, considera la parte di piano delimitata dalle due semirette. ci sono tre coppie: rs; dt; tr. Ci sono cioè tre facce del triedro. Le semirette sono gli "spigoli" del triedro (di lunghezza infinita).Due facce hanno in comune un lato. Questo è uno spigolo del triedro..
In un angolo piano c'è un vertice e due lati dell'angolo.
Corrispondentemente in un angolo diedro al posto del vertice hai uno spigolo e al posto dei due lati (che lo delimitano) hai due semipiani (che delimitano l'angolo diedro).
Un piano perpendicolare ad uno spigolo di un diedro taglia le facce n due semirette entrambe perpendicolari allo spigolo con l'origine sullo spigolo.
Queste due semirette sono i lati della "sezione normale" del diedro. E l'angolo [piano] da esse compreso è per definizione l'angolo diedro.
Lo spazio dentro al triedro è un angoloide (o "angolo solido") e si misura in steradianti.

Come in un triangolo [piano] hai tre angoli interni (ciascuno con il vertice in un vertice del triangolo), così in un tetraedro hai 4 triedri (ciascuno col suo vertice in un vertice del tetraedro).
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[nino280]

Erasmus

E' anche inutile che mi reciti la formula del coseno d'un angolo di un triangolo in funzione dei lati. Non è più chiaro scriverla?

Embè, se io mi recito una formula, diciamo che mi possa servire per il seguito, "mnemonicamente", chi me lo impedisce. TU?
Ciao
Non serve ricavare l'ampiezza degli adal loro coseno!
Poi mi hai scritto quella cosa in blu.
Che vuoi dire?
Io avevo fatto il tutto "senza" il pur minimo ricorso alla trigonometria.
E visto che i tuoi paper sono stracolmi di seni e coseni ad un certo punto ho cominciato ad interessarmene.
Copio tutto da te, è mi dici che un coseno è uguale a 5/13.
Io non ho la minima idea dove sia questo coseno.
Allora lo calcolo e trovo essere = 67,38013°
Allora vado nel disegno e clicco un po' a caso alla sua ricerca.
A caso perché ci sono tre angoli per ogni vertice che moltiplicati per 4 fanno 12.
Tho! Trovato. Perfettamente uguale all' angolo 67,38013° che avevo trovato con la calcolatrice. Questo mi ha fatto capire alcune cose che per te sono ovvie, ma che per me evidentemente lo sono un po' meno dal momento che non conosco la trigonometria sferica.
E tu per giunta mi dici che non mi serviva calcolarla.

Comunque; sei d'acordo su fatto che l'altezza del tetraedro è uguale al prodotto dell'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro fatto da questa faccia con la faccia-base?
Questo lo devo ancora verificare, lo farò quanto prima o appena posso.
Ciao

[nino280]

Comunque; sei d'acordo su fatto che l'altezza del tetraedro è uguale al prodotto dell'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro fatto da questa faccia con la faccia-base?
Questo lo devo ancora verificare, lo farò quanto prima o appena posso.

Ecco:

https://s15.postimg.cc/j6httbx6z/Triedro_2.png




Io per trovare l'angolo alfa ci impiego un battibaleno, ma solo perché già conoscevo h e quindi il punto E, e mi è bastato congiungere E con J e bla bla bla.
Purtroppo non sono stato in grado di farlo matematicamente cioè non graficamente, con Carnot o qualcos'altro, e dire che una oretta c'è l'ho pure dedicata.
Ciao

[Erasmus]

nino280

Comunque; sei d'acordo su fatto che l'altezza del tetraedro è uguale al prodotto dell'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro fatto da questa faccia con la faccia-base?
Questo lo devo ancora verificare, lo farò quanto prima o appena posso.

Oh perbacco!
Lascia perdere l'angolo di inclinazione di uno spigolo tra due facce laterali – quello che ora chiami "alfa" – sulla facca-base!
Ti avevo fatto la domanda:
«Sei d'acordo su fatto che l'altezza del tetraedro è uguale al prodotto dell'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro fatto da questa faccia con la faccia-base?»
Era una domanda retorica nel senso che mi aspettavo senz'altro che la risposta sarebbe stataa SI'!
Insomma: è quasi come se ti domandassi: «Sei 'accoro sul fatto che in un triangolo rettangolo un cateto vale il prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto a quel cateto?»
Ma ... hai almeno considerato la figura che ti ho messo scopiazzando una tua? Ho solo aggiunto l'altezza di una faccia laterasle e la sua proiezione sulla faccia–base in modo da evidenziare l'angolo diedro "beta" (opposto alla faccia di angolo "chi" nel vertice di sinistra, quello comune alla faccia-base e alla faccia laterale la cui altezza è un lato dell'angolo diedro "beta")
Te la rimetto dopo aver aggiunto le lettere A, B, C e D per i vertici del tetraedro, la lettera g per l'altezza della faccia laterale e la lettera h per l'altezza del teyraedro (che invece tu avevi chiamato r).
Eccola:

––> Nuova (ultima) mia figura!

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Vuoi trovare matematicamente il coseno dell'angolo che tu chiami "alfa"?
Vedi allora le ultime formule della mia nuova figura.
L'angolo di inclinazione di uno spigolo laterale sulla faccia–base (quello che tu nell'ultima tua figura hai chiamato "alfa") lo trovi dopo aver trovato la distanza del piede dell'altezza sulla faccia base dal vertoce sdi sinistra del tuo tetraedro.*
[Memento: un angolo [piano] è sempre compreso tra i due suoi lati!] L'inclinazione di una retta su un piano è langolo tra quella retta e la sua proiezione ortogonale su quel piano].
E come fai a trovare quella distanza [cioè la proiezione ortogonale di uno spigolo laterale sulla faccia-base del tetraedro]?
Lo fai ancora con Pitagora, come è spiegato nelle ultime formule della figura.
Insomma: vedi che è importante saper calcolare un angolo diedro partendo dal conoscere tre angoli angoli con vertice comune in un vertice del tetraedro.
Se adesso ... ci sei arrivato bene!
Se no .... AMEN!
Io sul volume del tetraedro irregolare (conoscendo le lunghezze degi suoi 6 spigoli) non interverrò più..
–––

[nino280]

Passo e chiudo
Non prima di aver modificato l'ultimo mio disegno.
Ciao