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Vecchio 20-06-12, 09:39   #531
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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*«C'θ un errore di orografia:

------------------------------
@ Per altri [eventuali] lettori.
Ad aspesi avevo scritto un procedimento generalizzando il quiz cosμ:
x oggetti di tipo A, y oggetti di tipo B e z oggetti di tipo C con x ≥ y ≥ z > 0.
Dovendo cercare x + y + z minimo, son partito da z = 1, trovando poi x = 9 e y = 3.
In conclusione:
Codice:
  x     y     z    |    x+y+z
————————————
  9     3    1    |     13
Il procedimento consiste nel considerare che le coppie dello stesso tipo, non importa quale, debbono essere in numero metΰ delle coppie possibili prescindendo dal tipo. Ossia
C(x, 2) + C(y, 2) + C(z, 2) = (1/2)·C(x+y+z, 2) ––>
––> 2·[x·(x–1) + y·(y–1) + z·(z–1)] = (x+y+z)^2 – (x+y+z)

Da qui [semplificando] si ricava l'equazione di 2° grado nelle 3 incognite x, y e z:
x^2 + y^2 + z^2 – (x + y + z) – 2(xy + yz + zx) = 0
L'equazione θ perfettamente simmetrica in x, y e z. Vuol dire che se
[x, y, z] = [a, b, c]
θ una soluzione, soluzione θ anche ogni permutazione di [a, b, c].

Non θ allora restrittivo supporre x ≥ y ≥ z > 0.

Risolvendo rispetto ad x si ha:

x = {2z+1 +√[8z+1 + 8·(2z+1)·y]}/2 + y. (*)

Per z = 1 si avrebbe:
x = [3 + √(9+24·y)]/2 + y.
Cercando, per y crescente da 1 in su, quando 9+24·y θ un quadrato perfetto, si troverebbe y = 3 e quindi x = 9.
Ma aspesi mi obietta che "alcuni oggetti" non possono essere uno solo!

Per z = 2 verrebbe, sempre dalla (*):
x = [5 + √(17 + 40·y)]/2 + y
che θ impossibile [per x ed y interi] perchι nessun quadrato perfetto termina con la cifra 7.

Per z = 3 , dalla (*) viene:
x =[7 + √(25 + 56·y)]/2 + y.
Cercando quando 25 + 56·y θ un quadrato perfetto per y crescente da 2 in su, si ha:
y = 2 ––> 25 + 56·2 = 25 + 112 = 137 NO!
y = 3 ––> 25 + 56·3 = 25 + 168 = 193 NO!
y = 4 ––> 25 + 56·4 = 25 + 224 = 249 NO!
y = 5 ––> 25 + 56·5 = 25 + 280 = 305 NO!
y = 6 ––> 25 + 56·6 = 25 + 336 = 361 = 19^2 SI'!
Allora x = (7 + 19)/2 + 6 = 19.
In conclusione:
Codice:
 x        y        z    |   x+y+z
—————————————
19      6        3    |    28
----------
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 20-06-12 09:48.
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Vecchio 20-06-12, 10:27   #532
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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aspesi
*«C'θ un errore di orografia:
L'hai scritto tu, non io
«C'θ un errore di orografia: manca l'apostrofo!».
#528

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Vecchio 20-06-12, 11:45   #533
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
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*«C'θ un errore di orografia:
L'hai scritto tu, non io
Porco mondo, hai ragione!
E' sbagliata la quota del Monte Rosa.
----------------------------
Pensa che ho letto e riletto un fottμo di volte per cercare il "mio" errore di ortografia (sicuro che ci doveva essere, sapendo quanto precisino e ...inclemente sei tu a questo riguardo).
Ma, come dice Fedro, si rilevano molto gli errori altrui, non i nostri!

Peras imposuit Iuppiter nobis duas:
propriis repletam vitiis post tergum dedit,
alienis ante pectus suspendit gravem.
Hac re videre nostra mala non possumus;
alii simul delinquunt, censores sumus.

