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Vecchio 25-01-21, 14:30   #1171
Erasmus
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Predefinito Re: Nino - Nino

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aspesi Visualizza il messaggio

L'area del rettangolo è 60. Inoltre si ha: BE=2,EC=6,ED=9,EA=7. Trovare l'area del triangolo colorato. Disegno non in scala.
Ho imboccato una strada concettualmente abbastanza facile ... ma che porta ad una equazione la cui soluzione non si può esprimere (o almeno io non so esprimere) in termini di radicali, ossia con espressioni esatte.
Temo che nel procedimento del mio calcolo ci siano inevitabili piccoli arrotondamenti.

Premessa
Sia ABCD un quadrilatero piano convesso e sia P un qualunque punto del piano di ABCD.
Siano a, b, c e d le di stanze di P rispettivamente da A, B, C e D.
Si dimostra [facilmente] che se e solo se ABCD è un rettangolo allora la somma dei quadrati delle distanze di P dai due vertici opposti è uguale alla somma dei quadrati delle distanze di P dagli altri due vertici [opposti]; ossia (in formula):
a^2 + c^2 = b^2 + d^2 o equivalentemente a^2 – b^2 = – (c^2 – d^2).

Discussione del quiz
Nel quadrìilatero piano convesso ABCD opposti sono i vertici A e C (distanti da E rispettivamente 7 e 6) e B e D (distanti da E rispettivamente 2 e 9.
Siccome 7^2 + 6^2 = 85 e pure 2^2 + 9^2 = 85, ABCD è un rettangolo quali che siano gli angoli
AEB; BEC; CED; DEA.
i quali, però non sono affatto indipendenti.
Fissi restando gli orientamenti dei lati (cioè: AB e CD verticali; BC s DA orizzontali). il punto E può girare rispetto a B su un quarto di circonferenza (di centro B e raggio 2) facendo variare l'angolo
α = EBC
tra 0 e 90°.
Per α =0 (cioè per E che casca su BC), i lati orizzontali diventano di lunghezza
2+6 = 8,
quelli verticali di lunghezza
√(7^2 – 2^2) = √(9^2 – 6^2) = √(45) = 3√(5)
e quindi l'area S viene
S(0°) = 8·3√(5) ≈ 53,6656....
Per α =90° (cioè per E che casca su AB), i lati veticali diventano di lunghezza
7+2 = 9,
quelli verticali di lunghezza
√(6^2 – 2^2) = √(9^2 – 7^2) = √(32) = 4√(2)
e quindi l'area S viene
S(90°) = 9·4√(2) ≈ 50,9116....
Occorre dunque trovare l'angolo α per il quale l'area vale 60.

Per comodità si ponga:
α = EBC;
β = ECB;
γ = DAE:
δ = ADE.
Allora abbiamo
y= 2·sin(α): u = 2·cos(α) = 2√{1 –[sin(α)]^2}.
7·cos(γ) = 2·cos(α) = 2√{1 –[sin(α)]^2} e quindi:
x = 7·sin(y) = √{49 -4 + 4·[sin(α)]^2} = √{45 + 4[sin(α)]^2}.
6·sin(β) = 2·sin(α) e quindi:
v = 6·cos(β) = √{36 – 4·[sin(α)]^2}.

Sempre per comodità di scrittura si ponga s = sin(α).
Con ciò il lato orizzontale [base] di ABCD viene lungo
b = u + v = √(4 – 4s^2) + √(36 – 4s^2)
e il lato verticale [altezza] di ABCD viene lungo
h = x + y = √(45+4s^2) + 2s.
L'rea del rettangolo ABCD in funzione di s = sin(α) viene
S(s) = b·h = [√(4 – 4s^2) + √(36 – 4s^2)]·[(45+4s^2) + 2s].
L'equazione [in s = sin(α)] da risolvere è dunque
[√(4 – 4s^2) + √(36 – 4s^2)]·[(45+4s^2) + 2s] – 60 =0.

Me la sono risolta con "Grapher" trovando:
s = 0,65079138500731.
Per controllo. cakcolo b ed h trovando
b = u + v = 7,37563554089868;
x = √(45 + 4·0,65079138500731^2);
h = x + y = 8,13489259070580;
S = hd = 59,999999999999999.

La risposta al quiz è (u+v)·x che. con i miei mezzi di calcolo mi viene:
= [√(4 – 4·0,65079138500731^2)+√(36 – 4·0,65079138500731^2)] · √(√(45 + 4·0,65079138500731^2) =
= <Area di ADE> = 25,19999993102979.
Questa sfilza di 9 mi induce a pensare chi siano il risultato di inevitabili arrotondamenti e che la vera soluzione sia esattamente 25,2
–––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 30-01-21 13:22.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 25-01-21, 14:38   #1172
aspesi
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Predefinito Re: Nino - Nino

Quote:
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Questa sfilza di 9 mi induce a pensare chi siano il risultato di inevitabili arrotondamenti e che la vera soluzione sia esattamente 25,2
–––––
Sì, 25,2 come scritto in messaggi precedenti

