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Vecchio 26-02-20, 21:07   #1481
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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aspesi Visualizza il messaggio
[nell'esempio (a, b, c) = (33, 63, 56)]
d = 16

[nell'esempio (a, b, c) = (15, 24, 20)]
d = 7



Infatti se è
AP = a; BP = b; CP = c; DP = d
ed h è l'altezza della piramide, le proiezioni di questi 4 spigoli nel piano della base rettangolare sono
a' = √(a^2 – h^2); b' = √(b^2 – h^2); c' = √(c^2 – h^2); d' = √(d^2 – h^2);
e la condizione cui devono sottostare queste lunghezze è a'^2 + c'^2 = b'^2 + d'^2, ossia:
(a^2 – h^) + (c^2 – h^2) = (b^2 – h^2) + (d^2 +– h^2)
che – aggingendo 2·h^2 ad entrambi i membri – diventa:
(*) a^2 + c^2 = b^2 + d^2 (come quella del quiz di aspesi col punto P nel piano del rettangolo ABCD).
Dalla (*) si trova subito DP = d = √(a^2 – b^2 + c^2).
Permutando l'ordine degli spigoli (di lunghezza rispettiva a, b e c) si trovano ovviamente tre soluzioni, cioè
1) d1 = √a^2 – b^2 + c^2); 2) d2 = √(a^2 + b^2 – c^2); 3) d3 = √(b^2 + d^2 – a^2).
––––––
Propongo di proseguire con un quiz un po' più complicato, [che io non ho ancora risolto], cioè:
«Tra tutte le piramidi a base ABCD rettangolare e vertice P tale che risulti
AP = a; BP = b; CP = c – e quindi AD= d = √(a^2 – b^2 + c^2) –
determinare quella a volume massimo (ossia determinare AB = DC e BC = DA tali che la piramide venga quella a volume massimo)».

NB. Le lunghezze dei lati del rettangolo base della piramide non sono indipendenti (una dall'altra).
In definitiva, la piramide dipende dalla sua altezzab e dalla lunghezza di juno dei lati del rettangolo base , nel senso che si possono assumere queste due copme variabili indipendenti. indipendenti .
Mi piacerebbe che a questo QUIZ (applicato, per esempio, al caso (a, b, c, d) = (16, 33, 63, 56)] partecipassero[almeno!] anche Miza e Astromauh.
Miza perché, da [quasi] alieno qual è ancora, potrebbe darci delle èi]dritte[/i] sul come procedere; astromauh perché, da espertissimo nelle simulazioni, potrebbe risolvere il quiz per approssimazioni successive.
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-02-20, 21:55   #1482
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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nino280 Visualizza il messaggio
Parrebbe che la somma dei quadrati di due spigoli opposti sia uguale alla somma dei quadrati degli altri due, [...]
Meglio che "parrebbe, è proprio così!
Tu hai capito ciò – suppongo – dalla soluzione data da aspesi.
Ma il bello è che la dimostrazione è facile introducendo le lunghezze dei lati del rettangolo base della piramide: lunghezze che poi non figurano nella condizione cui devono sottostare i quattro spigoli della superficie laterale (condizione che tu hai capito:la somma dei quadrati di due spigoli opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due).
Ecco la dimostrazione (che, per essere scritta dettagliatamente viene lunghetta come testo, ma è facilissima come procedimento)
Prendiamo il rettangolo di vertici A, B, C e D di coordinate rispettive
A(0, 0);
B(m, 0);
C(m, n);
D(0, n)
Prendiamo poi il punto P con coordinate P(x, y, z) e mettiamo che le sue distanze da A, B e C siano
AP = a; BP = b; CP = c.
Codice:
D                                           C
  ———————————————
  |       P                                 |
  |                                          |
  |                                          |
  ———————————————
A                                           B
Infine diciamo d la distanza (per ora incognita) di P da D, cioè: d = DP.
Troviamo allora le seguenti 4 equazioni
(1) x^2 + y^2 + z^2 = a^2;
(2) (m – x)^2 + y^2 + z^2 = b^2 ⇔ x^2 + y^2 + z^2 + m^2 – 2mx = b^2;
(3) (m – x)^2 + (n – y)^2 + z^2 = c^2 ⇔ x^2 + y^2 + z^2 + m^2 – 2mx + n^2 – 2ny = c^2;
(4) x^2 + (n – y)^2 + z^2 = d^2 ⇔ x^2 + y^2 + z^2 + n^2 – 2ny = d^2.
Ora, sottraendo membro a membro la (2) alla (3) si trova:
(5) n^2 – 2ny = c^2 – b^2.
Sottraendo invece la (1) alla (4) si trova invece:
(6) n^2 – 2ny = d^2 – a^2.
Siccome i primi membri di (5) e (6) sono uguali, devono essere uguali anche i secondi membri. Deve cioè essere:
c^2 – b^2 = d^2 – a^2 ⇔ a^2 + c^2 = b^2 + d^2.
In definitiva, dati i tre spigoli (della superficie laterale)
AP = a, BP = b; CP = c;
la lunghezza del quarto spigolo (della superficie laterale) deve essere:
d = DP = √(a^2 – b^2 + c^2)