[Giove ci ha messo addosso due sporte:
quella piena dei nostri vizi ce l'ha messa di dietro, sulla schiena;
quella con i vizi degli altri ce l'ha appesa davanti, sul petto.
Perciς non possiamo vedere le cattiverie nostre:
sono gli altri i colpevoli, e noi i censori!
]

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Ultima modifica di Erasmus : 20-06-12 12:39.
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Vecchio 20-06-12, 12:54   #534
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Quote:
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Giove ci ha messo addosso due sporte:
quella piena dei nostri vizi ce l'ha messa di dietro, sulla schiena;
quella con i vizi degli altri ce l'ha appesa davanti, sul petto.
Perciς non possiamo vedere le cattiverie nostre:
sono gli altri i colpevoli, e noi i censori!]

----------
Grazie, ma avevo giΰ guardato qui:
http://www.pensieriparole.it/aforism...no/frase-25372
Giove ci impose due bisacce:
ci mise dietro quella piena dei nostri difetti,
e, davanti, sul petto, quella con i difetti degli altri.
Perciς non possiamo scorgere i nostri difetti,
e, non appena gli altri sbagliano, siamo pronti a biasimarli.

A proposito: non ti ho chiesto il permesso di linkare un tuo lavoro, questo:
http://img94.imageshack.us/img94/3044/trianglesprob.png
sul newsgroup di matematica
http://usenet.it.rooar.com/showthread.php?t=7333881
in risposta ad un quesito sulle probabilitΰ che avevamo
dibattutto:
http://trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400&page=18

Ormai, θ fatto...


Ultima modifica di aspesi : 20-06-12 12:58.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-06-12, 01:28   #535
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
... non ti ho chiesto il permesso di linkare un tuo lavoro, questo:
http://img94.imageshack.us/img94/3044/trianglesprob.png
a) Mi pagherai da bere e mi offrirai una fetta di polenta (s)concia.
b) OCCHIO: Ho scoperto (da poco) che le immagini ospitate da "imageshack.us/" sono diventate orrende. Hanno perso la nitidezza, il testo che contengono θ quasi illeggibile.
Questa oggi l'ho rifatta, l'ho caricata su "www.postimage.org/" ed ho sostituito il link.
Eccolo qua quello nuovo;
http://postimage.org/image/56mycpr41/ (Triangoli_Prob.png)

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Ultima modifica di Erasmus : 21-06-12 08:58.
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Vecchio 22-06-12, 11:54   #536
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Facciamo una piccola modifica a questo quiz dei calzini:

In un cassetto vi sono alcuni calzini rossi, alcuni calzini bianchi e alcuni neri.
Prendendo 2 calzini a caso, la probabilita' che siano dello stesso colore e' il 50%.

Trattandosi di un iuventino, nel cassetto ci sono solo calzini neri e calzini bianchi e estraendo due calzini a caso (senza reinserimento), interessa solo prendere due calzini neri (probabilitΰ pari a 0,5).

E' facile calcolare che in questo caso ci devono essere *almeno* 4 calzini nel cassetto (3 neri e 1 bianco).
Perς, se si impone l'ipotesi tutto sommato ragionevole che nel cassetto ci sia un numero pari di calzini bianchi, allora il numero minimo dei calzini totali presenti nel cassetto sale notevolmente.
Se poi stabiliamo che anche i neri siano presenti in numero pari... non mi pare ci sia una soluzione (perchι i calzini neri non possono essere in numero negativo...)


