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Vecchio 15-02-13, 23:18   #1041
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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[b] ... *usando esclusivamente* le formule delle aree dei poligoni che si studiano in II media, cioè:
Formule per calcolare l'area dei triangoli, anche Erone, e dei parallelogrammi, anche inverse; es. per il triangolo sanno che A=B*h/2 e anche che h= 2*A/B
NO il teorema di Pitagora, che viene insegnato in III media
NB. Il grassetto è di Erasmus.
a) Ma che razza di medie hai fatto tt, asepsi?
La formula di Erone (per trovare l'area d'un triangolo note le lunghezze dei suoi lati) non si studia alle medie ma alle superiori. E non in geometria, ma come utile esercizio di algebra mostrando che
(a +b+c)(–a+b +c)(a –b+c)(a+b –c) = 2[(a^2)(b^2) + (b^2)(c^2) + (c^2)(a^2)] – (a^4 +b^4 + c^4)
e soprattutto ... il rovescio, ossia la decomposizione in fattori del polinomio di quarto grado di destra
2[(a^2)(b^2) + (b^2)(c^2) + (c^2)(a^2)] – (a^4 +b^4 + c^4) = (a +b+c)(–a+b +c)(a –b+c)(a+b –c).
Comunque: per ricavare la formula di Erone occorre usare il teorema di Pitagora!
b) Il Teeorema di Pitagora, swi studia proprio in II media (senza dimostrazione). O meglio: se ne dà una giustificazione mostrando come ritagliare un quadrato di lato lungo quanto l'ipotenusa d'un triangolo rettangolo e ricomporne i ritagli in due quadrati di lati lunghi (rispettivamente) quanto i cateti di quel triangolo rettangolo.
Ti ricordi quel problemino che ho 'postato' io sulla corona circolare? Sorry: non ho detto abbastanza per individuarlo!
Faccio più presto a ripeterlo.
«In una corona circolare la corda della circonferenza esterna tangente alla circonferenza interna è lunga 30 cm. Calcolare l'area della corona circolare»
Adesso te lo ricordi?
Si trattava di un eseercizio del ibro di testo di mio figlio quando, in seconda media appunto, non riusciva a risolverlo, chiese a me ...e anch'io, li per lì, ho avuto un momento di panico perché non mi parevano sufficienti i dati e, se invece lo fossero stati, che figura ci facvevo col figlio, io che insegnavo matematica e fisica alle superiori?
Come dissi a suo tempo, andai a vedere di che parlava il capitolo in fondo al quale stavano esercizi ad hoc tra i quali quello la. Era un capitolo tutto dedicato al teorema di Pitagora (II media, appunto!)-
c) Dici: « [...] per il triangolo sanno che A=B*h/2 [...]».
Chi sono [in questa frase] che "sanno"? Chi è il "soggetto" di "sanno" (indicativo presente, III persona plurale)?
Non lo dici!
Vado indietro a cercarne uno...
Ma è ovvio! Eccolo qua: lo stesso dell'altro, indicativo presente, III persona plurale!
«[...] formule delle aree dei poligoni che si studiano in II media»
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 15-02-13 23:24.
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Vecchio 16-02-13, 02:47   #1042
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Lasciando perdere la II media o la II media, il problema è il seguente:
Trovare l'area di un trapezio note le lunghezze dei suoi lati senza far uso del Teorema di Pitagora.
[E' invece lecito l'uso della formula di Erone per il calcolo dell'area d'un triangolo note le lunghezze dei suoi lati].

Ma allora ... non c'è bisogno di calcolare l'altezza!

Si prolunghino i lati obliqui fino ad incontrarsi al di là della base minore.
Sia x l'aumento del lato lungo 37 ed y l'aumento del lato lungo 91.
Si formano così due triangoli simili
• un triangolo piccolo di lati 40, x e y;
• un triangolo grande di lati 136, 37 +x e 91 + y.
L'area del Trapezio è la differenza tra l'area del triangolone e quella del triangolino.

