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Vecchio 09-07-15, 12:07   #1
pietro31700
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Question Care stelline, quanto siete vicine? :-)

Ecco un quesito semplice semplice (apparentemente):
Come faccio a calcolare la distanza tra due stelle (in gradi, minuti, secondi) conoscendo angolo orario e declinazione delle stesse?
Buon divertimento a tutti quanti proveranno a risolverlo e un saluto a chi sa già risolverlo.

es. Vega_ RA 18h 36m 56s _ DEC 38° 47' 01"
Sirio_RA 06h 45m 09s _ DEC -16° 42' 58"
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Vecchio 09-07-15, 16:30   #2
ANDREAtom
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Predefinito Re: Care stelline, quanto siete vicine? :-)

Mi pare che manchi un dato essenziale per risolvere il tuo problema; la distanza delle due stelle dalla Terra; se conosci angolo orario e declinazione il problema è gia risolto usando la trigonometria.......
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Dai diamanti non nasce niente,
dal letame nascono i fior........
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(Fabrizio de Andrè)
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Vecchio 09-07-15, 16:40   #3
Mizarino
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Predefinito Re: Care stelline, quanto siete vicine? :-)

No, Andrea. La distanza dalla Terra non serve, perché la domanda chiede non la distanza spaziale fra le stelle, ma la loro separazione angolare sulla volta celeste.
Certo che serve la trigonometria, ma la risposta non è banale, ed è analoga a quella di trovare che arco di cerchio massimo separa due punti della Terra, date le rispettive latitudini e longitudini.
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Vecchio 09-07-15, 17:25   #4
pietro31700
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Predefinito Re: Care stelline, quanto siete vicine? :-)

Esattamente. E' la stessa cosa. E la soluzione non è così semplice come sembra.
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Vecchio 09-07-15, 18:44   #5
Mizarino
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Predefinito Re: Care stelline, quanto siete vicine? :-)

Il metodo a mio parere più elegante e allo stesso tempo semplice consiste nel convertire le coordinate celesti delle due stelle nelle componenti cartesiane di due vettori di modulo unitario (facile trasformazione da coordinate polari a cartesiane), dopodiché il coseno dell'angolo sotteso dalle due stelle è dato dal prodotto scalare dei due vettori (versori), cioè dalla somma dei prodotti delle componenti omologhe.

P.S.
Già che ci sono, scrivo le formule:
dette X, Y, Z le tre componenti cartesiane
abbiamo:
X = cos(decl)*cos(AR)
Y = cos(decl)*sin(AR)
Z = sin(decl)

dopodiché il coseno della separazione angolare è dato da
cos(angolo) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2

Ultima modifica di Mizarino : 09-07-15 18:55.
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Vecchio 09-07-15, 19:02   #6
pietro31700
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Predefinito Re: Care stelline, quanto siete vicine? :-)

Esattamente anche secondo me è il più intuitivo
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Vecchio 09-07-15, 21:09   #7
Erasmus
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Predefinito Re: Care stelline, quanto siete vicine? :-)

Quote:
pietro31700 Visualizza il messaggio
... la soluzione non è così semplice come sembra.
Balle!
Dei due angoli, dimmi qual è l'elevazione ε e quale invece l'anomalia θ.
Poi ... è la solita storia ripetuta qui su questa sezione un sacco di volte (sia da Miza che da me ... e da altri ancora).
Ogni tanto 'sta storia dell'angolo tra due raggi vettori ritorna!

E vabbeh: diciamola per l'ennesima volta.

Basta scrivere il versore
s1 = T––>S1 (dove T vuol dire Terra, cioè punto di vista, e S1 vuol dire Stella UNO)
ed il versore
s2 = T––>S2, (dove S2 vuol dire Stella DUE),
fare il prootto scalare
ps = s1 • s2
ed interpretarlo (giustamente, essendo s1 ed s2 versori, ossia vettori di modulo unitario) come coseno dell'angolo cercato
φ [phi] = S1TS2.

