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Vecchio 16-07-19, 09:51   #1431
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Non sono d'accordo. Per me è bello...
Ma nino260 non ha detto che il quiz è brutto! Ha detto che il triangolo co r = 23 e e lati interi a perimetro minimo, cioè che è brutto quel triangolo con un angolo ottuso quasi piatto (con i lati lunghi rispettivamente 1059, 1060 e 2117).
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] solo un postulato (che non chiarisce perché "la soluzione del quiz è dunque proprio quella data nella 4)")
.Siccome abbiamo visto che si può dare il lato b in funzione del lato a, cioè:
b = [(r^2 + 1)(a – 1)]/ [(a – (r^2 + 1)],
si potrebbe provare tutti i triangoli con a intero a partire da
a = r^2 + 2
crescendo a di una unità alla volta fino a trovare il minimo perimetro con a intero.
Si scoprirebbe che il perimetro continua a diminuire fino ad a = 2·r^2 + 1, resta lo stesso per a = 2r^2 + 2 e poi inizia a crescere.
Infatti: [Si tenga presente che r è intero maggiore di 1]
• per a = 2·r^2 viene p = 4r^2 + 2 + 2/(r^2 – 1);
• per a = 2·r^2+1 e per a = 2r^2 + 2 viene p = 4r^2 + 2;
• per a = 2·r^2+3 viene p = 4r^2 + 2 + 2/(r^2 + 2).

Ma nel "paperino" di spiegazione del quiz ho ricavato p in funzione di a trovando
p = [a(a – 1)]/[a – (r^2 +1)].
Allora, considerando a variabile con continuità (sempre però maggiore di r^2 + 1), si può trovare il minimo di p annullando la derivata di p rispetto ad a.
Il minimo cade per
a= r^2 + 1 + r·√(r^2 + 1)
e perciò
b = a
e vale quindi
pm = 2r·[r + √(r^2 + 1)].
Il perimetro intero più prossimo a questo capita appunto per a = 2r^2 +1 ed è appunto 4r^2+2.
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-08-19, 02:37   #1432
Erasmus
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Predefinito Raggio del cerchio circoscritto al triangolo di lati a, b e c

Più sotto propongo un quiz di geometria piana (che non è di quelli in cui c'è da calcolare qualcosa, bensì di quelli in cui c'è da dimostrare qualcosa di carattere generale. ).

Come richiamo di opporrtune nozioni metto prima la seguente

Prefazione
Sia ABC un triangolo e le lungheze dei suoi lati siano:
BC = a;
CA =b ;
AB = c.
L'area de ltriangolo ABC sia S.
E' nota a tutti la formula di Erone che permette di calcolare S conoscendo a, b e c.
Con la formula di Erone si ha:
Codice:
       √[2((ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 – (a^4 +b^4 +c^4)]
S =  ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =
                                            4   
    √[(a + b + c)(–a + b + c)(a – b + c)(a + b – c)]
= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
                                  4
Di solito si pone p = (a + b + c)/2 per cui la formula di Erone diventa:
Codice:
S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)].
.

E' noto che il raggio R del cerchio circoscritto è:
Codice:
        abc
R = –––––
        4S
Questa formula si ricava facilmente se si tien conto di due cose.
1) Se γ è l'angolo di vertice C, allora l'altezza relativa al lato di lunghezza a risulta b·sin(γ) per cui l'area di ABC è anche
S = [a·b·sin(γ)]/2.
2) Se si sposta il vertice C lungo la circonferenza del cerchio circoscritto [deformando in tal modo il triangolo ABC), l'angolo di vertice C resta cosrtante (sempre di ampiezza γ). Spostando C fiino a farlo diventare diametralmente opposto ad A,il triangolo diventa rettangolo di ipotenusa 2R ed il lato di lunghezza c uno dei due cateti. E allora evidentemente:
c = 2R·sin(γ).

Pertanto:
2R·sin(γ) = c R·[2ab·sin(γ)] = abc 4RS = abc R = (abc)/(4S)
---------

Il quiz
Dimostrare che il raggio R del cerchio circoscritto ad un triangolo vale il rapporto tra il prodotto dei lati e il quadruplo dell'area, cioè:
R = (abc)/(4S)
senza far uso della trigonometria