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 25-01-21, 14:47   #1173
nino280
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Ma anche io avevo ottenuto un 25,20269
Sono 2 millesimi in più.
Bisogna dire che io l'avevo ottenuto muovendo il mouse.
Se mettiamo che quel giorno io avevo un po' di tremarella, più del solito, ecco giustificato l'errore.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 25-01-21, 15:06   #1174
nino280
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Comunque val la pena mostrare anche il mio "Algoritmo"sottostante per la soluzione di questo Quiz.
Qui non è rappresentato il quiz originale ma una variante che io avevo calcolato, be diciamo disegnato, e cioè quello in cui il rettangolo diventava quadrato e come si vede i due lati lì marcati sono coincidenti.
Una breve veloce spiegazione.
Dallo zero origini coordinate traccio 4 circonferenze concentriche da 2 ; 6 ; 9 ; 7
Sono i dati del quiz.
Sulla prima circonferenza da 2 ci metto un punto che varia su di essa al variare di un angolo definito dallo slider Alfa (pallino)
Da quel punto una parallela alle ascisse ad incontra la circonferenza da 6
Da quell'incontro fra la parallela all'ascissa e la circonferenza da 6 vado su con una parallela alle ordinate ad incontrare la circonferenza da 9 e da quell'incontro un'altra parallela alle ascisse ora verso sinistra ad incontrare la circonferenza da 7.
Poi chiudo la figura.
Ma questa figura che ottengo non è certo la soluzione del quiz dal momento che ho preso un punto diciamo a caso.
Però mi faccio dare da Geo l'area che sarà area pinco pallino.
Ma io voglio l'area da 60 ( mi pare che era 60 visto che sono passati 4 o 5 giorni e almeno altri 5 o 6 quiz, ora non me lo ricordo più) e muovo il palino fino a che leggo 60 come Area
Poi traccio il triangolo e di nuovo gli domando l'Area. Finito.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 25-01-21 15:36.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 25-01-21, 16:15   #1175
aspesi
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Quote:
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Ma io voglio l'area da 60
Ciao
Ma 7,7^2 non fa 60...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 25-01-21, 16:48   #1176
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Ebbe è certo che non fa 60 ,fa quello che c'è scritto dentro la figura.
Per avere 60 dobbiamo avere il rettangolo che tu chiedevi nel quiz iniziale.
Che ora come ora non ricordo più i valori, ma se si torna indietro ci saranno senz'altro scritti i valori Eppure mi pare che ho voluto subito specificare che questo disegno era il variante.
Insomma ho fatto la spiegazione col disegno variante (cioè il caso che il rettangolo diventi quadrato) avendo in mente il quiz iniziale. Ma il procedimento dell'algoritmo è identico, mi fermo cioè o prima o dopo che arrivi a 60.
Anzi è più corretto dire, mi fermo quando i 2 lati sono uguali.
Ciao
Ok, sono tornato io indietro a leggere i valori di allora e provo:
8,13384 x 7.37659 = 60,00000281

Ma a tutto c'è una spiegazione.
Questo quiz mi pareva chiuso, perché tu a modo tuo e io a modo mio avevamo dato una soluzione. Io alla fine della fiera avevo proposto una variante che nessuno ha risposto.
Ora il Quiz tramite Erasmus è ritornato in auge.
Mi è venuto intanto il desiderio di dire come lo avevo risolto io, che mi pare degno di osservazione.
Vado a riprendere quel disegno che ci volevo mettere la parte nascosta cioè tutte circonferenze che ora vedi, ma mi sono trovato il disegno Avariato.
Ho adoperato quello per la spiegazione tanto fa lo stesso è il procedimento che volevo mostrare.
Avrei potuto ri agire sul pallino per riavere l'area da 60 ma questo mi comportava la perdita di almeno un'oretta perché muovere il pallino con variazioni di un centomillesimo a cliccata è più o meno il tempo che ci vuole.
Ciao
P.S. Ancora una volta, e ormai non è neppure più il caso di farlo notare, osserviamo il rettangolo rappresentato nel quiz, la base ad occhio è circa una volta e mezza se non di più, l'altezza, mentre come si è visto dal risultato finale la differenza è 7 o 8 decimi.
Che farebbero 0,3 se li prendo da un lato e li sposto sull'altro.

Ultima modifica di nino280 : 25-01-21 20:19.
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Vecchio 28-01-21, 07:36   #1177
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Vecchio 28-01-21, 11:06   #1178
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Bello!!!!
L'area è indipendente dalla distanza B C
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 28-01-21 11:22.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 28-01-21, 11:58   #1179
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Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Bello!!!!
L'area è indipendente dalla distanza B C
Ciao


Io (finché non avevo visto la soluzione) non l'avevo capito e non riuscivo a risolverlo...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 28-01-21, 12:15   #1180
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E' anche interessante far muovere il pallino in modo da vedere tutte le "varie sfumature di azzurro" le varie metamorfosi.
Si hanno via via varie figure di quadrangoli, rombi e romboidi, vari isosceli doppi, quadrilateri degeneri e tanto altro ancora.
Ne mostro uno in particolare, quando il pallino è a quota 90° il lato B C che parlavo prima si annulla perché diventa di lunghezza zero e di conseguenza il quadrilatero diventa un triangolo rettangolo di cateti 7 e 6
Allora 7 x 6 / 2 = 21 C.V.D.
Ciao
P.S. Naturalmente l'ipotenusa non è 7 è solo che io ho quotato 2 volte il raggio della circonferenza grande.

Ultima modifica di nino280 : 28-01-21 12:42.
nino280 non in linea   Rispondi citando
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