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Vecchio 30-05-20, 17:21   #661
Erasmus
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nino280 Visualizza il messaggio
Ma ok non ho scritto cerchio o circonferenza e che vuol dire? Tutti sappiamo che stiamo parlando di cerchi oppure di circonferenze, mica di pentagoni o ettagoni.
Oh perbacco!
Non ho niente da dirti in più di quanto ho scritto e tu hai citato!
Ma che c'entrano le coordinate cartesiane?
Fa' conto di essere in quarta elementare (quando ti hanno insegnato per la prima volta a trattare i cerchi e le circonferenze).
Abbiano quei quattro cerchi che sappiamo.
Ho semplicemente dato i nomi ai rrispettivi centri (con la solita convenzione di usare per i nomi dei punti le lettere maiuscole).
Forse ho sbagliato ad usare le prime lettere dell'alfabeto dato che già tu avevi usato le lettere A e B per i punti di tangenza dei dati due cerchietti col cerchio di raggio la somma dei loro raggi. [Ma iio non avevo ancora letto
Facciamo così: canbio i nomi dei centri dei cerchi.
Diciamo allora:
Codice:
H il centro del cerchietto di sinistra (quello di raggio ache nel tuo esempio vale 2/5)
K l centro del cerchio di destra (quello di raggio bche nel tuo esempio vale 3/5)
X il centro del  cerchio di raggio incognito r 
  (quello che bisogna trovare per poi trovare la distanza  di X dalla retta HK)
M il centro del cerchio grande (quello di raggio a + b)
Ho così evidenziato il triangolo HKX con i vertici nei centri dei tre cerchietti – di lati lunghi
HK = a+b,
KX = b+r ed
XH = r+a
ed i due triangoli HMX ed NKX (nei quali è divisibile il triangolo HKX).
Siccome se due cerchi sono mutuamente tangenti il punto di tangenza è allineato con i loro centri, succede che la distanza tra X ed M (dove M è il centro del cerchio grande, quello di raggio a + b) vale a + br.
M è allineato con H e K, sta tra questi due punti e dista b da H ed a da K.
Le lunghezze dei lati di HMX sono dunque HM = b, MX = a+br ed XH = r+a.
Le lunghezze dei lati di MKX sono invece [MK = a, KX = b+r ed XM = a+br.
La somma delle aree dei triangoli HMX ed MKX è uguale all'area del triangolo HKX.
Scrivendo queste aree con Erone si trova appunto
√[(a+b)·a·r·(b–r)] + √[(a+b)·b·(a–r)]·r] = √[(a+b+r)·a·b·r].
Se uno ha la pazienza di risolcvere questa equazione simbolica rispetto alla lettera r trova appunto quanto già trovato con i precedenti due metodi, cioè:
r = [ab(a+b)]/(a^2 + ab + b^2) (*)
che, moltiplicando numeratore e denominatore per ab diventa:
r = [ab(a^2 –b^2)]/(a^3 – b^3). (**)
Se ora mettiamo a = 2/5 e b = 3/5 dalla (*) troviamo
r =[(6/25)·(5/5)]/(4/25 + 6/25 + 9/25) = 6/19
e dalla (**) troviamo
r =[(6/25)· (4/25 – 9/25)]/(8/125 – 27/125) = [(6/125)(–1)]/(–19/125) = 6/19.
–––––––––
@ aspesi
Non ho capito i tuoi "nuneri" (che, ad uno sguardo superficiale mi sembrano "strani").
Comunque: anche numericamente la soluzione deve valere come 6/19 scritto in forma decimale, cioè 0,31578947368421
____
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 02-06-20 08:35.
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Vecchio 30-05-20, 18:41   #662
aspesi
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Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Non ho capito i tuoi "nuneri" 8vhe, ad uno sguardo superficiale mi sembrano "strani").
Comunque: anche numericamente la soluzione deve valere come 6/19 scritto in forma decimale, cioè 0,31578947368421
____
Cosa non hai capito?
Questi sono i semiperimetri e le aree del triangolo somma ABC e dei due triangoli ADC e DBC:

p_ABC = (1 + 0,6 + r + 0,4 + r)/2 = 1 + r
S_ABC = RADQ((1+r)*0,6*0,4*r) = RADQ((0,24r*(r+1))

p_ADC = ((0,4+r) + 0,6 + (1-r))/2 = 1
S_ADC = RADQ(1*0,4*(0,6-r)*r) = RADQ(0,24r - 0,4r^2)

p_DBC = ((0,6-r) + 0,4 + (1-r))/2 = 1
S_DBC = RADQ(1*0,6*(0,4-r)*r) = RADQ(0,24r - 0,6r^2)


Il raggio r incognito 6/19 = 0,315789474 si può ottenere facilmente da S_ABC = S_ADC + S_DBC (come hai detto tu), per approssimazioni successive (metodo più rapido e semplice rispetto alla risoluzione dell'equazione).

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-20, 19:20   #663
nino280
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https://i.postimg.cc/4dwkHDHb/Tre-Eroni.png



Vediamo perlomeno di uniformarci almeno per quel che riguarda le lettere, sennò ognuno va avanti per la sua strada, e già io faccio fatica per conto mio e poi non ci capisco più nulla.
Ora ho rispettato il più possibile la nomenclatura suggerita nell'ultimo intervento di Erasmus.
Quello che mi è parso di capire ed allora se ho capito bene sarebbe già un passetto avanti.
Abbiamo a che fare con tre Eroni.
Un Erone è il triangolo grande somma di quello verde + quello blu con i lati 1 alla base e gli altri due 0,4 + r e 0,6 + r
Poi abbiamo quello verde di sinistra con base 0,6 e lati ancora 0,4 + r e 1 - r
Ed ancora il terzo Erone con base 0,4 poi 0,6 + r e 1 - r
Poi non so quello che avviene, ma non perché spiegato male da Erasmus, ma perché io . . . . . .
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 30-05-20 21:50.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 31-05-20, 11:53   #664
nino280
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Per non farmi mancare nulla. Ecco un Arbelo "casereccio"
Spedito ai miei fratelli e si vede in didascalia anche un inerente messaggio.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 31-05-20, 11:59   #665
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https://i.postimg.cc/d1ww0zCV/Sfridi.png


Seguiva poi questa immagine degli "Sfridi" e dell'attrezzatura per ritagliare il cartoncino.

https://onedrive.live.com/embed?resi...Atolbz1hRrHTNM

Ultima modifica di nino280 : 01-06-20 22:14.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-06-20, 11:16   #666
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https://i.postimg.cc/Df4tFW5c/Arbelo...-Archimede.png



Giuro che questo non me lo aspettavo.
Mi faccio calcolare come vedete le aree dei due triangoli "Eronici" e ci stampo al loro interno i valori.
Sommo per trovare l'area del triangolo che li comprende e cosa ci trovo? Trovo 0,31579 nientemeno lo stesso valore del raggio del quarto cerchio (quello più piccolo) incastrato.
Ho fatto tre volte la somma perché non mi pareva vero
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-06-20, 13:59   #667
aspesi
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Quote:
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Sommo per trovare l'area del triangolo che li comprende e cosa ci trovo? Trovo 0,31579 nientemeno lo stesso valore del raggio del quarto cerchio (quello più piccolo) incastrato.
Ho fatto tre volte la somma perché non mi pareva vero
Ciao
Perché ti sei meravigliato?