––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 26-02-20 22:02.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-20, 08:36   #1483
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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Erasmus Visualizza il messaggio
«Tra tutte le piramidi a base ABCD rettangolare e vertice P tale che risulti
AP = a; BP = b; CP = c – e quindi AD= d = √(a^2 – b^2 + c^2) –
determinare quella a volume massimo (ossia determinare AB = DC e BC = DA tali che la piramide venga quella a volume massimo)».


–––
Solo se la piramide è regolare a base quadrata:
il volume massimo si ha quando il rapporto fra il lato della base e l'altezza è 2, quindi quando il rapporto fra il lato della base e lo spigolo è 2/3*RADQ(3) = 1,154700538

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-20, 13:58   #1484
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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Mi piacerebbe che a questo QUIZ (applicato, per esempio, al caso (a, b, c, d) = (16, 33, 63, 56)] partecipassero[almeno!] anche Miza e Astromauh.

–––
Variante

Qual è il lato della base quadrata della (pseudo) piramide, che ha altezza nulla (0) e spigoli 16, 33, 63, 56 ?

l = 45,9204723572
Nino280, confermi?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-20, 15:47   #1485
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Confermo.
La conferma è data dalle 4 circonferenze di raggi 16 33 56 63 che si incrociano in un unico punto, che mi sono dimenticato di marcare con un punto e una lettera, ma poco importa.
Comunque, il vertice di questa piramide "fasulla" come si vede cade fuori dalla base.
Ciao
P.S. Per questo lavoro extra devi pagarmi. Minimo minimo un caffè
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-20, 16:51   #1486
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nino280 Visualizza il messaggio
Comunque, il vertice di questa piramide "fasulla" come si vede cade fuori dalla base.
Sì, certo, c'è troppa differenza nella lunghezza degli spigoli.

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Ciao
P.S. Per questo lavoro extra devi pagarmi. Minimo minimo un caffè
hello:
Ok, , anche corretto , però sei stato velocissimo, io con excel ci ho messo 3 ore a trovare il lato del quadrato



Ho cercato di risolvere il quiz di Erasmus, ma mi blocco.
Il volume massimo (con spigoli 16. 33. 63 e 56) dovrebbe aggirarsi su 6630, con lato della base quadrata circa 43,1 e altezza circa 10,71

Ma il volume massimo, come dice Erasmus, si ha quando la base è rettangolare, non quadrata.
Es. con base 53,665631 x 28,861739 e altezza 16, il volume è 8260,711834

Ultima modifica di aspesi : 27-02-20 17:28.
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Vecchio 27-02-20, 17:06   #1487
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Grazie Nino.
Diciamo che ho letto il tuo messaggio non quando tu lo hai scritto, ma certamente erano passate le 17.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-20, 17:17   #1488
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Ho cercato di risolvere il quiz di Erasmus, ma mi blocco.
Il volume massimo (con spigoli 16. 33. 63 e 56) dovrebbe aggirarsi su 6630, con lato della base quadrata circa 43,1 e altezza circa 10,71
Posso provare a mettere giù quattro righe con questi nuovi dati, anche solo per avere una idea sia pure minima di come è fatta questa piramide.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-20, 19:18   #1489
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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Con un quadrato di lato 43 non ci siamo.
La piramide non si solleva.
Io adopero più o meno lo stesso principio che ho adoperato prima.
Solo che al posto delle circonferenze faccio intersecare sfere.
Così ho, se vedete quelle circonferenze un po' a linea continua e un po' a linea tratteggiata. Ma quando io gli chiedo l'intersezione delle intersezioni, mi dice "non definito" vale a dire che non c'è intersezione.
Se a mano la cerco io questa intersezione, vedo che ancora il vertice della piramide ha altezza Zero.
A proposito di Zero.
Sapevate che è stato trovato il Paziente Zero del corona virus? E' Renato Zero.
Questa l'ho fatta io questa mattina. E l'ho inviata ad amici e parenti.
Con loro mi sono giustificato, dicendogli che anche io ho il diritto di dire cavolate
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 28-02-20, 06:11   #1490
nino280
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Ma il volume massimo, come dice Erasmus, si ha quando la base è rettangolare, non quadrata.
Es. con base 53,665631 x 28,861739 e altezza 16, il volume è 8260,711834
Io questa tua aggiunta non l'avevo vista ieri.
Naturalmente devo ora provare a disegnare la piramide con questi valori.
Ma già da subito si vede che il vertice della piramide sta su un vertice del rettangolo.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
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