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Vecchio 22-06-12, 16:05   #537
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
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Facciamo una piccola modifica a questo quiz dei calzini.
Trattandosi di un iuventino, nel cassetto ci sono solo calzini neri e calzini bianchi e estraendo due calzini a caso (senza reinserimento), interessa solo prendere due calzini neri (probabilitΰ pari a 0,5).
[...] se si impone l'ipotesi che nel cassetto ci sia un numero pari di calzini bianchi, allora il numero minimo dei calzini totali presenti nel cassetto sale notevolmente.[/size][/font]
Se poi stabiliamo che anche i neri siano presenti in numero pari... non mi pare ci sia una soluzione [...]
Guarda che ho giΰ discusso in generale il quiz arrivando a
z ≥ y ≥ z
x^2 +y^2 +z^2 – (x+y z) –2(xy +yz +zx) = 0
Se espliciti x ricavi subito
x = y+z + {1 +√[16yz +8(y+z) + 1]}/2

Se imponi z = 0 hai
x = y + [1 + √(8y+1)]/2

Per avere x razionale con y intero, 8y+1 (che θ dispari) deve essere un quadrato perfetto. Allora θ quadrato di un dispari e anche x θ intero.
[Mi ricordo che abbiamo discusso ancora come dve essere y affinche √(8y +1) sia quadrato di un intero. Ma non ricordo piω dove, quando e perchι].

Poniamo 8y + 1 = (2k+1)^2
Abbiamo
8y = 4k^2 + 4k ––> y = k(k+1)/2
Codice:
                   k         ––> | 1       2       3      4      5      6       7     8     9      10   ...
        y = k(k+1)/2   ––> | 1       3       6     10    15    21     28    36    45     55   ...
               8y + 1     ––> | 9     25     49      81  121  169   225   289  361   441   ...
          √(8y +1)      ––> | 3       5       7       9    11    13    15     17    19     21  ...    <–– 2k + 1
       [1+√(8y+1)/2  ––> | 2       3       4       5      6      7     8       9    10     11  ...    <––  k+1
x=y+[1+√(8y+1)/2 ––> | 3       6      10     15     21    28    36     45   55     66  ...     <–– (k+1)(k+2)/2
Riassumendo (e controllando che C(x+y,2) sia uguale a 2·[C(x, 2) + C(y, 2)]:
Codice:
x > y
       k      | 1    2     3       4      5      6      7      8        9      10 ...
 ––––-–––|–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
       y      | 1    3     6     10     15    21    28     36      45     55 ...  <–– k(k+1)/2
       x      | 3    6    10    15     21    28    36     45      55     66 ...  <–– (k+1)(k+2)/2 
     x+y    | 4    9    16    25     36    49    64     81    100    121 ...  <–– (k+1)^2  
–––––––––––––––––––––– CONTROLLO –––––––––––––––––––––––––––––––––––
*) C(x, 2) | 3   15    45  105   210   378  630   990  1485  2145 ...  <––  x(x–1)/2
°) C(y, 2) | 0     3   15    45   105   210  378   630    990  1485 ...   <–– y(y–1)/2
*) +  °)   | 3   18   60   150  315   588 1008 1620  2475  3630 ...   <–– [x(x–1)+y(y–1)]/2
C(x+y,2) | 6   36 120   300  630 1176  2016 3240 4950   7260 ...  <–– (x+y)(x+y–1)/2
Il numero di calzini bianchi e quello di calzini neri possono essere
• uno pari e l'altro dispari,
• entrambi pari,
• entrambi dispari.
------------
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 22-06-12 22:32.
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Vecchio 22-06-12, 18:05   #538
Erasmus
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Oops!
Ho sbagliato!
Ho calcolato ancora che i calzini estratti siano di un colore solo, non importa quale, cioθ:
C(x+y, 2) = 2·[C(x, 2) + C(y, 2)]

Tu invece volevi solo un colore, ossia
C(x+y, 2) = 2·C(x, 2)
cioθ
(x+y)(x+y – 1) = 2·x(x–1) ––> x^2 + y^2 + 2xy –x –y = 2x^2 – 2x ––>
––> x^2 –y^2 –2xy – x + y = 0 ––> x = y + [1 + √(8·y^2 + 1)]/2 [°]
e in piω che o x o y fosse pari.