I valori delle aree dei triangoli e del triangolo somma li avevo scritti in questo post del 30-05-20, 11:49:

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
equazione che si potrebbe risolvere (facendo i quadrati) per determinare l'incognita r, ma è molto più rapido e facile per successive approssimazioni usando un foglio di calcolo.
Con r= 0,315789474 viene
RADQ(0,24r*(r+1)) = 0,315789474
RADQ(0,24r - 0,4r^2) = 0,189473684 + RADQ(0,24r - 0,6r^2) = 0,126315789

L'area del triangolo somma è uguale al raggio r perché... l'altezza del triangolo è il doppio di r e la base HK è lunga 1
S = b*h/2 = 1 * 2r / 2 = r

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-06-20, 15:06   #668
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Hai ragione.
Sin dal primissimo disegno mi ero accorto e anche segnalato che l'altezza era doppia del raggio.
Evidentemente con il passare dei giorni e anche con il "passare" dei disegni me ne ero dimenticato.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 02-06-20, 08:31   #669
Erasmus
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Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
[...]
Scrivendo queste aree con Erone si trova appunto
√[(a+b)·a·r·(b–r)] + √[(a+b)·b·(a–r)·r] = √[(a+b+r)·a·b·r].
Se uno ha la pazienza di risolcvere questa equazione simbolica rispetto alla lettera r trova [...]
r = [ab(a+b)]/(a^2 + ab + b^2) (*)
che, moltiplicando numeratore e denominatore per ab diventa:
r = ab[(a^2 –b^2)]/(a^3 – b^3). (**)
Ho avuto questa pazienza!
Trascrivo i passaggi.

a) Divido tutto per √(r) ottenendo:
√[(a+b)(b–r)a] + √[(b+a)(a–r)b] = √[(a+b+r)ab].

b) Uguaglio il quadrato dei due membri, sommo gi addendi simili ed evidenzio (a+b) dove è possibile:
2ab(a+b) – [(a+b)^2]r + 2(a+b)√[(ab)^2 – ab(a+b)r + abr^2] = ab(a+b) + abr.

c) Semplifico ed isolo a sinistra il termine col radicale:
2(a+b)√[(ab)^2 – ab(a+b)r + abr^2] = abr – ab(a+b) + [(a+b)^2]r.

d) Razionalizzo uguagliando di nuovo i quadrati dei due membri:
4[(ab)^2](a+b)^2 – 4ab[(a+b)^3]r + 4ab[(a+b)^2]r^2 =
= [(ab)^2]r^2 + [(ab)^2](a+b)^2 + [(a+b)^4]r^2 – 2ab[(a+b)^2]r^2 – 2ab[(a+b)^3]r.

e) Porto tutto a sinistra, cambio segno e ordino secondo il grado decrescente di r:
[(a+b)^4 – 2(ab(a+b)^2 + (ab)^2]r^2 +2ab(a+b)[(a+b)^2 – ab]r – 3[ab(a+b)]^2 = 0.

f) Mi accorgo che il coefficiente di r^2 è il quadrato di (a+b)^2 – ab per cui, aggiungendo ad entrambi i membri 4[ab(a+b)]^2 trovo l'uguaglianza di due quadrati, cioè:
{[(a+b)^2 – ab]·r}^2 + 2·{[(a+b)^2 – ab]·r}·[ab(a+b)] + [ab(a+b)]^2 = 4[ab(a+b)]^2
ossia
{[(a+b)^2 – ab]·r + ab(a+b)}^2 = [2ab(a+b)]^2
da cui (ignorando le soluzioni negative)
[(a+b)^2 – ab]·r + ab(a+b) = 2ab(a+b).

g) Svolgendo il quadraio di (a+b), semplificando ed esplicitando r:
[(a^2+b^2 + ab]·r = ab(a+b);
r = ab·(a+b)/(a^2 + ab + b^2).
NB. Se è ab , moltiplicando numeratore e denominatore per (a – b) si trova:
Codice:
 
           a^2 – b^2
 r= ab ––––––––––.
          a^3 – b^3
Per esempio, per a = 2 e b = 3 viene
r = 2·3·(2^2 – 3^2)/(2^3 – 2^3) = 6·(4 – 9)/(8 – 27) = 6·(–5)/(–19) =(6·5)/19 = 30/19;
e per valori di [i]a[i] e b 5 volte minori (cioè per a = 2/5 = 0,4 e b = 3/5 = 0,6):
r = (30/19)/5 = 6/19.
----------
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Ultima modifica di Erasmus : 02-06-20 20:29.
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Vecchio 03-06-20, 08:37   #670
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Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
si trova:
Codice:
 
