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Vecchio 04-05-06, 11:26   #1
arlecchino43
Utente Junior
 
Data di registrazione: Apr 2006
Messaggi: 5
Predefinito Trisezione dell'angolo

Sono un insegnante di italiano ed oltre che di congiuntivi qualche volta mi diletto di problemi matematici.
Sono stato incuriosito dal problema della trisezione dell’angolo con riga e compasso (usati secondo i principi euclidei ) escogitando una soluzione.
Gli amici matematici ( Wantzel li perdoni!) non sono riusciti a trovare l’errore.
Potete riuscirci voi o posso autoincensarmi, armarmi di riga e compasso e studiare come duplicare un cubo?

Ecco il mio procedimento:
1- Tracciare un angolo qualsiasi ß con vertice A
2- Con centro A e raggio a piacere trovare i punti B e C di intersezione con i lati dell’angolo
3- Con centro B e raggio BA trovare il punto di intersezione D sul lato dell’angolo. Con analogo procedimento trovare il punto E sull’altro lato.
4- Con centro D e raggio DB = AB trovare il punto di intersezione F sul lato dell’angolo. Con analogo procedimento trovare il punto G sull’altro lato.
5- Tracciare i segmenti FG, DE, BC
6- Tracciare la bisettrice dell’angolo ß ed i punti H (intersezione con il segmento FG) ed i punti I e L ( intersezione con i segmenti DE e BC ).
7- Con centro B e raggio BD trovare il punto di intersezione M con il segmento DE .
8- Tracciare la bisettrice dell’angolo DBM = ß così ottenuto ed il punto di intersezione N della bisettrice con il segmento DE.
9- Con centro D raggio DF=DB ripetere il procedimento del punto 7 ed 8 e trovare il punto O sul segmento FG
10- Prolungare il segmento BN e tracciare il punto P di intersezione con il segmento FG
11- Dall’uguaglianza dei triangoli ABL , BDN , DFO ne consegue che FO=OP=PH
12- Con analogo procedimento si individuano sul segmento HG i punti Q (simmetrico di P rispetto alla bisettrice AH ) e R.
13- Si ottiene FP=PQ=QG =FG/3
14- Con centro H e raggio HF si traccia la semicirconferenza di diametro FG che incontra la bisettrice di ß nei punti R ed S.
15- Con centro F e raggio FH si individua sulla circonferenza il punto T di intersezione con la circonferenza per FRG
16- Con analogo procedimento si individua il punto U sull’arco di circonferenza RG
17- Si tracciano i segmenti TP ed UQ
18- Con centro A e raggio AF si traccia l’arco di circonferenza che interseca i segmenti TP ed UQ nei punti V e Z.
19- Si tracciano i segmenti VA e QA
20- Gli angoli FAV = VAZ = ZAG sono uguali a ß/3

Da notare che nel caso particolare di ß = 90 i segmenti TP e VA (così come UQ e ZA ) sono sulla stessa retta
arlecchino43 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-05-06, 12:25   #2
Mizarino
Utente Super
 
L'avatar di Mizarino
 
Data di registrazione: May 2004
Messaggi: 9,516
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Quote:
arlecchino43
Sono un insegnante di italiano ed oltre che di congiuntivi qualche volta mi diletto di problemi matematici.
Vecchia scuola eh? Ormai i congiuntivi stanno scomparendo, ma tu resisti finché puoi ...
Benvenuto nel forum, e complimenti per il problema di geometria!
Purtroppo non è per me, ma Piotr avrà certamente qualcosa da dire ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 04-05-06, 13:16   #3
Piotr
Moderatore
 
L'avatar di Piotr
 
Data di registrazione: Oct 2005
Ubicazione: Provincia di Torino
Messaggi: 763
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Certo che ho qualcosa da dire!
Ad esempio, che ho capito la battuta su Wantzel.

Uhm, ho provato a capire la costruzione proposta, schizzando a mano e senza compasso. Sono arrivato fino al punto 7, poi ho smesso (insomma, sono al lavoro, ecco...) e sono ancora lontanissimo da un qualsiasi commento.

Ma uno che conosce Wantzel va preso con le molle, è uno che sa che il trucco c'è, ma proprio per questo saprà anche nasconderlo benissimo. Uh, non so se ce la farò... Alla peggio, lo pubblico in rivista e lo do in pasto ad un migliaio di matefili affamati...

Benvenuto a bordo, Arlecchino! Ho quindici anni meno di te, non sarai mica un mio vecchio prof?
__________________
Mi contraddico? Ebbene, mi contraddico!
Sono un universo, contengo miracoli.
(Walt Whitman)
Piotr non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-05-06, 13:17   #4
Piotr
Moderatore
 
L'avatar di Piotr
 
Data di registrazione: Oct 2005
Ubicazione: Provincia di Torino
Messaggi: 763
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Quote:
Piotr
Benvenuto a bordo, Arlecchino! Ho quindici anni meno di te, non sarai mica un mio vecchio prof?
Poi, a ben vedere... potrei anche averne cinque di più.

