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Vecchio 06-04-19, 11:04   #3471
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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nino280 Visualizza il messaggio
Certo che si può.
[/url]
?????

Io intendevo trovare la soluzione, cioè calcolare la somma delle aree degli infiniti cerchietti...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-04-19, 11:13   #3472
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
?????

Io intendevo trovare la soluzione, cioè calcolare la somma delle aree degli infiniti cerchietti...

Avevo capito sai.
Perché per risolvere il tuo quiz derivato, bisognerebbe avere innanzi tutto il triangolo o un triangolo ed io ne ho preso uno.
Poi bisognerebbe conoscere i raggi di almeno le prime tre circonferenze ed io ho detto di conoscerli (basta andare a rilevarli)
Poi ho detto che mi fermo li.
Qualcun altro più bravo di me può proseguire che conoscendo detti primi raggi adopera "la ragione sociale" che io non so fare, et voilà, la soluzione.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 06-04-19 11:25.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-04-19, 13:36   #3473
ANDREAtom
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Predefinito Re: Qualche quiz

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nino280 Visualizza il messaggio
Quando sei sotto pensaci, (non so quanto dura una dialisi), magari ti viene l'ispirazione.
Un ciclo settimanale di dialisi (standard) dura 4 ore per tre volte la settimana.....
Adeso lo sto facendo in "formato ridotto" da ormai sette mesi di 3 ore e mezzo per due volte la settimana, Martedì e Sabato, perchè ancora urino ed ho una minima funzione renale residua, poi passerà a quattro ore per tre volte la settimana.......
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Dai diamanti non nasce niente,
dal letame nascono i fior........
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Vecchio 07-04-19, 00:56   #3474
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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aspesi Visualizza il messaggio
Penso si possa risolvere lo stesso problema anche nel caso di un triangolo qualsiasi (es. di lati a> b> c), ma non credo di saperlo fare.

Erasmus???
Eccomi!
Certo che si può fare, e non è nemmeno difficile.
Naturalmente avremo tre file indiane in progressione geometriama con ragione dipendente dall'ampiezza del relativo angolo.
Possiamo in ognuna partire col termine iniziale dato dal cerchio inscritto.
Se poi vogliamo sapere l'area complessiva basterà sommare le aree delle tre file e detrarre il doppio dell'area del cerchio iniziale (che è lo stesso per ogni fila, essendo il cerchio inscritto nel triangolo.
--------
A questo punto non ci interessa più il triangolo ma solo il cerchio inscritto e i due tratti di lati tra due punti di tangenza ed un vertice.
Sia ABC un triangolo qualsiasi e si dicano
α, β e γ gli angoli rispettivamente in A, B e C;
a, b e c i lati opposti rispettivamente ad A, B e C
Allora abbiamo
cos(α) = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc);
cos(β) = (c^2 + a^2 – b^2)/(2ca);
cos(γ) = (a^2 + b^2 – c^2)/(2ab).

Ricordiamo poi che per ogni x si ha:
sin(x/2) = √{[1 – cos(x)]/2};
cos(x/2) = √{[1 + cos(x)]/2}
e quindi
tan(x/2) = √{1 – cos(x)]/[i + cos(x)]}

Siano H, K e L i punti di contatto del cerchio inscritto rispettivamente con i lati
AB =c, BC = a e CA = b.
Allora, detto p il semiperimetro (a + b + c,)/2 e detto r il raggio del cerchio inscritto, si ha:
AH = AL = p – a = (– a + b + c)/2
r = (p – a) tan(α/2) = √[(p – a)(p – b)(p – c)/p],
Infine, la distanza AI dell'incentro I dal vertice A è ovviamente
√[(p-a)^2 + r^2] = (p – a)/cos(α/2).

