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Vecchio 15-12-17, 07:03   #2651
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

ti rispondo dal cellulare ma faccio fatica anche solo a scrivere due parole. E un disegno che ho ftto un paio di anni fa..Qundo poi vado al computer ti sapro dire. Probabilmente ho anche la versione con la sfera inscrtta e che e tangente alle facce del tetfaedro. Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-12-17, 03:40   #2652
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

ma dov'era che aspesi aveva posto il quiz ... xhe adesso vi ricodo andando a memoria?
«In un triangolo rettangolo i lati [a, b, c] verificaano queste uguaglianza:
a + b + c = 26
a^2 + b^2 + c^2 = 242..
Waundo vale l'area?»

Beh: era troppo facile.
Lo modifico un po'.
«In un triangolo rettangolo la somma dei lati è 62 e la somma dei cubi dei lati è 30752.
Trovare l'area.

In formule:
Siano [a, b, c] tre numeri [reali e positivi] tali che a^2 + b^2 = c^2.
Si ponga A = a·b/2.
Si sa che:
a + b + c = 62;
a^3 + b^3 + c^3 = 30752.
Trovare A
–––
Come si fa a trovare l'area abbastanza in fretta?
––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-12-17, 16:30   #2653
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Trovare A
–––

––
L'area è = 155

cateti (a + b) = 36
a = 14,25834261
b = 21,74165739

ipotenusa
c = 26



(Scusa il ritardo, ma sono appena tornato dalla montagna...)
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-12-17, 17:24   #2654
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

a + b + c = 62 ------> (a + b) = (62 - c) ------> (a + b)^2 = (62 - c)^2 = 3844 - 124c + c^2

a^2 + b^2 = c^2 ------> (a + b)^2 = c^2 + 2ab
3844 - 124c + c^2 = c^2 +2ab

ab = 1922 - 62c


a^3 + b^3 + c^3 = 30752
(a + b) (a^2 - ab + b^2) = 30752 - c^3
(62 - c) (c^2 - 1922 + 62c) = 30752 - c^3
da cui:

5766c = 30752 + 1922*62

c = 26

ab = 1922 - 62*26 = 310

Area ab/2 = 155

Da
a + b = 36
ab = 310

si ricava:

a = 18 - RADQ(14)
b = 18 + RADQ(14)



Ultima modifica di aspesi : 17-12-17 08:09.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-12-17, 23:09   #2655
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

[a parte un erroruccio di scrittura ... che, a prima vista, mi impediva di controllare se i tuoi Aassaggi erano buoni!].
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] ab = 1922 - 62c
a^3 + b^3 + c^3 = 30752
(a + b) (a^2 - ab + b^2) = 30752 - c^3
(62 - c) (c - 1922 + 62c) = 30752 - c^3
[...]
Occhio: c'è un errore!
Hai perduto per strada un esponente!
[Alias: ti sono rimasti nella tastiera i due caratteri "^2" ... da piazzare opportunamente (cioè dopo il 2° "c" dell'ultima riga della citazione qui sopra) ]
–––––––
Ma si possono trovare (a + b) e c molto più in fretta (e molto più elegantemente)!
Noti che fossero s =(a+b) e c =√(a^2 + b^2), ovviamente: A = [(a+b)^2 – c^2]/4.
––––––––
Porta pazienza! Sopporta la mia "verve" didattica.
Prendi le tre terne pitagoriche [a, b, c] più piccole possibili, cioè: [3, 4, 5]; [5, 12, 13]; [15, 8, 17];
Per ciascuna calcola m = (a + b + c) e n = (a^3 + b^3 + c^3). Poi prova a dividere n per m. Ti viene un rapporto intero. Prova poi a dividere il oppio di questo quoziente ancora pe m. Tiviene di nuovo un rapporto intero! Dunque il doppio della somma dei cubi è diviibile per il quadrato della somma dei tre numeri (sempreché sia a^2 + b^2 = c^2).
Trovi infatti:
1) Per [3, 4, 5]
m = 3 + 4 + 5 = 12
n = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216; 2n = 432;
2n/(m^2) = [432/12]/12 = 36/12 = 3.
2) Per [5, 12, 13]
m = 5 + 12 + 13 = 30; m^2 = 900.
n = 5^3 + 12^3 + 13^3 = 125 + 1728 + 2197 = 4050; 2n = 8100;
2n/m^2 = 8100/900 = 9
3) Per [15, 8, 17]
m = 15 + 8 + 17 = 40; m^2 = 1600.
n = 15^3 + 8^3 + 17^3 = 3375 + 512 + 4913 = 8800; 2n = 17600;
2n/m^2 = [17600/40]/40 = 440/40 = 11.
Il doppio della somma dei cubi dei tre numeri divisa per il quadrato della loro somma i è un numero intero!
[Bacone, (il padre del metodo dell'induzione sperimentale) penserebbe che è improbabile che sia qualcosa di casuale!!
[Proverebbe con una quarta terna pitagorica, per esempio [20, 21, 29], trovando 2n/m^2 = 17 (ancora intero).
Morale: Se è c^2 = a^2 + b^2, allora (a^3 + b^3 + c^3) è divisibile per (a+b+c) ed il doppio del quoziente è ancora divisibile per (a + b + c).

