Questo sito si serve dei cookie per fornire servizi. Utilizzando questo sito acconsenti all'utilizzo dei cookie - Maggiori Informazioni - Acconsento


Atik
Coelum Astronomia
L'ultimo numero uscito
Leggi Coelum
Ora è gratis!
AstroShop
Lo Shop di Astronomia
Photo-Coelum
Inserisci le tue foto
DVD Hawaiian Starlight
Segui in diretta lo sbarco di Philae sulla Cometa
Skypoint

Vai indietro   Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia > Il Mondo dell'Astronomo dilettante > Rudi Mathematici
Registrazione Regolamento FAQ Lista utenti Calendario Cerca Messaggi odierni Segna come letti

Rispondi
 
Strumenti della discussione Modalità  di visualizzazione
Vecchio 25-05-20, 08:55   #651
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 7,031
Predefinito Re: Nino - Nino

Fantastico! Non ho parole. Veramente bello.
Adesso ho capito perché non mi ricordavo le formule. E' perché non sono alla mia portata.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-05-20, 22:57   #652
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,030
Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Fantastico! Non ho parole. Veramente bello.
Adesso ho capito perché non mi ricordavo le formule. E' perché non sono alla mia portata.
Ciao
Ricavare la formula [di Cartesio] che lega fra loro i raggi di 4 cerchi ognuno dei quali è tangente agli altri 3 è abbastanza complicato!

Ma ricordare a memoria quella formula [di Cartesio] non è molto più difficile del ricordare quella del teorema di Carnot o quella di Erone.

Richiami
a) Carnot: Siano a e b due lati di un triangolo e sia φ l'angolo da essi compreso. Il terzo lato c del triangolo – quello opposto all'angolo φ – vale allora
c = √[a^2 + b^2 – 2ab·cos(φ)]. (*)

b) Erone: Siano a, b e c i lati di un triangolo; e si ponga p il suo emiperimetro, cioè:
p = (a + b + c)/2.
Allora l'area S di quel triangolo vale:
S = √[p(p–a)(p–b)(p–c)]. (**)

b) Cartesio: Siano a, b, c ed r i raggi di 4 cerchi ognuno dei quali tangente agli altri 3.
Si osservi che è impossibile che, se un cerchio è tangente internamente a qualcuno degli altri 3 e tangente esternamente a qualche altro, anche ognuno degli altri 3 sia tangente a ciascun altro.
Con la avvertenza di assumere negativo il raggio del cerchio eventualmente tangente internamente agli altri tre, la formula [di Cartesio] che lega tra loro i quattro raggi – e quindi è l'equazione nell'incognita r raggio del quarto cerchio noti che siano i raggi a, b e c degli altri tre – è la seguente:
(1/r + 1/a + 1/b + 1/c)^2 = 2[(1/r)^2 + (1/a)^2 + (1/b)^2 + (1/c)^2]. (***)
A parole:
«Il guadrato della somma dei regiproci è uguale al doppio della somma dei quadrati dei reciproci».