Siccome questi sono simili, valgono le proporzioni
40/136 = x/(x+37) = y/(y + 91
da cui si ha
40·x + 40·37 = 136·x ––> 40·37 = 96·x ; 5·37 = 12·x; ––> x = 37·(5/12).
40·y + 40·91 = 136·y ––> 40·91 = 96·y ; 5·91 = 12·y; ––> y = 91·(5/12).
Se aggiungiamo 40 = (40·12/5)·(5/12) = 96·(5/12), vediamo che il triangolino è simile al triangolo trovato da Nino280 di lati (96, 37, 91) la cui area è già stata determinata da Nino280 in
S = «1680 cosi quadrati
Allora l'area del triangolino è S·(5/12)^2
Quella del triangolone, siccome 1 + 5/12 = 17/12, è S·(17/12)^2

L'area del trapezio risulta
S·(17^2 – 5^2)/12^2 = S·(289 – 25)/144 = S·(264/144) = (11/6)·S
E siccome S vale i680 così quadrati, l'area del trapezio è
11·1680/6 = 3080 cosi quadrati.
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Ultima modifica di Erasmus : 21-02-13 20:18.
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Vecchio 16-02-13, 16:56   #1043
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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NB. Il grassetto è di Erasmus.
a) Ma che razza di medie hai fatto tt, asepsi?
Quelle serie, di una volta... con esame di ammissione, a Gallarate

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La formula di Erone (per trovare l'area d'un triangolo note le lunghezze dei suoi lati) non si studia alle medie ma alle superiori.
-------------
Dalle mie parti, sì... Ovviamente, *senza* dimostrazione. Perché, è facile da ricordare...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-02-13, 17:11   #1044
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
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L'area del trapezio risulta
S·(17^2 – 5^2)/12^2 = S·(289 – 25)/144 = S·(264/144) = (11/6)·S
E siccome S vale i680 così quadrati, l'area del trapezio è 11·1680/6 = 3080 cosi quadrati.
Il procedimento di Nino280 è molto più brillante....
La tua strategia è, come spesso accade, da UCAS...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-02-13, 09:38   #1045
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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Quelle serie, di una volta... con esame di ammissione, a Gallarate
Non lo metto in dubbio.
Si vede, però, che non ti sono rimaste molto impresse.
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Dalle mie parti, sì... Ovviamente, *senza* dimostrazione. Perché, è facile da ricordare...
Può essere stato ... un optional del tuo insegnante. Magari fatto in III media.
Certamente la formula di Erone non faceva parte del programma ministeriale!
Guarda che io, oltre che aver fatto le stesse medie (quelle serie), con tanto di esame di ammissione, ho anche insegnato matematica in "quelle" medie (da supplente, ancora universitario, a.s. 1960/61).
Ti ricordo che la geometria piana si concludeva in II media. Quindi il teorema di Pitagora si insegnava proprio in II media. In III c'era geometria solida e algebra (fino alle equazioni di 1° grado). All'esame di "Licenza dalla scuola media inferiore" c'era lo scritto di matematica con un problema di algebra (da risolvere con un'equazione) ed uno di geometria solida (per esempio calcolare il volume di un solido decomponibile in pezzi ... di forme note).
L'algebra di III media veniva poi ripetuta ed ampliata in 4ª ginnasio (dove, però, la geometria partiva da zero e procedeva in forma perfettamente assiomatico-deduttiva, sulla falsariga degli Elementi di Euclide).
Ricordo ancora adesso il mio profe di matematica (che ho avuto, per strana combinazione, per tutti gli 8 anni anni, senza mai nemmeno un giorno di supplenza di altro insegnante) che, in III media, svolgeva la decomposizione in fattori del polinomio
2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] – (a^4 + b^4 + c^4).
Si procedeva aggiungendo e togliendo qualcosa in modo da evidenziare la differenza di due quadrati.
Da quel polinomio, aggiungendo e togliendo 2(ab)^2 – ma succederebbe analogamente con 2(bc)^2 o con 2(ca)^2 – si ricava:
4(ab)^2 – [a^4 + b^4 + c^4 + 2(ab)^2 – 2(bc)^2 – 2(ca)^2] =
= (2ab)^2 – (a^2 + b^2 – c^2)^2 = (2ab + a^2 + b^2 – c^2)(2ab – a^2 – b^2 + c^2) =
= [(a+b)^2 – c^2]·[c^2 – (a –b)^2] = [(a+b+c)·(a+b –c)]·[(c+a –b)(c –a+b)] =
= (a+b+c)(–a+b+c)(a–b+c)(a+b–c).
La faccenda del porre p = (a+b+c)/2, per cui quel prodotto diventa 16p(p–a)(p–b)(p–c) si incontrava (per l'indirizzo classico delle superiori) solo in III Liceo Classico (ultimo anno, prima della maturità).
Ma io, quando sono tornato ad insegnare [dopo ... essere scappato da Milano abbandonando la professione di ... impiegato metalmeccanico], insegnavo la formula di Erone CON DIMOSTRAZIONE (derivante da applicazione del teorema di Pitagora) come esercizio di algebra in 1ª superiore dell'Istituto Tecnico Agrario (dove il programma ministeriale era solo abbozzato ... con tanto di annotazione che l'insegnante era libero di integrarlo a sua discrezione).
Ecco come si dimostra la formula di Erone.
Sia ABC un triangolo di vertici A, B e C.
Siano (a, b, c) le lunghezze dei lati rispettivamente opposti ai vertici (A, B, C).
[Allora certamente si ha: – a + b + c >0; a – b + c > 0; a + b – c > 0]
Sia AB il lato maggiore (lungo c). Sia S l'area (incognita) del triangolo.
Si proietti C ortogonalmente su AB in H.
Se conoscessimo l'altezza h = CH relativa al lato di lunghezza c avremmo
S = c·h/2 ––> 2S = c·h.
Il piede H dell'altezza (relativa ad AB) divide la base (lunga c) in due segmenti di lunghezze (incognite) rispettive
x =AH; y = HB
Ora abbiamo
x + y = c [per costruzione]
b^2 – x^2 = a^2 – y^2 = h^2 [Pitagora] (**)
Se conoscessimo la proiezione x dei lato AC (lungo b) sul lato AB (o quella y del lato BC) potremmo calcolare (con Pitagora) l'altezza h e quindi l'area.
Dalla (**), tenendo conto del fatto che x + y = c, ricaviamo
b^2 – a^2 = x^2 – y^2 = (x+y)(x–y) = c·(x – y).
Otteniamo, quindi, il sistema lineare nelle incognite x ed y:
x + y = c
x – y = (b^2 – a^2)/c
Da qui, sommando membro a membro e dividendo per 2, ricaviamo:
x = (–a^2 + b^2 + c^2)/(2c)
Allora
h^2 = b^2 – x^2 = b^2 – [(–a^2 + b^2 + c^2)/(2c)]^2 –––>
––> 4(c·h)^2 = 4(bc)^2 – [a^4 + b^4 + c^4 –2(ab)^2 – 2(ac)^2 + 2·(bc)^2] ––>
––> 4(c·h)^2 = 2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] – (a^4 + b^4 + c^4).
Occhio: superfluo esplicitare l'altezza h se si è in cerca dell'area S dato che c·h = 2S.
Pertanto:
16·S^2 = 2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] – (a^4 + b^4 + c^4).