Tutta questa premessa per dire che, dopo aver studiato la progressione geometrica di cerchi tangenti a due semirette di origine A, al cerchio precedente e a quello successivo, non sarà difficile applicare quanto inferito ai singoli casi particolari dei tre angoli di un triangolo qualsiasi.
----
Siano dati un cerchio Γ di raggio r e centro C e un punto A [nel piano del cerchio] distante d > r da C .
Si considerino le tre semirette di origine A di cui una passa per C e le altre due sono tangenti al cerchio Γ, una in P e l'altra in Q.
Consideriamo ora le due rette tangenti a Γ parallele e perpendicolari alla retta AC.
La distanza da A di una di queste due tangenti è d + r e la distanza dell'altra è d – r.
Di queste due tangenti perpendicolari ad AC, quella più lontana da A intersechi AP in H e AQ in K; e quella più vicina ad A intersechi AP in M e AQ in N.
In tal modo si vengono a formare due triangoli isosceli simili: HKA di base HK e MNA di base MN.
Il cerchio Γ è il cerchio inscritto in HKA (che è isoscele di altezza h = d + r).
Si può allora inscrivere un nuovo cerchio Γ1 in MNA (che è isoscele di altezza h1 = d – r).
Sia r1 il raggio di Γ1. Siccome i triangoli HKA ed MNA sono simili, vale la proporzione
r1 : r = h1 : h
cioè
r1 = r·(h1/h) = r · [(d – r)/(d+r)] = r· [(1 – r/d)/(1 + r/d)].
Se diciamo α l'angolo di vertice A comune ai due triangoli HKA e MNA. troviamo subito:
r/d = sin(α/2) e quindi:
Codice:
               d – r       1 – r/d1        1 – sin(α/2)
  r1 = r · –––––– = –––––––– = –––––––––––.
              d + r        1 + r/d         1 + sin(α/2)
Possiamo ripetere indefinitamente l'inserzioone di un successivo cerchio tangente ad AP, ad AQ e all'ultimo cerchio inserito.
Dalla similitudine tra il triangolo isoscele in cui è inscritto l'ultimo cerchio inserito ed il triangolo isoscele in cui inscrivere un nuovo cerchio, risulta che i raggi dei cerchi calano in progressione geometrica di ragione:[code]
1 – sin(α/2) d – r
q = ––––––––––– = –––––––
1 + sin(α/2) d + r [code]
[e le aree dei cerchi calano in progressione geometrica di ragione q^2]
Per ... "pignoleria", controlliamo il rapporto tra il raggio r2 del secondo cerchio inserito Γ2 e il raggio r1 del primo cerchio inserito Γ1.
La distanza da A del centro di Γ1 è
d1 = d – (r + r1).
Pertanto il rapporto tra il raggio di Γ2 e il raggio di Γ1 è:
Codice:
 r2         [d – (r + r1)] – r1     (d – r ) –2r1     (d – r) [1–2r/(d+r)]             2r         d + r – 2r       d – r
–––  =   ----------–––––--- =  ––––––––––– = ––––––––––––––––– = 1 – ––––– = ––––––––– = –––– .
 r1         d – (r + r1)] + r1           d – r                      d – r                     d + r          d + r         d + r
Se l'angolo α d comune ai triangoli isosceli è di 60°, allora sin(α/2) = sin(30°) = 1/2 e q = (1–1/2)/(1+1/2) = 1/3.
Le aree calano allora in progressiane geometrica di ragione 1/9 per cui la somma delle aree di tutti i cerchi vale
(π·r^2)·[1/(1–1/9)] = (9/8)·(π·r^2).
La somma delle aree di tutti i cerchi aggiunti a quello iniziale è dunque solo 1/8 dell'area del cerchio di partenza.
[Ciò si trovava infatti anche nel quiz del riangolo equilatero].
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Vecchio 08-04-19, 09:26   #3475
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Un ciclo settimanale di dialisi (standard) dura 4 ore per tre volte la settimana.....
Adeso lo sto facendo in "formato ridotto" da ormai sette mesi di 3 ore e mezzo per due volte la settimana, Martedì e Sabato, perchè ancora urino ed ho una minima funzione renale residua, poi passerà a quattro ore per tre volte la settimana.......
Io non so assolutamente cosa sia una dialisi (e ringrazio Iddio) come si usa dire, ma in queste 3 o 4 ore che sospetto siano abbastanza per non dire terribilmente lunghe, hai le mani libere? Puoi leggere o adoperare per esempio un cellulare?
Ciao
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Vecchio 08-04-19, 10:48   #3476
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Predefinito Re: Qualche quiz