Riassumendo:
<angolo tra S1 e S2> = arccos(s1 • s2)
dove s1 ed s2 sono rispettivamente:
s1 = [cos(θ1)cos(ε1), sin(θ1)cos(ε1), sin(ε1)];
s2 = [cos(θ2)cos(ε2), sin(θ2)cos(ε2), sin(ε2)].

Sono talmente ignorante in astronomia che non so quale delle due vostre coordinate angolari è da intendere come "anomalia θ [theta]" (o azimut) e quale come "elevazione ε" [èpsilon] (o "alzo", o come diavolo si chiama in greco o in arabo).

Ma Miza, a suo tempo, m'ha fatto 'na capa tanta per convincermi che, in riferimento alla visione del cielo, in prima approssimazione le stelle stanno tutte sulla "volta celeste", che sarebbe la superficie di una sfera centrata nella Terra (assunta puntiforme) e di raggio 1 (ché più comodo di così non si può!).

Insomma:
Rispetto ad un riferimento cartesiano ortogonale ed isometrico [di centro O e coordinate x, y e z], un punto P sulla superficie di una sfera con il centro in O(0, 0, 0) e raggio 1, ha le coordinate ... così definibili.
[NB: chiamo s il versore O(0,0,0) ––> P(x, y, z) = [x, y, z]. ]
a) Considero l'inclinazione di s = O––>P sull'asse z e chiamo "elevazione ε" l'angolo complementare di questa inclinazione. Allora la coordinata cartesiana z (terza componente di s) vale
z = 1·sin(ε).
Proietto quindi il punto P sul piano delle coordinate x e y nel punto Pz(x, y, 0). La sua distanza da O(0, 0, 0) è:
OPz = 1·cos(ε).
b) Chiamo "anomalia (o azimut) l'inclinazione θ di O––>Pz sull'asse delle x.
Con ciò, le componenti cartesiane x e y di s = O––>P vengono ad essere rispettivamente:
x = 1·cos(ε)·cos(θ);
y = 1·cos(ε)·sin(θ).
Il versore s = O––>P è dunque:
s = [x, y, z] = [cos(ε)·cos(θ), cos(ε)·sin(θ), sin(ε)].

Fatto così per le due stelle, mettiamo che sia
[x1, y1, z1] = s1 = [cos(θ1)cos(ε1), sin(θ1)cos(ε1), sin(ε1)] per la stella UNO;
[x2, y2, z2] = s1 = [cos(θ2)cos(ε2), sin(θ2)cos(ε2), sin(ε2)] per la stella DUE.
Allora, detto φ l'angolo di visuale tra le due stelle, si ha:
cos(φ) = s1•s2 = x1·x2 + y1·y2 + z1·z2.
–––––


P.S. (Editando)
Sono ... fuori casa.
Dispongo di un Wi -FI ... che mi fa aspettare a volte minuti prima di mostrarmi la pagina richiesta con un click su un link.

Vedo solo adesso che Miza ... mi insegna (per l'ennesima volta , ma io già domani me lo sarò dimenticato) che la mia anomalia θ [theta] e la mia elevezione ε sono rispettivamente le coordinate angolari AR e decl dei celestini.
[AR = "Ascensione Retta" ? decl ="declinazione" ? ]
Ovviamente in radianti (anche se pietro31700 parla di gradi, primi e secondi).

Tel chi un P.S. dell'Illustrissimo:
Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
[...]
X = cos(decl)*cos(AR)
Y = cos(decl)*sin(AR)
Z = sin(decl)
A ri-ciao!
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 10-07-15 04:11.
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Vecchio 10-07-15, 06:02   #8
Erasmus
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Predefinito Re: Care stelline, quanto siete vicine? :-)

Quote:
pietro31700 Visualizza il messaggio
...anche secondo me è il più intuitivo
Perché "anche"? Per chi altri "è il più intuitivo"?
------------------
No. L'intuito non c'entra.
C'entra, invece, la trasformazione tra coordinate cartesiane e coordinate polari dello stesso punto P.