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 24-08-19 11:04.
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Vecchio 25-08-19, 23:20   #1433
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Trovare la circonferenza passante per 3 punti che poi possono essere i vertici di un triangolo, io lo so fare sin da quando avevo 12 anni e frequentavo la seconda avviamento che a Laterza era agraria e poi venuto a Torino in terza era industriale.
E' evidente, solo con squadretta e compasso, mica c'era GeoGebra allora. Con Geo basta cliccarci sopra i tre punti ed è fatto.
Con squadretta e compasso è anche banale.
Si congiungono due punti, si fa metà di detti segmenti che sono poi i lati del triangolo, e si tracciano le perpendicolari ai lati per questi punti, diremmo anche le mediane, il loro incontro è il centro della circonferenza che circoscrive il triangolo. Io allora usavo il compasso e puntando nell' incrocio delle 2 perpendicolari con apertura da li ad un punto, ecco che la circonferenza passava per i tre punti.
Ieri notte mi facevo persino stando a letto un esempio tutto a mente naturalmente scegliendomi un caso facile.
Prendevo il triangolo per antonomasia Pitagorico da 3 4 5 , il raggio del cerchio circoscritto è non solo = a 2,5 ma sta anche sull'ipotenusa, ma questo è sia elementare che infantile.
Aimè! Se questa regola mi sta sui polpastrelli, della dimostrazione del perché moltiplicare fra di loro le lunghezze dei lati e poi dividere per 4 volte la superficie del triangolo, ottengo il raggio del cerchio circoscritto, non ne so nulla.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 25-08-19 23:22.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-08-19, 08:46   #1434
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Pensavo anche:
a cosa mi serve di un triangolo conoscere il raggio del cerchio che lo circoscrive senza conoscere il punto di applicazione, cioè dove sta il centro del cerchio?
Bada, sono sempre nei panni di un disegnatore, e come potrebbe essere diversamente?
Be, questa condizione, in cui conosco il valore del raggio senza conoscere anche dove sta il centro, a me sin da bambino quando adoperavo squadretta e compasso perché non avevo altro, non mi è mai capitata.
Ciao
Mettiamo, così tanto per discutere un po', che mi capita tale condizione in cui conosco il raggio ma non ho il centro, come faccio?
Un disegno comincia a bollirmi dentro, troppe parole ho già detto senza disegnare. Vabbè l'anticipo. Allora se dal centro punto col compasso e faccio il cerchio, basta ora fare il contrario punto un paio di volte dai punti e questo paio di cerchi si incontreranno nel centro. E' lapalissiano.
Vuoi mettere però un disegnino che esprime il tutto, senza profferire parola alcuna?
Magari arriva.

Ultima modifica di nino280 : 26-08-19 08:55.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-08-19, 09:22   #1435
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

https://i.postimg.cc/mgHx6FDR/Squadretta-e-Compasso.png



Tutto quello che ho detto nei due messaggi precedenti racchiuso in un disegnino. In rosso i cerchi fatti nell'evenienza che conosco il raggio ma non dove sta il centro, appunto come supponevo nel messaggio secondo. Il cerchio blu naturalmente e quello che fa la circoncisione (ma si dice così?) del triangolo.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-08-19, 18:04   #1436
ANDREAtom
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Scusa nino ma la spiegazione dei tuoi disegni e metodi a volte è molto ingarbugliata.
Lascia perdere per un attimo Geogebra e proviamo a disegnare a mano.
Ho provato a disegnare un cerchio su un foglio di carta con il compasso, e il centro è inequivocabilmente il buco che ha lasciato la punta del compasso, ma faccio finta di non vederlo e quindi non conosco il centro.
Poi ho provato a disegnare con riga e squadra vari triangoli rettangoli inscritti nel cerchio, di vario formato, cioè con diversi rapporti di lunghezza dei due cateti, e ho notato che l'ipotenusa passa sempre per il centro del cerchio, cioè dove sta il buco fatto dal compasso; questo tu lo sapevi da come hai dichiarato prima, io no.
Ne consegue quindi che il centro del cerchio si trova esattamente a metà lunghezza dell'ipotenusa quindi è facilmente tracciabile; ma se così è, (a meno che non mi sia sbagliato) mi spieghi a che servono gli altri tre cerchi disegnati in rosso nel disegno che hai postato qui sopra? che poi tra l'altro per disegnarli devi aver PRIMA trovato il centro del cerchio blu (quindi problema già risolto) altrimenti come faresti ad impostare il compasso al giusto raggio?
__________________
Dai diamanti non nasce niente,
dal letame nascono i fior........
--------------------------
(Fabrizio de Andrè)