Beh: ormai θ andata cosμ.
Ma anche ia [°] non ha nulla di difficile.
Diverso dal caso trattato sopra da me c'θ che sotto radice invece di y c'θ y^2.
Prima y doveva essere del tipo k(k+1)/2.
Adesso θ y^2 che deve essere di questo tipo. Quindi occorre scegliere quei numeri "perfetti" che sono anche quadrati.
(come 6^2 = 36 = 8·9/2, 35^2 = 1225 = 49·50/2, 204^2 = 41616= 288·289/2).
Comunque √(8y^2 +1) θ dispari e [1 + √(8y^2 + 1)]/2 θ intero.
Ma [1 + √(8y^2 + 1)]/2 θ dispari quando y θ pari ed θ pari quando y θ dispari.
Per cui x = y + [1 + √(8y^2 + 1)]/2 θ sempre dispari.
Ecco i primi risultati e la legge di ricorrenza di y e di x:
Codice:
n |1    2     3       4      5        6
 –|–––––––––––––––––––––––––––
y |1    6    35   204  1189    6930 ...  <––  y(n+1) = 6.y(n) – y(n–1)
x |3  15    85   493  2871  16731 ...  <––  x/n+1) = 6·x(n) – x(n–1) – 2
--------
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Vecchio 22-06-12, 18:55   #539
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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Tu invece volevi solo un colore, ossia
C(x+y, 2) = 2·C(x, 2)
cioθ
(x+y)(x+y – 1) = 2·x(x–1) ––> x^2 + y^2 + 2xy –x –y = 2x^2 – 2x ––>
––> x^2 –y^2 –2xy – x + y = 0 ––> x = y + [1 + √(8·y^2 + 1)]/2 [°]
e in piω che o x o y fosse pari.

Per cui x = y + [1 + √(8y^2 + 1)]/2 θ sempre dispari.
Ecco i primi risultati e la legge di ricorrenza di y e di x:
Codice:
n |1    2     3       4      5        6
 –|–––––––––––––––––––––––––––
y |1    6    35   204  1189    6930 ...  <––  y(n+1) = 6.y(n) – y(n–1)
x |3  15    85   493  2871  16731 ...  <––  x/n+1) = 6·x(n) – x(n–1) – 2
--------
Perfetto!
y^2 + 2xy - y - x^2 + x = 0
x = (2y + 1 + RADQ(1+8y^2))/2

Quindi, la sequenza dei bianchi (y) θ alternativamente un numero pari e uno dispari.
8y(n)^2+1 θ un quadrato perfetto
y(n) = 3y(n-1) + RADQ(8y(n-1)^2+1)
Lim. per n che tende all'infinito di y(n)/y(n-1) = 3+2RADQ(2)

Mentre per i neri (x) la seconda soluzione (quella che θ pari) non esiste perchι θ negativa:
-2 -14 -84 -492 -2870

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Vecchio 26-06-12, 16:17   #540
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Completiamo i quiz sui calzini

Mio zio ogni mattina (esclusa la domenica) fa uno strano rituale.
1) Preleva a caso da un cassetto 3 calzini.
2) Se ci sono almeno 2 calzini dello stesso colore, li indossa rimettendo il restante nel cassetto.
3) Se i 3 calzini sono di colori differenti, li rimette nel cassetto e torna al punto 1.


Ogni lunedi mattina nel cassetto ci sono 16 calzini in tutto (8 blu, 6 neri, 2 grigi), e dopo l'ultimo prelievo di sabato mattina, ne restano ovviamente 4.
In quale giorno della settimana e' piu' difficile, per mio zio, ottenere un paio indossabile al primo tentativo (cioθ quando la probabilitΰ di ritrovarsi in mano almeno due calzini dello stesso colore estraendone tre θ minore)?

(Ho fatto i calcoli, ma non sono certo al 100% dei risultati che ho ottenuto; se qualcuno volesse confermare con una simulazione... )

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