La trasformazione è biunivoca tranne i casi in cui il punto è sull'asse z (ossia x = y = 0).

La trasformazione è ... come ho già spiegato nel messaggio precedente.
Occorre pensare a tre assi cartesiani ortogonali rigidamente connessi con lo "spazio" .
Detta O l'intersezione dei tre assi (origine del sistema di riferimento cartesiiano), se P coincide con O, allora la sua distanza ρ ènulla e le sue coordinate angolari sono arbitrarie.
Se P non coincide con O, allora si considera il segmento OP orientato da O(0,0,0) a P(x, y, z)
Sia s = O––>P e sia k il versore dell'asse z.
Detto η l'angolo tra s e k, l'elevazione ε è per definizione :
ε = π/2 – η (e quindi vine tra –π/2 e π/2).
Si considera poi la proiezione di P sul piano di equazione z = 0 (cioè degli assi delle coordinate x e y). Sia questa il punto Pz.
Se P non sta sull'asse delle z, allora Pz è distinto da O. (Se no l'anomalia θ è arbitraria).
Quindi si proietta Pz sugli assi delle coordinate x ed y individuando l'angolo θ tra v = O––>Pz e il versore l dell'asse delle coordina x. Questo angolo è per definizione l'anomalia (o azimut) di P (che si prende positiva o negativa a seconda che, guardando dal semipiano di z > 0, il versorei delle coordinate x preceda o segua nel verso antiorario il vettore v = O––>Pz)

Precisamente:
a) Da coordinate polari
distanza ρ,
anolmalia θ
ed elevazione ε,
a coordinate cartesiane (x, y, z):
x = ρ·cos(ε)·cos(θ);
y = ρ·cos(ε)·sin(θ);
z = ρ·sin(ε).

b) Da coordinate cartesiane (x, y, z) a coordinate polari ( ρ, θ, ε):
ρ = √(x^2 + y^2 + z^2);
• Se ρ = 0, allora θ ed ε sono entrambe arbitrarie.
• Altrimenti
ε = arcsin z/ρ;
se x = 0 e y=0 (ossia se viene ε = π/2 oppure ε = –π/2) allora θ è arbitrario,
altrimenti
• • se x = 0 e y ≠ 0 allora se y>0 allora θ = π/2 altrimenti θ = –π/2,
• • se x ≠ 0 e y = 0 allora se x > 0 allora θ = 0 altrimenti θ = π,
• • se x ≠0 e y ≠ 0 allora θ tale che tan(θ) = y/x e anche che x/cos(θ) e y/sin(θ) abbiano lo stesso segno.
NB. Se risultasse θ < 0 e invece non si volesse θ negativo aggiungere 2π.

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Vecchio 10-07-15, 10:13   #9
pietro31700
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Question Re: Care stelline, quanto siete vicine? :-)

Scusate, non sapevo che aveste già letto molte volte il problema.
Comunque con intuitivo intendevo dire semplicemente che ci sono almeno un paio di modi per risolvere tale problema, ma che quello di trasformare declinazione e ascensione retta nelle tre componenti è il più immediato e facile da capire.
pietro31700 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 10-07-15, 12:00   #10
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@Pietro31700, io con le mie (povere) nozioni di matematica non sarei riuscito a risolvere il problema; tuttavia percepicso qualcosa di "stonato" quando tu e Mizarino, ai post# 3 e 4 affermate che il metodo di calcolo è uguale a quello usato per determinare la distanza angolare di due punti (coordinate) sulla superfice terrestre, (e questo me lo devi spiegare); in questo caso quale sarebbe il punto di osservazione? suppongo il centro della Terra, della quale si conosce il raggio; quindi tutto si semplifica.....
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