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Vecchio 20-09-12, 07:33   #601
Mizarino
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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aspesi Visualizza il messaggio
...forse adesso Erasmus ti crederà ...
Proverò con parole mie a convincere quella "capatosta" ...
Scusa, ma non ho letto i tuoi argomenti e quindi la mia risposta sarà comunque "linearmente indipendente" (linguaggio dell'algebra) dalle tue ...

Mettiamo che il numero massimo di palline sia 3.
Mettiamo che l'amico abbia sbirciato un 2.
Il ragionamento "ovvio ma sbagliato" fa dire che la probabilità di azzeccarci puntando sul 2 è di 1/2, e sul 3 di 1/2.

Ragioniamo invece così:
Se le palline fossero 2, l'amico avrebbe probabilità 1/2 di sbirciare il 2.
Se le palline fossero 3, l'amico avrebbe probabilità 1/3 di sbirciare il 2.
Questo significa che la probabilità che le palline siano 2 è maggiore di quella che le palline siano 3, ed in particolare le due probabilità stanno fra loro nel rapporto 1/2 : 1/3, ovvero 3:2. Ovvero, la probabilità di azzeccarci puntando sul 2 è 0.6, mentre quella di azzeccarci puntando sul 3 è 0.4.

Che il risultato sia corretto è assolutamente certo, perché la simulazione su 10 milioni di "estrazioni" me lo riproduce perfettamente.
Può darsi che esista un ragionamento più valido e/o convincente del mio per giustificare il risultato, ma per il momento questo passa il convento ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-09-12, 07:52   #602
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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Mettiamo che il numero massimo di palline sia 3.
Mettiamo che l'amico abbia sbirciato un 2.
Il ragionamento "ovvio ma sbagliato" fa dire che la probabilità di azzeccarci puntando sul 2 è di 1/2, e sul 3 di 1/2.

Ragioniamo invece così:
Se le palline fossero 2, l'amico avrebbe probabilità 1/2 di sbirciare il 2.
Se le palline fossero 3, l'amico avrebbe probabilità 1/3 di sbirciare il 2.
Questo significa che la probabilità che le palline siano 2 è maggiore di quella che le palline siano 3, ed in particolare le due probabilità stanno fra loro nel rapporto 1/2 : 1/3, ovvero 3:2. Ovvero, la probabilità di azzeccarci puntando sul 2 è 0.6, mentre quella di azzeccarci puntando sul 3 è 0.4.
E esattamente una delle mie prime spiegazioni... #583

Ancora più semplice:
Supponiamo che il numero massimo di palline sia tre, e che l'amico abbia sbirciato una delle palline.
A questo punto le probabilita` sono le seguenti: le indico nella forma m(n) intendendo che ci sono n palline nell'urna e lui ha sbirciato la pallina m.

1(1) = 1/3

1(2) = 1/6
2(2) = 1/6
1(3) = 1/9
2(3) = 1/9
3(3) = 1/9

Posto che la pallina vista e` la 2, solo il terzo e il quinto caso sono possibili: rinormalizzando abbiamo


2(2) = 3/5

2(3) = 2/5

quindi conviene dire che ci sono due palline nell'urna.


aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-09-12, 16:46   #603
Mizarino
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Alla ricerca dell'apparente paradosso, aggiungerò qualcos'altro:

1) Se le palline sono al massimo 3, e l'amico sbircia un 1, la probabilità di azzeccarci dicendo che c'è una sola pallina nell'urna è 6/11 ...

2) Se le palline sono al massimo 1000, e l'amico ancora sbircia un 1, la probabilità di azzeccarci dicendo che nell'urna c'è una sola pallina è ben del 13.3% ...

Ultima modifica di Mizarino : 20-09-12 17:01.
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Vecchio 20-09-12, 17:13   #604
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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Alla ricerca dell'apparente paradosso, aggiungerò qualcos'altro:

1) Se le palline sono al massimo 3, e l'amico sbircia un 1, la probabilità di azzeccarci dicendo che c'è una sola pallina nell'urna è 6/11 ...

2) Se le palline sono al massimo 1000, e l'amico ancora sbircia un 1, la probabilità di azzeccarci dicendo che nell'urna c'è una sola pallina è ben del 13.3% ...
L'avevo calcolato anch'io.
Per quel che riguarda n al massimo 3 e m=1:
p = 1/3/(1/3+1/6+1/9) = 6/11

E' questo (l'aumento di probabilità quando si sbircia il numero 1) che ha sconvolto Erasmus ; non lo riesce a digerire e lo giudica demenziale.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-09-12, 17:20   #605
Mizarino
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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E' questo (l'aumento di probabilità quando si sbircia il numero 1) che ha sconvolto Erasmus ; non lo riesce a digerire e lo giudica demenziale.
L'avevo giudicato demenziale anch'io, quando ho guardato i risultati della simulazione, e avevo pensato ad un bug nel programma, ma poi ho capito ...
Dovrebbe piacere ad Erasmus, perché la probabilità si può calcolare attraverso la serie armonica!
P = 1/(1+1/2+1/3+...+1/N) ...


