Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[aspesi]

nino280

Ho trovato un caso con l'Area tre volte il Perimetro e tutta roba intera.

Gli altri 5 sono (a, b, c):

13, 84, 85
14, 48, 50
15, 36, 39
16, 30, 34
20, 21, 29

E per x=4?

Osservando i valori di a e b si nota che c'è una certa regolarità.

(Ma Erasmus e astromauh non intervengono?)

[nino280]

Ad occhio e una osservazione molto veloce, mi sembrano o terne pitagoriche o multiple.
Per esempio la 20 - 21 - 29 è una primitiva, mentre la 14 - 48 - 50 è due volte la 7 - 24 - 25.
Del resto io quando ho fatto quel disegno in un certo qual modo ne ho fatto uso, voglio dire delle terne Pitagoriche.
Non avevo nessuna idea o indizio da dove partire.
Vediamo; parto sempre da un lato intero che è quello del pallino quindi variabile per interi.
Poi devo disegnare alla sua estremità destra l'altro cateto a 90° se immaginiamo di esaminare rettangoli che non era mica detto dall'enunciato che dovessero essere necessariamente dei rettangoli come si è visto nel caso da perimetro e area da 60.
Allora ci ho messo un segmento che fosse metà di a che era la lunghezza del pallino.
Fatto muovere non sono arrivato a niente di buono.
Provo con b 1/3 di a anche se nel disegno ora non ricordo più come li ho chiamati forse h , g
Niente, nemmeno con 1/3 trovavo qualcosa.
Allora mi sono ricordato delle primitive ed ho cominciato con la più nota di tutte cioè quella da 3 4 5
Divido 4 per 3 e ho 1,33333333
Così il valore di b lo metto che a/1.3333333
Faccio muovere.
Miracolo!! Con 24 pallino ottengo 18 l'altro cateto, 30 l'ipotenusa, 72 il perimetro è 216 l'Area.
Che C . . O
Ciao
Concludendo, è pur vero che Geo è una arma potente per risolvere sti Quiz geometrici, ma sotto sotto un po' di succo o sale (Mio) ci deve sempre stare.

[astromauh]

aspesi

(Ma Erasmus e astromauh non intervengono?)

Sono preoccupato per le sorti del governo.

Scherzo, è che non ho seguito la cosa dall'inizio.

Che bisogna fare?

[Erasmus]

Triangoli con lati a, b e c interi, e area tripla del perimetro.

aspesi

[Lati] a, b e c:
13, 84, 85
14, 48, 50
15, 36, 39
16, 30, 34
20, 21, 29

Sono tutte terne pitagoriche e quind triangoli retangoli con area intera (dato che uno dei due cateti di una terna pitagorica è sempre multiplo di quattro). Ma interessanti sono soprattutto la prima [13, 84, 85] e l'ultima [20, 21, 29] che sono terme pitagoriche PRIMITIVE.
La altre sono muliple (di terne primitive).
Tutte le terne pitagoriche primitive sono lati di triangoli rettangoli che hanno razionale il rapporto tra area e perimetro. E' allora quasi immediato trovare una terna multipla col l'area multiplo del perimetro (se già non è così per la terna primitiva).
Per esempio, la [15, 26, 39] è 3 volte la [5, 12, 13] che è interessante avendo area uguale al perimetro (uguale a 24) . Ovviamente, la terna tripla di [5, 12, 13] ha perimetro 3·24 e area 9·24, ossia area tripla del perimetro.
[quote=aspesi;839979E per x=4? [/QUOTE]Non so se ce ne siano.
Ecco una terna con area 5 volte il perimetro: 2·[11, 60, 61] = [22, 120, 122].
Perimetro 22 + 120 + 122 = 264
Area 22·60 = 1320 = 5·264
––––

[aspesi]

Erasmus

Ecco una terna con area 5 volte il perimetro: 2·[11, 60, 61] = [22, 120, 122].
Perimetro 22 + 120 + 122 = 264
Area 22·60 = 1320 = 5·264
––––

Ok, prima c'è 21, 220, 221 ... P= 462 Area= 2310

E poi, oltre quella che hai trovato tu, ci sono altre 4 terne, l'ultima 30, 40, 50.