Avendo già in precedenza ricavato

2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] – (a^4 + b^4 + c^4) = (a+b+c)(–a+b+c)(a–b+c)(a+b–c)

abbiamo subito

S = {√[ (a+b+c)(–a+b+c)(a–b+c)(a+b–c)]}/4

e ponendo p = (a+b+c)/2 la stranota formula

S = √[p(p-a)(p–b)(p–c)]
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 21-02-13 20:51.
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Vecchio 21-02-13, 10:18   #1046
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Un rappresentante esercita la sua professione in quattro città che chiameremo A,B,C,D.
Egli non rimane mai più di un giorno nella stessa città.

Se si trova in A egli ha probabilità 1/3 di andare in B e probabilità 2/3 di andare in D..
Se si trova in B egli ha la probabilità 1/2 di andare in A e probabilità 1/2 di andare in C.
Se si trova in C egli ha probabilità 2/5 di andare in A, probabilità 2/5 di andare in B e probabilità 1/5 di andare in D.
Se si trova in D egli ha probabilità 1/2 di andare in A e probabilità 1/2 di andare in C

A lungo andare come ripartisce il suo tempo nelle varie città?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-02-13, 13:31   #1047
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E' snervante. Se fossi quel rappresentante mi prendo una settimana di ferie.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-02-13, 17:45   #1048
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
E' snervante. Se fossi quel rappresentante mi prendo una settimana di ferie.
Nessuno ti impedisce di farlo!
Neanche aspesi.
Se ti prendi la settimana di ferie periodicamente, per esempio sempre dopo 30 giorni di lavoro, e resti lì dove sei non un giorno, bensì un giorno di lavoro + sette giorni di ferie ... non cambia, a lungo andare, ... la risposta al quiz.
---------
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-02-13, 18:15   #1049
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Nessuno ti impedisce di farlo!
Neanche aspesi.
Se ti prendi la settimana di ferie periodicamente, per esempio sempre dopo 30 giorni di lavoro, e resti lì dove sei non un giorno, bensì un giorno di lavoro + sette giorni di ferie ... non cambia, a lungo andare, ... la risposta al quiz.
---------
Non l'ho capita...
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-02-13, 19:59   #1050
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Siano x, y, z e w le frazioni di tempo in cui il rappresentante si trova rispettivamente in A, in B, in C e in D.