Bello, non c'è che dire!...

Ultima modifica di Mizarino : 20-09-12 17:22.
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Vecchio 21-09-12, 13:40   #606
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
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Dovrebbe piacere ad Erasmus, perché la probabilità si può calcolare attraverso la serie armonica!

Non mi dici nulla di nuovo. Guarda qua che dicevo ad aspesi:
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
[...]I tuoi numeri – diciamoli p(n) – sono inversamente proporzionali ad n.
n·p(n) = K (costante) per ogni n.
Tutto qui!
[...]
La [...] tua costante K è:
K = 1/(1/901 + 1/902 + ... + 1/999 + 1/1000) ≈ 9,4962270856 ≈ ln(1000,5/900,5) = 9,496226...
E come ho fatto a calcolare in fretta la somma dei reciproci di molti interi in fila senza programmare?
Ho sfruttato il fatto che la somma H(n) = 1 + 1/2 + ...+ 1/n vale:
H(n) = ln(n) + "gamma" + 1/(2n) – <somma per k da 1 a oo di [(–1)^k]·Ak/[n^(2k)]>
dove "gamma"= 0,57721566490153286060... (arci-nota costante di Eulero-Masheroni)
e i coefficienti Ak (tutti razionali)... me li sono trovati io (molti anni fa); e ne bastano veramente pochi per avere accuratezze elevate (essendo la serie a segni alterni).
Ecco i primi 6:
A1= 1/12; A2 = 1/120; A3 = 1/252; A4 = 1/240; A5= 1/132; A6 = 691/32760; ...
[Miza: copiati questa approssimazione accurata di H(n). Un domani potrebbe venirti utile ].
Quanto poi a quel ... "demenziale" 13,3% (che poi ... è meno accurato di 13.4%), guarda qua:
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
K(1) = 1[1/1+1/2 + 1/3 + ... + 1/1000] = 1/7,4854708... ≈ 0,13359...
p(1,1) = K(1)/1 = 0,13359...
p(2,1) = K(1)/2 = (1/2)·p(1,1)
p)3,1) = K(1)/3 = (1/3)·p(1,1)
----------------------
@ Miza e aspesi
Ho rifiutato la spiegazione di aspesi (che è quella di Silvio Sergio) perché (e ho insistito molto su questo perché) nel testo del quiz non ci vedevo alcun indizio che l'aver visto il numero v di una delle palline (numerate) potesse dare la distribuzione di probabilità di v al variare di n.
Mi sono "slambiccato" [per capire] un'altra volta (subito prima di tornare qui e così vederei il primo intervento di Miza).

Devo fare pubblica anmenda

Effettivamente l'indizio c'è.
Nel quiz si dice infatti che le n palline sono rimescolate per bene.
[Però ... non si dice se lo spione ha sbirciato prima o dopo la rimescolata].
Quindi ... occorreva aggiungere l'informazione che il numero visto v era un esito di una variabile casuale a distribuzione di probabilità unifornme tra 1 ed n.

Miza: come hai fatto a cogliere al volo (leggendo soltanto il testo del quiz, hai detto) che il numero visto v era l'uscita di una variabile casuale non già con distribuzione uniforme (per cui non avrebbe aggiunto nulla al sapere che gli n possibili sono quelli tra v+1 e 1000) e partire subito con l'ipotesi che distribuzione di probabilità di v fosse inversamente proporzionale ad n?
[Ma che domande sto a fargli? Ah: dimenticavo che l'Illustrissimo ... è un (po') alieno!]
----------
Ciao ciao
__________________
Erasmus
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Vecchio 21-09-12, 14:15   #607
Mizarino
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Miza: come hai fatto a cogliere al volo (leggendo soltanto il testo del quiz, hai detto) che il numero visto v era l'uscita di una variabile casuale non già con distribuzione uniforme (per cui non avrebbe aggiunto nulla al sapere che gli n possibili sono quelli tra v+1 e 1000) e partire subito con l'ipotesi che distribuzione di probabilità di v fosse inversamente proporzionale ad n?
EhEh, sono molto "terrestre", e per nulla "alieno", infatti:
Stadio 1) Io ho colto al volo un'altra cosa, ovvero che la soluzione non poteva essere quella apparentemente ovvia, perché altrimenti non vi sarebbe stata ragione di porre il problema ...
Stadio 2) Ho scritto un programma di simulazione e ho tirato fuori "sperimentalmente" i risultati. In particolare, come variava la probabilità che il numero di palline immesse nell'urna coincidesse con il numero "sbirciato" al variare di quest'ultimo e del numero massimo ammesso.
Stadio 3) Ho fatto il mio mestiere: ottenuti dei risultati, cercare di capirne il perché.
In questo è anche vincente l'approccio "riduzionista": ridurre il problema ai minimi termini, ovvero a tre palline ...