           a^2 – b^2
 r= ab ––––––––––.
          a^3 – b^3
Per esempio, per a = 2 e b = 3 viene
r = 2·3·(2^2 – 3^2)/(2^3 – 2^3) = 6·(4 – 9)/(8 – 27) = 6·(–5)/(–19) =(6·5)/19 = 30/19;
e per valori di [i]a[i] e b 5 volte minori (cioè per a = 2/5 = 0,4 e b = 3/5 = 0,6):
r = (30/19)/5 = 6/19.
----------
Letto. Anche questo paper super stupendo.
Avevo scritto il seguito ma poi è saltata la corrente del palazzo e perso tutto. Ora devo riscrivere.
Dicevo che era bello e anche per me inarrivabile (se ce ne fosse ancora bisogno visto che l'ho già detto molte altre volte)
Comunque un paio di cose le posso dire:
intanto per dimostrare che l'ho letto tutto e fino in fondo, ho notato che proprio alla fine del tuo paper c'è un "errore di sbaglio" come noi li definiamo scherzosamente da anni, e sarebbe che al posto di un 3^3 ci hai messo un 2^3 ma poi la formula prosegue correttamente perché c'è un 27
Io però per quel che riguarda la faccenda del fatto che l'altezza o anche se vogliamo chiamarla la distanza del centro del cerchio incognito dall' ascissa e doppia del suo raggio, avevo pensato che questi fosse un caso particolare e unico.
Ebbene non è unico.
Faccio una cosa invio perché è la seconda volta che scrivo questo messaggio e poi devo riscriverlo perché c'è un problema della corrente elettrica del palazzo che va e viene e io perdo tutto.
Dicevo del mio sospetto (errato):
dividendo i diametri dei due cerchi quello da 0,8 con quello da 1,2 ottenevo 0,6666666 che a 1 manca 0,3333333 che combinazione è metà di 0,66666666 avevo appunto sospettato che fosse un caso unico.
Allora faccio una verifica cambiando i dati iniziali e ci mettevo uno 0,7 e un 1,3 cambiano cioè le proporzioni, e fatto il relativo disegno con questi nuovi valori trovavo di nuovo il rapporto 2 a 1 fra altezza e raggio. Il disegno l'ho in canna e volendo lo posto, ma ve lo risparmio, a meno che non diventi indispensabile.
Dico ancora una volta questa cosa (detta non so quante volte) questo problema chiamato in gergo caddistico " Tritangenza " viene risolto, intendo graficamente in 5 secondi che sarebbe il tempo che uno impiega a cliccare sui tre diametri in questione per incastrare (lo so è un termine non proprio elegante e tecnico ma se rende bene l'idea va benissimo)
Io con GeoGebra non ho questa funzione. Il Cad superlativo di cui parlavo non l'ho più, pur avendo il dischetto, ma mi funzionava con il vecchio computer che aveva XP e non riesco ad installarlo in Windows 10. Ma allora come ho fatto a disegnare tutto quello che ho disegnato pur trattandosi di tritangenze vere e proprie anche se le abbiamo chiamato (non io) Arbelo di Pappo - Archimede?
Il mio sospetto, eccone un altro, è che l'arbelo è un caso particolare per via del fatto che delle 4 circonferenze in questione le prime 3 hanno i loro centri allineati e le prime due interne al terzo grande sono, di conseguenza, che la somma dei loro diametri è uguale al diametro grande.
L'ultima cosa che volevo domandare ad Erasmus:
l'ultima succinta bella formula quella del rapporto fra i raggi al quadrato e i raggi al cubo (vabbè ci siamo capiti a cosa mi riferisco) funziona anche nel caso che i primi tre cerchi non sono allineati e che il terzo non sia somma degli altri due?
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 03-06-20 15:18.
nino280 non in linea   Rispondi citando
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