Ma quello che chiedevo (anche per astromauh) è come scoprire facilmente tutte le terne di lati dei vari triangoli rettangoli che hanno un determinato rapporto fra il valore dell'area e quello del perimetro.
Ho trovato una formula risolutiva semplice.
Ad es. se Area/Perimetro = 13, ci sono questi 6 triangoli con lati interi:
53, 1404, 1405
54, 728, 730
56, 390, 394
60, 221, 229
65, 156, 169
78, 104, 130

Qual è questa formula?

[nino280]

Erasmus

Per esempio, la [15, 26, 39] è 3 volte la [5, 12, 13] che è interessante avendo area uguale al perimetro (uguale a 24) . Ovviamente, la terna tripla di [5, 12, 13] ha perimetro 3·24 e area 9·24, ossia area tripla del perimetro.
––––

Questa parte non l'ho capita.
Ciao

[aspesi]

nino280

Questa parte non l'ho capita.
Ciao

Ha confuso o terna, o valore del perimetro(e quindi dell'area).
Intendeva:
Per esempio, la [15, 26, 39] è 3 volte la [5, 12, 13] che è interessante avendo area uguale al perimetro (uguale a 30) . Ovviamente, la terna tripla di [5, 12, 13] ha perimetro 3·30 e area 9·30, ossia area tripla del perimetro.

oppure:
Per esempio, la [18, 24, 30] è 3 volte la [6, 8, 10] che è interessante avendo area uguale al perimetro (uguale a 24) . Ovviamente, la terna tripla di [6, 8, 10] ha perimetro 3·24 e area 9·24, ossia area tripla del perimetro.


––––

[nino280]

Ok ho capito, solo 3x12 fa 36 e non 26
Ciao

[aspesi]

aspesi

Poniamo x = Area/Perimetro = S/P


Io ho trovato una formula generale che risolve tutti i triangoli per qualsiasi rapporto x=S/P

Ad es. con x=28 ci sono ben 12 triangoli rettangoli:
113, 6384, 6385 ...... S=360696, P=12882
114, 3248, 3250 ...... S=185136, P=6612
116, 1680, 1684 ...... S=97440, P=3480
119, 1008, 1015 ...... S=59976, P=2142
...................
...................
168, 224, 280 ...... S=18816, P=672
176, 210, 274 ...... S=18480, P=660

Conclusioni

Posto x = Area/Perimetro
i cateti a, b (e viceversa) del triangolo rettangolo hanno lunghezza:
a > 4x
b = 4x*(a-2x) / (a-4x)

Il più piccolo valore di a è quindi 4x+1 e prosegue 4x+2, 4x+3, ecc...,
ma calcolando l'altro cateto b, non tutti i valori di quest'ultimo risultano interi.
In generale, per 4x+n, b è intero per n=1, 2, 4, 8 e per i divisori di 4x, ad es.:
x=0,5 ..... a=4x+1
x=1 ..... a=4x+1 e 4x+2
x=2 ..... a=4x+1 , 4x+2 e 4x+4
x=3 ..... a=4x+1 , 4x+2 , 4x+3 , 4x+4 , 4x+6 e 4x+8
x=4 ..... a=4x+1 , 4x+2 , 4x+4 e 4x+8
x=5 ..... a=4x+1 , 4x+2 , 4x+4 , 4x+5 , 4x+8 e 4x+10
x=6 ..... a=4x+1 , 4x+2 , 4x+3 , 4x+4 , 4x+6 , 4x+8 , 4x+9 , 4x+12 e 4x+16
x=7 ..... a=4x+1 , 4x+2 , 4x+4 , 4x+7 , 4x+8 e 4x+14
.....
.....
Es. se x=19
a = 4x+1 = 77 .... b = 2964
a = 4x+2 = 78 .... b = 1520
a = 4x+4 = 80 .... b = 798
a = 4x+8 = 84 .... b = 437
a = 4x+19 = 95 .... b = 228
a = 4x+38 = 114 .... b = 152

[aspesi]

Si richiede di calcolare il rapporto fra l'area blu e quella verde.