Ti potrai chiedere quale sia il motivo di usare l'approccio induttivo piuttosto che quello deduttivo connaturato alla matematica.
Il vantaggio è psicologico-cognitivo: se sei certo dei risultati, il loro "perché" lo trovi molto più facilmente che se devi "pensarlo" a priori onde derivarne i risultati ...

Ultima modifica di Mizarino : 21-09-12 14:24.
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-10-12, 09:59   #608
aspesi
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Questo mi ha fatto perdere ore con carta e penna (ho trovato la soluzione più o meno a tentativi, anche se ho rintracciato poi le sequenze che ritengo giuste per n squadre)

Campionato di calcio

Ci sono 8 squadre.
Alla prima giornata le otto squadre si incontrano in quattro partite, e analogamente alla seconda giornata. Ovviamente, alla seconda giornata non accade che due squadre,
che hanno gia' giocato contro alla prima, si reincontrino.

Si supponga che le squadre abbiano tutte la stessa forza di giuoco.
Nelle 8 partite (delle prime due giornate di campionato) non si verifica nessun pareggio.

Con quale probabilita' alla fine della seconda giornata la classifica ha tutte le squadre a pari merito (con 1 vittoria e 1 sconfitta)?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-10-12, 17:59   #609
Erasmus
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Sai che questi tipi di quiz non sono il mio forte ...
Strano, però, che non sia ancora intervenuto nessuno.
Io ero intervenuto ... ma poi avevo sospeso prima di inviare definitivamente ... e poi qualcuno (mio figlio? ) ha chiuso la finestra e ho perso la risposta.
No: non era la soluzione, ma solo una ... traccia sul come iniziare.
Provo a ripetere.

Numero a caso le squadre da 1 a 8:
S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8.

Nella prima giornata faccio questi accoppiamenti (messi in colonna).
S1 S2 S3 S4
S8 S7 S6 S5
Vedi che ho messo le squadre in ordine ciclico, ma quel che conta sono le coppie incolonnate.
[Una squadra "dispari" gioca con una squadra "pari"].
Nella seconda giornata ... faccio scorrere di un passo il ciclo, ottenendo (per esempio)
S8 S1 S2 S3
S7 S6 S5 S4
Ancora una squadra "dispari" gioca con una "pari": ma nessuna gioca con la squadra della precedente giornata.
Ogni permutazione della disposizione S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 è equivalente a questa. Per cui mi basta lavorare su questa per trovare quello che chiedi.
Qui occorre provare tutti i possibili risultati delle 8 partite (che, se considero anche i pareggi, sono 3^8, se invece li escludo sono 2^8).
Se si escludono i pareggi, è come avere i 256 numeri binari di 8 cifre.
Le cifre corrispondono alle partite, cioè alle coppie di squadre.
Allora ad ogni numero, esaminando le cifre, posso aggiungere +1 alla squadra "pari" e -1 alla squadra "dispari" se la cifra è 1 e viceversa se la cifra è 0.
Alla fine conto il numero d casi in cui ogni squadra è a 0 punti e lo rapporto al numero totale di casi (nei quali una squadra ha punteggio variabiile da –2 a +2).

Mi dirai: «Non hai mica risolto il quiz, ma solo abbozzato la via per risolverlo con la "forza bruta"».
[E magari ... la via è anche sbagliata].

E' vero. Ma ... sono scusabile: sono vecchio, lentissimo, mi perdo in un bicchier d'acqua se si tratta di acqua nuova ... Dovrei dedicarmi chissà quanto tempo per cercare se esiste una formula risolutiva ... e chissà se arriverei mai a concludere.

Aspettiamo qualcun altro ... per esempio degli sbarcati qui nel thread "Importante"
[No: quelli sono ... i verii "alieni" rispetto ai nostri argomenti!]

Ciao ciao
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 15-10-12 18:04.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-10-12, 21:15   #610
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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Io ero intervenuto ... ma poi avevo sospeso prima di inviare definitivamente ... e poi qualcuno (mio figlio? ) ha chiuso la finestra e ho perso la risposta.
Questa non l'ho capita

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Aspettiamo qualcun altro ... per esempio degli sbarcati qui nel thread "Importante"
[No: quelli sono ... i veri "alieni" rispetto ai nostri argomenti!]

Ciao ciao
Eh, eh.... quelli, degnano i loro sguardi solo se trovano scritto "Importante"
Magari, possiamo aspettare gli amici di facebook di Nino280

Ciao
(Se non interviene nessun altro, fra un paio di giorni provo a dire come ho affrontato io il quiz, un po' a tentativi e cercando su internet nell'enciclopedia delle sequenze)
aspesi non in linea   Rispondi citando
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