NB: x, y, z, e w sono anche le probabilità che, in un giorno qualsiasi, il rappresentante si trovi a lavorare rispettivamente in A, in B, in C o in D.

Leggendo ripetutamente tutte e quattro le proposizioni (snervanti, ha ragione Nino280) si può scrivere un sistema omogeneo di 4 equazioni lineari in x, y, z e w.
Naturalmente, il sistema dovrà essere "indeterminato" e la soluzione generale dovrà essere del tipo
x = ka
y = kb
y = kc
w = kd
con k costante arbitraria e [a, b, c, d] una soluzione arbitraria purché "non banale" del sistema.
Allora occorre aggiungere l'equazione x + y + z + w = 1, ottenendo in definitiva:
x = a/(a+b+c+d)
y = b/(a+b+c+d)
z = c/(a+b+c+d)
w = d/(a+b+c+d)
dove [a, b, c, d] è una soluzione (non banale) qualsiasi del detto sistema lineare.

Cerchiamolo, 'sto sistema lineare.
a) In A ci si arriva da B, da C e da D con probabilità rispettive 1/2, 2/5 e 1/2. Pertanto:
x = y/2 + 2z/5 + w/2
b) In B ci si arriva da A con probabilità 1/3 e da C con probabilità 2/5: Pertanto:
y = x/3 + 2z/5
c) In C ci si arriva con probabilità 1/2 sia da B che da D. Pertanto
z = y/2 + w/2
d) In D ci ci arriva da A con probabilità 2/3 e da C con probabilità 1/5. Pertanto:
w = 2x/3 + z/5.

Il sistema, messo in forma matriciale, è del tipo A·v = 0 dove A è la matrice 4 x 4 dei coefficienti, v è il vettore trasposto di [x, y, z, w] e 0 è il vettore nullo trasposto di [0, 0, 0, 0]. Precisamente:
Codice:
|     1,     –1/2,     –2/5,    –1/2 |     | x |        | 0 |
| –1/3,         1,     –2/5,        0  |     |y |         | 0 |
|     0,     –1/2,         1,     –1/2 | ·  | z |  =    | 0 |  .
| –2/3,        0,     –1/5,         1  |    | w|         | 0 |
Si vede subito che il sistema è "indeterminato" [cioè che ci sono soluzioni "non banali"] perché la somma di ogni colonna della matrice dei coefficienti è nulla (ossia: le righe sono linearmente dipendenti).
Basta dare ad una incognita un valore arbitrario diverso da zero e ignorare una equazione per ottenere un sistema di tre equazioni in 3 incognite ... che si spera sia "determinato".
Posto x = k (ossia a = 1) ed ignorando la quarta equazione si ottiene
(*)
y/2 + (2/5)z +w/2 = k
y – (2/5)z = k/3
y/2 – z + w/2 = 0.
[Calcolando il determinante della matrice dei coefficienti di questo sistema si trova che esso vale –7/10 ≠ 0; pertanto questo sistema è determinato].
Sottraendo la terza equazione alla prima si ricava
(2/5 + 1)·z = k –––> z = (5/7)k ––> c = 5/7 = 15/21
Dalla seconda equazione si ha allora
y = k/3 + (2/5)·z= [1/3 + (2/5)·(5/7]·k = (13/21)·k –-> b = 13/21
Infine, sommando la prima e la terza equazione
w = k – y + (3/5)·z = [1 – 13/21 + (3/5)·(5/7)]· k =[(21 – 13 + 9)/21][·k = (17/21)·k ––> d = 17/21
Pertanto
a + b + c + d = (21 + 13 + 15 + 17)/21 = 66/21 = 22/7 .
E in definitiva:
x = 21/66 = 7/22 del tempo in A
y = 13/66 del tempo in B
z = 15/66 = 5/22 del tempo in C
w = 17/66 del tempo in D[*]

{[*] Salvo errori (di sbaglio) o omissioni }
----------

--------------
h 23:04 di gio. 21.02.13
Bonne nuit à tout le monde, y compris nos ennemis
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Ultima modifica di Erasmus : 21-02-13 22:04. Motivo: Correzione di "errori di sbaglio"
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