O qualcos' altro ancora...
__________________
Mi contraddico? Ebbene, mi contraddico!
Sono un universo, contengo miracoli.
(Walt Whitman)
Piotr non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-05-06, 15:36   #5
arlecchino43
Utente Junior
 
Data di registrazione: Apr 2006
Messaggi: 5
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Caro Piotr,
Viste le due possibili soluzioni del problema (+5 o -15) deduco che tu sia un pimpante 48enne.
Anche se non sono un tuo vecchio prof sono costretto ad ammettere che ahime! 48-63 fa -15.
Con simpatia
arlecchino43 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-05-06, 15:25   #6
Snark
Utente Junior
 
Data di registrazione: May 2006
Messaggi: 23
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Quote:
arlecchino43
7- Con centro B e raggio BD trovare il punto di intersezione M con il segmento DE .
Scusa Arlecchino, sei sicuro che questo passaggio sia corretto? Se punto un compasso in B con raggio BD, l'intersezione con DE cadra' necessariamente su D. E quindi D e M coincidono, per cui l'angolo DBM (che ci serve al punto successivo) e' di 0 gradi.

Oppure intendevi che l'intersezione va trovata non su DE, ma sul suo prolungamento?
Grazie del chiarimento!
Snark non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 20-05-06, 14:56   #7
arlecchino43
Utente Junior
 
Data di registrazione: Apr 2006
Messaggi: 5
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Ecco Snark provo a rimandarti un'altra versione dove forse il procedimento è più chiaro.

1- Tracciare un angolo qualsiasi ß con vertice A
2- Con centro A e raggio a piacere trovare i punti B e C di intersezione con i lati dell’angolo
3- Con centro B e raggio BA trovare il punto di intersezione E sul lato dell’angolo. Con analogo procedimento trovare il punto F sull’altro lato.
4- Con centro E e raggio EB = AB trovare il punto di intersezione L sul lato dell’angolo. Con analogo procedimento trovare il punto M sull’altro lato.
5- Tracciare i segmenti LM, EF, BC
6- Tracciare la bisettrice dell’angolo ß ed i punti *P (intersezione con il segmento LM) ed i punti G e D ( intersezione con i segmenti EF e BC ).
7- Tracciare la bisettrice dell’angolo EBG = ß ed il punto di intersezione H della bisettrice con il segmento EF
8- Ripetere il procedimento per l’angolo LEQ e trovare il punto N sul segmento LM
9- Prolungare il segmento BH e tracciare il punto Q di intersezione con il segmento LM
10- Dall’uguaglianza dei triangoli ABD , BEH , ELN ne consegue che LN=NQ=QP=LM/6
11- Con analogo procedimento si individuano sul segmento PM i punti R(simmetrico di Q rispetto alla bisettrice AP ) e O. Si avrà PR=RO=OM=LM/6
12- Si ottiene LQ=QR=RM =LM/3
13- Si costruiscono i triangoli equilateri uguali LPS e MPT
14- Si tracciano i segmenti SQ e TR
15- Con centro A e raggio AL si traccia l’arco di circonferenza che interseca i segmenti SQ e TR nei punti U e V.
16- Si tracciano i segmenti UA e VA
17- Gli angoli FAV = VAZ = *ZAG sono uguali a ß/3

Se ß=180 il punto U ed il punto S coincidono così come coincidono il punto A ed il punto P.
L’angolo tra UA e la bisettrice è *= 30

Se *ß = 60 dalla similitudine dei triangoli si nota che i segmenti TP e VA (così come UQ e ZA ) sono sulla stessa retta
L’angolo tra UA e la bisettrice AP è UAP =10

Se ß=90 si evidenzia che l’angolo UAP =15

Per ß tendente a 0 *il punto U tende al punto Q ed il segmento QA tende ad essere parallelo al segmento PA.

Se ne deduce che il segmento SQ ( ed il segmento TR ) è il luogo dei punti di intersezione tra la trisecante dell’angolo ß e l’arco di circonferenza per ogni valore di ß.

Se sapessi come aggiungere un'immagine lo farei, ma le mie conoscenze informatiche ahimè non sono così profonde







arlecchino43 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-06, 14:57   #8
Snark
Utente Junior
 
Data di registrazione: May 2006
Messaggi: 23
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Quote:
arlecchino43
Ecco Snark provo a rimandarti un'altra versione dove forse il procedimento è più chiaro.

1- Tracciare un angolo qualsiasi ß con vertice A
2- Con centro A e raggio a piacere trovare i punti B e C di intersezione con i lati dell’angolo
3- Con centro B e raggio BA trovare il punto di intersezione E sul lato dell’angolo. Con analogo procedimento trovare il punto F sull’altro lato.
4- Con centro E e raggio EB = AB trovare il punto di intersezione L sul lato dell’angolo. Con analogo procedimento trovare il punto M sull’altro lato.
5- Tracciare i segmenti LM, EF, BC
6- Tracciare la bisettrice dell’angolo ß ed i punti P (intersezione con il segmento LM) ed i punti G e D ( intersezione con i segmenti EF e BC ).
Innanzi tutto: grazie per il chiarimento.
Per le figure: ok, provo a farele io. Fin qui e' corretto?
Snark non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-06, 15:08   #9
Snark
Utente Junior
 
Data di registrazione: May 2006
Messaggi: 23
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Quote:
arlecchino43
7- Tracciare la bisettrice dell’angolo EBG = ß ed il punto di intersezione H della bisettrice con il segmento EF
Corretto anche questo?
Snark non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-05-06, 15:13   #10
Snark
Utente Junior
 
Data di registrazione: May 2006
Messaggi: 23
Predefinito Re: Trisezione dell'angolo

Quote:
arlecchino43
8- Ripetere il procedimento per l’angolo LEQ e trovare il punto N sul segmento LM
A questo punto, ho qualche problema... Dove si trova Q? Non intendevi, per caso, LEP?
Grazie! (e scusa, sono un po' tonta :-[ )
Snark non in linea   Rispondi citando
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