Ultima modifica di ANDREAtom : 26-08-19 18:14.
ANDREAtom non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-08-19, 19:17   #1437
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Mi pare che non hai letto attentamente.
Il disegno comprendeva due miei messaggi.
Il primo del cerchio blu è tutto ok e sarebbe come si trova una circonferenza passante per tre punti GeoGebra o non GeoGebra squadretta o non squadretta (e compasso naturalmente)
Ho detto a chiari lettere, lo devo ripetere? Che se disegno con la squadretta ho sia il raggio sia il centro.
E cosa centra il buco nel foglio se io ho il centro all'intersezione delle normali(vedi rette in verde) ai lati o a quei segmenti che andavo ad unire a due punti e che facevo la metà?
I cerchi rossi rispondevano alla domanda che mi ero posto. Ho il valore del raggio del cerchio circoscritto magari proprio ricavato dalla formula espressa da Erasmus e della quale formula bisogna dare una dimostrazione. Cioè si moltiplicano i lati del triangolo e poi si divide per 4 volte la sua superficie, ma dove sta il centro?
I cerchi rossi erano la risposta.
Be per quanto riguarda il centro di un raggio che circoscrive un rettangolo che cade a metà dell'ipotenusa diciamo che si sa e basta, tanto è vero che avevo anche detto di averlo trovato a mente stando a letto nel caso del triangolo 3 4 5 e più che dire che è infantile banale elementare non posso.
Ma facciamo quello che ho fatto a mente nel dormiveglia:
3x4x5 = 60 (il prodotto dei lati)
(3x4)/2 = 6 (area del triangolo)
6x4 = 24 (il denominatore della formula di Erasmus)
60/24 = 2,5 (il raggio del cerchio circoscritto, nonché mezza ipotenusa)
Il fatto è che la cosa sembra banalissima se prendo un rettangolo, ma se prendo uno scaleno qualunque, il problema dove è il centro comincia già ad essere una cosa leggermente più complessa.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 26-08-19 20:35.
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Vecchio 26-08-19, 21:25   #1438
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Disegna un triangolo qualsiasi con i vertici A, B, C, opposti ai lati a, b, c, e la circonferenza circoscritta.

Traccia l'altezza AH al lato a e poi il triangolo ACD, dove AD è il diametro della circonferenza.
Unisci H con B e C con D.

I triangoli rettangoli ACD e ABH sono simili e quindi si ha la proporzione:

AB : AD = AH : AC
cioè:
c : 2R = h : b

e quindi:
R = b * c / 2h

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per a:

R = abc /(2ah)

ma:
S = ah/2
cioè:
4S = 2ah

e infine:

R = abc / 4S

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-08-19, 07:10   #1439
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Nino se puoi farmi un disegnino anche a mano libera di come sistemi le lettere del triangolo nella tua soluzione, io poi provvedo a metterlo in bella, perché la disposizione delle lettere è fondamentale.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-08-19, 07:47   #1440
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https://i.postimg.cc/QdkVmGZc/Disegno-Carino.png



Nell'attesa che Aspesi mi metta uno schizzo della sua soluzione della dimostrazione chiesta da Erasmus, io vado avanti nei miei disegni che continuano un pochino la discussione con AndreAtom.
Questo di sopra è anche molto "Carino"
Parto questa volta con uno scaleno qualunque.
Assumo lati a caso e sono come si vede con lunghezze di 5 ; 8 ; 11
Il semiperimetro è 12
Con Erone trovo la superficie dalla famosa piperpimenoaperpmenob e faccio la radice quadrata.
Mi direte e pi - c non l'hai messo?
No non l'ho messo perché 12 - 11 fa 1 e moltiplicare per uno non serve*. E trovo S = 18,3303
Ora la formula del quiz:
R = (5x8x11)/4x18,3303 = 6,00099
Buono
Dall'origine degli assi traccio una circonferenza di R = 6,00099
E su questa circonferenza ci sistemo il mio triangolo.
Il fatto che un vertice A parte sull'ascissa non è di nessuna importanza, son partito da li diciamo quasi a caso.
Cosa vedo di buono adesso?
Ci vedo che (notare il tutto è già stato definito) ma voglio verificare la storiella della squadretta ma solo della squadretta perché il cerchio ce l'ho già.
Traccio i punti medi di AB e BC che sono E ed H (anche se H è un poco distante dal punto) e da questi le rispettive perpendicolari (sempreverdi)
Si incontrano in J che poi vado a leggere i valori delle coordinate. Sono 0 ; 0 esattamente come le coordinate di O origine che sappiano essere naturalmente 0 ; 0
Andrea se hai qualche dubbio "dimmelo a me"
Ciao
Insomma se ancora non si è capito la questione, io ho due sistemi per trovare (graficamente) il centro della circonferenza che circoscrive un triangolo.
Uno è quello mostrato in figura tracciando due mediane.
E l'altro è quello che accennavo ieri ma che non ho disegnato oggi, di fare il procedimento inverso (per capirci i cerchietti rossi di ieri) sempre ammettendo che mi è arrivato nell'orecchio uno spiffero che mi dice quanto vale sto benedetto raggio.
Ripeto per l'ultima volta sennò divento pesante, nel primo caso lo spiffero non mi serve.
* Pensate che volevo inizialmente mettere un triangolo con lati 5 8 13
Errore imperdonabile.
Nel fare Erone mi sono subito accorto che se avessi messo un lato da 13 sarebbe venuto essendo il semiperimetro = 13 e 13 - 13 fa zero che mi azzerava tutto il prodotto sotto radice di Erone.
poi mi sono ravveduto, perché Erone aveva ragione per il semplicissimo motivo che la somma di due lati deve superare il terzo

Ultima modifica di nino280 : 27-08-19 10:17.
nino280 non in linea   Rispondi citando
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