Un solo braccio libero, l'altro deve restare perfettamente immobile per tutto il tempo quindi è abbastanza difficile maneggiare il cellulare, però ciascuno di noi ha il suo televisore personale attaccato al soffitto in posizione molto comoda e inclinato di 45° rispetto al letto; l'ascolto avviene naturalmente in cuffia (che bisogna portare da casa) e tra i tanti canali c'è sempre qualche documentario o film interessante, allora il tempo trascorre abbastanza in fretta.
Comunque in generale una bella rottura di scatole....
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Vecchio 08-04-19, 11:18   #3477
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Lo immaginavo.
Come non detto comunque.
Credevo invece che tu potevi rispondere anche tramite cellulare alle nostre discussioni su Coelestis.
Ad ogni modo se non puoi non è di fondamentale importanza.
Rimane la rottura che mi accennavi.
Ciao
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Vecchio 15-04-19, 14:16   #3478
nino280
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Ok
Ciao
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Vecchio 14-08-19, 15:50   #3479
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Predefinito Re: Qualche quiz

Il direttore di una prigione offre a 10 prigionieri (numerati da 1 a 10) che sono nel braccio della morte un'ultima chance.
A tal fine, predispone in una stanza un mobiletto con 10 cassetti (che sono anch'essi numerati), in ciascuno dei quali inserisce (a caso) il numero di un prigioniero.

I prigionieri entrano nella stanza, uno dopo l'altro. Ogni prigioniero può aprire 5 cassetti, in qualsiasi ordine lo desideri, e, dopo che ha visto i numeri in essi contenuti, i cassetti vengono nuovamente chiusi.

Alla fine, se tutti i 10 prigionieri trovano il loro numero in uno dei 5 cassetti che hanno aperto, tutti vengono graziati; in caso contrario, se anche un solo prigioniero non trova il suo numero, tutti i 10 prigionieri muoiono.
Prima che il primo prigioniero entri nella stanza dei cassetti, i prigionieri si consultano e possono decidere la strategia per ottimizzare la loro probabilità di salvarsi, ma dopo, quando a uno a uno entrano per guardare nei cassetti, non possono più comunicare tra loro.

Qual è la migliore strategia e, rispettandola,che probabilità hanno di essere tutti graziati?

-----------
Nota: se ogni prigioniero seleziona a caso 5 cassetti, la probabilità che un singolo prigioniero trovi il suo numero è del 50%. Pertanto, la probabilità che tutti e 10 trovino il loro numero è (1/2)^10 = 0,000976563... = circa un millesimo!, praticamente sono senza speranza.
Tuttavia... esiste una strategia che consente, nel caso di n=10 prigionieri, di avere una probabilità di sopravvivenza... addirittura superiore a 1/3.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-08-19, 17:17   #3480
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Predefinito Re: Qualche quiz

L'unica cosa che mi viene in mente è che i prigionieri devono evitare di aprire gli stessi cassetti e lasciarne alcuni incontrollati, quindi si mettono d'accordo in questo modo: Cinque prigionieri si incaricano di aprire i cassetti pari, quindi il secondo il quarto il sesto l'ottavo e il decimo e gli altri cinque prigionieri quelli dispari, quindi ciascun cassetto sarà aperto cinque volte e ciascuno avrà il 50% di probabilità di trovare quello con il suo numero.
Ma a questo punto mi fermo e non so come salta fuori quell'altra probabilità per tutti....
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Ultima modifica di ANDREAtom : 14-08-19 17:25.
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