Nel caso del quiz in questione abbiamo:
a =2/5 ; b = 3/5; c = –1 (perché il cerchio di raggio 1 è tangente internamente ai cerchi di raggi r (incognito), a = 2/5 e b=3/5.
Abbiamo dunque:
1/a + 1/b + 1/c = 5/2 + 5/3 – 1 = (25–6)/6 = 19/6;
(1/a)^2 + (1/b)^2 + (1/c)^2 = 25/4 + 25/9 + 1 = 25·13/36+1 =
= (25·13+36)/36 = 361/36 = (19/6)^2.
La formula (***) diventa:
(1/r + 19/6)^2 = 2[(1/r)^2 + (19/6)^2]
da cui:
(1/r)^2 +2·(19/6)·(1/r) + (19/6)^2 = 2(1/r)^2 + 2(19/6)^2 ⇔
⇔ (1/r)^2 + (19/6)^2 – 2(19/6)·(1/r) = 0 ⇔(1/r – 19/6)^2 = 0 ⇒
⇒ 1/r – 19/6 = 0 ⇔ r = 6/19.
In generale, per c = – (a + b) – situazione di cui il quiz è un caso parrticolare – si trova
r = [ab·(a+b)]/(a^2 + ab + b^2) = ab·[(a^2 – b^2)/(a^3 – b^3)]
che nel caso del presente quiz diventa:
[(2·3)·(2^2 – 3^2)/(5^4)]/[(2^3 – 3^3)/(5^3)] = [(6·5)/(5^4)]/[19/(5^3)] = 6/19.
I lati del triangolo i cui vertici sono i centri dei cerchi di raggio rispettivo a, b ed r sono lunghi a+b, a+r e b+r. L'area di tale
triangolo è dunque
S = √[(a+b+r)·a·b·r] =
= √{[(a+b)(1+ab/(a^2 + ab + b^2)]·[(ab)^2] · [(a+b)/(a^2 + ab + b^2)]} =
= [ab(a+b)^2]/(a^2 + ab + b^2) = r(a+b).
La distanza del centro del cerchio di raggio rdalla retta per i centri dei cerchi di raggi rispettivi a e b è duque
h = (2S)/(a+b) = 2r(a+b)/(a+b) = 2r
(che per r = 6/19 diventa h = 12/19).
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– –––––––
Ma questo quiz – e in generale il quiz analogo con valori a e b dei due cerchi interni con i centri allineati sc su un diametro del cerchio di raggio maggiore – si può risolvere prescindendo dalla formula di Cartesio sfruttando opportunamente il teorema di Carnot.
Si dica
A in centro del cerchio di rggio a;
B il centro del cerchio di raggio b;
C il centro del cerchio di raggio incognito r e
D il centro del cerchio grande di raggio c = a + b.
Allora, osservando che se due cerchi sono tangenti l'un l'altro il punto di tangenza è allineato con i loro centri, si ha:
AB = a+b;
BC = b+r;
CA = a+r;
AD = b;
DB = a;
DC = a+br.

Consideriamo ora i due triangoli ADC e DBC. con un latro comune lungo a + b – r
L'angolo in D del triangolo DBC e l'angolo in D del triangolo ADC sono supplementari e quindi il coseno di uno è l'opposto del coseno dell'altro.
Se allora diciamo φ l'angolo in D del triangolo DBC otteniamo con Carnot:
DB^2 + DC^2 – 2DB·DC·cos(φ) =BC^2 ⇒ a^2 + (a+b–r)^2 – 2a(a+b–r)cos(φ) = (b+r)^2: (*)
AD^2 + DC^2 + 2AD·DC·cos(φ) =AC^2 ⇒ b^2 + (a+b–r)^2 + 2b(a+b–r)cos(φ) = (a+r)^2: (*)
Da queste, svolgerndo i quadrati, semplificando e moltiplicando la prima per b e la seconda per a si ricava
a^2 + (a+b–r)^2 – 2a(a+b–r)cos(φ) = (b+r)^2 ⇔
ba^2 + ab^2 – br(a+b) – rb^2 = +2ab(a+b–r)cos(φ); (*)
b^2 + (a+b–r)^2 +2b(a+b–r)cos(φ) = (a+r)^2 ⇔
ab^2 + ba^2 – ar(a+b) – ra^2 = – 2ab(a+b–r)cos(φ) (**)
Da queste (*) e (**), sommando membro a membro e dividendo poi per 2 si ricava:
2ab(a+b) – r(a+b)^2 – r(a^2 + b^2) = 0 ⇔ ab(a+b) = r(a^2 + ab + b^2) ⇔
⇔ r = [ab(a+b)]/(a^2 + ab + b^2) ⇔ r = [ab(a^2 – b^2)]/(a^3 – b^3).
Sappiamo già che l'area di ABC è S = r(a+b), per cui l'altezza h di ABC rispetto ad AB che è lungo a+b vale
h = (2S)/(a+b) = 2r.
In particolare, per a =2/5 e b = 3/5 si ottiene r = 6/19 ed h = 12/19.
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 28-05-20, 00:12   #653
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,030
Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Ma questo quiz [...] si può risolvere prescindendo dalla formula di Cartesio sfruttando opportunamente il teorema di Carnot.
Siccome ll teorema di Carnot fa uso di una funzione trigonometria e le funziioni trigonometriche non piacciono affatto ad aspesi, ho cercato [e trovato] un'altra via per risolvere il quiz del cerchio incastrato nell'arbelo di nino280.