Il rapporto [2(a^3 + b^3 + c^3)/(a + b + c)]/(a + b + c) è una lunghezza che dipende dalle tre lunghezze [a, b, c]. Ci deve essere dunque una regola comune!
Ipotizziamo allora che sia 2(a^3 + b^3 + c^3)/[(a + b + c)^2] = x·a + y·b + z·c
con x, y e z costanti per qualsiasi terna di lati di un triangolo rettangolo.
Conoscendo già tre casi, possiamo trovare x, y e z come soluzioni di un sistema lineare in tre incognite.
Abbiamo dunque:
[a, b, c] = [3. 4, 5] → 3x + 4y + 5z = 3;
[a, b, c] = [5. 12, 13] → 5x + 12y + 13z = 9;
[a, b, c] = [15. 8, 17] → 15x + 8y + 17z = 11.

Il sistema è risolto da [x, y, z] = [–1, –1, 2].
Con tali valori di x, y e z viene infatti:
[a, b, c] = [3. 4, 5] → –3 – 4 + 2·5= 10 – 7 = 3;
[a, b, c] = [5. 12, 13] → –5 – 12+ 2·13 = 26 – 17 = 9;
[a, b, c] = [15. 8, 17] → – 15x – 8 + 2·17 = 34 – 23 = 11.

------
Tornando al quiz, essendo [2·(a^3 + b^3 + c^3)/[(a+b+c)^2]] = (30752/62)/31 = 16, possiamo scrivere di colpo :
(a + b) + c = 62;
–( a + b) + 2c = 16
.

Da qui si ha subito:
3c = 62 + 16 = 78 ⇔ c = 26 ⇒ c^2 = 676;
(a+b) = 62 – c = 62 –*26 = 36 ⇒ (a+b)^2 = 1296;
<Area> = (2ab)/4 = ([a+b)^2 – c^2]/4 = [1296 – 676]/4 = 620/4 = 155.


Facciamo il quiz in ternmini generali!
a + b + c = m; [NB: c^2 = a^2 +b^2]
a^3 + b^3 + c^3 = n.

Da qui:
a+b + c = m;
–(a+b) + 2c = 2n/m^2.
Ossia
c = (m^3 + 2n)/(3m^2);
(a+b) = m - c = 2(m^3 - n)/(3m^2).
E infine
<Area> =[(a+b)^2 – c^2]/4 = {[(2m^3 – 2n)^2 – (m^3 + 2n)^2]/(9m^4)/4 = (3m^6 – 12m^3n)/(36m^4) = (m^3 – 4n)/(12m).

Riassumendo:
[color="Blue"]Di un triangolo rettangolo sano [color=blue]a[color] e [color=blue]b[color] i cateti e sia c[color] l'ipotenusa.
Se (a+b+c) = m e (a^3 + b^3 + c^3) = n, allora [posto s = a + b e p = a·b] si trova:
s = (a+b) = (2m^3 – 2n)/(3m^2) ∧ c = (m^3 + 2n)/(3m^2)
e di conseguenza:
p = a·b =[(a+b)^2 – c^2]/2 = (m^3 – 4n)/(6m) → <Area>=p/2 = (m^3 – 4n)/(12m).
Noti s = (a+b) e p = ab = 2·<Area>, le misure dei cateti [a, b] sono le soluzioni dell'equazione (in t):
t^2 – s·t + p = 0.

––––––––––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 18-12-17 03:23.
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Vecchio 17-12-17, 08:08   #2656
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
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Hai perduto per strada un esponente!
[Alias: ti sono rimasti nella tastiera i due caratteri "^2" ... da piazzare opportunamente (cioè dopo il 2° "c" dell'ultima riga della citazione qui sopra) ]
Corretto, grazie

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-12-17, 08:32   #2657
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Da qui si ha subito:
3c = 62 + 16 = 78 ⇔ c = 26 ⇒ c^2 = 676;
(a+b) = 62 – c = 62 –*26 = 36 ⇒ (a+b)^2 = 1296;
<Area> = (2ab)/4 = ([a+b)^2 – c^2]/4 = [1296 – 676]/4 = 620/4 = 155.

.....
e di conseguenza:
p = a·b =[(a+b)^2 – c^2]/2 = (m^3 – 4n)/(6m) → <Area>=p/2 = (m^3 – 4n)/(12m).
Noti s = (a+b) e p = ab = 2·<Area>, le misure dei cateti [a, b] sono le soluzioni dell'equazione (in t):
t^2 – s·t + p = 0
––––––––––––
Quiz nel quiz

Se dovesse capitarmi un altro problema simile a questo, come lo risolverei:

a) Come ho fatto prima
b) Come propone la tua "verve" didattica

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-12-17, 00:35   #2658
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
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E' maggiore il volume del tetraedro o quello della sfera?
–––––––––
https://s33.postimg.org/x7ii3kfrj/Piramide_Sfera.png



Quel disegno che poi è profilo immagine del mio cellulare non lo trovo più, è andato perso nelle miriadi di disegni che ho fatto.
Però per una circostanza fortuita sono riuscito a riaprirlo una volta ma poi non più. E avevo visto che quella piramide con gli spigoli tangenti ad una sfera non era un tetraedro, faceva parte di chissà quale altro problema fra Erasmus e me che ricordo a malapena, forse che i segmenti staccati da un lato della sfera erano in qualche modo proporzionali a quelli staccati dal lato opposto, ok lasciamo stare, non mi ricordo e basta. Forse dovrei andare a cercare per vedere di che cosa si parlava effettivamente.
Comunque, ho rifatto il disegno da capo per rispondere alla domanda di Erasmus.
E' venuto fuori che da una sfera di raggio 6,123741 il volume della piramide (questa volta un vero tetraedro) era 100 volte maggiore cioè 612,37241 unità cubiche.
E che il volume della sfera è Pi/2 volte quello della piramide.
Volume sfera = Vol. Piramide x 1,57079 = 961,91233 cosi cubici.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-12-17 16:58.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-12-17, 10:23   #2659
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

https://s13.postimg.org/6qrmnxmhj/Disegno_Cellulare.png



A conferma di quello che vado dicendo rimetto quel vecchio disegno e si nota benissimo che io avevo spezzato in due tutte le tangenti alla sfera che da 6 erano diventate 12 e che avevo indicato con le lettere X;Y,W,Z con indici per ciascuna 1;2;3
I segmenti Z si intravedono perché coperti dalla sfera.
La domanda che mi pongo: che ragione c'era perché io facessi questo lavoro? Beh, penso che si voleva dimostrare qualche altro teorema, naturalmente sputato fuori dalla verve di Erasmus
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-12-17, 18:21   #2660
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
https://s33.postimg.org/x7ii3kfrj/Piramide_Sfera.png [...]
... il volume della sfera è Pi/2 volte quello della piramide.

Ma che è 'sto nuovo disegno?
Forse la canadesina di un Lillipuziano che ha steso al sole il reggipetto della sorella del Gigante?
[Mi si perdoni la scurrilità che sto per dire ... cosa molto rara da parte mia].
Tutto al contrario del calabrone che, con pazienza e fatica, si fotteva la formica?
-------------
Tornando al palloncino sferico gonfiato dentro al traliccio del tetraedro regolare fino a toccare tutti i suoi 6 spigoli, il raggio della sfera è il cateto minore di un triangolo retangolo del quale l'altro catedo è mezzo spigolo e l'ipotenusa è 3/4 dell'altezza.
Se lo spigolo del tetredro regolare è lungo s cosi, l'altezze h del tetraedro è lunga:
h = √(2/3)·s cosi
e la sua base B è ampia:
B = [s · s√(3)/2]/2 cosi quadrati = [√(3)/4]·s^2 cosi quadrati.
Il volume Vp del tetraedro regolare (piramide) di spigolo s è dunque Bh/3 cioè
Vp = B·h/3 cosi cubi = {[√(3)/4]·s^2}·[√(2/3)s]/3 cosi cubi = [√(2)/12]s^3 cosi cubi.
Lo scrivo meglio:
Codice:
Volume del tetredro regolare di spigolo lungo s cosi:
          √(2) s^3
  Vp = ––––––––  cosi^3.      (*)
               12
I raggio r della sfera è:
r = √[(3h/4)^2 – (s/2)^2] cosi = √[(9/16)·(2/3) -1/4]s cosi = s/√(8) cosi =√(2)s/4 cosi.
Il volume Vs della sfera è dunque:
Vs = (4/3)π·r^3 cosi cubi = (4/3)π[2√(2)/64]s^3 cosi cubi = π[√(2)/24]s^3 cosi cubi.
Lo scrivo meglio [mettendo in conto anche la (*)]:
Codice:
Volume della sfera tangente i 6 spigoli del tetredro:
            √(2) s^3                  π   √(2) s^3                 π 
 Vs = π ––––––––– cosi^3 = ––– –––––––  cosi^3  = ––– Vp.
                 24                       2        12                      2
Prima di fare i calcoli non si direbbe che la sfera sia addirittura più voluminosa di una piramide e mezza!
[Infatti π/2 ≈ 1,57 > 1/5 = 1 + 1/2.]

Ma di quanto sporge la sfera?

Ciascuno dei 4 segmenti sferici ha uno spessore che è r – (1/4)h.
[Un raggio di sfera meno un quarto di altezza di tetraedro].

Dai. nino280: calcola il volume di uno di questi segmenti sferici... così sappiamo quant'è voluminosa una tetta della sorella del Gigante.
––––
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Ultima modifica di Erasmus : 19-12-17 18:26.
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