Riconsideriamo i tre cerchi dentro al cerchio più grande. Due di essi hanno raggi rispettivia=2/5 e b=3/5. I loro centri sono allineati col centro del cerchio grande tangente internamente a tutti tre. Il terzo cerchio, quello incastrato nell'arbelo, ha raggio r incognito.
Siano:
• A il centro del cerchio di raggio a,
• B il centro del cerchio di raggio [i]b[/I,
• C il centro del cerchio di raggio incognito r e
• D il centro del cerchio di raggio a + b tangente internamente agli altri tre.
Il cerchio grande di raggio a+b [e centro D] sia tangente internamente al cerchio di raggio a nel punto H e al cerchio di raggio b nel punto K.
Ovviamente H, A, D, B e K sono allineati col punto di tangenza tra i cerchi di raggi rispettivi a e b.

Importante è notare che il punto D – centro del cerchio grande – è un punto interno del segmento AB distante b da A ed a da B.
Uguagliando allora la somma delle aree dei triangoli ADC e DBC all'area del triangolo ABC si ottiene un'equazione nell'icognita r.

Scrivendo le aree dei triangoli con Erone si ha dunque l'equazione:
√[(a+b)ar(b–r)] + √[(a+b)br(a–r)] = √[(a+b+r)abr].

Lascio a voi la soddisfaziione di risolvere questa equazione (ovviamente dividendo dapprima tutto per √(r) e razionalizzando poi con due opportune quadrature).
–––––––––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 28-05-20 21:11.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 28-05-20, 14:00   #654
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 7,031
Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Siano:
• A il centro del cerchio di raggio a,
• B il centro del cerchio di raggio b[/I,
• C il centro del cerchio di raggio incognito r e
• D il centro del cerchio di raggio a + b tangente internamente agli altri tre.
Quando parli del "centro del raggio incognito r"
a cosa ti riferisci? Alle sue coordinate cartesiane, alla sua proiezione sull'ascissa o a che cosa?
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-05-20, 12:50   #655
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 7,031
Predefinito Re: Nino - Nino

https://www.geogebra.org/classic/QrqPQAGX

Una leggera divagazione sul tema.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-20, 07:28   #656
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,030
Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Siano:
• A il centro del cerchio di raggio a,
• B il centro del cerchio di raggio b,
• C il centro del cerchio di raggio incognito r e
• D il centro del cerchio di raggio a + b tangente internamente agli altri tre.
Quando parli del "centro del raggio incognito r"
a cosa ti riferisci? Alle sue coordinate cartesiane, alla sua proiezione sull'ascissa o a che cosa?
Ciao
? ? ? ?
Occhio! Ho chiamato C il centro del cerchio di raggio incognito r, non "il centro del raggio incognito".
Ma come fai a chiedermi quel che chiedi di seguito alla tua stessa citazione di quel che ho scritto?
––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-20, 09:26   #657
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 7,031
Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
? ? ? ?
Occhio! Ho chiamato C il centro del cerchio di raggio incognito r, non "il centro del raggio incognito".
Ma come fai a chiedermi quel che chiedi di seguito alla tua stessa citazione di quel che ho scritto?
––––
Ma ok non ho scritto cerchio o circonferenza e che vuol dire? Tutti sappiamo che stiamo parlando di cerchi oppure di circonferenze, mica di pentagoni o ettagoni.
Il fatto è, che dopo questa tua strana osservazione io ancora adesso non so che valore bisogna prendere. Ti costa tanto dirmelo?
Anche perché ci hai esortato a fare una prova o una verifica, ma se io non so che valore prendere non posso procedere.
E anche lampante che quando dico il centro del raggio mica volevo intendere il punto medio del segmento che rappresenta il raggio, a cosa servono queste sottigliezze? Per me solo a confondere.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-20, 11:49   #658
aspesi
Utente Super
 
L'avatar di aspesi
 
Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 5,074
Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Il fatto è, che dopo questa tua strana osservazione io ancora adesso non so che valore bisogna prendere. Ti costa tanto dirmelo?
Anche perché ci hai esortato a fare una prova o una verifica, ma se io non so che valore prendere non posso procedere.

Ciao
A B C D rappresentano i punti corrispondenti ai centri dei vari cerchi, quindi sono le coordinate cartesiane, ma non serve per i calcoli successivi, secondo il ragionamento-procedimento di Erasmus, che si basa sulla considerazione che l'area del triangolo ABC è uguale alla somma delle aree dei 2 triangoli che lo costituiscono ADC + DBC.

Le aree sono calcolabili con la formula di Erone, sapendo che:
AB = 0,4 + 0,6 = 1
BC = 0,6 + r
AC = 0,4 + r

AD = 0,6
DB = 0,4
CD = 1 - r

Quindi:
p_ABC = (1 + 0,6 + r + 0,4 + r)/2 = 1 + r
S_ABC = RADQ((1+r)*0,6*0,4*r) = RADQ((0,24r*(r+1))

p_ADC = ((0,4+r) + 0,6 + (1-r))/2 = 1
S_ADC = RADQ(1*0,4*(0,6-r)*r) = RADQ(0,24r - 0,4r^2)

p_DBC = ((0,6-r) + 0,4 + (1-r))/2 = 1
S_DBC = RADQ(1*0,6*(0,4-r)*r) = RADQ(0,24r - 0,6r^2)

Dividendo tutto per RADQ(r) si ha (come scritto in forma letterale da Erasmus):
RADQ(0,24r*(r+1)) = RADQ(0,24r - 0,4r^2) + RADQ(0,24r - 0,6r^2)

equazione che si potrebbe risolvere (facendo i quadrati) per determinare l'incognita r, ma è molto più rapido e facile per successive approssimazioni usando un foglio di calcolo.
Con r= 0,315789474 viene
RADQ(0,24r*(r+1)) = 0,315789474
RADQ(0,24r - 0,4r^2) = 0,189473684 + RADQ(0,24r - 0,6r^2) = 0,126315789

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-20, 14:57   #659
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 7,031
Predefinito Re: Nino - Nino

Nino (Aspesi) non lo nego, mi sono perso.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-20, 17:13   #660
aspesi
Utente Super
 
L'avatar di aspesi
 
Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 5,074
Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Nino (Aspesi) non lo nego, mi sono perso.
Ciao
L'unica cosa da capire è:

A B C D rappresentano i punti corrispondenti ai centri dei vari cerchi, quindi sono le coordinate cartesiane; il ragionamento-procedimento di Erasmus si basa sulla considerazione che l'area del triangolo ABC è uguale alla somma delle aree dei 2 triangoli che lo costituiscono ADC + DBC.

E' semplice se sulla tua figura della pag. precedente inserisci le lettere A B C D dove:
A è il centro del cerchio di diametro 0,8
B è il cerntro del cerchio di diametro 1,2
C è il centro del cerchio di raggio r ignoto
D è il centro del cerchio grande di diametro 2

Per vedere i triangoli di cui parlo è necessario unire con un segmento
A con C
B con C
C con D

Il resto del mio messaggio precedente è solo l'applicazione del procedimento (calcolo delle aree con Erone)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Rispondi


Links Sponsorizzati
Geoptik

Strumenti della discussione
Modalità  di visualizzazione

Regole di scrittura
Tu non puoi inserire i messaggi
Tu non puoi rispondere ai messaggi
Tu non puoi inviare gli allegati
Tu non puoi modificare i tuoi messaggi

codice vB è Attivo
smilies è Attivo
[IMG] il codice è Attivo
Il codice HTML è Disattivato


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 19:57.


Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2020, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it